NOTAS DE AULA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

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1 NOTAS DE AULA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON SALVADOR BA 6

2 Ifiitos e idivisíveis trascedem osso etedimeto fiito, o primeiro por cota de sua magitude, o segudo pela sua pequeez; imagie o que eles são quado combiados. Galileu Galilei (564-64). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON

3 Ao estudate Este teto é resultado da tetativa de produzir um material que ajude o aluo de um primeiro semestre de eatas que precisa estudar e acompahar melhor as aulas da disciplia Cálculo Diferecial e Itegral I. É uma seleção de retalhos porque jutei partes de livros, listas, tetos de professores de matemática e algumas cotribuições próprias. Mas, desde já, assumo a resposabilidade por todos os erros que possam coter estas otas, aida icompletas, e agradeço a quem idicar as correções, críticas e sugerir melhorias. Observo também que este material ão substitui a cosulta, leitura e estudo de tetos e livros de Cálculo já cosagrados. Deve servir como um material de auílio, pricipalmete o mometo em que se realizam a aulas. Divisão das otas: Parte I Limite de fuções Parte II Derivada Parte III Derivada: aplicações Parte IV Derivada: estudo das fuções Parte V Itegral idefiida Parte VI Itegral defiida e aplicações Ero ero@cefetba.br CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON

4 PARTE I LIMITE DE FUNÇÕES CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 4

5 SUMÁRIO Limites um pouco de história Itrodução ao ite Limites laterais Eistêcia e uicidade de ites Propriedades dos ites Cotiuidade Propriedades das fuções cotíuas Limites evolvedo idetermiação / Limites ifiitos Limites o ifiito Limite evolvedo fução ifiitesimal e fução itada Limites fudametais Equação de retas assítotas Séries uméricas ifiitas Defiição de derivada. Eercícios de fiação Fuções hiperbólicas Tabela de idetermiações Resposta dos eercícios Referêcias bibliográficas CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 5

6 LIMITES UM POUCO DE HISTORIA Limites os apresetam um grade paradoo. Todos os pricipais coceitos do cálculo derivada, cotiuidade, itegral, covergêcia/divergêcia são defiidos em termos de ites. Limite é o coceito mais fudametal do Cálculo; de fato, ite é o que distigue, o ível mais básico, o cálculo de álgebra, geometria e o resto da matemática. Portato, em termos do desevolvimeto ordeado e lógico do cálculo, ites devem vir primeiro. Porém, o registro histórico é justamete o oposto. Por vários séculos, as oções de ite eram cofusas, com idéias vagas e algumas vezes filosóficas sobre o ifiito (úmeros ifiitamete grades e ifiitamete pequeos e outras etidades matemáticas) e com ituição geométrica subjetiva e idefiida. O termo ite em osso setido modero é um produto do ilumiismo a Europa o fial do século XVIII e iício do século XIX, e ossa defiição modera tem meos de 5 aos de idade. Até este período, eistiram apeas raras ocasiões as quais a idéia de ite foi usada rigorosamete e corretamete. A primeira vez que ites foram ecessários foi para a resolução dos quatro paradoos de Zeão (cerca de 45 a.c.). No primeiro paradoo, a Dicotomia, Zeão colocou um objeto se movedo uma distâcia fiita etre dois potos fios em uma série ifiita de itervalos de tempo (o tempo ecessário para se mover metade da distâcia, em seguida o tempo ecessário para se mover metade da distâcia restate, etc.) durate o qual o movimeto deve ocorrer. A coclusão surpreedete de Zeão foi que o movimeto era impossível! Aristóteles (84- a.c.) tetou refutar os paradoos de Zeão com argumetos filosóficos. Em matemática, uma aplicação cuidadosa do coceito de ite resolverá as questões levatadas pelos paradoos de Zeão. Para suas demostrações rigorosas das fórmulas para certas áreas e volumes, Arquimedes (87- a.c.) ecotrou várias séries ifiitas somas que cotêm um úmero ifiito de termos. Não possuido o coceito de ite propriamete dito, Arquimedes ivetou argumetos muito egehosos chamados de redução ao absurdo duplo, que, a verdade, icorporam algus detalhes técicos do que agora chamamos de ites. O Cálculo é também algumas vezes descrito como o estudo de curvas, superfícies e sólidos. O desevolvimeto da geometria destes objetos floresceu seguido a iveção da geometria aalítica por Pierre Fermat (6-665) e Reé Descartes (596-65). A geometria aalítica é, essecialmete, o casameto da geometria com a álgebra, e cada uma melhora a outra. Fermat desevolveu um método algébrico para ecotrar os potos mais altos e mais baios sobre certas curvas. Descrevedo a curva em questão por uma equação, Fermat chamou um úmero pequeo de E, e etão fez algus cálculos algébricos legítimos, e fialmete assumiu E = de tal maeira que todos os termos restates os quais E estava presete desapareceriam! Essecialmete, Fermat colocou de lado o ite com o argumeto que E é "ifiitamete pequeo". Geometricamete, Fermat estava tetado mostrar que, eatamete os potos mais altos e mais baios ao logo da curva, as retas tagetes à curva são horizotais, isto é, têm icliação zero. Ecotrar retas tagetes a curvas é um dos dois problemas mais fudametais do cálculo. Problemas evolvedo tagetes são uma parte do que chamamos agora de estudo das derivadas. Durate o século XVII, vários geômetras desevolveram esquemas algébricos complicados para ecotrar retas tagetes a certas curvas. Descartes desevolveu um processo que usava raízes duplas de uma equação auiliar, e essa técica foi melhorada pelo matemático Joha Hudde (68-74), que era também o prefeito de Amsterdam. Reé de Sluse (6-685) ivetou um método aida mais complicado para obter tagetes a curvas. Em cada um desses cálculos, o ite deveria ter sido usado em alguma etapa crítica, mas ão foi. Nehum destes geômetras percebeu a ecessidade da idéia de ite, e assim cada um ecotrou uma maeira iteligete para alcaçar seus resultados, os quais estavam corretos, mas com meios que, agora recohecemos, faltam fudametos rigorosos. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 6

