UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA A MATEMÁTICA E OS CIRCUITOS ELÉTRICOS DE CORRENTE CONTÍNUA: um bordgem nlític, prático-experimentl e computcionl RICARDO FERREIRA DA COSTA Porto Alegre 2007

RICARDO FERREIRA DA COSTA A MATEMÁTICA E OS CIRCUITOS ELÉTRICOS DE CORRENTE CONTÍNUA: um bordgem nlític, prático-experimentl e computcionl Dissertção de mestrdo presentd o Progrm de Pós-Grdução em Ensino de Mtemátic d Universidde Federl do Rio Grnde do Sul, como requisito prcil pr obtenção do título de Mestre em Ensino de Mtemátic. Orientdor(): Dr. Elisbet D Eli Gllicchio Porto Alegre 2007

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA A MATEMÁTICA E OS CIRCUITOS ELÉTRICOS DE CORRENTE CONTÍNUA: um bordgem nlític, prático-experimentl e computcionl elbord por RICARDO FERREIRA DA COSTA Como requisito prcil pr obtenção do gru de Mestre em Ensino de Mtemátic APROVADO POR Prof. Dr. Fernndo Lng d Silveir Prof. Dr. Irene Mri Fonsec Struch - UFRGS Prof. Dr. Ver Clotilde Grci - UFRGS Alegrete, 20 de dezembro de 2007.

À Ariete, minh compnheir de tods s hors.

AGRADECIMENTOS À Prof. Dr. Elisbet D Eli Gllicchio pel su orientção e contribuição pr o desenvolvimento deste trblho. Ao Prof. Ms.Luiz Tirjú dos Reis Loureiro por sugestões que contribuírm decisivmente pr construção do protótipo. Ao meu coleg, Prof. Lélio Conceição Leães Filho, pels discussões sobre spectos deste trblho. Aos meus filhos Cristin e Flávi pelo incentivo.

SUMÁRIO INTRODUÇÃO... 15 1 A ÊNFASE MATEMÁTICA... 18 1.1 A METODOLOGIA DESENVOLVIDA... 18 1.2 O PORQUÊ DA MODELAGEM... 19 1.3 A PLANILHA ELETRÔNICA... 22 2 OS CIRCUITOS ELÉTRICOS... 23 2.1 A CORRENTE ELÉTRICA... 23 2.1.1 A Intensidde d Corrente Elétric... 24 2.1.2 O Sentido Convencionl d Corrente... 24 2.1.3 A Corrente Contínu e Corrente Alternd... 25 2.1.4 Os Efeitos d Corrente Elétric... 26 2.1.5 A Energi e Potênci d Corrente Elétric... 27 2.2 OS ELEMENTOS DO CIRCUITO ELÉTRICO... 28 2.3 A LEI DE OHM... 29 2.3.1 Os Resistores e Lei de Ohm... 29 2.3.2 A Resistividde elétric: um propriedde do mteril... 30 2.3.3 Associção de Resistores... 31 2.3.3.1 Associção em Série... 31 2.3.3.2 Associção em Prlelo... 32 2.4 OS GERADORES... 33 2.4.1 A Potênci e o Rendimento do Gerdor... 34 2.5 OS RECEPTORES... 34 2.5.1 A Potênci e o Rendimento do Receptor... 35 2.6 OS CIRCUITOS ELÉTRICOS... 35 2.6.1 Os Circuitos Elétricos de Corrente Contínu e Mtemátic... 36 2.6.2 Um Circuito Completo... 36 2.6.3 As Leis de Kirchhoff... 38 3 SUGESTÕES PARA AULAS EXPERIMENTAIS... 41 3.1 O PROTÓTIPO DE CIRCUITO ELÉTRICO... 42 3.2 OS CIRCUITOS SIMPLES... 44

3.2.1 Circuito 1: do tipo Fonte e Resistor... 44 3.2.2 Circuito 2: do tipo Fonte e Dois Resistores em série... 47 3.3 CIRCUITOS DE DUAS MALHAS... 49 3.3.1 Circuito 3: do tipofonte e Dois Resistores em Prlelo... 49 3.3.2 Circuito 4: do tipofonte e Três Resistores em série e em prlelo... 53 3.3.3 Circuito 5: do tipofonte e Qutro Resistores em série e em prlelo.. 54 3.4 CONSIDERAÇÕES... 56 4 SISTEMAS LINEARES E MÉTODOS DE RESOLUÇÃO... 58 4.1 MATRIZES... 58 4.1.1 Definição... 58 4.1.2 Domínio e Conjunto-imgem... 59 4.1.3 Representção Genéric de um Mtriz... 59 4.1.4 Mtrizes Especiis... 60 4.1.5 Iguldde de Mtrizes... 62 4.1.6 Operções com mtrizes... 62 4.1.6.1 Adição... 62 4.1.6.2 Produto de Mtriz por um Número... 63 4.1.6.3 Produto de Mtrizes... 63 4.2 DETERMINANTES... 64 4.3 MATRIZ INVERSA... 66 4.3.1 Cálculo d Mtriz Invers usndo determinntes... 66 4.3.1.1 Menor Complementr... 67 4.3.1.2 Coftor de um elemento... 67 4.3.1.3 Mtriz Coftor... 67 4.3.1.4 Mtriz Adjunt... 68 4.3.1.5 Cálculo d Mtriz Invers... 68 4.4 SISTEMAS LINEARES... 69 4.4.1 Introdução... 69 4.4.2 Equções Lineres... 69 4.4.2.1 Solução ds Equções Lineres... 69 4.4.3 Sistems de Equções Lineres... 70 4.4.3.1 Solução de um sistem liner... 71 4.4.3.2 Clssificção de Sistems Lineres... 71 4.4.3.3 Solução de sistems lineres n x n (n 2), usndo regr de Crmer.. 71 4.3.3.4 Solução de sistems lineres n x n ( n 2 ), usndo esclonmento... 73 4.4.3.5 Solução de sistems lineres com mtriz invers... 75 4.4 CÁLCULO DO POSTO DE UMA MATRIZ ATRAVÉS DE DETERMINANTES... 76 5 INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO LINEAR... 79 5.1 O MÉTODO GRÁFICO... 79 5.2 O MÉTODO SIMPLEX... 81

6 SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES COM O USO DA PLANILHA ELETRÔNICA... 87 6.1 PROCEDIMENTO DE CÁLCULO... 87 CONSIDERAÇÕES FINAIS... 92 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 94 ANEXOS... 96

LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figur 1: Corrente elétric em condutor cilíndrico... 24 Figur 2: Corrente rel e convencionl... 25 Figur 3: Corrente contínu e lternd... 26 Figur 4: Elementos do circuito elétrico... 29 Figur 5: Resistor elétrico... 29 Figur 6: Resistor de fio... 30 Figur 7: Associção de resistores em série... 31 Figur 8: Associção de resistores em prlelo... 32 Figur 9: Gerdor elétrico... 33 Figur 10: Receptor elétrico... 35 Figur 11: Circuito elétrico em série... 36 Figur 12: Circuito completo... 37 Figur 13: Rede elétric... 38 Figur 14: Representção d lei dos nós... 38 Figur 15: Rede elétric com especificção de vlores... 39 Figur 16: Digrm de blocos... 42 Figur 17: Foto do Protótipo... 43 Figur 18: Protótipo de circuito elétrico... 43 Figur 19: Circuito do experimento 1... 44 Figur 20: Foto Experimento 1... 45 Figur 21: Foto Leiturs do Experimento 1... 46 Figur 22: Circuito do experimento 2... 47 Figur 23: Circuito do experimento 3... 49 Figur 24: Foto Experimento 3... 50 Figur 25: Foto Leitur do Experimento 3... 51

