5 Aplicação empírica dos modelos

Transcrição

1 5 Aplicação empírica dos modelos A aplicação de modelos de difusão com salos em sido proeminene no esudo da esruura a ermo da axa de juros. No enano, viso que o processo de preços de commodiies, noadamene dos produos agrícolas, é marcado pela evidência de picos e salos, orna-se exremamene ineressane avaliar a consideração desas caracerísicas do mercado. Sendo assim, o presene esudo jusifica-se como um ferramenal alernaivo e moderno na modelagem de ais processos, uma vez que a lieraura de finanças parece ser escassa no que diz respeio à modelagem de commodiies agrícolas. Ese capíulo apresena a meodologia adoada, os conceios necessários ao seu enendimeno, assim como descreve a base de dados uilizada e os resulados obidos. 5.. O conexo dos processos - de Das: Sínese do arigo A meodologia uilizada fundamena-se na modelagem proposa por Das (998), quando esimou uma classe de processos Poissson para o comporameno esocásico da axa de juros nore-americana. Sendo assim, nesa seção será feia uma breve apresenação a respeio das conribuições do arigo como ferramenal para a aplicação dos méodos de difusão com salos. Nese esudo, Das baseou-se no processo de reversão à média com a inclusão de salos (jumps). A jusificaiva para a abordagem dos salos susenou-se pela observação de faos esilizados, a desacar o excesso de curose, do mercado de íulos e, por conseguine, da esruura a ermo da axa de juros. De acordo com Das, ese excesso de curose poderia alernaivamene ser capurado por meio dos processos - ou pelos modelos de volailidade esocásica ou ainda pelos

2 59 modelos mais simples com a volailidade variando no empo, ais como os processos ARCH. A análise eórica de Das foi esruurada essencialmene em quaro eapas, sendo elas: (i) Derivação da função caracerísica para os modelos proposos; (ii) Obenção das funções de densidade de probabilidade; (iii) Cálculo dos quaro primeiros momenos dos processos esocásicos, e por fim, (iv) Deerminação das expressões analíicas para os preços dos íulos. Em seguida, foi realizada uma inspeção empírica que conou com dados diários de janeiro de 988 a dezembro de 997, num oal de 609 observações. O processo de esimação dos parâmeros dos modelos foi realizado a princípio em empo conínuo aravés de procedimenos numéricos. De forma análoga, poseriormene, a esimação foi implemenada de modo bem mais simples, em empo discreo. A discreização do processo esocásico possibiliou raar a volailidade aravés de modelos do ipo ARCH aninhados a difusão de salos. O auor esendeu esa aproximação do modelo de forma a analisar os efeios dos dias da semana e das aividades do Banco Cenral americano (Federal Reserve) para a ocorrência de salos. Ouro processo de esimação empreendido por Das deu-se aravés da uilização do méodo dos momenos. Os resulados de Das corroboraram o desempenho dos modelos de difusão de salos aravés de uma melhoria subsancial no ajuse aos dados empíricos. Além disso, foi possível idenificar aravés dos salos evidências de que as reuniões do Fed de fao revelam informação ao mercado e, conseqüenemene, êm influência nos preços dos íulos. Foi consaado ambém que os efeios dos dias da semana são basane significaivos, de forma que a ocorrência de salos é mais provável nos dias de vencimeno das opções, influenciando assim na forma dos movimenos do mercado. 5.. Descrição dos modelos A esimação em empo conínuo consiui-se num processo numérico excessivamene inensivo no qual requer que a função de densidade, a ser submeida a oimização numérica, seja obida pela inversão de Fourier da função

3 60 caracerísica. Sendo assim, dada a sua maior simplicidade, nesa pesquisa opouse por adoar apenas a aproximação discrea como méodo de esimação. Com o inuio de se ober o melhor modelo para represenar o comporameno dos preços da commodiy café arábica, além do processo esocásico de reversão à média uilizado por Das, aqui a modelagem será esendida de forma a considerar ambém o processo geomérico browniano bem como sua variane com salos. Ouro acréscimo a abordagem de Das, será admiir que o ermo de variância dos processos de difusão siga ambém esruuras GARCH. Em empo discreo, os processos - adoados nesa pesquisa, endo por base o movimeno de reversão à média e o movimeno geomérico browniano, podem ser represenados, respecivamene, pelas equações a seguir. Processo - de Reversão à Média: ln( P ) = η [ θ ln( P )] + σ z + J ( µ, γ ) Π( ), () onde: q η é a velocidade anual de reversão; θ é a média de longo prazo do processo de reversão; σ é a variância anual do choque ; z é o ermo de choque normal padrão do processo de difusão. Tal como discuido no capíulo, raa-se de um processo de Wiener; J ( µ, γ ) é o ermo de choque do processo de salo, que é normalmene disribuído com média µ e variânciaγ. É inerpreado como o amanho do salo, e Π(q) é o incremeno de em empo discreo, aproximado de uma disribuição Bernoulli com parâmero q. Em ouras palavras, a chegada de salos é governada por um processo Π com parâmero de freqüência de chegada q, que denoa o número de salos por ano.

4 6 Processo - Geomérico Browniano: ln( P ) = α + σ z + J ( µ, γ ) Π( q), () onde α é o ermo de drif do processo. No enano, ao admiir os efeios ARCH e GARCH na modelagem da variância dos processos de difusão, as equações () e () são reformuladas de forma que σ seja dado pelas expressões a seguir. Variância condicional do modelo ARCH: = a + a [ ln( P ) E[ (ln( P )]] σ + 0 (3) Variância condicional do modelo GARCH [ ln( P ) E[ (ln( P )]] a σ + = a0 + a + σ (4) Dada a imporância do enendimeno dos modelos ARCH e GARCH para o processo de esimação, a seguir será apresenada uma descrição sucina a respeio dos conceios envolvendo ais modelos. Modelos ARCH Inroduzidos por Engle (98), os modelos da família ARCH (Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy) são modelos não lineares uilizados na deerminação da volailidade de séries emporais, principalmene financeiras, que apresenam a variância condicional evoluindo no empo. P Seja P o preço de uma commodiy no período e r = ln P o reorno composo coninuamene gerado pela commodiy no período enre - e.suponha-se que os reornos gerados possam ser descrios pelo seguine processo ARMA (p, q): r = c p i= q + u, c = φ + φ r θ u, (5) 0 i i i= i i

