Apontamentos da disciplina de Complementos de Análise Matemática

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1 EOLA UPEIO DE TENOLOGIA DE VIEU DEPATAMENTO DE MATEMÁTIA Engenhara de Ambente Apontamentos da dsplna de omplementos de Análse Matemáta Isabel Duarte Ano letvo 5/6

2 . Elementos de Análse Vetoral.. ampos vetoras Vamos estudar funções que a ada ponto P do plano ou do espaço assoa um vetor. Estas funções hamam-se ampos vetoras. As suas prnpas aplações envolvem ampos de velodades, tas omo orrentes marítmas e velodades do vento, e ampos de forças, omo por eemplo o ampo de forças gravtaonal. De entre os ampos vetoras, uns dos mas mportantes são os onservatvos, sto é, aqueles em que há onservação de energa (a soma da energa néta om a energa potenal é onstante), omo é o aso do ampo gravtaonal e do ampo magnéto. Os ampos gravtaonas são defndos através da le gravtaonal de Newton Gm m Fyz (,, ) u, + z sendo G a onstante de gravdade, m e m as massas das partíulas loalzadas em ( e (,,) e u o vetor untáro que va desde (,,) a (. Os ampos de forças elétras são defndos através da le de oulomb qq Fyz (,, ) u, r sendo q e q as argas elétras das partíulas loalzadas em ( e (,,), u o vetor untáro que va desde (,,) a ( e uma onstante. k k r k Estes dos ampos são defndos do mesmo modo, F( u r. r r r r Todos os ampos assm defndos hamam-se ampos quadrado nverso. Na fgura segunte está representado um ampo vetoral de uma roda a grar em torno de um eo.

3 . Elementos de Análse Vetoral Defnção: ejam M e N funções de e y defndas numa regão do plano. A função dada por F(M(+N(j hama-se ampo vetoral sobre. ejam M, N e P funções de y e z defndas numa regão Q do espaço. A função dada por F(M(+N(j+P(k hama-se ampo vetoral sobre Q. j Eemplo : Desrção do ampo vetoral F sendo F( ( ). Eemplo : Desrção do ampo vetoral F sendo F(+yj+zk

4 . Elementos de Análse Vetoral O gradente de uma função f, sendo dado por ou grad f ( f ( é um eemplo de um ampo vetoral. f ( f ( + f ( j + ( f (, f (, f ( ) y f z ( z y z ) k Eemplo : Desrção do ampo vetoral gradente de f(+y. f ( + j Defnção: Um ampo vetoral F é onservatvo numa regão se for o ampo vetoral de alguma função f naquela regão, sto é, se estr uma função dferenável f tal que F f. A função f hama-se função potenal de F na regão. Eemplo: Um ampo quadrado nverso é onservatvo em qualquer regão que não ontenha a orgem. A função vetoral F ( +. ( ) f ( é a função potenal do ampo ( yj) ( ) Podemos utlzar uma ondção neessára e sufente para mas falmente ver se um ampo vetoral é onservatvo.

5 . Elementos de Análse Vetoral 4 Teorema: e M e N tverem dervadas paras de prmera ordem ontínuas numa bola aberta, o ampo vetoral dado por F(M(+N(j é onservatvo sse N. Antes de ver uma ondção neessára e sufente para ver se um ampo vetoral é onservatvo no espaço, vamos ver algumas defnções: Defnção: Gradente, é um operador que, em três dmensões, é dado por + j + k. z Nota: onheemos já o gradente, mas lgado a uma função. Defnção: O rotaonal de F(M(+N(j+P(k, onde M, N e P têm dervadas paras em alguma regão é dado por rot F F M j N k, z P sto é, rotf P N + y z z P N j + k y. Teorema: e M, N e P tverem dervadas paras de prmera ordem ontínuas numa bola aberta Q, o ampo vetoral dado por F(M(+N(j+P(k é onservatvo sse rotf, sto é sse P N P,, N z z... Integras urvlíneos O oneto de ntegral urvlíneo é uma generalzação do ntegral defndo. g() t eja uma urva dada parametramente por, a t b, om g e h funções y h() t defndas em [a,b]. eja f uma função defnda numa regão que ontém. ejam A e B os pontos de determnados por ta e tb. onsderemos para sentdo postvo, ao longo de, o sentdo dos valores resentes de t.