10 Figur 26: Circuito do experimento 4... 53 Figur 27: Circuito do experimento 5... 55 Figur 28: Gráfico d região plusível... 80 Figur 29: Solução com o método simplex usndo plnilh Excel... 86 Figur 30: Plnilh de cálculo Excel... 87 Figur 31: Coeficientes ns céluls d plnilh Excel... 88 Figur 32: Cálculo do determinnte d mtriz n plnilh Excel... 88 Figur 33: Cálculo do determinnte d incógnit x n plnilh Excel... 88 Figur 34: Cálculo do determinnte d incógnit y n plnilh Excel... 89 Figur 35: Cálculo do determinnte d incógnit z n plnilh Excel... 89 Figur 36: Cálculo ds incógnits n plnilh Excel... 90 Figur 37: Uso d plnilh Excel pr determinr solução de um sistem liner... 90

ÍNDICE DE TABELAS Tbel 1- Mteril necessário, experimento 1... Tbel 2- Vlores nominis e ds leiturs, experimento 1... 44 46 Tbel 3- Mteril necessário, experimento 2... Tbel 4- Vlores nominis e ds leiturs, experimento 2... 48 48 Tbel 5- Mteril necessário, experimento 3... Tbel 6- Vlores nominis e ds leiturs, experimento 3... 49 52 Tbel 7- Mteril necessário, experimento 4... Tbel 8- Vlores nominis e ds leiturs, experimento 4... 53 54 Tbel 9- Mteril necessário, experimento 1... Tbel 10- Vlores nominis e ds leiturs, experimento 5... 54 56 Tbel 11- Vlor d função objetiv nos vértices... 81 Tbel 12- Qudro simplex... 82 Tbel 13- Solução inicil - método simplex... 84 Tbel 14- Primeir troc de vriáveis n bse método simplex... 84 Tbel 15- Solução intermediári método simplex... 84 Tbel 16- Segund troc de vriáveis n bse - método simplex... 85 Tbel 17- Solução finl - método simplex... 85

LISTA DE SÍMBOLOS (Uniddes ds grndezs físics no sistem MKS) Cpítulo 2: q crg elétric, (C) t tempo, (s) i intensidde d corrente elétric, (A) CC corrente contínu CA corrente lternd U diferenç de potencil elétrico ou tensão, (V) τ consumo elétrico, (J, kwh) P potênci elétric, (w) R resistênci elétric, (Ω) ρ resistividde elétric, (Ω m) l comprimentos do fio, (m) A áre d secção trnsversl do fio, (m 2 ) ε forç eletromotriz, (V) ε forç contr-eletromotriz, (V) r resistênci intern dos gerdores e receptores, (Ω) E energi potencil, (J) V potencil elétrico, (V) s solução do sistem liner Cpítulo 3: A mperímetro V voltímetro U diferenç de potencil ou tensão, (V) R resistênci elétric, (Ω) Ch chve lig-deslig i intensidde d corrente elétric, (A)

Cpítulo 4: IN conjunto dos números nturis IR conjunto dos números reis M mtriz m, n número de linhs ou coluns de um mtriz ij I n A T elemento d mtriz mtriz identidde de ordem n mtriz trnspost d mtriz A det M determinnte d mtriz M A -1 mtriz invers d mtriz A D ij menor complementr do elemento ij A ij coftor do elemento ij cof(a) mtriz dos coftores d mtriz A Adj(A) mtriz djunt d mtriz A S sistem de equções lineres S sistem equivlente s solução do sistem liner D determinnte dos coeficientes do sistem Dx determinnte x Dy determinnte y Dz determinnte z Cpítulo 5: L função objetivo

14

RESUMO Este trblho trt do desenvolvimento de um mteril didático, sob form de cdernos (presentemente, em form de cpítulos), compnhdo de protótipo de circuito simples pr testes experimentis, ser utilizdo no ensino de nível médio. O conteúdo reunido nos cdernos brnge o desenvolvimento nlítico de tópicos pertinentes à físic-mtemátic, esquem pr construção do protótipo e exemplos utilizndo recursos computcionis. Mis especificmente, buscou-se enftizr o ensino dos tópicos de equções e sistems lineres, motivdos por fenômenos físicos. Pretendeu-se explorr o specto experimentl (com construção e o uso de protótipo de circuitos simples), o nlítico (com resolução de equções e sistems lineres, e com um introdução à progrmção liner) e o computcionl (com uso d plnilh eletrônic). Em todos os conteúdos desenvolvidos, é dd especil ênfse à interpretção, à nálise e à vlidção dos resultdos. Com este mteril, procur-se oferecer o professor um conjunto de tividdes didático-pedgógics, que possm estimulr su tução crític e critiv. E que, tmbém, propiciem reflexão e nálise n identificção e resolução de problems, fim de desencder processos cognitivos que levem o luno compreender s interrelções entre físic e mtemátic. Plvrs-chve: sistems lineres - álgebr mtricil - circuitos elétricos - protótipo plnilh eletrônic - método simplex

ABSTRACT This pper is bout the development of didtic mteril, under the wy of notebooks (here, in chpters), ccompined by the prototype of simple circuit for experimentl tests, to be used in high school teching. The issue brought in the notebooks comprehends the nlytic development of the topics tht belong to the physics- mthemtics, scheme for the building of the prototype nd exmples with the use of computer resources. More specificlly, pplied to the teching of the topics of equtions nd liner systems, motivted by physics phenomen. It ws intended to explore the experimentl spect (with the building of simple circuit prototype), the nlytic (with the resolution of equtions nd liner systems, with n introduction to the liner progrmming) nd the computer (with the use of electronic chrt). In ll the topics developed, specil emphsis is given to the interprettion, nlysis nd vlidting of the results. With this mteril, it ws intended to offer the techer set of didtic- pedgogicl ctivities tht cn stimulte the criticl nd cretive cting. And tht cn lso provide the thinking nd nlysis in the identifiction nd resolution of problems, with the im of triggering cognitive processes tht led the student to understnd the inter-reltions between physics nd mthemtics. Key-words: liner systems - mtricil lgebr - electricl circuits - prototype - eletronic chrt - simplex method