5 6 sendo p e q ineiros não negaivos e u uma série ruído branco com média zero e variância σ u. A idéia básica dos modelos ARCH é que o a variância incondiconal u é serialmene descorrelacionada, porém dependene, e a dependência de u pode ser descria por uma simples função quadráica de seus valores defasados. Maemaicamene, o modelo ARCH de ordem m, ARCH (m), é definido por: u = σ ε, σ = Var[ r Ω ] = E[ u Ω ] = α 0 + αu + + α mum L, (6) onde σ denoa a variância condicional dado o conjuno de informações disponíveis em -, Ω. As variáveis aleaórias ε são independenes e idenicamene disribuídas (iid) com média zero e variância. Os coeficienes α i devem saisfazer ceras condições de regularidade de forma a assegurar que a variância incondicional u seja posiiva e fracamene esacionária. Sendo assim, em-se que α m 0 > 0, α i 0 para i > 0 e α i < i=. Na práica, é comum assumir que ε segue a disribuição normal padrão ou uma disribuição -Suden. Da esruura do modelo, percebe-se que a volailidade aparece em grupos, sejam eles de maior ou menor variabilidade. Ou seja, grandes choques quadráicos passados { } m i i u = implicam em grandes variâncias condicionais. Conseqüenemene, u ende a assumir valores grandes (em módulo). Em ouras palavras, sob a esruura ARCH, grandes choques endem a ser seguidos por ouros grandes choques. Esa propriedade explica a aglomeração da volailidade observada nos reornos dos aivos. Modelos GARCH Embora o modelo ARCH seja simples, em geral, dado que exise ala persisência de choques na volailidade das séries de reornos, a ordem m do modelo cosuma ser elevada. Conseqüenemene, al fao requer a esimação de um grande número de parâmeros. Sendo assim, Bollerslev (986) propôs uma exensão do modelo ARCH, na enaiva de expressar de forma mais parcimoniosa a dependência emporal da variância condicional. Traa-se do modelo ARCH

6 63 generalizado, ou ainda, modelo GARCH (Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy). O modelo GARCH esabelece que a volailidade de uma série de reornos depende não somene dos quadrados das inovações, mas ambém das variâncias condicionais aneriores. Como aneriormene, seja u processo GARCH (m, s) se: = r c. Enão u segue um u + + m s, σ = Var[ r Ω ] = E[ u Ω ] = α 0 α iu i β j j i= j= = σ ε σ, (7) onde m represena a ordem do componene ARCH e s a ordem do componene GARCH. Novamene as variáveis aleaórias ε são independenes e idenicamene disribuídas (iid) com média zero e variância, sendo assumida a disribuição normal padrão ou -Suden. As resrições imposas aos parâmeros para que a variância do processo seja posiiva e fracamene esacionária são: max( m, s) α 0 > 0, α i 0, β j 0, e ( α i + βi ) <, (8) i= de forma queα = 0 para i > m e β = 0 para j i j > s. A persisência de choques na volailidade da série de reornos é medida pela soma de α m e β s. Assim, quano mais próxima de um for a soma, maior o empo que um choque na série levará para dissipar-se. Na equação (7), fazendo s = 0 o processo reduz-se ao modelo ARCH (m) puro. No enano, de acordo com Bollerslev e al. a especificação mais robusa verificada nas aplicações é a do modelo GARCH (, ) Esimação A viabilidade do processo de esimação do modelo - em empo discreo resula da aproximação de Bernoulli, inroduzida por Ball & Torous (983), na qual é adoado o pressuposo de que em cada inervalo de empo apenas um salo ocorre ou nenhum salo ocorre. Esa hipóese orna o procedimeno de esimação alamene raável, esável e convergene. Sob condições regulares, as esimaivas dos parâmeros são assinoicamene não

7 64 viesadas, consisenes e eficienes sendo obidas de maneira econômica usando a esimação por verossimilhança. A disribuição de Bernoulli consise num alicerce para a consrução de muias ouras disribuições em probabilidade, inclusive da disribuição de. Esa relação será apresenada a seguir. Seja uma variável esocásica que segue a disribuição de Bernoulli; onde X = se um salo ocorre, ou X = 0 caso conrário. Defina-se Ο( ) como o símbolo de ordem assinóica usado para denoar uma função ς, al que ς ( ) lim ς = = 0. Seja ainda a variável aleaória N() que represena o número de 0 evenos (salos) que ocorrem em um inervalo de empo de amanho. Denoe = n para um ineiro posiivo e arbirário n de forma que a subdivisão do inervalo (0, ) seja dada por n inervalos iguais de amanho. A variável represena o número de evenos que ocorrem em um subinervalo i. Sob a hipóese de incremenos independenes esacionários, em-se que n X i i= X i N( ) =. Ese é um processo de conagem dado pela soma de n variáveis aleaórias independenes e idenicamene disribuídas com as seguines propriedades: N(0) = 0 Prob[ X = 0] = λ + O( ) i Prob[ X = ] = λ + O( ) para i =,,..., n. i Prob[ X >] = O( ), i onde e λ é a axa de chegada dos salos. Para n grande, a probabilidade de um salo ocorrer num subinervalo i é desprezível de modo que X i é uma variável de Bernoulli com parâmero λ = λ. Logo, sendo a soma de n variáveis de Bernoulli i.i.d., N é, n aproximadamene, uma variável Binomial com a seguine disribuição:

8 65 Pr ob[ N n λ = k] k n k λ n n k k = 0,,, K, n. (9) Conseqüenemene, para um subinervalo de empo muio pequeno, ou seja, n endendo a infinio, a disribuição binomial aproxima-se da disribuição de, conforme a equação a seguir. n λ lim n k n k λ n n k = exp( λ)( λ) k! k k = 0,,, K. (0) No enano, considere agora que o inervalo de empo é muio pequeno. Nese caso, N pode ser saisfaoriamene aproximado pela variável aleaória de Bernoulli X com parâmero λ definida por: Prob[ X = 0] = λ e Prob[ X = ] = λ () Sendo assim, viso que o limie do processo Binomial é governado por uma disribuição de, a função de densidade do processo - pode ser esabelecido aravés de uma misura Bernoulli de disribuições Normais, conduzindo a difusão e os choques de salo. As probabilidades de ransição para o logarimo naural do preço, seguindo um processo de difusão com salos (do ipo MRM) de acordo com a equação (), são escrias como (para s > ): [ln( Ps ) ln( P ) η( θ ln( P )) µ ] f[ln( Ps ) ln( P )] = qexp ( σ + γ ) ln( Ps ) ln( P ) η( θ ln( P )) ] ( q)exp σ + π ( σ + γ ) πσ () Enquano que para o processo de difusão de salos baseado no MGB, apresenado na equação (), a expressão da densidade fica: [ln( Ps ) ln( P ) α µ ] f [ln( Ps ) ln( P )] = q exp ( σ + γ ) ln( Ps ) ln( P ) α ] ( q) exp σ π ( σ + γ ) πσ + (3) A variável q, probabilidade de um salo ocorrer no inervalo ao parâmero λ para a inensidade de chegada do salo, pela relação, é análoga q λ, onde

9 66 q = λ + Ο( ). Esa relação é responsável por aproximar a verdadeira densidade Poissson-Gaussiana a uma misura de disribuições Normais. As expressões () e (3) podem ser inerpreadas como uma combinação convexa de duas densidades Normais, sendo que uma delas em o ermo de variância aumenado pela variância do amanho do salo. O rabalho empírico da esimação foi realizado aravés do méodo da máxima verossimilhança, que consise em maximizar o logarimo da função de densidade de ransição para os veores de parâmeros dos processos, conforme expressão a seguir. max para o MRM : ( η, θ, µ, σ, γ, q) para o MGB : ( α, µ, σ, γ, q) T [ log( f [ln P s ln P ])] (4) Primeiramene, as esimaivas dos parâmeros dos processos foram obidas uilizando-se a ferramena Solver do Excel. Em seguida, os valores alcançados foram empregados como solução inicial para o desenvolvimeno da esimação no sofware Eviews (versão 4.), permiindo assim o conhecimeno das esaísicas de eses dos parâmeros. Sabe-se, no enano, que os mecanismos radicionais de oimização por vezes não são suficienemene robusos, embora al fao não implique que na práica eles não sejam uilizados com sucesso em ceras siuações. Denre as barreiras enfrenadas por eses mecanismos, podem-se desacar os seguines aspecos: Uilização de um único pono no espaço de soluções, que é manipulado ieraivamene sob algumas heurísicas (regras de ransição deerminísica); além das limiações sobre o espaço de busca no que se refere a condições de coninuidade e exisência de derivadas. Eses faores podem afear os resulados de forma que não se em garanias da convergência para soluções óimas em níveis globais. Dese modo, viso que os Algorimos Genéicos são muio eficienes para busca de soluções óimas, ou aproximadamene óimas em uma grande variedade de problemas, opou-se por uilizá-los como uma alernaiva ao processo de esimação dos parâmeros. Para al arefa, foi uilizado o sofware RiskOpimizer for Excel (versão.0). Os resulados da esimação e a comparação enre o méodo

10 67 radicional (do Solver e do Eviews) e os Algorimos Genéicos (do RiskOpimizer) serão examinados mais a frene (seção 5.5). Porém, a seguir serão apresenados os conceios básicos a respeio dos Algorimos Genéicos. Algorimos Genéicos (AG s) Os Algorimos Genéicos, desenvolvidos a principio por John Holland (975), são méodos compuacionais de busca e oimização baseados na eoria da evolução naural e da genéica. Seu procedimeno de busca difere-se das écnicas de oimização radicional, uma vez que operam paralelamene sobre uma população de soluções e uilizam regras de ransição probabilísicas. A aplicação dos Algorimos Genéicos é recomendada em problemas de oimização com espaços de busca muio complexos, que envolvem um grande número de variáveis e, por conseguine espaços de soluções de dimensões elevadas. Além disso, os Algorimos Genéicos produzem resulados saisfaórios em ermos de convergência (possibilidade de escapar de máximos ou mínimos locais), mesmo quando ouras esraégias de oimização falham. Oura vanagem dos AG s deve-se a sua robusez, uma vez que não são um méodo sensível a erros de arredondameno. O pono de parida para a uilização de Algorimos Genéicos em um problema qualquer é a represenação das possíveis soluções em uma esruura de dados que possa ser manipulada compuacionalmene. Em geral, esas represenações são formadas por uma seqüência de símbolos gerados a parir de um alfabeo finio. Tradicionalmene, o alfabeo binário é o mais uilizado, onde os elemenos da cadeia de bis denoam a presença () ou ausência (0) de uma caracerísica. Em analogia a genéica biológica, em-se que a seqüência de caraceres é um cromossomo (ou genóipo) e cada elemeno equivale a um gene. Os cromossomos represenam os indivíduos e o conjuno de indivíduos uma população. Eses indivíduos correspondem a um pono no espaço de soluções do problema de oimização. O processo adoado nos Algorimos Genéicos consise em gerar, aravés de regras específicas, um grande número de indivíduos, população, de forma a promover uma varredura ão exensa quano necessária do espaço de soluções.

11 68 Em linhas gerais o funcionameno dos Algorimos Genéicos pode ser explicado em ermos da represenação do problema, do uso de rês operadores (seleção, cruzameno e muação), e de uma função de avaliação de apidão. A esruura básica dos Algorimos Genéicos consise nas seguines eapas: ) Inicialização: Gera-se de maneira aleaória uma população de N cromossomos (soluções candidaas para o problema). O amanho da população (N) é um dos parâmeros de um AG, sendo imporane que a população inicial cubra a maior área possível do espaço de busca, sem ineressar se são boas ou não. ) Avaliação: Durane o processo evoluivo esa população é avaliada de modo a refleir o seu grau de adapação a função objeivo. O inuio é descobrir quais indivíduos serão escolhidos para reproduzirem-se e sobrviver. Dese modo, ainda nesa fase os indivíduos são ordenados conforme sua apidão. 3) Nova população: Cria-se uma nova população aravés da aplicação dos operadores genéicos. Eses operadores garanem a ransformação da população aravés de sucessivas gerações, esendendo a busca aé chegar num resulado saisfaório. Eles são necessários para que a população se diversifique e preserve caracerísicas de adapação adquiridas pelas gerações aneriores. Os operadores genéicos são: Seleção Baseado no princípio de seleção naural Darwiniano, o operador seleção privilegia a sobrevivência dos mais apos. A apidão dos indivíduos é direamene proporcional à probabilidade deses serem selecionados e conribuírem para a criação de indivíduos em uma próxima geração. Ese operador em como caracerísica básica a sua concepção probabilísica. Cruzameno (Cross-over) Após o processo de seleção, os indivíduos são escolhidos aleaoriamene aos pares para serem recombinados. O operador de cross-over execua uma roca de