6 . Elementos de Análse Vetoral 5 onsderemos uma partção do ntervalo [a,b] da forma at <t <.<t n b. Esta partção onduz à partção de em n sub-aros P orrespondente a t. ejam s o omprmento do aro P P, onde P (,y ) é o ponto P, - - e y y -y -. A norma da partção de, é o maor dos omprmentos s. e, para ada um dos aros, esolhermos um ponto Q (u,v ) e multplarmos a sua magem por f, pelo omprmento do aro, obtemos a soma n f u, v ) ( s. y v y - Q P P - P AP Q P P n B - u n e, omo nos ntegras defndos, este lmte, L, desta soma, quando n e, ndependente da partção de [a,b] e dos pontos onsderados em ada um dos aros, então L é hamado ntegral urvlíneo de f ao longo de e esreve-se f( ds. e a função f for ontínua em então o lmte de n f u, v ) ( s este e é o mesmo para todas as representações paramétras de om a mesma orentação. Tudo o que fo vsto pode ser generalzado para o aso da urva ser do espaço. Defnção: eja f uma função defnda numa regão que ontém uma urva. O ntegral urvlíneo de f ao longo de, de A para B é dado por n f ( ds lm f ( u, v ) s no plano e por

7 . Elementos de Análse Vetoral 6 no espaço, aso esta o lmte. f( ds lm f( u, v, w ) s n Note-se que: s P P - y Então s + y y t t + t Logo n f ( ds lm f ( u, v ) y t t + t Isto sugere-nos uma manera mas fál de alular f ( ds Teorema: eja f ontínua numa regão que ontém uma urva suave. e for dada g() t por a t b y h() t,, então e for dada por b f ( ds f ( g( t), h( t)) [ g'( t) ] + [ h'( t) ] g() t y h() t, a t b, então z m() t b a dt [ ] [ ] [ ] f( ds f( g(), t h(), t m()) t g'() t + h'() t + m'() t dt. a e uma urva for a reunão de um número fnto de urvas, em que o últmo ponto de uma, onde om o prmero da segunte, o ntegral urvlíneo de f ao longo da urva, é gual à soma dos ntegras urvlíneos ao longo de ada uma das urvas ndvduas.

8 . Elementos de Análse Vetoral 7 Eemplo: alule y π ds para dada por ost, ysent, t. π y ds os t. sen t π sen t ( sent) + os tdt As propredades do ntegral urvlíneo podem ser demonstradas da mesma forma que para os outros ntegras. Geometramente, se f( em, f ( u, v ) s dá a área de uma faa om base P P do plano y e altura f u, v ). O lmte da soma dá a área da parte de um lndro de ( dretrz e geratrzes paralelas ao eo dos zz, stuada entre a superfíe zf( e o plano y. Podemos obter dos tpos dferentes de ntegras urvlíneos utlzando e y em lugar de s. ão hamados ntegras urvlíneos de f ao longo de em relação a e a respetvamente. Assm f ( d lm f ( u, v ) n f ( dy lm f ( u, v ) y n B Podemos também esrever B f ( d e f ( dy, para evdenar os etremos de. A A Teorema: eja f ontínua numa regão que ontém uma urva suave. e for dada g() t por a t b y h() t,, então e b f ( t) dt ( d f ( g( t), h( t)). g a

9 . Elementos de Análse Vetoral 8 b f ( t) dt ( dy f ( g( t), h( t)). h a Eemplo : alule f ( d e A(,) a B(,4) f ( dy, sendo f(y e a parte da parábola y de t A urva pode ser parametrzada por, t. Então y t 4 f ( d y d t. t. dt 4 f ( dy y dy t. t. tdt Eemplo : alule yzd + zdy dz, onde é dada por t,yt,zt ; t. 5 ( t t + t. t. t + t. t. t ) dt 6t dt 64 yzd + zdy dz Teorema: endo uma urva perorrda no sentdo de A para B, desgnemos por - a urva perorrda em sentdo ontráro, sto é de B para A. Temos: () f( ds f( ds () f( d f( d () f( dy f( dy Os ntegras urvlíneos servem para alular algumas quantdades, tas omo áreas, omprmento de aros, trabalho.