INTRODUÇÃO O ensino de mtemátic no nível médio é feito, em gerl, de modo fechdo, isto é, o ensino d mtemátic pel mtemátic em si. Sbe-se, entretnto, d existênci de correntes que buscm um visão mis mpl dest ciênci: teori integrd às plicções, interligndo diferentes áres do conhecimento, dentro de um nov concepção epistemológic. Neste contexto, modelgem mtemátic é ferrment principl e mplmente utilizd em problems de ciêncis físics, biológics e sociis. Grçs um movimento cd vez mior em fvor do uso de novs metodologis, enriquecids por novs tecnologis, no ensino em gerl, têm surgido discussões em torno dos currículos escolres e dos métodos de ensino, dndo origem novs teoris e prátics educcionis. Acredit-se que o ensino d mtemátic, bsedo em problems concretos, dev tornr prendizgem um tref grdável e que, o mesmo tempo, possibilite desenvolver hbiliddes de cálculo e de nálise. Pr vencer o desfio de fzer com que o luno prend com przer, propõe-se que o ensino de mtemátic sej vinculdo estímulos externos vindos de um mundo rel. Neste contexto, modelgem mtemátic ligd experimentos ocup um ppel de destque. A modelgem mtemátic, lid novs tecnologis, é um dos cminhos pr que se poss ensinr o luno de um form mis trtiv, propicindo um melhor compreensão dos conceitos presentdos. A experimentção é um ftor crucil pr visulizção e o entendimento do fenômeno. A informátic, por su vez, oferece recursos de cálculo que permitem lterr os vlores dos prâmetros ns equções e resolver rpidmente o novo problem. Aqui, necessidde de um rotin precis, qundo d inserção dos ddos do problem, bem como o uso do recurso tenttiv erro-vlidção no procedimento, substituem preocupção do

16 luno com o cálculo, dndo lugr à ssimilção de conceitos, regrs e proprieddes opertóris. Deste modo, pretende-se propicir o professor um estrtégi de ensino, com vists à compreensão e à resolução de problems, num enfoque mis brngente ds relções entre físic e mtemátic. Ou sej, com utilizção de experimentos, modelgem, simulção computcionl, trçdo de esquems gráficos e nálise de resultdos, que conduzm o luno à prticipção, à ção, à interção, à interpretção e à reflexão no processo de prendizgem. Sob este prism d prátic pedgógic, o professor desempenh o ppel de construtor de oportuniddes de prendizgem (BICUDO, 2005), de orientdor ns etps serem vencids e o de um fonte de desfios pr motivção d tividde em sl de ul. Aind, segundo Silveir 1, os resultdos d pesquis têm mostrdo que, [...] em eletricidde os lunos presentm muits concepções lterntivs, ou sej, concepções com significdos contextulmente errôneos, não comprtilhdos pel comunidde científic. Prticulrmente n áre de circuitos elétricos simples, váris pesquiss form já conduzids. [...]. Tmbém, Dorneles 2 firm que se tem consttdo dificuldde dos lunos do ensino médio e superior n compreensão dos conceitos físicos envolvidos no estudo de sistems elétricos. Sendo ssim, o licerce deste mteril é construção do pensmento lógico e o desenvolvimento do rciocínio, tendo como ponto de prtid o estudo de problems reis. O propósito, qui, é, evidentemente, prtir de situções experimentis e d reflexão sobre o fenômeno, estbelecer relção interdisciplinr entre Físic e Mtemátic. E proporcionr sedimentção dos conceitos fundmentis pr prendizgem dests áres. O desenvolvimento deste trblho foi fundmentdo nos seguintes objetivos: Gerl: procurr estbelecer, no espço de sl de ul, um processo ensinoprendizgem proposto, e ser desenvolvido, com um prátic pedgógic gerd pel bordgem de fenômenos físicos. 1 SILVEIRA, F. L. et ll. Vlidção de um teste pr verificr se o luno possui concepções científics sobre corrente elétric. Ciênci e Cultur, 41(11), p. 1129-1133, 1989. Disponível em http://www.if.ufrgs.br/~lng/atitude_fisic.pdf 2 DORNELES, P. F. T.; ARAÚJO, I. S.; MOREIRA, M.A.; VEIT, E. A. Simulção e modelgem computcionis como recursos uxilires no estudo de circuitos elétricos. Disponível em www.if.ufrgs.br/mpef/ieeefis/tecno/dificulddescircuitoseletricos.ppt

17 Específicos: explorr os spectos interdisciplinres que surgem, nturlmente, prtir do processo prático-experimentl, como principl estrtégi no desenvolvimento ds tividdes pedgógics; presentr um protótipo de circuitos elétricos, como delimitdor d teori e fonte de ddos pr os problems serem borddos; perceber necessidde do sber mtemático pr um melhor entendimento d respost do sistem elétrico; equcionr o problem rel, fim de originr o conteúdo ser estuddo ns uls; desenvolver teori necessári pr compreensão e resolução ds equções obtids; plicr ferrments mtemátics dequds à resolução de equções e sistems lineres; presentr e usr plnilh eletrônic n solução de sistems lineres; propicir lterntivs de solução pr um mesmo problem, fim de que o luno poss mplir e profundr o seu conhecimento; introduzir o método simplex no conteúdo progrmático d disciplin de mtemátic pr o ensino médio.

18 1 A ÊNFASE MATEMÁTICA A mtemátic, chve de grnde prte ds áres do conhecimento, é dotd de um estrutur que permite o desenvolvimento dos níveis cognitivo e critivo do indivíduo, justificndo ssim o seu uso nos mis diversos grus de ensino. Tem-se, como met principl, com o ensino de Mtemátic, desenvolver no luno cpcidde de ler e interpretr. Portnto, fz-se necessário que se encontre métodos eficientes pr que o ensino-prendizgem tinj seu objetivo nos meios escolres. No specto de precisão, est ciênci prim pels bstrções e s interrelções entre os seus diferentes rmos. Ms, pesr desse cráter bstrto, mtemátic tem su origem no mundo rel, ns sus plicções situções prátics do quotidino em outrs ciêncis. Deste modo, cri-se um ciclo permnente entre teori e prátic, um vi-e-vem entre o desenvolver e o plicr. Prtindo desses pressupostos, Mtemátic desempenh o ppel de formdor d cpcidde intelectul, d estruturção do pensmento e d gilizção do rciocínio dedutivo. Portnto, permite o desenvolvimento de competêncis pr busc, nálise e pr solução de problems. Assim, Mtemátic é de sum relevânci n formção básic do ciddão, de sus hbiliddes e cpcitção, propicindo su inserção no mundo do trblho. 1.1 A METODOLOGIA DESENVOLVIDA Com este mteril, pretende-se disponibilizr o professor de mtemátic de ensino médio um lterntiv pr su prátic pedgógic. Busc-se oportunizr um tividde dinâmic e diversificd em sus uls, sem deixr de dr ênfse à fundmentção teóric dos conteúdos mtemáticos. Acredit-se oferecer, qui, um técnic diferente, porque não se procur, simplesmente, proporcionr um hbilidde mtemátic ser utilizd n resolução de sistems lineres. O procedimento começ com plicções gerds, em sl de ul, trvés d utilizção de protótipo de circuito elétrico simples. Em seqüênci às medições