7 Determiar valores eatos para áreas de regiões itadas, pelo meos em parte, por curvas é o segudo problema fudametal do cálculo. Estes são chamados freqüetemete de problemas de quadratura, e, itimamete relacioados a eles, estão os problemas de cubatura - ecotrar volumes de sólidos itados, pelo meos em parte, por superfícies curvas. Eles os levam a itegrais. Johaes Kepler (57-6), o famoso astrôomo, foi um dos primeiros estudiosos dos problemas de cubatura. Boavetura Cavalieri ( ) desevolveu uma teoria elaborada de quadraturas. Outros, tais como Evagelista Torricelli (68-647), Fermat, Joh Wallis (66-7), Gilles Persoe de Roberval (6-675), e Gregory St. Vicet ( ) ivetaram técicas de quadratura e/ou cubatura que se aplicam a curvas e sólidos específicos ou famílias de curvas. Mas ehum deles usou ites! Seus resultados eram quase todos corretos, mas cada um depedia de um malabarismo algébrico ou apelavam para ituição geométrica ou filosófica questioável em algum poto crítico. A ecessidade de ites ão era recohecida. Em quase todos os seus trabalhos que agora são cosiderados como cálculo, Isaac Newto (64-77), também ão recoheceu o papel fudametal do ite. Para séries ifiitas, Newto raciociou meramete por aalogia: se fosse possível eecutar operações algébricas em poliômios, etão seria possível fazer o mesmo com o úmero ifiito de termos de uma série ifiita. Newto calculou o que ele chamou de flúios a curvas, ão eatamete derivadas, mas muito próimo. O processo que ele usou para esses cálculos era muito próimo do método de Fermat. Neste e a maioria dos outros trabalhos comparáveis, Newto egligeciou o ite. Por outro lado, em seu Pricipia Mathematica (687), talvez o maior trabalho em matemática e ciêcia, Newto foi o primeiro a recohecer que o ite deve ser o poto de partida para problemas de tagêcia, quadratura e afis. No iício do Livro I do Pricipia, Newto tetou dar uma formulação precisa do coceito de ite: Quatidades, e as razões de quatidades, as quais em qualquer tempo fiito covergem cotiuamete para igualdade, e ates do fial daquele tempo se aproimam etre si por qualquer dada difereça, toram-se iguais o fial. Eistiram críticas sobre esta afirmação e sobre a discussão que a seguiu, otadamete por George Berkeley (685-75). Mas a geialidade de Newto tiha descoberto o papel fudametal que o ite tiha que desempehar o desevolvimeto lógico do cálculo. E, apesar de sua liguagem rebuscada, a semete da defiição modera de ite estava presete em suas afirmações. Ifelizmete, para a fudametação rigorosa do cálculo, por muitas décadas, iguém observou estas dicas que Newto tiha forecido. As pricipais cotribuições ao cálculo de Gottfried Wilhelm Leibiz (646-76) foram as otações e as fórmulas básicas para as derivadas e itegrais (as quais usamos desde etão) e o Teorema Fudametal do Cálculo. Com estas ferrametas poderosas, o úmero de curvas e sólidos para os quais derivadas e itegrais podiam ser facilmete calculadas se epadiram rapidamete. Problemas desafiadores de geometria foram resolvidos; mais e mais aplicações do cálculo à ciêcia, pricipalmete física e astroomia, foram descobertas; e ovos campos da matemática, especialmete equações difereciais e o cálculo de variações, foram criados. Detre os líderes desse desevolvimeto do século 8 estavam vários membros da família Beroulli, Joha I ( ), Nicolas I ( ) e Daiel (7-78), Brook Taylor (685-7), Leohard Euler (77-78), e Aleis Claude Clairaut (7-765). O cálculo se desevolveu rapidamete pelos seus vários sucessos o século 8, e pouca ateção foi dada aos seus fudametos, muito meos ao ite e seus detalhes. Coli Maclauri ( ) defedeu o tratameto dos fluios de Newto do ataque de George Berkeley. Mas Maclauri reverteu a argumetos do século XVII similares aos de Fermat e apeas ocasioalmete usou a redução ao CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 7

8 absurdo dupla de Arquimedes. Apesar de suas boas iteções, Maclauri passou por oportuidades de seguir a sugestão de Newto sobre ites. Jea Le Rod d'alembert (77-78) foi o úico cietista daquele tempo que recoheceu eplicitamete a importâcia cetral do ite o cálculo. Na famosa Ecyclopédie (75-776), d'alembert afirmou que a defiição apropriada da derivada ecessitava um etedimeto do ite primeiro e etão, deu a defiição eplícita: Uma quatidade é o ite de uma outra quatidade quado a seguda puder se aproimar da primeira detro de qualquer precisão dada, ão importa quão pequea, apesar da seguda quatidade uca eceder a quatidade que ela aproima. Em termos gerais, d'alembert percebeu que, "a teoria de ites era a verdadeira metafísica do cálculo". A preocupação sobre a falta de fudameto rigoroso para o Cálculo cresceu durate os últimos aos do século XVIII. Em 784, a Academia de Ciêcias de Ber ofereceu um prêmio para um esaio que eplicasse com sucesso uma teoria do ifiitamete pequeo e do ifiitamete grade em matemática e que poderia, por sua vez, ser usada para colocar uma base sólida para o cálculo. Embora este prêmio teha sido dado, o trabalho vecedor "logo e tedioso" de Simo L'Huilier (75-84) ão foi cosiderado uma solução viável para os problemas colocados. Lazare N. M. Carot (75-8) produziu uma tetativa popular de eplicar o papel do ite o cálculo como "a compesação de erros" mas ele ão eplicou como estes erros se cacelariam mutuamete perfeitamete. No fial do século XVIII, o grade matemático da época, Joseph-Louis Lagrage (76-8), coseguiu reformular toda a mecâica em termos de cálculo. Nos aos que seguiram a Revolução Fracesa, Lagrage cocetrou sua ateção os problemas da fudametação do cálculo. Sua solução, Fuções Aalíticas (797), desligou o cálculo de "qualquer cosideração do ifiitamete pequeo ou quatidades imperceptíveis, de ites ou de flúios." Reomado por suas outras cotribuições ao cálculo, Lagrage fez um esforço heróico (como sabemos agora, com uma falha fatal) para torar o cálculo puramete algébrico eiado ites iteiramete. Ao logo do século XVIII, havia pouca preocupação com covergêcia ou divergêcia de sequêcias e séries ifiitas; hoje, etedemos que tais problemas requerem o uso de ites. Em 8, Carl Friedrich Gauss ( ) produziu o primeiro tratameto estritamete rigoroso da covergêcia de sequêcias e séries, embora ele ão teha usado a termiologia de ites. Na sua famosa Teoria Aalítica do Calor, Jea Baptiste Joseph Fourier (768-8) tetou defiir a covergêcia de uma série ifiita, ovamete sem usar ites, mas etão ele afirmou que qualquer fução poderia ser escrita como uma de suas séries, e ão mecioou a covergêcia ou divergêcia desta série. No primeiro estudo cuidadoso e rigoroso das difereças etre curvas cotíuas e descotíuas e fuções, Berhard Bolzao (78-848) olhou além da oção ituitiva da ausêcia de buracos e quebras e ecotrou os coceitos mais fudametais os quais epressamos hoje em termos de ites. No começo do século 8, as idéias sobre ites eram, com certeza, cofusas. Equato Augusti Louis Cauchy ( ) estava procurado por uma eposição clara e rigorosamete correta do cálculo para apresetar aos seus estudates de egeharia a École Polytechique em Paris, ele ecotrou erros o programa estabelecido por Lagrage. Etão, Cauchy começou o seu curso de cálculo do ada; ele começou com uma defiição modera de ite. Começado em 8, ele escreveu as suas próprias otas de aula, essecialmete seus próprios livros, o primeiro chamado de Cours d'aalyse (Curso de Aálise). Nas suas classes e estes livros-teto clássicos, Cauchy usou o CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 8