12 69 informações enre dois indivíduos a parir do coneúdo de seus cromossomos, originando novos descendenes com maerial genéico de seus progeniores. A aplicação ou não do cross-over após a escolha de dois cromossomos é probabilísica, iso é, dois novos híbridos podem ser produzidos, ou enão os dois indivíduos inicialmene selecionados são preservados. Esa probabilidade, denoada por probabilidade de cross-over, é especificada pelo usuário. Na lieraura recomenda-se que a axa de cross-over eseja na faixa de 60 a 65%. Muação: A operação de muação é uilizada para garanir uma maior varredura do espaço de esados e eviar que o Algorimo Genéico convirja muio cedo para óimos locais. A muação é realizada alernando-se o valor de um gene de um individuo soreado aleaoriamene com uma deerminada probabilidade, conhecida por probabilidade de muação. Dese modo, vários indivíduos da nova população podem er seus genes alerados aleaoriamene. Geralmene, a axa de muação fica em orno de 0, a 5%. Por fim, ouro aspeco relevane refere-se à subsiuição da população aniga pela nova geração, o que pode ser feia oal ou parcialmene. No úlimo caso, apenas os piores indivíduos são subsiuídos, recebendo o nome de Seady- Sae Reproducion.

13 Dados A commodiy escolhida para esar a meodologia proposa refere-se ao café arábica 6. A série hisórica de preços à visa do café foi obida no sie do Cenro de Esudos Avançados em Economia Aplicada da Escola Superior de Agriculura Luiz de Queiroz (CEPEA/ ESALQ), da Universidade de São Paulo. O parágrafo a seguir descreve a meodologia uilizada pelo CEPEA no cômpuo dese indicador. O indicador CEPEA/ESALQ de café arábica é apurado diariamene aravés das coações em reais de preços praicados por saca de 60 quilos líquidos (R$/ saca) enre correores, cooperaivas, orrefadores e exporadores, referenes às negociações no mercado físico de loes enre empresas. Eses preços são coleados nas principais praças de comercialização do país (Cerrado, Mogiana (SP), Sul de Minas Gerais, Paulisa (SP) e noroese do Paraná), sendo que os valores são poso São Paulo, sempre com referência a Bolsa de Nova York. Os preços fornecidos pelos agenes auanes em diferenes segmenos da cadeia são os faurados para pagameno em 7 dias, a reirar. Uma vez coleados, os preços são desconados pelo período de pagameno aravés da NPR (Noa Promissória Rural), e acrescidos dos cusos de free da região de origem aé a praça de São Paulo, local de enrega. O indicador de preços é calculado por uma média ponderada das médias regionais, sendo o faor de ponderação proporcional à paricipação de cada região, aneriormene mencionada, na produção de café. O valor do indicador não considera imposos. O indicador em dólares americanos é calculado pela axa de câmbio comercial para venda coado às 6h30. 6 A classificação do café é uma fase muio imporane para seu processo de comercialização, pois aravés da análise dos grãos é que são definidos os valores financeiros do produo. Essencialmene, exisem duas formas de classificação: (i) por ipo ou defeio (com base na conagem de grãos defeiuosos e impurezas conidas numa amosra de 300g, de acordo com a Tabela Oficial Brasileira de Classificação); e (ii) pela qualidade, na qual são levados em consideração faores como cor, orração, descrição, peneira e, principalmene, a bebida (avaliação das caracerísicas aromáicas e gusaivas). O padrão do café arábica objeo de pesquisa do indicador CEPEA/ESALQ aende às especificações do café negociado na BM&F, ou seja, raa-se do café arábica ipo 6, bebida dura para melhor. Tal descrição denoa, em ermos da classificação mencionada acima, um café com 86 grãos defeiuosos numa amosra de 300g (ipo 6) e que apresena goso acre, adsringene e áspero, podendo exibir sabor superior (bebida dura para melhor) um pouco mais suave, com adsringência ou aspereza mais leves, mas não podendo er sabor de iodofórmio (caracerísicas de cafés rio/riado).

14 7 O indicador CEPEA/ESALQ, uilizado para regisrar os preços praicáveis no mercado físico brasileiro, represena um mecanismo de apoio e elemeno referencial para análises de mercado, refleindo indireamene as oscilações dos preços no mercado fuuro. No caso do café arábica, a comparação enre físico e fuuro é favorecida pela similaridade enre o padrão do produo coleado pelo CEPEA e o negociado pela BM&F (Ribeiro, Sousa e Rogers, 006). Sendo assim, embora o mercado físico alerne períodos de menor liquidez com momenos onde a liquidez é maior (quando cafeiculores precisam fazer caixa para cusear a colheia, por exemplo), pelas razões expliciadas acima, jusifica-se a uilização da série à visa nesa disseração. A figura 5. ilusra o comporameno dos preços à visa e do conrao fuuro de primeiro vencimeno negociado na BM&F. Figura 5. Comparação enre os preços à visa e fuuro do café arábica (000 a 007) 60 Indicador CEPEA do Café Arábica versus Preços do Conrao Fuuro de Primeiro Vencimeno BM&F 40 0 US$/saca 60 Kg jan/00 mai/00 se/00 jan/0 mai/0 se/0 jan/0 mai/0 se/0 jan/03 Fones: CEPEA/ESALQ e BM&F mai/03 se/03 jan/04 Daa mai/04 se/04 jan/05 mai/05 se/05 jan/06 mai/06 Indicador Conrao Fuuro se/06 jan/07 mai/07 Os dados do indicador CEPEA/ESALQ são disponibilizados diariamene a parir de 0/09/996 em reais (R$/ saca). No enano, foi calculada a média dos preços de cada mês a fim de se rabalhar com observações mensais. Para a esimação dos modelos em esudo foi uilizada uma amosra que compreende o período de seembro/996 a dezembro/004, compondo uma base de dados de 00 meses (ou equivalenemene, 068 dias). Para efeio de comparação da previsão fora da amosra, foram separadas algumas observações, que abrangem o período

