MAT-2453 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - BCC Prof. Juan Carlos Gutiérrez Fernández Lista 3: Introdução à Derivada, Limites e continuidade. Ano 207. Determine a função derivada e seu domínio para a função f() =. 2. Determine equações de todas as tangentes à curva y = que tenham coeficiente angular. 3. Qual é a taa de variação da área de um círculo em relação ao raio quando este é r = 3? 4. Determine o coeficiente angular da reta tangente, ao gráfico de cada função no ponto dado, e encontre uma equação para esta reta. f() = 3 + 4 no ponto (, 7); (b) f() = 3 2 no ponto ( 2, 0); (c) f() = 3 no ponto (, 3). 2 2 5. O deslocamento em metros de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela equação s(t) = t 2 8t + 8, em que t é medido em segundos. (i) Encontre as velocidades médias sobre os seguintes intervalos de tempo: [3, 4], [3,5; 4], [4, 5] e [4; 4,5]. (ii) Encontre a velocidade instantânea quando t = 4. 6. Se f() = 3 2 5, encontre a derivada de f em 2 e use-o para encontrar uma equação da reta tangente à parábola y = 3 2 5 no ponto (2, 2). 7. Encontre todos os pontos ( 0, y 0 ) da curva y = 3, tais que a reta tangente a essa curva no ponto ( 0, y 0 ): (i) Seja horizontal. (ii) Seja perpendicular à reta + 2y = 3. (iii) Passe pelo ponto (0, 6). 8. Encontre todas as retas tangentes à curva y = 4 4 8 2 + 6 + 7 que são paralelas à reta 6 y + 5 = 0. 9. O lucro trimestral (em milhares de reais) da Nature é dado por P () = 3 2 + 7 + 30 (0 50) onde (em milhares de reais) é a quantidade de dinheiro que a Nature gasta em publicidade por trimestre. (i) Calcule P (). (ii) Qual é a taa de variação do lucro trimestral da Nature se a quantia que ela gasta em publicidade é de 0000 reais por trimestre ( = 0)? (iii) Qual é a taa de variação do lucro trimestral da Nature se a quantia que ela gasta em publicidade é de 30000 reais por trimestre ( = 30)? (iv) Eplique o significado dos valores encontrados.
2 Definição de ite de uma função. Seja f() definida num intervalo aberto em torno de a, ecepto talvez em a. Dizemos que o ite de f(), quando se aproima de a, é o número L e escrevemos f() = L se para cada ɛ > 0 eistir um número correspondente δ > 0, tal que para todos os valores, 0 < a < δ = f() L < ɛ. 0. Determine um valor δ > 0 tal que para todos os valores de, 0 < 5 < δ, temos que < < 7.. Determine um valor δ > 0 tal que para todos os valores de, 0 < /2 < δ, temos que 4/9 < < 4/7. 2. Seja a função f() = +. Temos que 4 f() = 5. Dado ɛ > 0 determinar um δ > 0 tal que se 0 < 4 < δ então f() 5 < ɛ. 3. Determinar L, o ite da função f() = + quando tende para 0. Para ɛ = 0, determinar um valor δ > 0 tal que se 0 < < δ então f() L < ɛ. 4. Temos que + 42 + + = 2. Para ɛ = 0, determinar um valor N tal que se > N, então 42 + 2 < ɛ. + 5. Determinar 42 + +. 6. Use a tabela de valores com uma calculadora para estimar o valor do ite: 9 5. 7. Esboce o gráfico da função f e calcule f(), se o ite eistir, para os valores dados de a. se < (i) f() = 0 se = (a = ) + 2 se > 2 + 4 se < (ii) f() = 4 se = (a = ) 2 + se >