9 pricípio de ite como a base para itroduções precisas à cotiuidade e covergêcia, a derivada, a itegral, e o resto do cálculo. Cotudo, Cauchy perdeu algus dos detalhes técicos, especialmete a aplicação da sua defiição de ite a fuções cotíuas e à covergêcia de certas séries ifiitas. Niels Herik Abel (8-89) e Peter Gustav Lejeue Dirichlet (85-859) estavam etre aqueles que desecavaram estes problemas delicados e ão ituitivos. Nas décadas de 84 e 85, equato era um professor do esio médio, Karl Weierstrass (85-897) determiou que a primeira etapa ecessária para corrigir estes erros era restabelecer a defiição origial de Cauchy do ite em termos estritamete aritméticos, usado apeas valores absolutos e desigualdades. A eposição de Weierstrass é eatamete aquela que ecotramos o livro de Cálculo de Thomas. Weierstrass prosseguiu em uma carreira brilhate como professor de matemática a Uiversidade de Ber. Lá ele desevolveu um programa para trazer rigor aritmético para todo o cálculo e à aálise matemática. Fote: George B. Thomas Cálculo vol I e II. Pearso Educatio. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 9

10 PARTE I LIMITE DE FUNÇÕES INTRODUÇÃO. Iformalmete, o estudo do ite de uma fução visa determiar o que acotece (estudo do comportameto) com os valores da imagem de uma fução quado, o domíio dessa fução, tomamos valores em toro de um determiado poto (úmero). Em geral, dizemos que se uma fução f defiida um itervalo aberto I cotedo o úmero real a, eceto possivelmete em a, e se à medida que se aproima de a, o valor de f ( ) se aproima de L, escrevemos: f ( ) = L. a Isso sigifica que o poto (, f( )) do gráfico de f se aproima do poto ( al,, ) quado se aproima de a. Veja as figuras abaio. y y y y = f() y = g() b y = h() L L L a a a f ( ) = L e f ( a) = L. g ( ) = L e ga ( ) ão está a a defiido. h ( ) = L e ha ( ) = b L. a Uma outra maeira de percebermos um ite é utilizado tabelas de valores. Cosidere uma fução f( ) =. Esta fução está defiida { }. Isto sigifica que ão podemos calcular a imagem quado assume o valor. Vamos usar uma máquia de calcular e costruir uma tabela com os valores da fução f quado assume valores próimos de, mas diferetes de. Atribuido a valores próimos de, porém meores do que : (tabela A),5,75,9,99,999,9999 f ( ),5,75,9,99,999,9999 Atribuido a valores próimos de, porém maiores do que : (tabela B),5,5,,,, f ( ),5,5,,,, Observamos que podemos torar f ( ) tão próimo de quato desejarmos, bastado para isso tomarmos suficietemete próimo de. Veja a figura abaio que represeta o que está acotecedo as tabelas A e B. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON

11 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: ) Os dois tipos de aproimações que vemos as tabelas A e B são chamados de ites laterais. Quado se aproima de por valores meores do que (tabela A), dizemos que tede a pela esquerda, e deotamos simbolicamete por. Temos etão que: Obs: O sial egativo o epoete do o simboliza apeas que f ( ) = ou = se aproima do úmero pela esquerda. Quado se aproima de por valores maiores do que (tabela B), dizemos que tede a pela direita, e deotamos simbolicamete por. Temos etão que: ( ) f = ou = Obs: O sial positivo o epoete do o simboliza apeas que se aproima do úmero pela direita. ) Podemos pesar em f ( ) a como um ite bilateral. Temos os seguites resultados: * O ite f ( ) eiste se, e somete se, eistem e são iguais os ites laterais f ( ) a f ( ) a. De outro modo, ( ) ( ) ( ) a a a a f = f = L f = L. e * Quado os ites laterais tem valores diferetes, dizemos que ão eiste o ite bilateral. De outro modo f f f. ( ) ( ) ( ) a a a ) Quado os valores de crescem iitadamete, escrevemos. Quado os valores de decrescem iitadamete, escrevemos. Eemplo prático Seja f : {,5} a fução defiida pelo gráfico a seguir. Determie os ites que se pedem: y o o a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) 4 e) f ( ) f) f ( ) 5 g) f ( ) h) f ( ) 4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON

12 DEFINIÇÃO FORMAL DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO Seja f : I, I um itervalo aberto, ode I ou I. Dizemos que L é o ite de f ( ) quado tede para do seguite modo, ; f ( ) L ε δ = > > < < δ f( ) L < ε. y L ε f( ) L Lε gráfico de y= f( ) Veja a figura ao lado: sempre que ( δ, δ ) temos que f( ) ( L ε, L ε ). δ δ Com esta defiição podemos demostrar propriedades que o ite de uma fução possui que facilitam seu cálculo. ALGUMAS PROPRIEDADES DOS LIMITES. Cosidere f ( ) = A, g ( ) = B e AB, e k costates reais. Etão ) k = k ) [ k f( )] = k f( ) = ka a a a ) [ f ( ) ± g( )] = f( ) ± g( ) = A± B a a a Mais geral, temos que se f ( ) = A, f ( ) = A,, f( ) = A ode A, A,..., A. a a f ( ) ± f ( ) ± ± f ( ) = f ( ) ± f ( ) ± ± f ( ) = A ± A ± ± A. Etão [ ] a a a a a a f ( ) g( ) = f( ) g( ) = A B 5) 4) [ ] a a a f ( ) f( ) a A = =, com B a g ( ) g ( ) B a 6) f ( ) = f( ) = A 7) f ( ) = f( ) = A a a a a f ( ) = f( ) = A a a 8) [ ] a ode. 9) f ( ) A = Observação. Todas estas propriedades podem ser demostradas a partir da defiição (formal) de ite, o que ão faremos aqui. Cosulte as referêcias bibliográficas. TEOREMA DA UNICIDADE DO LIMITE. Seja f : I, I um itervalo aberto, ode I ou I. Se f ( ) = L e f ( ) = M ( LM, ) etão L = M. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON

13 Em outras palavras, se o ite eiste (é um úmero real) etão é úico. Demostração. Supoha L = f( ) e M = f( ). Da defiição de ite, temos que ε L = f( ) ε >, δ > ; < < δ f( ) L < e M = f( ) ε >, δ > ; < < δ f( ) M < ε. Seja δ = mi { δ, δ}. Em particular, ( δ, δ) ( I { } ). Logo, eiste z I tal que < z < δ e ( ) L M = L M f( z) f( z) = L f( z) f( z) M L f( z) f( z) M < ε ε = ε. Daí, L M < ε, para todo ε >, etão só podemos ter L= M. LIMITES LATERAIS. Seja f : I, I um itervalo aberto. f( ) = L ε >, δ > ; < a< δ f( ) L < ε. a f( ) = L ε >, δ > ; δ < a< f( ) L < ε. a TEOREMA DE EXISTÊNCIA DO LIMITE. f ( ) = L f ( ) = f( ) = L. a a a Isto quer dizer que o ite bilateral eiste e é igual a L se, e somete se, eistem e são iguais a L os ites laterais. Demostração. A codição ecessária segue das defiições. Reciprocamete, se os ites laterais eistem e f ( ) = f( ) = L, temos que dado ε >, eistem δ, δ >, tais que a a a< < a δ f( ) L < ε e a δ < < a f( ) L < ε. Note que δ e δ podem ser iguais ou diferetes. Caso δ δ, cosidere δ = mi { δ, δ }, etão < a < δ f( ) L < ε. Eemplos ) Supoha o gráfico de uma fução f = f( ) a figura ao lado. Temos etão que f ( ) = L e f ( ) = L. y L L Logo, ão eiste o f ( ). o ) Cosideremos a fução, < f( ) = 6, =. Verifique a eistêcia de, > f ( ). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON

14 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES. Cosidere f : I e a I. Dizemos que f é cotíua em a I se as seguites codições são satisfeitas i) f ( ) [ou seja, f ( ) = f( ) ] ii) ( ) ( ) a f = f a a a a y y y y = f() y = g() b y = h() L L L a a a f ( ) = L e f ( a) = L. g ( ) = L e ga ( ) ão está a a defiido. h ( ) = L e ha ( ) = b L. a Eemplos: Verifique a cotiuidade de cada fução o poto idicado: 5 se 5 a) f( ) = b) se = 5 t t se t gt () = t se t = c) < se h ( ) = se = > se Observações: ) A defiição de cotiuidade pode ser epressa em fução de ε e δ. De fato, ( ) = f ( ) a sigifica que: para todo ε > eiste δ > tal que, se Dom( f ) e a < δ, etão f( ) f( a) < ε. ) As fuções poliomiais p( ) = a a... a a a ode a, a,..., a são fuções cotíuas em, ou seja, p ( ) = p ( a ), a. a p( ) ) Dizemos que uma fução f ( ) é racioal se é do tipo f( ) = ode p( ) e q( ) são q ( ) poliômios. Toda fução racioal é cotíua eceto os potos ode seu deomiador é zero. 4) Dizemos que f é cotíua um cojuto I se f é cotíua em todo poto de I. 5) Mostra-se, também, que as fuções elemetares: epoeciais, logarítmos, trigoométricas, raízes -ésimas, módulo, hiperbólicas são cotíuas em seu domíio. Propriedades das fuções cotíuas. Sejam f e g fuções cotíuas um poto a. Etão ) k f é cotíua em a. ) f ± g é cotíua é cotiua em a. ) f g é cotíua em a. 4) f g é cotíua os potos ode g. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 4

15 A demostração de cada uma destas propriedades decorre diretamete da defiição de cotiuidade. Eercícios ) Das fuções f e g defiidas em, sabe-se que: Respoda o que se pede: f( ) =, f () = 5, g ( ) = e g () = 8. a) A fução S ( ) = f( ) g ( ), é cotíua em =? b) A fução M ( ) = f( ) g( ),, é cotíua em =? ) Determie as costates m e de modo a fução dada seja cotíua em = =. m, f ( ) = m, m, < e = Teorema (cotiuidade da composta). Se a fução g é cotíua em a e a fução f é cotíua em g( a ) etão a fução composta f g é cotíua em a. Demostração. Cosiderado que g é cotíua em a, isto é, g ( ) = ga ( ) e f é cotíua em ga, ( ) temos ( f g) ( ) = f ( g( ) ) = f ( g( ) ) = f ( g( a) ) = ( f g) ( a), o que prova que a a a f g é cotíua em a. a Eemplos: Sedo f : I cotíua, f, f, ( f ), l f, cos f, sef, também são cotíuas. f = f f f vezes Teorema (valor itermediário). Se f :[ a, b] é uma fução cotíua em [ ab, ] e f ( a) < d < f( b) (ou f ( b) < d < f( a) ), etão eiste c ( a, b) tal que f () c = d. Uma das possibilidades do sigificado geométrico deste teorema está a figura ao lado. Y f(b) f(c)=d f(a) a c b X Eemplo: Cosidere a fução Itermediário para d = em [, 6 ]. f( ) =. Determie o valor que satisfaz o Teorema do Valor Muito utilizado para garatir a eistêcia de raízes de equações, o teorema seguite é um resultado imediato do aterior (corolário). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 5

16 Teorema de Bolzao. Seja f :[ a, b] uma fução cotíua em [ ab., ] Se f ( a ) e f ( b ) tem siais opostos, ou seja, f( a) f( b) <, etão eiste c ( a, b) tal que f() c =. Y f(b) Seu sigificado geométrico o gráfico ao lado. f(a) a c b X Eemplos: Uma aplicação deste corolário mostra que a fução f ( ) = (gráfico ao lado) possui um zero em cada um dos itervalos: [,], [,] e [,5]. y f() = 4 Se f ( ) = 5, localizar um itervalo ode teha uma raiz real. Observação: Este corolário também pode ser utilizado para localizar as raízes reais de um poliômio de grau ímpar. De fato, seja f ( ) = a... a a a, ai uma fução poliomial a a a a de grau ímpar. Para os, escrevemos: f( ) =.... Etão f( ) = e f( ) =, pois é impar. Logo, eistem < tais que f( ) < e f( ) >, como f é cotíua em [, ] ; pelo corolário aterior, eiste c (, ) f() c =. Note que, se é par a coclusão é falsa, por eemplo, o poliômio possui raízes reais. tal que p ( ) = ão Eercício Para cada uma das fuções determie um iteiro tal que f( ) = para algum [, ] : a) f ( ) = b) 5 4 g ( ) = 5 c) 5 h ( ) = LIMITES DIRETOS. Cosidere a o domíio de f. Etão se f é uma fução cotíua em a temos f ( ) = f ( a ). Isto sigifica que podemos calcular o ite a de uma fução f ( ) cotíua a em a diretamete da fução, calculado a imagem de a por f. Eemplos: a) ( 5 ) = ( ) 5( ) = b) a cosh a a 4 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 6

17 c) log z z 4 z d) π se arctg(4 α) α α Eercícios Calcule os ites a seguir: 5 4 a) ( y y ) b) y 4 4 p p 5 a a d) arcse e) tg p π p a a 5 g) u u u u u h) ( seh cosh ) c) log 4 f) k l( k ) k e i) ( sec cosec) π Respostas: a) 6 b) / 88 c) d) π / e ) f ) e g) / h) / e i ) ( )/. LIMITES ENVOLVENDO A INDERTERMINAÇÃO 4 Eemplo prático. Determie f ( ), ode f( ) =. 4 Observamos que =?? A epressão que aprece acima - é uma idetermiação matemática!. Portato, devemos etão simplificar a epressão e depois fazer a substituição direta. ( )( ) Observe que ( ) 4 f = = =,. Etão: ( )( ) 4 f( ) = = = ( ) = 4. Logo, 4 = 4. y gráfico de f( ) = 4 y gráfico de f( ) = 4 4 Para resolver ites deste tipo, utilizaremos o seguite teorema. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 7