15 7 de janeiro/005 a agoso/007, consiuindo um oal de 3 meses (ou semelhanemene, 667 dias). Com o objeivo de que os dados refleissem apenas fluuações de seu valor inrínseco e não do processo econômico como um odo, a série de preços foi deflacionada para agoso/007. O deflaor adoado foi o Índice de Preços ao Aacado- Disponibilidade Inerna (IPA-DI- Média Geral), obido no sie da Fundação Geúlio Vargas (FGV Dados). Na abela 5. são apresenadas algumas esaísicas descriivas básicas da série de preços. Tabela 5. Esaísicas descriivas da série de preços deflacionada do café no período de 09/996 a 08/007 (3 meses) Esaísicas Média 33,0896 Mediana 73,888 Máximo 75,3885 Mínimo 7,58 Desvio padrão 40,879 Assimeria,47 Curose 3,645 Fone: Dados da pesquisa Devido à grande variabilidade das observações, opou-se ainda em rabalhar com a série em escala logarímica, cujo comporameno é ilusrado na figura 5.. Figura 5. Logarimo dos preços da commodiy café arábica (996 a 007) 7,0 Logarimo dos Preços 6,5 6,0 5,5 5,0 4,5 se/96 fev/97 jul/97 Fone: Dados da pesquisa dez/97 mai/98 ou/98 mar/99 ago/99 jan/00 jun/00 nov/00 abr/0 se/0 fev/0 jul/0 dez/0 mai/03 ou/03 mar/04 ago/04 jan/05 jun/05 nov/05 abr/06 se/06 fev/07 jul/07

16 73 Por uma simples inspeção visual dos dados, percebe-se uma endência de decréscimo dos preços no período de maio de 997 a julho de 00, a parir do qual a variável apresena uma leve recuperação. As esaísicas descriivas da série logarímica são apresenadas na figura 5.3. Ao analisar a forma da disribuição dos dados em relação à disribuição Normal, os coeficienes de assimeria e curose revelam, respecivamene, uma disribuição levemene assimérica à direia (assimeria posiiva) e plaicúrica (mais achaada em sua pare superior). O ese de Jarque-Bera mosra que a série não é normalmene disribuída, pois ao nível de 5% de significância a hipóese nula de normalidade é rejeiada. Figura 5.3 Hisograma e esaísicas descriivas da série do logarimo dos preços do café no período de 09/996 a 08/007: Ou pu do sofware Eviews Series: Logarimo dos Preços Sample 996:09 007:08 Observaions 3 Mean Median Maximum Minimum Sd. Dev Skewness Kurosis Jarque-Bera.0046 Probabiliy Fone: Dados da pesquisa Anes de se proceder com a modelagem propriamene dia, realizou-se uma análise a fim de saber se a série pode ser considerada esacionária ou não. Para esa análise, foi uilizado o gráfico da função de auocorrelação da série e a aplicação de um méodo formal de ese de raiz uniária. O ese aplicado foi o de Dickey Fuller aumenado (ADF - Augmened Dickey-Fuller). O decaimeno leno da função na figura 5.4 represena um indício de não esacionariedade. Tal comporameno, porano, é consaado ao se observar a magniude do p-valor aribuído ao ese ADF na figura 5.5, o que leva foremene a não rejeiar a hipóese de não esacionariedade da série em quesão. No enano, cabe ressalar que ese resulado não apresena nenhuma implicação para a modelagem

17 74 empregada. A análise da esacionariedade foi procedida apenas como um adicional a invesigação do comporameno da série, realizada aneriormene. Figura 5.4 Função de auocorrelação da série de preços do café Fone: Dados da pesquisa Figura 5.5 Resulado do ese de Dickey-Fuller: Ou pu do Eviews Null Hypohesis: ln do Preço has a uni roo Exogenous: Consan Lag Lengh: (Auomaic based on HQ, MAXLAG=7) -Saisic Prob.* Augmened Dickey-Fuller es saisic Tes criical values: % level % level % level *MacKinnon (996) one-sided p-values. Fone: Dados da pesquisa 5.5.Resulados Nesa seção serão reporados e analisados os resulados da esimação pelo méodo da máxima verossimilhança das variações consideradas a parir do modelo de difusão de salos de Das. Esas variações consisem em seis modelos, que foram esimados ano para o processo de reversão à média quano para o movimeno geomérico browniano, decorrenes das equações gerais dadas em () e () misuradas aos processos ARCH e GARCH descrios em (3) e (4),

18 75 respecivamene. Os resulados da esimação para o período de seembro de 996 a dezembro de 004 são apresenados nas abelas 5. (para o MRM) e 5.3 (para o MGB). No enano, para um melhor enendimeno deses resulados, anes de apresená-los será feia uma breve exposição de cada modelo, desacando os parâmeros a serem esimados em cada um. Processo Puro de Reversão à Média: ln( P ) = η [ θ ln( P )] + σ z, (.) onde os parâmeros a serem esimados são: η (velocidade anual de reversão); θ (média de longo prazo do processo de reversão) e σ (variância anual do choque ). Processo ARCH de Reversão à Média: ln( P ) = η [ θ ln( P )] + σ z, σ = a + a ln( P ) E[ (ln( P )] (.) onde + [ ] 0 De forma que os parâmeros a serem esimados são os mesmos do modelo (.) acrescidos dos parâmeros a 0 e a, consanes da variância do processo ARCH. Processo GARCH de Reversão à Média: ln( P ) = η [ θ ln( P )] + σ z, + = a0 + a ln( P ) E[ (ln( P )] + aσ σ (.3) onde [ ] Sendo a consane a adicionada ao conjuno de parâmeros a serem esimados pelo modelo (.) Processo - de Reversão à Média: ln( P ) = η [ θ ln( P )] + σ z + J ( µ, γ ) Π( ), (.4) q