3 8. Calcule os ites indicados, caso eistam: (c) (e) 2 3 3 (b) 2 + 7 2 (d) 2 + 3 3 8 2 2 3 + 2 (f) 2 3 5 + 2 2 2 3 3 + 2 2 4 4 3 2 + (g) (h) 5 2 4 + 3 + 2 + + 4 + 3 (i) (j) + 4 2 2 4 4 + (k) 4 6 2 +3 4 + (l) 3 ( ) (m) 9 6 (n) 3 + ( 2 + 3 2 + 5). 9. A resolução abaio está incorreta. Assinale o erro e calcule corretamente o ite: ( 2 + ) = ( 2 + ) ) ( = + ) = ( 0) = 0. }{{} } {{ } 20. Seja f : R R. Assumindo que 2 f() 2 f() =, calcule 2. = 0, calcule f(). f() (c) Assumindo que =, calcule 2 + f(). (b) Assumindo que f() 2. Sabendo-se que f() = 3 e g() = 4, calcule: 2f() g() (2f() 3g()) (b). f()g() 22. Calcule o ite unilateral indicado, quando eistir. (c) (e) +(2 + 4) (b) 5 + 2 3 (d) 2 + 2 + + 3 2 9 (f) 3 + 2 + 3 + + 3. 23. A temperatura de um paciente após tomar um remédio para a diminuição da temperatura é F (t) = 98 + 3 t +, onde F é a temperatura (em graus Fahrenheit) e t é o tempo (em horas) desde que o remédio é administrado. Provar que o ite de F (t) quando t tende para 4 é 98, 6. Eplique o significado deste ite.
4 24. Seja f() = 2. Determine os ites laterais de f() no ponto. Eiste o ite de f() quando tende para? 25. Encontre as assíntotas horizontais e verticais: y = + 4, 3 (b) y = 2 + 3 0, (c) y = 4 4 +. 26. Se 2 g() 4 2 + 2, para todo, avalie g(). 27. Um tanque contém 5.000 litros de água pura. A salmuera contendo 30g de sal por litro é bombeada para dentro do tanque a uma taa de 25 L/min. Mostre que a concentração de sal após t minutos (em gramas por litro) é C(t) = 30t/(200 + t). O que acontece com a concentração quando t tende para infinito? 28. Determine os valores de para os quais a função dada é contínua. f() = 2 2 + (b) f() = 3 2 2 + (c) f() = 2 (d) f() = 2 + 2 + 2 + 2 + se 2 se (e) f() = (f) f() = + se > 2 se =. 29. Determine os valores de para os quais a função dada é descontínua. f() = ( )( 2), (b) f() = 2 3 + 2 2 2.
5 Respostas. f = /( ) 2. 2. y + + = 0 e 3y + 3 + 7 = 0. 3. 6π. 4. O coeficiente angular é -3. Uma equação para a reta tangente é 3 + y 4 = 0. (b) O coeficiente angular é 7. Uma equação para a reta tangente é 7 y + 4 = 0. (c) O coeficiente angular é 3/2. Uma equação para a reta tangente é 3 + 2y 6 = 0. 5. (i), 0.5, e 0.5. (ii) 0. 6. f (2) = 7. Uma equação da reta tangente à curva em (2, 2) é 7 y 2 = 0. 7. (i) (/ 3, / 27 / 3) e ( / 3, / 27 + / 3); (ii) (, 0) e (, 0); (iii) ( 2, 6). 8. As retas de equações 6 y + 7 = 0, 6 y + 3 = 0 e 6 y 3 = 0. 9. (i) P () = ( 2/3) + 7; (ii) P (0) = 0,333; (iii) P (30) = 3; Se gastamos 000 reais a mais dos 0000 reais iniciais em publicidade obteríamos um acréscimo no lucro trimestral de 333 reais. Se gastamos 000 reais a mais dos 30000 reais gastos inicialmente nosso lucro trimestral diminuiria em 3000 reais. 0. δ = 2.. δ = /8. 2. δ = ɛ. 3. δ = 9/00. 4. Por eemplo N = 9. 5. -2. 6. 2 ln(3) ln(5) = 0,587786666.... 7. (i) f() = ; (ii) f() = 2. 