18 TEOREMA. Se h ( ) = f( ) para todo I {} a etão f ( ) = h( ) = A. Demostração. A verificação é imediata. a a O algoritmo da divisão de Euclides, o processo de Briott-Ruffii e o cohecimeto (lembraça) de algus produtos otáveis podem ajudar a resolver mais rapidamete os ites do tipo evolvedo fuções racioais. Algus produtos otáveis ( A B ± B) = A ± AB A B = ( A B)( A B) A B = ( A B)( A AB B ) A B C = A )( ) A B = ( A B)( A AB B ) ( ( A ± B) = A ± A B AB ± B Se um ite evolve a epressão, dizemos que este ite possui uma idetermiação matemática e, para resolver o ite, é preciso eiar a idetermiação. Eemplos Eie a idetermiação para resolver cada ite. a) 9 ( )( ) = = ( ) b) u 6u7 ( u 7)( u ) 8 = = u ( u )( u u ) u u c) t 4 ( t )( t ) π arccos = arccos = arccos = t 4t4 4 t ( t ) t t Eercícios Calcule os ites: 6 a) b) t t se t t 4 π c) h 5 h 9h h 5 z d) z z 4z e) 56 5 f) y y y g) 9 9 h) u u u u Respostas: a ) / 9 b ) / c ),4 d) / e ) f ) g ) /6 h ) /6. ) Estude a cotiuidade da fução f defiida ao lado, os potos t = e t =. Justifique sua resposta. t t t 4 4, t < e t t t f( t) = 4, t = log ( t 4), t CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 8

19 Além de, eistem idetermiações matemáticas evolvedo o ifiito. Por eemplo:, e são algumas que surgem o estudo de ites. Veja tabela a págia LIMITES INFINITOS Dado M >, δ > ; f( ) = a < a < δ f( ) > M. Y f ( ) Dado M <, δ > ; f( ) = a < a < δ f( ) < M. Y a δ a a δ X M M a δ a a δ X f ( ) Eemplos: a) b) c) l t t d) tgθ π θ TEOREMA DA CONSERVAÇÃO DO SINAL. Se f ( ) = L etão eiste um itervalo aberto I a cotedo a tal que D( f) I tem-se I {} a, f ( ) tem o mesmo sial de L. Demostração. Pelo fato de que f ( ) = L temos que ε >, δ > ; < a < δ implica a que f( ) L < ε, ou seja, a δ < < a δ implica que L ε < f( ) < L ε. Supoha L > (fio), como ε pode assumir qualquer valor positivo, tomamos ε < L (ou seja, < L ε ), logo, eistirá δ > tal que a δ < < a δ implicado em < L ε < f( ) < L ε e assim ( a δ, a δ) temos f( ) >. Do mesmo modo, se fizermos L < temos f( ) < em algum itervalo. Como coseqüêcia do Teorema da coservação do sial, podemos geeralizar uma regra para k, ode k { } resolver ites ifiitos que evolvem f( ) k =, k ode ga ( ) = devemos estudar o sial de a g ( ). Etão, para resolver CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 9 k g ( ) k k =, k > e =, k <. k k =, k > e =, k <. em toro de = a. Assim,

20 Eercícios Resolva os ites: a) 5 4 b) t te t ( ) 6 t log 4( ) c) se d) e e) 4, 6 f) e l g) u seh u Respostas: a ) b) c ) d ) e) / f ) g) /. LIMITES NO INFINITO. Seja f :[ a, [ (ou f :], a] ) f ( ) = L (ou ± ou / ) Dado ε >, N > ; Dom( f) tem-se ± Y > N f( ) L < ε. < N f( ) L < ε. Y L ε f ( ) L L ε L ε f ( ) L L ε N X N X Eercícios Resolva os ites: 6 a) b) seh f) a e a g) l c) h) 4 d) 6 e) i) ( ) Respostas: a ) b ) c ) d ) 6 e ) f ) ou g ) h ) i ). LIMITES NO INFINITO (E INFINITOS) PARA POLINÔMIOS E FUNÇÕES RACIONAIS Cosidere, temos os seguites resultados: i) =± ± ii) = ± ( ) P = a... a a a a = a ± ± ± iii) [ ] iv) P ( ) a a... a a a a m m m Q ( ) = = ± ± bm bm... b b b ± bm CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON

21 Eemplos Determiar cada ite: a)) b) = = = = 8 ( ) q q q 5 q q q 5 q q = = = = q q q c) t 5t t 5t 5 = = 4t t 4t 4 Eercícios: ) Calcular os ites: d) 5z 4 a) z z 6z,7 5 π r 5r se 5 6r r 4 e) b) 5 p p p 4,5 7 c) log, ( 5t t ) t f) cos 5 4 Respostas: a) b ) c) d ) / e ) f ). ) Mostre que ão eiste o f ( ) quado f( ) = ( ) com. FUNÇÃO INFINITESIMAL. Dizemos que uma fução f ( ) é ifiitesimal para a (resp. ± ) se f ( ) = (resp. f( ) = ). a ± Eemplos: a) f( ) = e é ifiitesimal quado. b) g ( ) = é ifiitesimal para. c) ht () = ( t ) é ifiitesimal para t. d) f( ) = e é ifiitesimal quado. FUNÇÃO LIMITADA. Dizemos que uma fução f : I é itada em I se eistem M, N tais que M f( ) N, I. Y N gráfico de f ( ) Dizer que uma fução f é itada sigifica, geometricamete, que o gráfico de f está pleamete cotido uma faia horizotal. M X CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON

22 Eemplos: a) f :[, ), defiida por [, ) logo < f( ). f( ) = é itada em [, ), pois <, b) y = cos e y = si são itadas em pois, cos e si,. c) f :, f( ) = e é itada em. d) f :, f ( ) = arctg é uma fução itada em. TEOREMA. Supoha que f ( ) é ifiitesimal para a e que g( ) é uma fução itada um itervalo I que cotém a. Etão [ f ( ) g ( )] =. a Demostração. Seja f ( ) é ifiitesimal para a, etão f ( ) =, ou seja, a ε >, δ > ; < a < δ f( ) < ε. Assumimos N > e podemos tomar (sem perda de geeralidade) f( ) ε <. Como g ( ) é uma fução itada o itervalo I,temos M f( ) N, N ε f g = f g = f g < N= ε, o que sigifica que N I. Logo, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ f ( ) g ( )] =. a Eercício Calcule cada ite, justificado sua resposta: se 5 π a) b) e cos( ) c) ( t ) se l t t ( ) d) l cos e se( u ) e) 5 u u u LIMITES FUNDAMENTAIS. Algus tipos de ites podem ser usados para resolver outros ites, por isso são chamados de ites fudametais. Para estudá-los precisamos do seguite TEOREMA DO CONFRONTO (OU DO SANDUÍCHE). Cosidere g ( ) f( ) h ( ), Dom( f ) g ( ) = h ( ) = L etão f ( ) = L. a a a Demostração. Como g ( ) = h ( ) = Ltemos que a a ε >, δ > ; < a < δ g( ) L < ε e ε >, δ > ; < a < δ h( ) L < ε. Tomemos δ = mi { δ, δ}, como L ε < g( ) < L ε, L ε < h( ) < L ε e g ( ) f( ) h ( ), temos que L ε < g( ) f( ) h( ) < L ε, ou seja, L ε < f( ) < L ε. Logo, f( ) L < ε, o que sigifica f ( ) = L. a CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON. Se