19 76 Além dos parâmeros do processo de difusão η, θ e σ ; no processo - são ainda esimados os parâmeros µ, γ (respecivamene, média e variância da variável amanho do salo) e q (freqüência de chegada dos salos). Processo ARCH - de Reversão à Média: ln( P ) = η [ θ ln( P )] + σ z + J ( µ, γ ) Π( q), σ = a + a ln( P ) E[ (ln( P )] (.5) onde + [ ] 0 Os parâmeros a serem esimados são: η, θ, σ µ, γ, q, a 0 e a. Processo GARCH - de Reversão à Média: ln( P ) = η [ θ ln( P )] + σ z + J ( µ, γ ) Π( q), + = a0 + a ln( P ) E[ (ln( P )] + aσ σ (.6) onde [ ] Os parâmeros a serem esimados são: η, θ, σ µ, γ, q, a, a e 0 a. Processo Puro Geomérico Browniano: ln( P ) = α + σ z, (.) onde os parâmeros a esimar são: α e σ (ermo de drif e variância do processo, respecivamene). Processo ARCH Geomérico Browniano: ln( P ) = α + σ z, σ = a + a ln( P ) E[ (ln( P )] (.) onde + [ ] 0 De forma que os parâmeros a serem esimados são os mesmos do modelo (.) acrescidos dos parâmeros a 0 e a, consanes da variância do processo ARCH.

20 77 Processo GARCH Geomérico Browniano: ln( P ) = α + σ z, + = a0 + a ln( P ) E[ (ln( P )] + aσ σ (.3) onde [ ] Os parâmeros a serem esimados são: α, σ, a, a e 0 a. Processo - Geomérico Browniano: ln( P ) = α + σ z + J ( µ, γ ) Π( q), (.4) Os parâmeros a serem esimados são α e σ, perinenes ao processo de difusão; além dos parâmeros do processo de salos µ, γ e q. Processo ARCH - Geomérico Browniano: ln( P ) = α + σ z + J ( µ, γ ) Π( q), σ = a + a ln( P ) E[ (ln( P )] (.5) onde + [ ] 0 Os parâmeros a serem esimados são os mesmos da equação (.4) junamene com as consanes a 0 e a do processo ARCH. Processo GARCH - Geomérico Browniano: ln( P ) = α + σ z + J ( µ, γ ) Π( q), + = a0 + a ln( P ) E[ (ln( P )] + aσ σ (.6) onde [ ] Os parâmeros a serem esimados são: α, σ, µ, γ, q, a, a e 0 a.

21 78 Tabela 5. Resulados da esimação (MRM) Parâmeros Puro ARCH GARCH ARCH GARCH Solver Eviews AG Solver Eviews AG Solver Eviews AG Solver Eviews AG Solver Eviews AG Solver Eviews AG η 0,68 0,68 0,68 0,3095 0,300 0,3095 0,3095 0,30 0,3095 0,4680 0,4680 0,4675 0,4857 0,498 0,4807 0,480 0,4908 0,4596 -Saisic,07,077,080,8568,983,8035 p-value 0,37 0,7 0,7 0,0633 0,0473 0,073 θ 5,6489 5,6489 5,6489 5,508 5,5066 5,508 5,508 5,5065 5,508 5,004 5,004 5,0004 5,00 4,9706 4,7390 5,0066 4,986 4,8333 -Saisic,6458,7589,7587 8,06 7,970 7,8659 p-value 0,0000 0,0000 0,0000 0,000 0,0000 0,0000 σ 0,0900 0,0900 0,0900 0,055 0,055 0,055 -Saisic 3,4559 3,63 p-value 0,0000 0,006 µ 0,359 0,359 0,358 0,93 0,89 0,0967 0,308 0,304 0,000 -Saisic 4,747 3,868 3,7496 p-value 0,0000 0,000 0,000 γ 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,00 0,0000 0,0000 0,005 -Saisic * * * p-value * * * q 0,00 0,00 0,007 0,840 0,976 0,353 0,803 0,95 0,870 -Saisic -,6 -,309 -,354 p-value 0,069 0,96 0,76 a 0 0,087 0,087 0,087 0,087 0,087 0,087 0,053 0,053 0,0478 0,0459 0,0450 0,0503 -Saisic -5,5476-5,5476-7,7503 -,887 p-value 0,0000 0,0000 0,0000 0,086 a,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000,0000 0,8834 0,8806 0,9685 -Saisic * * * 0,785 p-value * * * 0,8584 a 0,0000 0,0000 0,0000 0,66 0,94 0,035 -Saisic * ** p-value * ** Log-likelihood 0,746 0,746 0,746 0,330 0,38 0,330 0,330 0,38 0,330 0,909 0,909 0,909 03,685 03,63 03,96 03,9 03,870 03,387 Fone: Dados da pesquisa *Os parâmeros foram fixados conforme os valores apresenados na abela/ **O valor do parâmero saiu por diferença, uma vez que no modelo GARCH Σa +a =

22 79 Tabela 5.3 Resulados da esimação (MGB) Parâmeros Puro ARCH GARCH ARCH GARCH Solver Eviews AG Solver Eviews AG Solver Eviews AG Solver Eviews AG Solver Eviews AG Solver Eviews AG α -0,0304-0,0304-0,0304-0,0656-0,0656-0,0656-0,0656-0,0656-0,0656-0,56-0,56-0,576-0,378-0,684-0,89-0,30-0,36-0,57 -Saisic -0,87-0,603-0,6034-0,473-0,3345-0,389 p-value 0,7740 0,5464 0,5463 0,6374 0,7380 0,74 σ 0,090 0,090 0,090 0,0696 0,0696 0,0695 -Saisic 3,6648-4,5534 p-value 0,0000 0,0000 µ 0,35 0,35 0,34 0,06 0,0984 0,09 0,046 0,060 0,04 -Saisic,5643,35 0,8978 p-value 0,77 0,49 0,3693 γ 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 -Saisic * * * p-value * * * q 0,657 0,657 0,670 0,438 0,754 0,349 0,356 0,374 0,3 -Saisic -0,4798-0,99-0,338 p-value 0,6374 0,7704 0,746 a 0 0,083 0,084 0,083 0,083 0,084 0,083 0,068 0,0680 0,0686 0,06 0,0543 0,0660 -Saisic -5,768-5,770-3,833 -,5344 p-value 0,0000 0,0000 0,000 0,49 a,0000,0000,0000,0000,0000 0,9998 0,9809 0,970 0,984 0,944 0,796 0,9644 -Saisic * * 0,074 0,68 p-value * * 0,945 0,8664 a 0,0000 0,0000 0,0000 0,0856 0,038 0,0356 -Saisic * ** p-value * ** Log-likelihood 0,737 0,737 0,737 0,635 0,606 0,635 0,635 0,606 0,635 0,5033 0,5033 0,5033 0,78 0,7748 0,7809 0,7893 0,774 0,7863 Fone: Dados da pesquisa *Os parâmeros foram fixados conforme os valores apresenados na abela/ **O valor do parâmero saiu por diferença, uma vez que no modelo GARCH Σa +a =