19 pertinentes à experimentção, tem início o processo de modelgem do fenômeno físico. De posse ds equções e condições reltivs o problem, são introduzids s ferrments mtemátics pr obtenção d respost nlític. Com os ddos d respost, o problem é implementdo n plnilh eletrônic tendo em vist nálise dos ddos e vlidção do resultdo. Com est metodologi, esper-se crir um situção ensino-prendizgem onde o luno: sej encorjdo pensr mtemticmente; se sint cpcitdo enfrentr um problem prático e pensr n formulção do mesmo em termos mtemáticos; considere s possíveis mneirs de obter um respost um problem mtemático e escolh o modo que mis lhe prouver pr su resolução; estej pto chr respost e mis, compreendê-l e interpretá-l no contexto do problem originl. Este trblho procur, dentro do possível, introduzir teori e s técnics de resolução de sistems lineres por meio de exemplos práticos. O que se quer enftizr é conjugção dos métodos experimentl, nlítico e computcionl, dinte de um experiênci estimulnte e desfidor. No texto seguir, tem-se como objetivo profundr um discussão sobre inserção d modelgem no contexto d educção mtemátic crític, com reflexões que conduzm um mudnç de postur do professor em sl de ul. 1.2 O PORQUÊ DA MODELAGEM Ao usr modelgem como estrtégi pedgógic em sl de ul, o professor tem intenção de motivr os lunos o estudo d mtemátic e relcionál com o di--di (BIEMBEGUT, 2000). Com est tividde, o professor esper oferecer o luno oportunidde de conviver com conteúdos vivos, práticos, úteis e com bstnte significdo. Este modo de pensr do professor vem o encontro do que D Ambrósio 3 chm de mtemátic viv. Aind, segundo D Ambrósio 4 o ciclo d quisição do conhecimento é deflgrdo prtir de ftos d relidde. Como já foi dito, credit-se que modelgem mtemátic é um dos cminhos pr que se poss ensinr o luno de um form mis trtiv, 3 D AMBRÓSIO, Ubirtn. D Teori à Prátic. Cmpins, Ppirus, 1996. 4 Idem,

20 propicindo um melhor proveitmento dos conceitos presentdos. Porém, lgums vezes, o professor corre o risco de executr, simplesmente, ção de ensinr e de prender sem explorr outrs possibiliddes oferecids pel modelgem. Isto contece, se o professor mntiver seu olhr exclusivmente n mtemátic e deixr de considerr outros spectos crcterizdos por ess metodologi; perderá oportunidde de usá-l como ponte entre os níveis d observção e ds proposições teórics; deixrá de explorá-l (CHRISTOFOLETTI, 2000), qunto os seus spectos inerentes, tis como: psicológico que possibilit visulizção e compreensão de um fenômeno; comunictivo que propici troc de idéis e concepções; promissor que possui um sentido gerdor e fértil pr se estbelecer novos enuncidos e percepção de novs relções; lógico que jud explicr como contece e se encdei o fenômeno; normtivo - que permite comprr ctegoris de fenômenos; dequtivo que oportuniz verificção, vlidção, e refutção de leis e teoris, clssificndo-s como proprids ou não; previsível que fornece previsões específics pr tomd de decisão. Segundo Bssnezi 5, [ ] modelgem consiste n rte de trnsformr situções d relidde em problems mtemáticos cujs soluções devem ser interpretds n lingugem do mundo rel [ ]. Aind, conforme este utor, est pode ser tomd tnto como um método científico de pesquis como um estrtégi de ensino-prendizgem. Bssnezi 6 tmbém firm que trblhr com modelgem mtemátic no ensino não é pens um questão de mplir o conhecimento mtemático, ms, sobretudo, de se estruturr um mneir de pensr e gir. Sob o ponto de vist de Bssnezi 1 modelgem: Estimul novs idéis e técnics experimentis; Pode dr informções em diferentes spectos dos inicilmente previstos; 5 BASSANEZI, Rodney. Ensino-prendizgem com Modelgem Mtemátic. São Pulo: Contexto, 2002. 6 Idem.

21 Pode ser um método pr se fzer interpolções, extrpolções e previsões; Pode sugerir prioriddes d plicção de recursos e pesquiss e eventuis tomds de decisão; Pode preencher lcuns onde existe flt de ddos experimentis; Pode servir de recurso pr melhor entendimento de relidde; Pode servir de lingugem universl pr compreensão e o entrosmento entre pesquisdores em diverss áres do conhecimento. Por su vez, Vygotsky 7, nos seus estudos sobre prendizgem, vlorizv relção homem-mbiente e tribuí um importânci muito grnde à presenç do professor, como impulsiondor do desenvolvimento psíquico d crinç. Neste sentido, utilizção de problems concretos, seguidos de su modelgem, vem de encontro ess teori: modelgem usd como um ferrment que tu mterilmente sobre o estímulo, modificndo-o; e, o professor, como gente moderdor, que proporcion o indivíduo s ferrments necessáris pr modificr o seu meio. Conforme Azevedo 8, que cit Hodson, os trblhos de pesquis em ensino mostrm que os estudntes prendem mis sobre ciênci e desenvolvem melhor seus conhecimentos conceituis qundo prticipm de investigções científics, semelhntes às feits nos lbortórios. Esss investigções, qundo proposts os lunos, tnto podem ser resolvids n forms de prátics como de problems de lápis e ppel. As recentes investigções precem mostrr que deixndo como tividdes seprds resolução de problems, teori e s uls prátics, os lunos cbm com um visão deformd do que é ciênci, já que n relidde do cientist esss forms de trblho precem muito relcionds ums com s outrs, formndo um todo coerente e independente. 7 VYGOSTKY, L.S. Pensmento e Lingugem. São Pulo: Mrtins Fontes, 1989. 8 AZEVEDO, Mri Cristin Stell. Ensino por investigção: Problemtizndo s tividdes em sl de ul Ensino de Ciêncis: unindo pesquis à prátic. São Pulo, Thonson, 2004.

22 Dinte dests firmções, consider-se que plicção d modelgem em sl de ul exige interção constnte entre os sujeitos envolvidos no processo de prendizgem. Além disso, est prátic pressupõe ções, conscientizções e trnsformções. Sendo ssim, ponder-se ser oportuno e dequdo inserir esse tipo de tividde prático-investigtiv no âmbito do ensino de mtemátic. 1.3 A PLANILHA ELETRÔNICA Conforme consttdo, qundo d plicção deste trblho durnte estágio, um exigênci do PPGEM, foi notório o entusismo dos lunos dinte d possibilidde do uso do computdor num ul de mtemátic. Embor fmilirizdos com o processdor de texto e utilizção do computdor (gerlmente em sus residêncis) com outros fins, os lunos mnifestrm-se surpresos com s possibiliddes mtemátics d plnilh eletrônic. Est oferece recursos que permitem lterr os vlores dos prâmetros e resolver rpidmente o novo problem, sem que estes cálculos se tornem enfdonhos. Aind, durnte ul no lbortório, tornou-se evidente que ção de inserir os ddos do problem fez com que os lunos refletissem sobre notção e conceitos mtemáticos envolvidos. Principlmente, est prendizgem foi vivencid, no que se refere à notção forml dos elementos de um mtriz, trvés de subíndices que indicm linh e colun do elemento. O uso do recurso tenttiv erro-vlidção no procedimento deu origem mnifestções espontânes sobre prendizgem, por prte dos lunos (vej Anexo B). Lmentvelmente, à époc, pôde-se comprovr que, pesr do vnço d tecnologi e inserção de lbortórios em muits escols, estes recursos não estão disponíveis os lunos e às disciplins, em gerl. E, que est nov metodologi educcionl se encontr limitd, muits vezes, o ensino pr turms especiis.