23 Eemplo: Cosidere 5 < f( ) <, >. Determie f ( ). Limite Fudametal Trigoométrico: seθ =. θ θ seθ Demostração. Vamos demostrar que = θ θ med( TA) utilizado a figura ao lado, ode = tgθ, med( OA) π med( OA ) =, etão med( TA) = tgθ. Tomemos < θ <. Da figura, temos: área( Δ OAP) < área do setor( OAP) < área( OAT ) med( OA ) med( QP ) arco raio med( OA ) med( AT ) < < se θ θ tg tg se < < θ < θ < θ > θ >. seθ seθ θ cosθ seθ seθ Assim, θ > θ θ > θ cosθ > θ θ >. Pelo teorema do cofroto, temos seθ π =. Seguimos a mesma idéia costruido a figura de modo a termos < θ < e θ θ seθ seθ mostrado que =. Assim, =. θ θ θ θ Ao lado, o gráfico da fução seθ θ. Eemplos: a) se( kθ ) θ θ b) se( α ) β se( ) c) cosϕ ϕ ϕ Eistem algumas idetermiações matemáticas que aida ão apareceram em ossos estudos. Do tipo:,,,,. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON

24 Limites Fudametais Epoeciais: α i) = ± e α, ode α. ii) a = l a, para a >. Eemplos: a) b) t t t t c) d) e) l( z) z z f) ( b a) e com b a. ALGUMAS APLICAÇÕES DE LIMITES Retas assítotas. Dizemos que a reta y = k, k é uma assítota horizotal do gráfico de f ( ) se uma das codições é satisfeita: f ( ) = k ou f ( ) = k. e Eemplo: Ao lado, o gráfico de f( ) = si(4 ),5 e sua reta assítota horizotal y =, 5. y y =,5 gráfico de f() = si(4),5 e Observe que, este eemplo, a reta assítota itercepta o gráfico da fução em vários potos. Eercício Determie, se houver, retas assítotas horizotais do gráfico de cada fução: 7 a) f ( ) = b) g ( ) = tah c) h ( ) = 4. Dizemos que a reta = é uma assítota vertical do gráfico de f ( ) se uma das codições é satisfeita: f( ) =± ou f( ) = ±. Eemplo: Ao lado, o gráfico de f( ) =, uma assítota vertical = e uma assítota horizotal y =. y = y gráfico de f() = = Eercício Determie, se houver, retas assítotas verticais do gráfico de cada fução: 5 a) f ( ) = 5 b) g ( ) = c) h ( ) = f () t = 4 d) ( t ) t CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 4

25 Observação. Está claro etão que assítotas verticais evolvem ites ifiitos equato assítotas horizotais evolvem ites o ifiito. Eistem também as assítotas oblíquas.. Dizemos que a reta y = a b é uma assítota oblíqua do gráfico de ( ) f( ) y =. Desse modo, temos que: f se [ ] ± f ( ) a = e b= [ f( ) a]. ± ± Se o coeficiete a =, ão eiste assítota oblíqua. y gráfico de f() = 7 4 y = Eemplo: Ao lado: o gráfico de f( ) =, = uma assítota vertical e y = uma assítota oblíqua. 49 = 4 7 Eercícios Determie, se houver, todas as retas assítotas do gráfico de cada fução: 6 a) f () t = t t b) g ( ) = c) h ( ) = d) f() t = t e t 4 7 e) y = f) y y y = (sugestão: isole ) f ( ) f( ) Derivada de uma fução um poto. Sabe-se que, se eistir (fiito), etão f ( ) f( ) f ( ) = ode f ( ) sigifica a derivada da fução f o poto de abscissa. Eercícios Baseado-se este cohecimeto, determie o que se pede em cada ítem: a) f () para f ( ) =. b) g () para g ( ) =. c) h ( a) para ht () = t. d) Mostre que / f () quado f ( z) = z. e) Cosidere ( ) log f =, < a e a >. Mostre que f ( ) =. l a f) Cosidere a fução f ( ) = se e. Mostre que f ( ) = cos. Respostas: a ) b) / g () c) h ( a) = a. a CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 5

26 Covergêcia de uma série ifiita. Uma série umérica ifiita é uma epressão que pode ser escrita a forma a = a a a a. = Seja S a soma dos primeiros termos da série. Veja ao lado. Dizemos que a coverge se S = L (um úmero), = caso cotrário, a série = a diverge. S = a S = a a S = a a a S = a a a a = S a Eemplo: = =. Assim, ( ) S = a = S = a a = = 6 S = a a a = = 4 4 S4 = S a4 = = 4 5 S = Com a fórmula S = podemos calcular a soma de uma quatidade qualquer de termos da série, por eemplo, a soma dos primeiros termos é dada por S = =,99. Como queremos a soma dos ifiitos termos, ou seja, =, temos S = S = =. Isto sigifica que = =. ( ) = Eercícios: Para cada série dada, determie os seis primeiros termos da série, uma epressão para S e verifique se a série coverge ou diverge. b) c) l = ( )( ) = d) [ ( ) ] = Supoha uma série do tipo a r = a ar ar ar, ode, = r S = a recebe o ome de série geométrica (por quê?). Mostre que quado r <. Uma bola, jogada de uma altura de 6 metros, começa a quicar ao atigir o solo, como idica a figura ao lado. A altura máima atigida pela bola após cada batida o solo é igual a três quartos da altura da queda correspodete. Calcule a distâcia vertical total percorrida pela bola até parar. Sugestão: Utilize série geométrica. r ar. Este tipo de série e que S a = r CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 6

27 EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO LIMITE DE FUNÇÕES Esboços de gráficos de fuções elemetares, ites, ites laterais e cotiuidade.. Esboce o gráfico das fuções abaio, determie f ( ), f ( ) e, caso eista, ( ), > 4, < a) f ( ) =, = ( a= ),, < c) f ( ) = ( a= ) a a, e, < a f b) f ( ) =, = ( a= ) d) f ( ) = ( a=). Cosidere a fução de domíio,, < defiida por f ( ) =, <. log,.) Esboce o gráfico de f..) Determie: a) f ( ) c) f ( ) d) f ( ) b) f ( ) e) f ( ).. Determie, se possível, a para que eista, > 5 a, < a) f ( ) =, = ( =) f ( ), sedo: b) ( ) ( )( ) 4, f = = a, = ( ) 4. Cosidere as fuções dos ites a), b) e c) do eercício. Verifique se f é cotíua em = a. Justifique. 5. Potecial. O potecial φ de uma distribuição de carga um poto do eio dos é dado por πσ ( a ) se φ( ) = ode, a, σ > são costates. A fução φ é cotíua? πσ ( a ) se < 6. Determie, se possível, as costates a e b de modo que f seja cotíua em, sedo: a <,, a) f ( ) = ( = ) b, b, = b) f ( ) = ( = ) CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 7