23 80 A validação das variáveis dos modelos esimados foi empregada aravés do ese esaísico de Suden e de seu p-valor associado, conforme as abelas 5. e 5.3. Aravés da análise do p-valor, ao nível de significância de % e 5%, pôde-se consaar que o único modelo, denre os modelos esimados, a apresenar odas as esimaivas dos parâmeros esaisicamene significaivas foi o modelo GARCH Geomérico Browniano. Conseqüenemene, verificou-se que a não significância dos parâmeros faz com que um modelo decaia sobre o ouro. Sendo assim, observou-se que: Para a classe de modelos Reversão à Média Os modelos ARCH Puro e GARCH Puro, onde o único parâmero significaivo (ano ao nível de % como a 5% de significância) é a velocidade de reversão (η), reduzem-se ao modelo Puro. Já para os processos de difusão com salos, o modelo ARCH, cujos parâmeros significaivos (ao nível de % de significância) são a velocidade de reversão (η) e a freqüência dos salos (q), reduz-se ao modelo. No enano, o modelo GARCH é um caso a pare, no qual ao nível de % de significância, apresena os seguines parâmeros significaivos: η, q, a e a 0. Logo, ese modelo não recai em nenhum ouro anerior. Para a classe de modelos Geomérico Browniano Assim como os modelos de Reversão à Média, a não significância de odos os parâmeros dos modelos implica na redução a um modelo mais simples. Dese modo, para os processos de difusão puro (sem salos), os modelos ARCH e GARCH apresenam, ao nível de % e 5% de significância, apenas o ermo de drif (α) como significaivo; e assim ais modelos reduzem-se ao modelo Puro. Porém, o mesmo não aconece para os modelos de difusão com salos. O modelo ARCH apresena, ano ao nível de % como a 5% de significância, os parâmeros α, µ, q, e a como significaivos. Enquano, que o modelo GARCH

24 8 em odos os parâmeros significaivos. Sendo assim, ais modelos não sobrepõem nenhum ouro. Ainda analisando os resulados obidos, consaou-se que o procedimeno de esimação realizado aravés da ferramena Solver do Excel apresenou os melhores resulados para a função de verossimilhança, enquano que o Eviews e os Algorimos genéicos por ora mosraram-se iguais ou ligeiramene inferiores. Por conseguine, a comparação do desempenho do ajuse dos modelos será baseada nos resulados do Solver. Embora os Algorimos genéicos apresenem-se como uma alernaiva de caráer genérico aos problemas de oimização, com soluções saisfaórias; não há como assegurar seu sucesso. Os AG s raam-se de méodos de busca cega, uma vez que não êm conhecimeno específico do problema a ser resolvido e guiam-se apenas pela função objeivo. São méodos codificados que não rabalham direamene com o domínio do problema e sim com represenações dos seus elemenos. Apresenam ainda caracerísicas esocásicas (aleaórias), que combinam em proporção variável regras probabilísicas e deerminísicas. Dese modo, ais faos podem ser uma jusificaiva para o fao dos AG s não erem enconrado solução melhor que o méodo radicional. É provável que os AG s enham convergido para um máximo local, viso que para aquela região ele consiui-se na melhor solução; apesar de não ser a melhor solução denro do espaço de busca. Para avaliar o poder de aderência dos modelos aos dados (goodness of fi), foram calculadas rês diferenes medidas de erro. Roo Mean Squared Error T ( série previsão ) = ( (5) RMSE ) = T Mean T ( série previsão ) = Absolue Deviaion ( MAD ) = (6) T T ( série previsão ) Mean Absolue Percenage Error ( MAPE ) = *00 % (7) T Cabe ressalar que os erros (RMSE, MAD e MAPE) foram analisados fora da amosra, considerando ano a série de preços como a série de seus logarimos. = série

25 8 Porém, para uma validação mais adequada dos modelos é relevane a adoção de criérios que considerem as quanidades de parâmeros de acordo com o princípio da parcimônia. Em geral, à medida que um número maior de parâmeros pode melhorar o ajuse aos dados, o modelo pode apresenar um elevado grau de complexidade e, conseqüenemene, a probabilidade de se ober previsões menos precisas orna-se maior. Logo, um bom modelo maném o equilíbrio enre o ajuse e o número de prediores. Os criérios aplicados de acordo com ese princípio foram: Akaike Informaion Crierion ( AIC) = ( l T ) + ( k T ) (8) Bayesian Informaion Crierion ( BIC) = ( l T) + k ln( T) T (9) Hannan Quinn Crierion ( HQ) = ( l T ) + k ln[ ln( T )] T (0), onde l significa o valor da função de verossimilhança com k parâmeros esimados usando T observações. Eses criérios de informação foram calculados de acordo com as definições adoadas pelo Eviews, pelas quais são esabelecidas que - vezes a função de verossimilhança deve ser ajusada por uma função de penalização. Os resulados obidos, ano para as medidas de erro como para os criérios, enconram-se nas abelas 5.4 e 5.5. Os valores enconrados para os erros (Mean Absolue Deviaion - MAD) da série de preços do café (para o período de jan/05 a ago/07) ficaram em orno de R$4,89/saca para os modelos MGB e R$5,00/saca para os modelos MRM. Embora eses valores sejam bem maiores quando comparados aos erros obidos pelo logarimo da série; ais resulados mosram-se plausíveis, viso que a série dos preços para o período em quesão fica em orno de R$75,57/saca de 60 kg. O modelo selecionado será aquele que minimiza os valores dos criérios. Para ambos os casos (MRM e MGB), embora os modelos enham apresenado um desempenho basane semelhane, pode-se verificar uma ênue melhoria para o processo Puro. Além disso, percebe-se ambém que o processo oriundo do movimeno geomérico browniano em um ajuse um pouco melhor. No enano, aravés de uma simples inspeção visual (figura 5.6) da comparação ouof-sample enre os modelos do MRM e MGB não se consegue aponar ais diferenças.