10 . Elementos de Análse Vetoral 9 Eemplo: Determne a área da superfíe de geratrzes paralelas ao eo dos zz e de dretrz a runferêna z., stuada entre o plano y e o parabolóde A área pode ser alulada através do ntegral urvlíneo ( ) ds, sendo a runferêna. Então, atendendo a que uma parametrzação da runferêna pode ser ost, t π y sn t π π A ds t t + tdt ( ) ( os ) ( sn ) os sn tdt π Teorema: endo uma urva suave quer no plano quer no espaço, o omprmento do aro L, é dado por L ds O alulo do trabalho realzado por uma força quando um objeto se desloa sobre uma urva é uma das suas aplações físas mas mportantes. omeçamos por subdvdr omo anterormente em aros P P e seja Q (u,v,w ) P P. e é pequena, então o trabalho realzado por F( M(+N(j+P(k ao longo do aro P P, W, pode ser apromado pelo trabalho realzado pela força onstante F(u,v,w ), quando o seu ponto de aplação se desloa ao longo do vetor P P. O vetor P P orresponde ao vetor (, y,, z ) de V. omo o trabalho realzado por uma força onstante PQ, quando o seu ponto de aplação se desloa ao longo de um vetor P é dado por PQ. P, no nosso aso temos que W F(u,v,w ). (, y,, z ) M(u,v,w ) +N(u,v,w ) y +P(u,v,w ) z Podemos então estabeleer:

11 . Elementos de Análse Vetoral Defnção: e é uma urva suave num ampo de forças F, o trabalho realzado por F ao longo de é dado por W W, sto é donde W M(u,v,w ) + N(u,v,w ) y + P(u,v,w ) z, W M(d +N(dy+P(dz Nota: O trabalho determna-se de forma análoga para um ampo vetoral no plano. Por outro lado, omo o aro é muto pequeno, podemos assumr que a partíula se move aí, na dreção do vetor tangente untáro T (u, v, w ). endo assm W F(u,v,w ). ( s. T (u, v, w ))( F(u,v,w ). T (u, v, w )) s Podemos então esrever: Defnção: endo é uma urva suave num ampo de forças F e T( o vetor tangente untáro a no ponto P(, o trabalho W realzado por F ao longo de é dado por F (. T ( ds Nota: As duas fórmulas são equvalentes, atendendo a que r ( t) ( t) ( t) j + z( t) k. dr T, sendo ds b dr dt W F. Tds F. ds F. dr Md + Ndy + Pdz, sendo F M + Nj + Pk. dt ds a Eemplo: Determnar o trabalho realzado pelo ampo de forças F( yj + z k, para mover uma partíula ao longo da héle dada por r(t) os t + sentj + tk, desde o ponto (,,) até (-,,π).

12 . Elementos de Análse Vetoral π W Md + Ndy + Pdz d ydy + z dz π π π os t os t t π ( ost( sent) ost. sent.ost + t ) dt Nota: O trabalho realzado por um ampo de forças pode ser negatvo. Isto aontee quando o ampo mpede o movmento ao longo da urva. Na fgura segunte vemos um aso em que sso aontee... Independêna do amnho e determnarmos o ntegral urvlíneo, F.dr, num ampo vetoral onservatvo, ao longo de três amnhos dstntos, vemos que o valor não se altera. Podemos onstatar sso om a resolução do problema segunte: alular o trabalho realzado pelo ampo de forças F(4y + j quando uma partíula se move de (,) a (,) ao longo dos amnhos ) y; ) y ; ) y. Isto é-nos garantdo pelo teorema: Teorema fundamental dos ntegras urvlíneos: eja uma urva suave, ontda numa g() t regão aberta, dada por, a t b. e F(M(+N(j é onservatvo y h() t em e M e N são ontínuas em, então

13 . Elementos de Análse Vetoral F. dr f. dr f ( g( b), h( b)) f ( g( a), h( a)) em que f é uma função potenal de F. Nota: Este teorema é aplável para urvas ontdas numa regão do espaço. Temos então que se o ampo vetoral é onservatvo o ntegral urvlíneo de F.dr entre dos quasquer pontos, é gual à dferença da função potenal nesses pontos. endo assm num ampo onservatvo o valor do ntegral urvlíneo F. dr é o mesmo para qualquer urva suave ontda em entre dos pontos fos. Dzemos então que F. dr é ndependente do amnho na regão. Teorema: e F é ontínua numa regão aberta e onvea, então o ntegral urvlíneo F. dr é ndependente do amnho se e só se F f para algum f, sto é, se e só se o ampo F é onservatvo. Eemplo: eja F((+y )+(y +4)j. Mostre que o ntegral urvlíneo F.dr é (,) ndependente do amnho e alule F.dr. (,) N O ntegral é ndependente do amnho sse omo, y (,) N e y endo assm F.dr f (,) f (,) (,)., é ndependente do amnho..a. f f ( + k f ( y + k ( f y + 4 Logo f ( + 4y + k ( 4 k( 4y +

