Física V Poi Egeharia Eétrica: 15ª Aua (7/1/14) Prof. Avaro Vaucci Na útima aua vimos: Partícua presa a um poço de potecia ifiito (1D) Equação de Schrödiger (U = ): d dx m E K ; K me ikx Soução:. A' e B' e part ivre ikx Apicado as codições de cotoro ( x ) ( xl) obtivemos: B' A' = h K (subst K) E ; 1,,3,... L 8mL Auto-Vaores de Eergia Fução de oda correspodete: (x) Asi x L (ormaizado) (x) si x ; L L 1,,3... (Auto-Fuções do poço ifiito) Equato que as distribuições de probabiidades de se ecotrar a partícua em uma posição x (quado o sistema ecotra-se em um determiado estado quâtico) são dadas por: (x) si x L L
Vejamos agora o probema do poço de potecia fiito U, de argura L, sedo E ( E U) a eergia tota da partícua. Resover este probema (como todos os outros) sigifica ecotrar as auto-fuções e os respectivos autovaores de eergia E quâticos permitidos para a partícua. correspodetes aos vários estados Em particuar, a região temos que U e, portato, a soução da equação de Schrödiger será a mesma já obtida a situação aterior do poço de potecia ifiito: Ae A e ikx 1 ikx Porém, as regiões e, peo fato do potecia ser U U, a equação de Schrödiger agora tora-se: d U E m dx costate De ode vemos ovamete que a fução que satisfaz esta equação diferecia deve ser ta que, em derivado-a duas vezes, temos como resutado ea mesma! Cosiderado etão uma fução expoecia do tipo: Kx d Kx d Kx ' " e Ke K e dx dx Substituido e " a equação de oda acima: Note: as codições de cotoro de ates ão mais servem para este caso Kx K e U m E e Kx K m U E Ou seja, obtivemos a soução particuar: ( x) e, sedo a costate K dada acima (Note que se U < E, o expoete tora-se compexo!) Porém, da mesma forma, observa-se que ( x) e também é uma soução (particuar). De forma que a soução gera será a combiação iear destas souções particuares: Kx Kx
( x) B e e kx B kx 1 e ( ) 1 kx C kx x C e e ; sedo que K váido tato para as regiões () e () m U E Verifiquemos agora quais são as codições que a fução de oda do sistema deve satisfazer, ou seja, vamos idetificar as codições de cotoro do probema. Se a partícua ecotra-se circuscrita ao poço de potecia, certamete a probabiidade dea ser ecotrada em regiões muito afastadas deve ser ua, ou seja: apicado a equação acima C1 e, portato, Ce (i) x (x positivos e, portato, decaimeto expoecia) apicado a equação acima B e, portato, B1 e (ii) x (x egativos e, portato, ovamete decaimeto expoecia) Note que sobraram aida quatro costates para serem determiadas. Três deas são obtidas impodo a cotiuidade das fuções de oda e suas derivadas: x x e x L x L x x e ' x L ' x L ' ' A útima costate será fiamete determiada impodo a ormaização da fução de oda. A soução fia, após todos os cácuos serem reaizados, são mostrados a figura abaixo. kx kx Note, da figura (b), que há uma probabiidade diferete de zero da partícua ser ecotrada fora do poço! Observe que há também posições x, o iterior do poço, as quais a partícua uca será ecotrada!