26 83 Por fim, o modelo a ser adoado para represenar o processo de preços do café arábica no período em quesão é o processo Puro baseado no movimeno geomérico browniano. Conforme relaado na lieraura, inclusive em Das, o comporameno lepocúrico da disribuição dos dados consise num indício da presença de salos, jusificando a necessidade da aplicação dos modelos de difusão de salos. Todavia, na análise descriiva realizada aneriormene, viu-se que os dados desa pesquisa comporam-se de acordo com uma disribuição plaicúrica. Sendo assim, o fao de nenhum modelo com salo er se mosrado melhor que o processo Puro consise numa conclusão plausível. Ouro resulado da modelagem que vai de acordo com as análises aneriores refere-se a não esacionariedade da série, que condiz com a caracerísica do movimeno geomérico browniano. Tabela 5.4 Resumo do desempenho dos modelos no ajuse aos dados (MRM) Erro Puro ARCH Série dos preços do café GARCH ARCH GARCH RMSE 9,88 9,396 9,396 0,6797 0,8599 0,803 MAD 4,4005 4,5004 4,5004 5,499 5,573 5,573 MAPE (%) 5,334 5,3946 5,3946 5,85 5,97 5,8966 Série do logarimo dos preços Erro Puro ARCH GARCH ARCH GARCH RMSE 0,065 0,0648 0,0648 0,0649 0,0645 0,0645 MAD 0,057 0,050 0,050 0,0530 0,05 0,053 MAPE (%) 0,9375 0,953 0,953 0,94 0,98 0,99 Criérios de validação baseados no princípio da parcimônia Criério Puro ARCH GARCH ARCH GARCH AIC -,9745 -,9666 -,9466 -,938 -,934 -,9038 BIC -,8963 -,864 -,864 -,787 -,740 -,6954 HQ -,949 -,944 -,8939 -,8748 -,8496 -,895 Fone: Dados da pesquisa

27 84 Tabela 5.5 Resumo do desempenho dos modelos no ajuse aos dados (MGB) Erro Puro Medidas de erro calculadas para a série dos preços do café ARCH GARCH ARCH GARCH RMSE 8,709 8,7089 8,7089 8,709 8,7089 8,7089 MAD 4,8903 4,8898 4,8898 4,8903 4,8898 4,8899 MAPE (%) 5,350 5,349 5,349 5,350 5,349 5,349 Medidas de erro calculadas para a série do logarimo dos preços Erro Puro ARCH GARCH ARCH GARCH RMSE 0,0656 0,0656 0,0656 0,0656 0,0656 0,0656 MAD 0,056 0,05 0,05 0,056 0,05 0,05 MAPE (%) 0,936 0,985 0,985 0,936 0,988 0,990 Criérios de validação baseados no princípio da parcimônia Criério Puro ARCH GARCH ARCH GARCH AIC -,9835 -,975 -,955 -,930 -,956 -,8958 BIC -,934 -,8943 -,8483 -,7998 -,7593 -,734 HQ -,964 -,9408 -,903 -,8773 -,854 -,80 Fone: Dados da pesquisa Figura 5.6 Avaliação do poder prediivo dos modelos selecionados (Processos Puro): Comparação ou-of-sample enre os modelos MRM e MGB MRM: Processo Puro MGB: Processo Puro 7,0 7,0 6,5 6,5 6,0 6,0 5,5 5,0 4,5 se-96 fev-97 jul-97 dez-97 Fone: Dados da pesquisa Série Original Valores Previsos mai-98 ou-98 m ar-99 ago-99 jan-00 jun-00 nov-00 abr-0 se-0 fev-0 jul-0 dez-0 mai-03 ou-03 mar-04 ago-04 jan-05 jun-05 nov-05 abr-06 se-06 fev-07 jul-07 5,5 5,0 4,5 se-96 fev-97 jul-97 dez-97 Série Original Fone: Dados da pesquisa Valores Previsos mai-98 ou-98 mar-99 ago-99 jan-00 jun-00 nov-00 abr-0 se-0 fev-0 jul-0 dez-0 mai-03 ou-03 mar-04 ago-04 jan-05 jun-05 nov-05 abr-06 se-06 fev-07 jul-07

28 85 Na figura 5.7 é apresenado o resulado do ese Jarque-Bera aplicado aos resíduos, calculados ano denro como fora da amosra (3 observações), da série do logarimo dos preços ajusada pelo modelo Puro (MGB). Com um p-valor de 0,6555 associado a esaísica Jarque-Bera, verifica-se que a hipóese de normalidade é susenada aos níveis de % e 5% de significância. Figura 5.7 Hisograma e esaísicas descriivas dos resíduos da série Fone: Dados da pesquisa Para as correlações seriais ambém foram considerados os resíduos da série dos logarimos dos preços, denro e fora da amosra. Percebe-se pela figura 5.8 que as auocorrelações são não significaivas, e assim conclui-se que os erros não apresenam qualquer ipo de esruura que o modelo não enha capado. Figura 5.8 Função de auocorrelação dos resíduos Fone: Dados da pesquisa

29 86 Finalmene, apresena-se na figura 5.9 os valores previsos num horizone de previsão de meses (seembro de 007 a agoso de 008) e os inervalos de confiança para esas previsões com 95% de confiança. Figura 5.9 Previsão do logarimo dos preços passos à frene e o inrevalo de confiança para os valores previsos 7,0 MGB: Processo Puro 6,5 6,0 5,5 5,0 4,5 se-96 fev-97 jul-97 Série Original Fone: Dados da pesquisa Valores Previsos dez-97 mai-98 ou-98 mar-99 ago-99 jan-00 jun-00 nov-00 abr-0 se-0 fev-0 jul-0 dez-0 mai-03 ou-03 mar-04 ago-04 jan-05 jun-05 nov-05 abr-06 se-06 fev-07 jul-07 dez-07 mai-08