23 2 OS CIRCUITOS ELÉTRICOS A nálise de fenômenos, produzidos por crgs elétrics em movimento, dá início o estudo d corrente elétric e dos circuitos elétricos. A expressão corrente elétric está relciond um ntig concepção: de que eletricidde (GASPAR, 2000) seri um fluido e, como tl, poderi ser cnlizdo por condutores (encnmentos hipotéticos desse fluido elétrico). N verdde, embor ess nlogi ind sej usd, esses fenômenos têm crcterístics bstnte diferentes. A corrente elétric tem como elemento básico os portdores de crgs elétrics livres: elétrons nos sólidos; e, elétrons ou íons, positivos ou negtivos, nos líquidos e gses. No mundo moderno, energi elétric tem um ppel fundmentl. A corrente elétric está presente nos sistems urbnos de iluminção, n indústri, nos prelhos de comunicção, nos veículos de trnsporte e nos eletrodomésticos em gerl. 2.1 A CORRENTE ELÉTRICA A corrente elétric é definid como sendo o movimento ordendo de portdores de crg elétric (BISCOULA, 2001) cusdo por um diferenç de potencil elétrico (ddp), ou sej, por um tensão elétric. Pr que corrente elétric circule de modo preciável, trvés de um mteril, este precis ser um condutor elétrico. Existem três tipos de condutores: os metis, em que os portdores móveis de crg elétric são elétrons livres; s soluções eletrolítics, em que os portdores móveis são íons positivos e negtivos; os gses ionizdos, em que os portdores móveis podem ser íons positivos, íons negtivos e elétrons livres.

24 2.1.1 A Intensidde d Corrente Elétric A figur (1) represent um corrente de crgs elétrics que se movem pr direit, o longo de um região cilíndric (condutor cilíndrico). Figur 1: Corrente elétric em condutor cilíndrico. A intensidde médi d corrente elétric é definid por i m = Δ q Δ t sendo q o módulo d crg elétric (dd em coulombs, C) que pss por um secção ret S, num intervlo de tempo Δt (ddo em segundos, s). A unidde de medid d corrente é o mpère. Tem-se que 1 A = 1C/1s (vej List de Símbolos)., 2.1.2 O Sentido Convencionl d Corrente O movimento de um crg elétric negtiv, movendo-se com um cert velocidde dirigid pr direit, é equivlente o movimento de um crg positiv, de mesmo vlor bsoluto, deslocndo-se com mesm velocidde, pr esquerd. Este fto deu origem um convenção (MÁXIMO, 2000) pr o estudo d corrente elétric: um crg negtiv em movimento será sempre imgind como um crg positiv movendo-se em sentido contrário. Dess convenção, pr um condutor metálico, decorre que, em um corrente elétric qulquer, s crgs negtivs em movimento deverão ser

substituíds por crgs positivs movendo-se em sentido contrário. Ess corrente (Figur 2) imginári, equivlente à corrente rel, é chmd corrente convencionl. 25 Figur 2: Corrente rel e convencionl 2.1.3 A Corrente Contínu e Corrente Alternd A motivção, pr o estudo de tópicos físico-mtemáticos que integrm este mteril didático, é feit prtir de medições experimentis com um protótipo. Este texto present, exclusivmente, os csos em que intensidde d corrente elétric é constnte. Est corrente é chmd de corrente contínu (CC). O gráfico de su intensidde em função do tempo, função constnte, está indicdo (Figur 3) bixo. Porém, há csos em que intensidde d corrente não é constnte. Por exemplo, corrente elétric envid pels usins às indústris e às residêncis vri em intensidde e sentido (Figur 3). E, dentro do fio condutor, os elétrons executm um movimento de vi-e-vem. Ess corrente é chmd de corrente lternd (CA), e é representd por funções senoidis.

26 Figur 3: Corrente contínu e lternd Neste momento, cbe questão: ddo que corrente n sl de ul é lternd, como, utilizndo o protótipo, é medid corrente contínu? A respost é: bst que sej usdo um trnsformdor com entrd CA e síd CC. 2.1.4 Os Efeitos d Corrente Elétric A pssgem d corrente elétric, trvés de condutores, produz diferentes efeitos que dependem d nturez do condutor e d intensidde d corrente (BISCOULA, 2001). Os principis são: ) o efeito fisiológico é o efeito que corresponde à pssgem d corrente elétric por orgnismos vivos e ge diretmente no sistem nervoso, provocndo contrções musculres; é o que comumente chmmos de choque elétrico. O vlor mínimo de intensidde de corrente que se percebe pel sensção de formigmento é de 1 ma. b) o efeito térmico tmbém conhecido como efeito Joule é produzido pelo choque dos condutores de crg elétric contr os átomos dos condutores. Ao receberem energi, os átomos vibrm com mis intensidde, umentndo tempertur do condutor. Este é o efeito que produz energi térmic nos condutores e pode ser verificdo nos quecedores em gerl. c) o efeito químico é o que corresponde certs reções químics, qundo corrente elétric trvess s soluções eletrolítics; é mplmente plicdo em siderurgi, no recobrimento de metis.

27 d) o efeito mgnético conhecido como Lei de Ampère é o que produz um cmpo mgnético n região em torno do condutor, trvessdo pel corrente elétric; tem plicção nos motores. 2.1.5 A Energi e Potênci d Corrente Elétric O movimento de crgs elétrics (q dd em coulomb, C), entre dois pontos A e B de um circuito elétrico, só é possível se for mntid um diferenç de potencil U (V A V B ) entre esses pontos. Diz-se (AMALDI, 1992), então, que ddp U (dd em Volt, V) é cus d pssgem d corrente elétric. A energi elétric consumid é diferenç entre s energis potencil elétric nos pontos, dd por τ AB = E A E B, onde energi é dd por E A = Δq V A e E B = Δq V B. Tem-se, τ AB = Δq V A - Δq V B ou τ AB = Δq (V A - V B ). Assim, τ AB = Δq U. A unidde de medid d energi é o Joule e 1 J = 1 C.1 V (vej List de Símbolos). A potênci elétric consumid é dd pel rzão entre energi consumid e o tempo de consumo P = τ Δ t ou P = ΔqU Δt. Como Δ q Δt = i, pode-se escrever que P = U i. A unidde de medid d potênci é o wtt, com: 1 w = 1 V.1 A (vej List de Símbolos).