28 , > b, < c) f ( ) = a, = ( =) d) ( ) ( π ).cos a, < f = 7 a, = = b >, ( ) 7. Esboce o gráfico de uma fução f satisfazedo as codições idicadas: Dom( f ) =, f ( ) =, f ( ) = mas f é descotíua em = e =. 8. Para cada um dos seguites ites, eiba o esboço gráfico de uma fução que satisfaz às codições: a) f ( ) = L e a D ( f ). a b) f é cotíua em, f ( ) = a a e f ( ) =. c) f ( ) =, f ( ) = L > e f ( a) <. d) f de domíio que seja descotíua em dois potos. 9. Seja f( ) 4 se( π ) resposta. =. A fução f atige o valor 7 o itervalo [, ]. Seja f :, [ ] [,] cotíua. Mostre que eiste [ ]? Justifique sua, tal que f ( ) =. Note que isto sigifica que o gráfico da fução f, obrigatoriamete, corta a primeira bissetriz.. Fução sial. A fução sial de é defiida por se > sg( ) = se = se < Verifique se f ( ) = sg( ) e G ( ) = sg( ) são fuções cotíuas. y gráfico de sg( ). Supoha que eiste um cojuto (itervalo) ( a r, a r) satisfaz a codição: f ( ) f( a) M a, para todo ( a r, a r) = a. e um úmero real M > tal que. Mostre que f é cotíua em. Supoha que f ( y) = f( ) f( y) para todos os y, e que f é cotíua em. Mostre que f é cotíua a. 4. Calcule os ites a seguir: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 8

29 b) 4 4 c) 4 se e) π cos f) a) ( 5 4 ) d) ( ) g) 9 j) sg ( ) h) 5 k) 5 sg ( ) i) 5 cos( π ) tg Limites ifiitos e ites o ifiito 5. Calcule f ( ) e f ( ) para as fuções do eercício. 6. Esboce o gráfico de cada fução f a seguir, e determie o que se pede: (Obs.: Use o Wiplot para visualizar os gráficos) a) f ( ) b) f ( ) 4, < =,, > ( ), > =, < log, > f =, =, < c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f, f, f, f, f, f, f, f Itervalos ode f é cotíua. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) f, f, f, f, f, f f ( ) ( ) ( ) ( ) f, f, f, f Estude a cotiuidade de f em =. 7. Campo elétrico. Uma esfera de raio R está carregada com uma uidade de eletricidade estática. A itesidade de um campo elétrico E = E ( ) um poto P localizado a uidades do cetro da esfera é determiada pela fução dada abaio. Verifique se a fução E cotíua e esboce seu gráfico. se < < R E ( ) = se = R se > R y R R R CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 9

30 8. Fução de Heaviside. A fução de Heaviside é utilizada o estudo de circuitos elétricos para represetar o surgimeto de correte elétrica ou de voltagem quado uma chave é istataeamete ligada e, é defiida por y se t < Ht () = se t a) Discuta a cotiuidade de f() t H( t ) gráficos o itervalo [ 4,4] ; = e de gt () H( se( πt) ) =. Esboce os respectivos b) A fução R() t = ct H() t ( c > ) é chamada rampa e represeta o crescimeto gradual a voltagem ou correte um circuito elétrico. Discuta a cotiuidade de R e esboce o gráfico para c =,,. Limites do tipo / evolvedo fatorações 9. Calcule os seguites ites: 4 a) d) 8 a g) a a aa j) se π ( 8) ( ) l) 8 b) e) ( a ) a h) a a a ( 4 6 )( 8 ) c) f) i) log m) Limites do tipo / evolvedo cojugado de radicais. Calcule os seguites ites: a) b) c) d) e) f) 4 4 g) 4 5 h) a i), a > a a j) 7 49 l) 4 m) a a ; a > a a Limites do tipo k/, ode k é costate e k. Calcule os seguites ites: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON

31 a) e) se 5 4 b) seh cos f) ( ) c) g) 5 ( 5) cos se d) h) Verifique, justificado, se f é cotíua em = o. a) ( ) ( )( ) 5 5, 5 f = = 75, = 5 ( 5) b) ( ) ( ) 4, 4 f = = 4, =4 ( 4). Calcule as costates de modo que: a) a = 4 b b b) d) f ( ) = e f ( ) = sedo f ( ) a b = 5 a b c d = 4 ( ) c) b a 5 = 4. Sabe-se que f( ) = 4 e g ( ) = 6. Mostre que f( ) =. g ( ) 5. Sabedo que f( ) = 8 e g ( ) =. Mostre que 4 f( ) =. g ( ) 6. Cotração de Loretz. Na teoria da relatividade especial, temos que o comprimeto de um objeto é fução de sua velocidade: Lv () = L v, ode L é o comprimeto do objeto em repouso e c é c a velocidade da luz. A velocidade da luz é de aproimadamete m/s. Da teoria da relatividade é cohecido que ehum objeto pode ir além da velocidade da luz; logo v c ; Lv ( ) =. Isto sigifica que para um observador parado o objeto desaparece. 8 v c 7. Massa relativística. Na teoria da relatividade especial, a massa de uma partícula é fução de sua velocidade: Mv () m v = c Ode m é a massa da partícula em repouso e c é a velocidade da luz. Logo, M ( v ) =, em v c outras palavras, se a velocidade de uma partícula aumeta, sua massa aumeta em relação à sua massa iicial m. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON

32 Idetermiações do tipo 8. Calcule os ites a seguir: a) b) ( )( 5) ( )( 4)( ) c) π se 4 d) 4 4 e) ( )( ) f) g) log ( ) ( log ) h) l l ( ) j) m) ( )! ( )! ( )! i) k) ( ) ) π ( ) l) ( ) ( ) ( ) ( ) o) ( ) Idetermiações do tipo 9. Calcule os ites a seguir: a) ( ) b) ( t t) t c) ( ) d) ( ) 4 Limites evolvedo fuções itadas. Calcule os ites a seguir: a) se b) se c) e se d) e 4 cos( ) 5 e) cos( l ) 7 f) cos Limites evolvedo o ite fudametal trigoométrico. Calcule os seguites ites: a) ( ) se 7 b) ( ) tg c) cos d) sec e) cos se f) 7 7cos CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON

33 g) se π π h) se se i) se ( a) se ( a) j) tg tg k) tg sec l) cos(cos ) m) arcse ) arctg Limite fudametal epoecial. Calcule os seguites ites: a) e) i) e a a b) c) a f), a >. g) j) k) h h a a, a >. e h) e e ; ab, se( a) se( b) a b d) l) a a, a > a a. Calcule as costates de modo que: a) b) b a = 6 8 b = c) ( ) a 9, < f = b, =, > seja cotíua em =. d) a b = e) a = 4. Verifique se f é cotíua em :,, = a) f ( ) = ( = ) 5. Estude a cotiuidade da fução f defiida abaio em, justificado. f ( ), > 4 4, 4 4 b) f ( ) = ( = 4), < e =, =, = 5 l 5, e 5 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON

34 6. Fractal de Koch. A Curva de Koch (floco de eve) é obtida em estágios pelo processo seguite: i) o estágio, ela é um triagulo equilátero de lado ; ii) o estágio é obtido a partir do estágio, dividido cada lado em três partes iguais, costruido eteramete sobre a parte cetral um triagulo eqüilátero e suprimido etão a parte cetral (veja a figura). Deote por A a área compreedida pela liha poligoal após passos; logo, 4 A =, em geral A = sigifica o resultado deste ite? para. Etão, A A =, 4 A =, = A =. O que 5 6 Agora, deote por P o perímetro da liha poligoal após passos. Logo, P =, P = 4, P =, 4 em geral, P =,. Etão, P = P =. O que sigifica este resultado? 7. Paradoo de Zeão. Na Grécia Clássica, foi travada uma disputa etre Aquiles e uma tartaruga, sob o júdice do sofista Zeão. Era cohecida a letidão da tartaruga, de modo que equato Aquiles corria m, a tartaruga percorria apeas m. Zeão afirmava categoricamete aquela época, que se a tartaruga largasse m a frete de Aquiles, ele uca a ultrapassaria e seu argumeto foi o seguite: equato Aquiles percorria m, a tartaruga percorrerá cm, de modo que a sua lideraça é idiscutível. Quado Aquiles vecer os cm que a tartaruga já percorreu, esta por sua vez, estará a cm a sua frete, e assim por diate. É óbvio que ehuma tartaruga gahou do maior corredor grego da atiguidade. Porém iguém coseguiu refutar Zeão satisfatoriamete. Etão: a) Ecotre as fuções que determiam a distacia percorrida por Aquiles e pela tartaruga, respectivamete, em fução do tempo. b) Eplique porque Aquiles ultrapassa a tartaruga, refutado o argumeto de Zeão, utilizado o coceito de ites, que ão era cohecido a aquela época. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 4

35 DEFINIÇÕES E GRÁFICOS DE ALGUMAS FUNÇÕES HIPERBÓLICAS. Utilizado as fuções epoecial e logaritmo atural podemos defiir outras fuções. As fuções trigoométricas hiperbólicas utilizam apeas a epoecial em suas defiições. As iversas das fuções trigoométricas hiperbólicas utilizam o logaritmo. As fuções trigoométricas hiperbólicas são defiidas por: e e e e y = cosh= y = seh= cosh e e y = cotgh= = y = sech= = seh e e cosh e e seh e e y = tgh= = cosh e e y = cosech= = seh e e y = arcseh Algumas relações fudametais etre fuções hiperbólicas.. cosh seh =. sech = tgh. cotgh = cosech 4. seh( y) = seh cosh y cosh sehy 5. cosh( y) = cosh cosh y seh sehy CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 5

36 6. seh( ) = seh cosh y 7. cosh( ) = cosh seh 8. cosh( ) cosh ( ) = 9. cosh( ) seh ( ) = CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 6

37 Tabela de idetermiações matemáticas f ( ) = g= ( ) h ( ) = h ( ) Simbolicamete ± ± f () g () ± ± ± = ± f () - g ()? ( ) ( ) é idetermiação. K f () g () k = 4 K f () g () k = 5 f (). g () 6 f (). g () 7 k > f (). g () 8 k < f (). g () ( )( ) = ( )( ) = ( ) k =, k > ( ) k =, k < 9 ± f (). g ()? ± é idetermiação. k ± f () / g () k / ± = ± ± f () / g ()? ± / ± é idetermiação. k > f () / g () k / =, k > f () / g () / = 4 k > - f () / g () 5 - f () / g () 6 f () / g ()? k / =, k > / = é idetermiação. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 7

38 RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO ) a) f ( ), f ( ) ( ) f = 5 =, ão eiste b) f ( ) f ( ) f ( ) = = = c) f ( ) f ( ) f ( ) = = = d) f ( ), f ( ) = =, ão eiste ( ) f..).) a), b), c), d), e). ) a) b) f ( ) qualquer. eiste, idepedete do valor de a. Por isso a pode ser um úmero real 4) a) Não é cotíua em = pois ão eiste f ( ) f ( ) f ( ). c) É cotíua em zero pois f ( ) f ( ) = =.. b) Não é cotíua em = pois 5) 6) a) a =. b) b= ou b=. c) a = 4 e b= 9 d) a = e b = 7) 8) 9) Note que a fução é cotíua e observe seu cojuto imagem. ) Utilize a fução :, [ ] [,] ) g defiida por g ( ) = f( ) e os teoremas de cotiuidade. ) Utilize a defiição formal de cotiuidade em um poto. ) CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 8

39 4) 5) a), b), c), d) -, 6) a) b) c) 7) 8) 9) ) a),,, ão eiste, 4, 4, 4,, { } b),,, ão eiste,,,.. c),,,, ão é cotíua em zero porque f ( ) f(). ). a) Não eiste pois = e =. se se b) c) 5 d) Não eiste pois 5 e e) f) Não eiste pois cos = e cos =. g) h) Não eiste pois = e =. ) a) é cotíua. b) f ão é cotíua em o = 4 pois ão eiste f ( ) ) a) a = 4, b= b) a =, b= 6 c) a =, b= 5 d) a =, b=, c= 6, d = 4 4) 5) 6) 7) 4. 8) a) b) - / c) d) e) 5, f) g) h) i) - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 9

40 9) a) b) c) d) ) a) b) c) d) e) f) ) a) 7 b) / c) ½ d) -/ e) / f) 7/ g) - h) i) cos(a) ) a) e b) e - c) e d) /e e) e a f) l(a) g) a h.l(a) ) a) a = 4, b= b) b = 6 c) a =, b= 8 4) a) f ão é cotíua em o =. b) f ão é cotíua em o = 4. 5) f é cotíua {,5} 6) 7). CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 4

41 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS. H. Ato. Cálculo Um Novo Horizote, vol, 6ª edição. Editora Bookma,.. L. D. Hoffma. Cálculo um Curso Modero e suas Aplicações, LTC.. G. Ávila. Itrodução às Fuções e às Derivadas. Editora Atual, Boulos, P. Itrodução ao Cálculo, vol. São Paulo. Ed. Edgard Blucher Ltda. 5. Edwards Jr., C. H. Peey, David E. Cálculo com Geometria Aalítica, Pretice-Hall, D. Figueiredo, A. Neves. Equações Difereciais Aplicadas, Col. Matemática Uiversitária. IMPA. 7. Piskouov. Cálculo Diferecial e Itegral, vol I e II. Editora Lopes da Silva. 8. Leithold, L. Cálculo com Geometria Aalítica. Harbra, Flemig, D. M. Cálculo A. 5 a edição. São Paulo. Makro Books, 99.. Ayres, F.J. Cálculo diferecial e itegral I. a edição.. Guidorizzi, H. L. Um Curso de Cálculo. Vol. I. Rio de Jaeiro. LTC Editora Iezzi, G. Fudametos de matemática elemetar. Vol. 8. São Paulo. Atual Editora Stewart, J. Cálculo Vol.. Ed. Pioeira. 4 a edição. 4. Muem, M. Cálculo. Vol.. Rio de jaeiro. Guaabara Dois Editora Piedo, C. Q. Cálculo Notas de aula. Cefet-PR, Pato Braco. 6. Piedo, Christia Q. Elemetos de Cálculo II. CEFET Pato Baco,. 7. George B. Thomas. Cálculo vol I e II. Pearso Educatio, Elo L. Lima. Aálse real, vol. ª. edição, Col Matemática Uiversitária. IMPA, 997. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I ERON 4