14 . Elementos de Análse Vetoral (, ) Então F.dr f (,) f (,) (, ).4. Teorema de Green O teorema de Green dz-nos que o ntegral duplo sobre uma regão smplesmente onvea é gual ao valor do ntegral urvlíneo sobre a frontera de. Teorema de Green: eja uma regão smplesmente onvea e a sua frontera, onsderada om sentdo postvo (ontráro ao dos ponteros do relógo). e M e N são funções ontínuas om dervadas paras de ª ordem também ontínuas numa regão aberta D que ontém, então N da Md + Ndy Demonstração: Para mostrar esta gualdade temos de provar que Md da e y N que Ndy da. Vamos mostrar apenas a segunda gualdade, pos de modo análogo se prova a outra. onsderemos uma regão d g ( g ( Temos d N( dy N( g (, dy Por outro lado N( dy + d N( g (, dy N( dy d N( g (, dy + d N( g (, dy Uma urva plana dz-se smples se não se ruza em s mesma. Uma regão plana é smplesmente onvea se é lmtada por uma úna urva fehada smples.

15 . Elementos de Análse Vetoral 4 d g ( d ) N N g ( y ( da ( ddy [ N( ] dy g ( g ( d [ N( g (, N( g(, ]d Eemplos:. alule 5 yd + dy, onde é a urva dada por y e y de (,) a (,4) 5yd + ( 5) ( 5) dyd [ y 5y] 4 ( + ) 5 5 dy d da 8 5 d. alule d + dy, sendo o quadrado [-,][-,] omo a função M ( não é ontínua em (,), não podemos utlzar o teorema de Green. endo assm vamos alular o ntegral urvlíneo por defnção, alulando o ntegral ao longo de ada um dos 4 amnhos,,, e 4. omeemos por parametrzar os amnhos: t :, t, :, t, y y t t :, t, 4 :, t y y t Então

16 . Elementos de Análse Vetoral 5 t ln t t dt + + d + dy + d + dy 4dt + t 4 t dt d + dy + d + dy dt 5 d + dy 5 6 [ 6t] ln t + 4 ln( ) + 8 ln( ) ln( ) O teorema de Green também pode ser utlzado para obter uma fórmula para alular a área de uma regão lmtada por uma urva fehada smples paralmente suave. N om efeto, se em Md + Ndy da fzermos M e N temos da dy e se fzermos My e N temos da yd. omo da nos dá a área de, destas duas gualdades podemos trar que A dy yd. y Eemplo: alule a área da regão lmtada pela elpse + a b A dy yd π π ab ab π dt [] t πab π ( a ost. bost + bsent. asent) dt ( abos t + absen t) dt.5. Integras de uperfíe Vamos agora onsderar um ntegral de uma função sobre uma superfíe. eja o gráfo de zf(, em que a sua projeção num dos planos oordenados, neste aso onsderase é uma regão do tpo das que apareem nos ntegras duplos. uponhamos que f tem dervadas paras de prmera ordem ontínuas. O ntegral de uma função g( sobre uma superfíe, sendo g defnda numa regão que ontém obtém-se de modo análogo ao que tem sdo feto até aqu. onsdera-se uma partção nteror de em retângulos. onsdera-se um ponto P (, y, ) em ada um desses retângulos. A este ponto