8. Os ites de funções polinomiais num ponto a podem ser calculados por substituição, isto é se P () = a n n + a n n + + a 0, então P () = P = a na n + a n a n + + a a + a 0. Os ites de funções racionais num ponto a podem ser calculados por substituição, caso o ite do denominador seja não zero. Se P () e Q() são polinômios e Q 0, então P () Q() = P Q. -3; (b) -2; (c) 4; (d) -3; (e) 2; (f) /3; (g) 3; (h) 2; (i) 2/3; (j) /6; (k) -2; (l) + ; (m) 3; (n) -. 9. Temos ( + ) }{{} } {{ } ( 0). Para determinar o ite no infinito de funções algébricas racionais, dividimos o numerador e denominador pela maior potência da variável no denominador:
6 ( 2 + ) = ( 2 + ) 2 + + 2 + + 2 + 2 = 2 + + = 2 + + = ( 2 + + ) = 20. Se eistir g() = R e h() = L, então + + = 2. e (b) g()h() = RL, g() h() = R, se L 0. L f() ( f() ) 2 = f() 2 2 = 2 2 = 2 = 2. 2 ( f() ) f() f() = = = 0 0 = 0. (c) ( f() ) f() = 2 ( 2 f() + ) = + 2 + 2 (2 + ) = =. 2. -6; (b) /6. 22. 6; (b) 7; (c) /4; (d) 0; (e) 6/0; (f) 0. 23. 98 + 3 4+ = 98 + 3 5 = 98, 6. Se o tempo transcorrido desde que o remédio foi administrado foi de aproimadamente 4 horas então a temperatura do paciente é de aproimadamente 98,6 graus Fahrenheit. 24. Para > temos que > 0 logo =. Assim, para todo > segue que f() = 2 = ( )(+) = +. Portanto, f() = + = 2. + + Por outro lado, para < temos que < 0 logo = ( ). Assim, para todo < segue que f() = 2 ( ) = ( )(+) ( ) =. Portanto, f() = = 2. + + Os ites laterais de f() em são diferentes. Isto implica que não eiste o ite de f() quando tende para. 25. A reta horizontal y = L é uma assíntota da curva y = f() se f() = L ou f() = L. A reta vertical = a é uma assíntota vertical da curva y = f() se + f() = ± ou f() = ±. Assíntota horizontal y =. Assíntota vertical = 4. (b) Não possui assíntotas horizontais. Assíntotas verticais = 5 e = 2. (Obs: -5 e 2 são as raízes do denominador.)
(c) Assíntotas horizontais y = e y =. Não possui assíntotas verticais. 26. Teorema do Confronto. Se f() g() h() quando está próimo de a (eceto possivelmente em a) e f() = h() = L, então g() = L. Temos 2 = 2, 4 2 + 2 = 2. Assim, pelo Teorema do Confronto g() = 2. 27. A quantidade de litros de água no tanque após t minutos é L(t) = 5000+25t e a quantidade de gramas de sal no tanque após t minutos é S(t) = 30 25t. Assim, a concentração (em gramas por litro) de sal após t minutos é C(t) = S(t) L(t) = 30t 200 + t. C(t) = 30. 28. Uma função f é contínua em um número a se f() = f. Observe que a definição implicitamente requer três coisas para a continuidade de f em a: f() está definida em a (isto é a é um número do domínio de f); f() eiste; f() = f., (b), (c) são contínuas em todo número real. (d) É contínua em todo ponto de seu domínio, isto é em todo número real diferente de -2 e. (e) É contínua em todo número real diferente de -. (f) É contínua em todo número real. 29. Suponha que f está definida próimo de a, isto é esta definida num intervalo aberto contendo a, eceto possivelmente em a. Dizemos que f é descontínua em a (ou f tem uma descontinuidade em a) se f não é contínua em a. As funções são contínuas em todos os pontos de seus domínios. Descontínua em = e = 2. (b) Descontínua em = 0 e = 2. 7