28 2.2 OS ELEMENTOS DO CIRCUITO ELÉTRICO De um modo gerl (RAMALHO JUNIOR, 1991), o circuito elétrico é um conjunto de cminhos que permite pssgem d corrente elétric. Pr existênci d corrente elétric são necessários: um fonte de energi, condutores em circuito fechdo e um elemento pr usr energi d fonte. Alguns elementos que compõem um circuito elétrico são descritos seguir: ) Gerdor elétrico é o dispositivo cpz de trnsformr em energi elétric outr modlidde de energi. O gerdor não ger ou cri crgs elétrics. A su função é fornecer energi às crgs elétrics que o trvessm. Os gerdores (Figur 4) mis comuns são os químicos e os mecânicos. b) Receptor elétrico é o dispositivo que trnsform energi elétric em outr modlidde de energi não, exclusivmente, térmic. O principl receptor (Figur 4) é o motor elétrico que trnsform energi elétric em energi mecânic, lém de dissipr um prcel de energi sob form de clor. c) Resistor elétrico é o dispositivo (Figur 4) destindo, em gerl, limitr intensidde d corrente elétric nos circuitos. Os resistores tmbém podem ser usdos como conversores de energi elétric em energi térmic, qundo forem concebidos pr tl finlidde. Este é o cso de ferros elétricos, chuveiros elétricos, etc. d) Dispositivos de mnobr são elementos (Figur 4) que servem pr cionr ou desligr um circuito elétrico, tis como s chves e os interruptores. e) Dispositivos de segurnç são dispositivos (Figur 4) que protegem os demis elementos do circuito, interrompendo pssgem d corrente elétric o serem trvessdos por um corrente de intensidde mior que previst. Os mis comuns são os fusíveis e os disjuntores. f) Dispositivos de controle são dispositivos usdos nos circuitos elétricos pr medir s váris grndezs elétrics ou pr, simplesmente, detectá-ls. Os mis usdos são o Amperímetro: prelho (Figur 4) que serve pr medir intensidde d corrente elétric; o Voltímetro: prelho (Figur 4) que serve pr medir

29 diferenç de potencil entre dois pontos do circuito elétrico; e, o Multímetro: prelho que pode ser usdo tnto com mperímetro ou como voltímetro. Gerdor elétrico Receptor elétrico Dispositivo de mnobr Amperímetro Voltímetro Figur 4: Elementos do circuito elétrico 2.3 A LEI DE OHM 2.3.1 Os Resistores e Lei de Ohm O físico lemão George Simon Ohm verificou experimentlmente (1827) que, um tempertur constnte, o quociente entre ddp plicd U e intensidde de corrente elétric i permnece constnte. Figur 5: Resistor elétrico U 1 = 21 i1 i21 U U = i3 3 =... = R A medid R, ssim obtid, é chmd de resistênci elétric e mede oposição do condutor à pssgem d corrente elétric. A rzão

30 R = i U ou U = R i é conhecid como Lei de Ohm: o quociente entre ddp U nos terminis de um resistor e intensidde de corrente elétric i que o trvess é constnte. Ou sej, resistênci de um condutor é constnte. A unidde de medid d resistênci elétric é o ohm e 1 Ω = V / A (vej List de Símbolos). Ao trnsformr energi elétric, exclusivmente, em energi térmic, o resistor (Figur 5) dissip energi elétric que recebe do circuito. Assim, potênci elétric consumid por um resistor é energi dissipd. Como potênci elétric P é dd por P = i U, d Lei de Ohm, tem-se que potênci elétric dissipd no resistor é P = R i 2. E, energi elétric consumid pelo resistor é dd por τ = R i 2 Δt, conhecid como Lei de Joule: A energi elétric dissipd em um resistor, num ddo intervlo de tempo, é diretmente proporcionl o qudrdo d intensidde de corrente que o percorre. A unidde de medid do consumo elétrico é o Joule e 1 J = 1 w.1s (vej List de Símbolos). N prátic, por exemplo, ns conts de luz, us-se como unidde de consumo elétrico o Kwh. 2.3.2 A Resistividde elétric: um propriedde do mteril A resistênci de um resistor depende do mteril que o constitui, de sus dimensões e de su tempertur. Considere-se um resistor (Figur 6) de comprimento l e secção trnsversl de áre S. Figur 6: Resistor de fio

31 Dos resultdos d experimentção com condutores metálicos de diverss forms e constituídos dos mis diversos mteriis, infere-se que à tempertur constnte, resistênci elétric do resistor é diretmente proporcionl o seu comprimento l e inversmente proporcionl à áre de su secção trnsversl S. Ou sej, l R = ρ, S onde o coeficiente de proporcionlidde, denotdo por ρ, é resistividde elétric, um grndez crcterístic do mteril que constitui o resistor. 2.3.3 Associção de Resistores Os circuitos elétricos podem ser compostos por mis de um resistor. Isto contece, qundo se fz necessário umentr ou diminuir resistênci do circuito elétrico. Os resistores componentes do circuito podem ser ssocidos de dus mneirs distints: em série ou em prlelo, ou num combinção de mbs. O resistor que produz o mesmo efeito dos resistores ssocidos, ou sej, que submetido à mesm tensão (ddp) deix pssr mesm intensidde de corrente elétric é chmdo de resistor equivlente, denotdo por R e. 2.3.3.1 Associção em Série Os resistores estão ssocidos em série (Figur 7), qundo formm um único cminho pr pssgem d corrente elétric. Figur 7: Associção em série Crcterístics d ssocição em série:

32 intensidde d corrente elétric i é mesm em todos os resistores, pois eles estão ligdos em seqüênci. Assim, i = i 1 = i 2 = i 3 ddp n ssocição, U, é igul à som ds ddp em cd resistor, isto é, U = U 1 + U 2 + U 3. Aplicndo-se Lei de Ohm n últim equção, determin-se resistênci do resistor equivlente d ssocição. Mis especificmente, como U = R i, então R e i = R 1 i + R 2 i + R 3 i = i ( R 1 +R 2 +R 3 ). E, result que R e = R 1 + R 2 + R 3. Portnto, resistênci do resistor equivlente d ssocição em série é igul à som ds resistêncis dos resistores ssocidos. 2.3.3.2 Associção em Prlelo Os resistores estão ssocidos em prlelo (Figur 8), qundo estão ligdos pelos seus terminis, ficndo submetidos um mesm diferenç de potencil e oferecendo cminhos seprdos pr corrente elétric. Figur 8: Associção em prlelo Crcterístics d ssocição em prlelo: ddp U é mesm em todos os resistores, pois eles estão ligdos os mesmos pontos. Assim, U = U 1 = U 2 = U 3.

33 A corrente elétric i d ssocição é igul à som ds correntes elétrics que trvessm os resistores, ou sej, i = i 1 + i 2 + i 3. Aplicndo-se lei de Ohm n expressão nterior, pode-se determinr resistênci do resistor equivlente d ssocição. Deste modo, sendo i = R U, tem-se, ou U U U U 1 = + + = U ( R e R1 R2 R3 R + 1 1 R + 1 2 R ) 3 1 1 = R + 1 1 R + 1 2 R. 3 R e Portnto, o inverso d resistênci do resistor equivlente d ssocição em prlelo é igul à som dos inversos ds resistêncis dos resistores ssocidos. 2.4 OS GERADORES Em um circuito elétrico (JOHNSON, 1968), deve existir um dispositivo externo responsável pelo movimento dos portdores de crg elétric. Este gente externo é o gerdor (Figur 9), um dispositivo que reliz um forç eletrostátic sobre os portdores de crg elétric, repondo energi consumid pelos portdores de crg em outrs prtes do circuito. Figur 9: Gerdor elétrico Forç eletromotriz (ε) é rzão entre o trblho de um forç não eletrostátic (ddo em Joule, J) relizdo pelo gerdor e crg deslocd entre os terminis do gerdor (dd em coulomb, C), isto é,