17 . Elementos de Análse Vetoral 6 orresponde o ponto B (, y, z ) de. onsdera-se também o plano tangente a em B. eja a área da superfíe de e T a área da regão do plano tangente uja projeção em é o retângulo. Quando a norma da partção tende para zero, a área T é uma boa apromação para a área e sendo assm Σ T é uma boa apromação para a área de. Podemos onsderar a soma n g(. e estr o lmte desta soma quando, y, z ) a norma da partção tender para zero, esse lmte dá o ntegral de superfíe de g sobre e esreve-se g ( z )d. T Defnção: eja g uma função defnda numa regão que ontém uma superfíe. O ntegral de superfíe de g sobre é dado por desde que o lmte esta. g ( z )d n lm g(, y,z ) T Teorema: eja uma superfíe de equação zf( e a sua projeção no plano y. e f é ontínua em e tem aí dervadas de ª ordem ontínuas e g é ontínua em, então o ntegral de superfíe de g sobre é dado por [ f ( ] + [ f ( ] ( d g( f ( ) y + g da Nota: e g( então o ntegral de superfíe dá a área da superfíe. Eemplo: alule zd, onde é a porção do one z +y que está entre os planos z e z4. zd da 4 + y + da π 4 ( ρ os θρρ) dρdθ π 5 5 π ρ 4 + os θ d os θ d θ θ z f f y + y y

18 . Elementos de Análse Vetoral θ sen θ π π 5 e a equação de é yh(, onde h tem dervadas paras de prmera ordem ontínuas e tem projeção regular sobre o plano z então g( d g( h(, [ h ( ] + [ hz ( ] + da De modo análogo, se a equação de é m(, onde m tem dervadas paras de prmera ordem ontínuas e tem projeção regular sobre o plano yz então [ m ( ] + [ m ( ] g( d g( m(, y z + da No álulo de alguns ntegras urvlíneos utlzámos vetores tangentes à urva. Podemos proeder de modo análogo, onsderando agora vetores normas à superfíe. Pode não estr vetor normal a uma superfíe, mas no aso de estr pode alular-se através do vetor gradente. eja uma superfíe dada por zf(. Um vetor normal a esta superfíe é o vetor gradente da função g(z-f(, sto é g ( z ) g ( z ) + g y( z ) j + g z ( z )k f ( y ) f y( y ) j + k Um vetor normal untáro à superfíe, n, será o versor de g(, sto é n g( z ) g( z ) f ( y ) f y ) j + k ( f ( y )) + ( f ( y )) + y ( y Nota: O vetor g( n é também um vetor untáro, normal à superfíe. É g( um vetor normal untáro nferor. e a superfíe for dada por yh(, um vetor normal a esta superfíe é o vetor gradente da função g(y-h(, sto é g ( z ) g ( z ) + g y( z ) j + g z ( z )k h( z ) + j hz ( z )k e de modo análogo se alula um vetor normal à superfíe dada por m(.

19 . Elementos de Análse Vetoral 8 Nota: e for possível alular um vetor normal a ada ponto de uma superfíe, então essa superfíe é hamada orentada. e a superfíe for fehada a orentação postva é aquela em que os vetores normas são eterores à superfíe e a orentação negatva é aquela em que os vetores são nterores à superfíe. Defnção: e estr um vetor normal untáro, n, a qualquer ponto da frontera de, F. nd defne vetoralmente um ntegral de superfíe, sendo F um ampo vetoral defndo numa regão que ontém. Uma das aplações dos ntegras de superfíe é o álulo do volume de um fludo que atravessa uma superfíe. uponhamos uma superfíe, om vetor normal untáro n, a qualquer ponto, submersa num fludo que tem um ampo de velodades ontínuo v e uma densdade ρ. eja a área de uma pequena regão de. endo essa regão muto pequena podemos aí onsderar a força onstante. Então a quantdade de fludo que atravessa na undade de tempo, taa de vazão, pode ser apromada pelo volume de um lndro de área de base e altura F.n (F(ρv)). () F.n F.T () () é a omponente tangenal da velodade (força) (ao longo da superfíe). Esta não nflu no fluo através de. () omponente normal da velodade (perpendular à superfíe). Então V (F.n)

20 . Elementos de Análse Vetoral 9 omando todas as quantdades e alulando o lmte, obtemos nos dá a taa de vazão através de.. F nd, que fsamente Defnção: eja F(M(+N(j+P(k, onde M, N e P têm dervadas paras de ª ordem ontínuas na superfíe, tendo esta superfíe n omo vetor normal untáro. O fluo de F através de por undade de tempo é dado por. F nd Eemplo: eja a parte do parabolóde z 4 y stuada ama do plano y. Essa superfíe tem um vetor normal untáro superor. Um fludo de densdade om um ampo de velodades v(+yj+zk, flue através da superfíe. Determne o fluo de F através de. F oy F. nd y + 4y + y + z d y + da n + k 4 + 4y + ( ρ + 4) ρdθdρ π ( ρ + 4ρ) dρ 4π π + 4dA oy Nota: Os ntegras de fluo podem esrever-se de uma forma mas smplfada atendendo a que g( g( d g( da Teorema: e é uma superfíe dada por zg( e é a sua projeção no plano então ou. nd F.( g ( g y ( j + F k) da F. nd F.( g ( + g ( j k) da onforme o vetor normal untáro é superor ou nferor. y