Este resutado também coduz ao caso muito especia de uma partícua atigido uma barreira de potecia de atura fiita U e argura L, sedo a eergia da partícua E U. Do poto de vista cássico, a partícua sempre será refetida ao atigir a posição x ; mas resovedo o probema quaticamete, obtedo as souções correspodetes da Equação de Schrödiger (de maeira semehate ao que fizemos ateriormete), observa-se que haverá uma probabiidade diferete de zero da partícua ser detectada em posições x L! Esta "probabiidade de tueameto" deve ser ta que a soma dos coeficietes de trasmissão (probabiidade de atravessar) e refexão (probabiidade de ão atravessar) tem que ser igua a um: T R 1 Uma expressão aproximada para T, bastate úti, é: CL T ~ e ; C m( U E) Vamos agora resover o átomo de hidrogêio correspodete ao poço de potecia atrativo represetado por Ke U r, sedo que r correspode à distâcia próto-próto e 1 K. 4 Este poço de potecia atrativo é mostrado a figura ao ado e o probema deve ser resovido em 3D, utiizado-se as coordeadas esféricas (devido à geometria do probema). Desta forma, a equação de Schrödiger correspodete será: Ke E m r, Ode devemos utiizar o operador apaciao em coordeadas esféricas: 1 1 1 r si r r r r si r si Esta equação diferecia pode ser resovida apicado o Método de Separação de Variáveis, que assume ser possíve fazer: r,, R( r) ( ) ( )
Este processo resuta em três equações difereciais distitas (uma para cada coordeada) de forma que as souções (para cada uma deas) correspoderão a: R ( r) e G, G Poiômios de Laguerre m Zr a m ( ) se F s Zr Zr a a m co, F m Poiômios de Legedre im ( ) e apeas, devido à simetria do probema Nestas equações, a,53å Raio cássico de Bohr mke ( estado fudameta ), e m correspodem aos úmeros quâticos pricipa azimuta (ou orbita) e magético, respectivamete, de forma que os vaores que ees podem assumir são: 1,,3,...,1,,3,..., 1 m, 1,,...,,1,,...,, 1, associado ao mometo de dipoo magético do eétro em órbita ao redor do próto Note que pode ter vaores possíveis, equato que o vaores permitidos. m pode assumir 1 Resovedo o probema, obtém-se que as eergias dos estados permitidos do hidrogêio são dados por: E Ke a 1 13,6 ( ev ) cocorda com a equação obtida por Bohr! Por razões históricas, os estados quâticos represetados por formam uma camada eetrôica ao redor do úceo, idetificada peas etras maiúscuas K 1, L, M m 1,... Equato que as subcamadas, represetadas por vaores específicos de são desigadas por etras miúscuas (veja ao ado). Por exempo, o estado quâtico 3s correspode a 3, 1. O estado quâtico s correspode a, e o estado d ão pode existir, já que o maior vaor possíve de é 1 1!
Exempo: detifique os estados possíveis do hidrogêio correspodetes a, e cacue as eergias destes estados. Resoução: m m 1 1 m m 1 e como a eergia: E 13,6 ( ev ) só depede de todos estes estados têm E 3,4 ev Apêdice: Osciador Harmôico Simpes Outro sistema muito iteressate trata-se do Osciador Harmôico Simpes: sedo que: F Kx e U Kx m x 1/ 1/ ; com Km. Cassicamete, desocado-se e sotado a partícua presa à moa, ea oscia etre x A e x A, com E K U KA m A 1/ 1/. Também, quaquer vaor de E é permitido e pode-se icusive ter E (repouso) em x. Abordagem quâtica: Equação de Schrödiger: d 1 d me m x m x E m dx dx Só apresetado, as autofuções serão: m x C H xe m x bastate compicada de ser resovida! C Costates de Normaização ( x ) dx 1, p/ cada estado H H 1 H1 x m x Poiômios de 4 ;,1,... Hermite : H x... Agus vaores:
1 Equato que os auto-vaores de eergia são: E ;,1,,3... 1 3 Note que, para íve mais baixo de eergia: E ; E1 ;... eergia do poto zero Diagrama dos íveis de eergia de um osciador harmôico simpes. Observe que os íveis estão iguamete espaçados, com uma separação igua a. A eergia do poto zero é. A figura abaixo mostra o para os três primeiros estados do osciador harmôico simpes juto com a previsão cássica. Observe que, coforme o vaor de aumeta, maior é a cocordâcia etre as duas previsões (Pricípio da Correspodêcia):
Exercício: Mostre que a fução de oda correspodete ao estado fudameta do Osciador Harmôico Simpes (o estado U Kx m x 1/ 1/. Resoução: ) é Be m x ; embrado que Para mostrar isso, precisamos mostrar que essa fução satisfaz a equação de Schrödiger com U 1/ Kx (sabedo que a eergia do poto zero deve ser E ): Derivado a fução: d m dx 1 K x E. m Be x m x x m m x m Be Bxe x m x x Substituido: m m x Be m m x 1 K x E Be m x m 1 iguaado os coeficietes do poiômio x K x E correspodetes aos mesmos expoetes de x E k m k / m