34 ε = Δτ. Δq Resistênci intern (r) é resistênci (dd em ohm, Ω) oferecid à pssgem d corrente elétric dentro do gerdor. A diferenç de potencil, que o gerdor plic o circuito elétrico, é dd pel diferenç entre forç eletromotriz produzid e ddp consumid internmente pelo mesmo. Assim, ddp resultnte, conhecid como equção do gerdor, é U = ε - ri. Cbe ressltr, que forç eletromotriz (fem) não é um forç. É o trblho de um forç não eletrostátic por unidde de crg trnsportd entre os terminis do gerdor. 2.4.1 A Potênci e o Rendimento do Gerdor Pr complementr o estudo do gerdor, será estbelecido, seguir, o conceito e crcterizção de cd potênci envolvid. Potênci totl fornecid pelo gerdor: P t = εi. Potênci útil, potênci fornecid pelo gerdor o circuito elétrico: P u = U i. Potênci dissipd sob form de clor no interior do gerdor: P d = r i 2. O rendimento do gerdor é ddo pel relção entre potênci elétric útil, P u fornecid o circuito externo, e potênci elétric totl gerd: η =. P t 2.5 OS RECEPTORES Os receptores são dispositivos que fzem o ppel oposto o do gerdor (MÁXIMO, 2000), ou sej, trnsformm energi elétric recebid por unidde de crg em outrs forms de energi. Por exemplo, os motores dos ventildores. No receptor (Figur 10), forç eletromotriz tu no sentido oposto o d corrente elétric. As crgs elétrics relizm trblho sobre o prelho.

35 Figur 10: Receptor elétrico Ao se estbelecer um ddp U nos terminis de um receptor, um prte d energi elétric recebid é trnsformd em outr modlidde. Ess prte útil é chmd de forç contr-eletromotriz (ε ). A prte restnte é trnsformd em clor, porque o receptor oferece um resistênci, chmd resistênci intern (r ), à pssgem d corrente. A ddp que o receptor recebe do circuito elétrico é dd pel som d forç contr-eletromotriz com ddp consumid internmente. Assim, ddp recebid, representd pel equção do receptor, é dd por U = ε + r i. 2.5.1 A Potênci e o Rendimento do Receptor Pr complementr o estudo do receptor, será estbelecido, seguir, o conceito e crcterizção de cd potênci envolvid. Potênci totl recebid pelo receptor: P t = U i. Potênci útil, potênci bsorvid pelo receptor: P u = ε i. Potênci dissipd é convertid em clor no interior do receptor: P d = r i 2. O rendimento do receptor é ddo pel relção entre potênci elétric útil e potênci elétric totl fornecids: η = P u. P t 2.6 OS CIRCUITOS ELÉTRICOS O cminho fechdo, percorrido por portdores de crg, possui gerdores, receptores e resistores ligdos entre si. Este conjunto cminho-elemento constitui um circuito elétrico e possibilit pssgem d corrente elétric. Os circuitos são clssificdos conforme os elementos que os compõem e o tipo de ligção entre os mesmos.

36 2.6.1 Os Circuitos Elétricos de Corrente Contínu e Mtemátic Um circuito elétrico (Figur 11), onde todos os elementos estão em série, consiste em circuito de cminho único (MACDONALD, 1971). Aqui, é importnte lembrr que os gerdores fornecem energi às crgs, elevndo o potencil; e, os receptores e resistores retirm energi ds crgs, diminuindo o potencil. Figur 11: Circuito elétrico em série Qundo se nlis um trecho desse circuito, no sentido d corrente, devem ser dicionds lgebricmente tods s vrições de potencil que ocorrem em seus elementos. Este fenômeno é equciondo trvés de V A + ε - r i - R i - ε - r i = V B. Então, diferenç de potencil, ns extremiddes, é V B V A = ε - ε - i ( R + r + r ). E, dinte d existênci de vários gerdores, receptores e resistores, tem-se form gerl V B V A = Σε - Σε - Σ( R + r + r ) i. Est equção express um importnte lei d físic que é Lei d Conservção de Energi. 2.6.2 Um Circuito Completo Se os pontos B e A do circuito nterior forem ligdos por um fio condutor metálico de resistênci desprezível, corrente elétric percorre um cminho fechdo de A pr B. Como não existe perd de energi entre os pontos B e A, V A = V B. Em conseqüênci, V B V A = 0. Deste modo, decorre que 0 = Σε - Σε - Σ( R + r + r ) i. Est equção liner permite o estudo de circuitos elétricos de pens um cminho pr o percurso d corrente elétric: os circuitos elétricos simples.

37 Como exemplo, será determind intensidde d corrente elétric totl no circuito (Figur 12) completo. Neste, percebe-se dois possíveis gerdores. Entretnto, pens um deles funcionrá como gerdor (60 V), segundo form de ligção, ficndo o outro como receptor (20 V). O sentido d corrente elétric será do gerdor pr o receptor, portnto no sentido horário. Figur 12: Circuito completo ε = 60 V, ε = 20 V, R 1 = 8 Ω, R 2 = 7 Ω, r = 3 Ω e r = 2 Ω Por se trtr de um circuito de cminho único, é válid relção 0 = Σε - Σε - Σ (R + r + r ) i. Com o somtório dos elementos (fem, fcem e resistênci), isto é, Σε = 60 V, Σε = 20 V e Σ(R + r + r ) = 20 Ω, ou sej, 0 = 60 20 20 i, result que intensidde d corrente elétric i = 2 A. Se existirem rmificções, prtes do circuito ligdos em prlelo, dus lterntivs são possíveis. Um dels é substituir s rmificções por trechos equivlentes, o que simplific o circuito e equção de circuito completo, cim, é plicável. Se est simplificção não for possível, o que contece qundo se tem um circuito multimlhs, devem ser usds equções específics, conhecids como s Leis de Kirchhoff.

38 2.6.3 As Leis de Kirchhoff Os circuitos elétricos, que não podem ser reduzidos um circuito de cminho único (GONÇALVES FILHO, 2007), são chmdos de circuitos multimlhs (Figur 13). Aqui, s Leis de Kirchhoff são utilizds pr determinr intensidde d corrente em cd prte do circuito. A seguir, serão crcterizds s componentes de um circuito multimlhs: nó, ponto comum três ou mis condutores, por exemplo, o ponto B; rmo, trecho entre dois nós; cminho EFAB; mlh, conjunto de rmos, ABEFA, formndo um circuito fechdo. Figur 13: Rede elétric A Primeir Lei de Kirchhoff A Lei dos Nós: A som ds intensiddes ds correntes elétrics que chegm um nó é igul à som ds intensiddes ds correntes que deixm o nó. Est lei é um conseqüênci imedit do Princípio d Conservção d Crg. Figur 14: Representção d Lei dos Nós A Segund Lei de Kirchhoff - Lei ds Mlhs: Percorrendo um mlh, num mesmo sentido, é nul som lgébric ds tensões encontrds em cd elemento do circuito. Est lei é um conseqüênci imedit do Princípio d Conservção d Energi.