21 . Elementos de Análse Vetoral.6. Teoremas de Gauss e de tokes Vamos omeçar por defnr uma função num ampo vetoral. Defnção: A dvergêna de F(M+Nj é dvf(. F( A dvergêna de F(M+Nj+Pk é dvf(. F( N + N + P + z O teorema de Green dz-nos que, sendo F(M(+N(j e uma urva fehada que delmta uma regão, nas ondções do teorema N F. Tds Md + Ndy da e T'(t)+y'(t)j for um vetor untáro tangente à urva, um vetor normal untáro para fora da regão será ny'(t)-'(t)j. Para a mesma função F, podemos, utlzando o teorema de Green, alular F. nds. N F. nds Mdy N d + da dvf da y. Podemos generalzar este resultado para superfíes fehadas. Teorema de Gauss (ou dvergêna): eja Q uma regão lmtada por uma superfíe fehada, om vetor untáro normal eteror a Q. e F(M(+N(j+P(k é um ampo vetoral, em que as funções M, N e P têm dervadas paras de prmera ordem ontínuas em Q, então Demonstração: A gualdade pode esrever-se da forma Q F n d N ( M. n + Nj. n + Pk. n) d + + dv Q P z Para provar esta gualdade temos de mostrar que dvf dv

22 . Elementos de Análse Vetoral ( M. n) d Q dv ( N j. n) d Q ( Pk. n) d Q N dv P dv z Vamos mostrar apenas a últma gualdade, onsderando um aso partular de Q e de. onsderemos a regão Q om superfíe superor de equação zg ( e superfíe nferor de equação zg (, ujas projeções no plano y formam a regão. e Q tem uma superfíe lateral, o vetor normal é horzontal sendo portanto Pk.n. Logo Pk. nd Pk. nd + Pk. nd +. omo o vetor normal untáro a é superor e o vetor normal untáro a é nferor, então por um teorema vsto atrás, g g. P( g( ) da Pk nd P( g (, )). + y k j k da e Pk nd P( g ( ) k. j + k da g g. P( g ( ) da omando estes dos resultados, obtemos Pk nd [ P( g ( ) P( g ( ) ]da. g ( P z g ( dz da Q P dv z Eemplo: eja Q a regão lmtada pelo gráfo de +y 4, z e z. eja a superfíe de Q, e n o vetor untáro de uma normal eteror a. e F( +y j +z k, use o teorema de Gauss para alular F nd.

23 . Elementos de Análse Vetoral F nd π ρ 4 4 Q z ρ z + ρ ρ + dvfdv 8 Q dθdρ π ( + z ) dv ( ρ + z ) π π ( 6 + 4) 8π [ ρ + 9ρ] dθdρ 9 ( ρ + ρ )[ θ ] O teorema de Green pode esrever-se de outro modo: N Md + Ndy da rotf kda y.. 44 F Tds. ρdzdθdρ π dρ Uma generalzação deste teorema é o teorema de tokes que relaona um ntegral de superfíe sobre uma superfíe e um ntegral urvlíneo ao longo de uma urva fehada que é frontera de. Teorema de tokes: eja uma superfíe om um vetor normal untáro n, lmtada por uma urva fehada smples. e F é um ampo vetoral, onde as funções omponentes têm dervadas paras de ª ordem ontínuas numa regão aberta que ontém e, então. Tds F rotf. nd Nota: A dreção postva sobre é onsderada relatvamente ao vetor normal à superfíe, n. Eemplo:. alule o trabalho realzado por F( + 4y j k no retângulo do pano zy representado na fgura.

24 . Elementos de Análse Vetoral w rotf.( j + k ) da ( y + 4y ) da ( y + 4y ) y F. Tds 4 ( rotf. n) d d 9d 9 dyd omo o sentdo da urva é o postvo, o vetor normal que nos nteressa será j + k rot F F + j 4y ( y j (4y ) k k z y