39 Pr s vrições de potencil são dotds s mesms regrs dos circuitos de cminho único. No cso dos resistores, qundo se percorre mlh no sentido d corrente, ddp é negtiv (- R i) e, no sentido contrário o d corrente, ddp é positiv (+ R i). No cso de gerdores e receptores, o sinl d fem ou o d fcem, será o do pólo de síd, de cordo com o sentido escolhido. Ao se usr s leis de Kirchhoff, pr resolver circuitos elétricos, obtém-se um sistem de equções lineres. Como exemplo, serão determinds s intensiddes d corrente elétric em cd um dos rmos do circuito representdo n Figur 15. Considere-se o nó A, representdo n figur 14, cim, onde, conforme Lei dos Nós, i 1 + i 2 = i 3. Assim, tem-se primeir equção do sistem i 1 + i 2 - i 3 = 0. (1) Figur 15: Circuito de dus mlhs com especificção dos vlores D mlh I, no sentido horário, e d mlh II, no sentido nti-horário, com Lei Mlhs, tem-se - 1 i 1 + 2-1 i 1-2 i 3-4 = 0 e -1 i 2 + 4-1 i 2-2 i 3-4 = 0. Agrupndo-se os termos semelhntes, decorrem s equções (2) e (3) do sistem i 1 + i 3 = - 1 (2) e -i 2 - i 3 = 0 (3).

40 Deste modo, result o sistem 3x3 de equções lineres Este é um sistem possível e determindo. Portnto, tem solução únic que pode ser clculd com o uso d regr de Crmer ou do método lgébrico d substituição ou, ind, com métodos mtriciis. As operções nos levm os seguintes vlores i 1 = - 2/3 A i 2 = 1/3 A i 3 = - 1/3 A É importnte observr que s correntes elétrics i 1 e i 3 possuem sentidos contrários os tribuídos inicilmente. De fto, solução do sistem é o terno ordendo s = (-2/3, 1/3, -1/3). A fundmentção teóric pr o cálculo d solução, objetivo mior deste trblho, será desenvolvid em um cpítulo específico.

41 3 SUGESTÕES PARA AULAS EXPERIMENTAIS Nest secção, são presentdos lguns exemplos que poderim guir o professor n utilizção do protótipo de circuito elétrico em sl de ul. N seqüênci, serão descritos cinco procedimentos práticos, sendo dois relciondos com circuitos em série e três com circuitos multimlhs. Como roteiro, em cd cso, será destcdo o mteril necessário, o tipo de ligção ser feit, equção mtemátic relciond e como relizr e fzer leitur dos ddos. O objetivo será determinr intensidde d corrente elétric idel e rel. Todos os resultdos devem ser confrontdos, fim de vlidr o modelo. Pr tnto, os spectos relevntes de cd experimento e os ddos são presentdos em form de tbels. Cbe slientr que est é pens um ilustrção. O professor poderá crescentr outros exemplos, pois que o protótipo de circuito elétrico (Figur 18) permite possibilidde de diferentes ligções dos bornes, gerndo um grnde vriedde de circuitos serem estuddos. Sugestão pr seqüênci ser seguid em todos os experimentos: Psso 1- Selecionr o mteril necessário; Psso 2- Conectr os elementos os bornes, conforme instruções; Psso 3- Ativr chve lig-deslig; Psso 4- Efetur s medições necessáris. O digrm de blocos, figur 16, mostr o processo simplificdo que foi seguido no desenvolvimento d prátic pedgógic, sendo est dividid em dus fses. Descrição: FASE I 1- Observr - Signific fzer tods s conexões pretendids, cionr chve lig-deslig e vlir se o equipmento está pronto pr ser usdo. 2- Enuncir o problem - Formulr de modo clro e preciso o que se pretende lcnçr com o experimento, ou sej, medir intensidde d corrente elétric. 3- Experimentr - Deixr o protótipo ligdo, efetur cd um ds medições com cuiddo e registrr os vlores obtidos ns leiturs.

42 4- Enuncir o modelo físico - Desenhr s componentes que constituem o modelo físico, selecionr, enuncir e plicr corretmente s leis d físic (Lei de Ohm e Lei de Kirchhoff). 5- Modelo mtemático - Extrir s equções lineres decorrentes dos itens nteriores. FASE II só poderá ser executd concomitntemente o cpítulo 4. 6- Resolver o modelo - Determinr solução d equção ou do sistem de equções lineres. 7- Interpretr solução - Testr e vlidr solução. 8- Predizer e comprr - Crir situções em sl de ul de modo ntever os resultdos e comprr com os obtidos. Figur 16: Digrm de blocos 3.1 O PROTÓTIPO DE CIRCUITO ELÉTRICO O protótipo de circuito elétrico é constituído por um mperímetro, bornes, resistores e fios condutores copldos em um plc de policrbonto. Nos experimentos, este é usdo com o objetivo de medir intensidde d corrente elétric que flui no circuito. O prelho é mostrdo ns figurs (17) (foto) e (18) (plnt bix), e tem su construção detlhd no nexo A.

43 Figur 17 Foto do protótipo A conexão entre os fios presos os bornes poderá ser estbelecid de váris mneirs. Algums dests possibiliddes são sugerids nos experimentos exemplificdos seguir, neste mesmo cpítulo. Como elementos opcionis que integrm o kit estão: um multímetro digitl, qutro resistores extrs, dois minúsculos motores, um led, seis pontes de curto circuito (fios condutores sem resistênci) e um chve lig-deslig (ver nexo A). Figur 18: Plnt do protótipo de circuito elétrico

44 3.2 CIRCUITOS SIMPLES Inicilmente, serão considerdos experimentos com circuitos simples, pelo fto de serem modeldos por pens um equção liner. O resultdo d medid d corrente elétric, em cd rmo do circuito, poderá ser visulizdo no mostrdor do Amperímetro (ou do Multímetro). 3.2.1 Circuito 1 do tipo Fonte e Resistor. O circuito consiste de um resistor de 100 Ω e de um fonte de 12 V ligdos em série, como mostr figur 19. O mteril necessário pr o experimento é exibido n tbel 1. Figur 19: Circuito do experimento 1 Tbel 1: Mteril necessário, experimento 1 Plc 1 unidde Fonte 1 unidde Chve lig-deslig 1 unidde Ponte de curto-circuito 1 unidde Multímetro 1 unidde Montgem do circuito 1 os elementos devem ser ligdos (Figur 20) conforme descrição seguir: Fonte O pino bnn preto deverá ser ligdo o borne 8 e o pino vermelho ligdo o borne 11.

45 Chve lig-deslig O pino bnn preto deverá ser ligdo o borne 21 e o pino vermelho ligdo o borne 2. Ponte de curto-circuito O pino bnn preto deverá ser ligdo o borne 14 e o pino vermelho ligdo o borne 22. Figur 20 Foto Experimento 1 Leiturs Após s ligções serem feits, us-se o multímetro pr leitur ds grndezs. Pr leitur d tensão, o multímetro deve estr ligdo em prlelo com fonte. Est é obtid com os terminis nos bornes 8 e 11. A leitur (Figur 21) foi de 10,38 V. Pr leitur d resistênci elétric, o multímetro deve estr ligdo em prlelo com o resistor. Est é obtid, com os terminis nos bornes 1 e 2. A leitur (Figur 21) foi de 102,9 Ω. Pr leitur d corrente elétric, o multímetro deve estr ligdo em série com o circuito. Est é obtid, usndo-o no lugr d ponte de curto-circuito, ou sej,