última observação. Por fim, foi obtida a previsão das taxas de mortalidade para 25 anos.

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1 5 Resulados 5.. Lee-Carer O modelo demográfico LC foi ajusado aos dados da Inglaerra e País de Gales de 950 a 003. A modelagem foi feia segregada por sexo, para preservar a diferença de moralidade enre homens e mulheres. Primeiramene, foi feio o ajuse do modelo demográfico previso na eq.(), com a esimação dos parâmeros α x, β x e κ. O passo seguine foi a projeção de κ para 5 anos subsequenes à úlima observação. Por fim, foi obida a previsão das axas de moralidade para 5 anos. Os parâmeros ^ x α obidos com base na eq.(3) esão ilusrados na Fig.. No período , a curva masculina enconra-se acima da feminina para odas as idades, refleindo o fao esperado da moralidade er sido maior, em média, na população masculina. Um pono ineressane a ser observado é o fao da curva possuir um crescimeno mais brando na faixa eária dos 0 aos 30 anos (maior desaque na população masculina). Uma jusificaiva seria o aumeno geralmene exisene da moralidade nessas idades devido a acidenes e violência.

2 Resulados 48 Idades Coeficienes αx esimados Feminino Masculino Figura Coeficienes α x esimados por sexo ( ) Com base nos valores ^ α x, foram obidas as primeiras esimações de κ a parir da eq. (4). A endência de queda do nível de moralidade com o empo é consaada para os dois sexos na Fig.. Os parâmeros esimados β x conforme eq.(5), que avaliam a sensibilidade da variação nas axas de more quando o parâmero κ varia, esão demonsrados na Fig. 3. Se β x é pequeno, conclui-se que as axas de more variam pouco quando o nível geral de moralidade se alera, o que é o caso da moralidade nas idades mais avançadas. Para as idades acima de 75 anos aproximadamene, os coeficienes feminino e masculino apresenaram um comporameno similar, uma endência decrescene. A curva observada para a população feminina, que mosra que quano menor a idade, maior é a sensibilidade à variação no parâmero κ, em a mesma endência da curva aponada por Lee (000) ao aplicar a meodologia LC aos dados dos Esados Unidos e do Chile. Já a curva masculina apresenou valores menores para β x quando eses eram maiores na população feminina e vice-versa. ^ ^

3 Resulados 49 40,0 0,0 κ esimados 0, ,0-40,0 Feminino Ano Masculino Figura Coeficienes κ esimados por sexo ( ) 0,08 Coeficienes βx esimados 0,03 0,008 Feminino Masculino 0, Idades Figura 3 Coeficienes β x esimados, por sexo ( )

4 Resulados 50 Para garanir que as axas de more ajusadas gerariam o número de mores observado quando aplicadas à população analisada, foi realizada a reesimação do parâmero κ segundo a eq.(6). Os parâmeros reesimados para a população feminina e masculina, bem como os esimados inicialmene, esão ilusrados nas Fig. 4. Os valores esimados para os parâmeros α, β e κ consam no Apêndice I dese rabalho κ esimados e reesimados Ano K es. Fem K es. Masc K rees. Fem K rees. Masc Figura 4 Coeficienes κ reesimados ( ) Feia a reesimação do parâmero κ, podemos escrever o modelo demográfico proposo na eq.(). Uma vez que os parâmeros α x e β x foram esimados e não dependem da variável empo, a previsão das axas de moralidade fuuras passam a depender exclusivamene da projeção dos valores κ fuuros. Para al projeção, as séries κ reesimadas feminina e masculina são modeladas como um processo de séries emporais. A Fig. 4 mosra um declínio dos valores de κ aproximadamene linear, maior para as mulheres do que para os homens, no período A lineariedade aproximada de κ, bem como a variação relaivamene consane das séries no período são grandes vanagens para a consrução de modelos de previsão. Os dados disponibilizados referem-se ao período de 950 a 003. No enano, os 5 úlimos anos disponíveis não foram

5 Resulados 5 modelados, a fim de possibiliar uma comparação enre a previsibilidade dos modelos nos próximos 5 anos e o comporameno observado no período. Uma simples inspeção nas séries mosra que as mesmas aparenam nãoesacionariedade e apresenam uma endência negaiva susenada. Os correlogramas ilusrados nas Fig. 5 e 6 ambém apresenam indícios de nãoesacionariedade das séries, viso que observa-se um amorecimeno leno da função de auorocorrelação parcial (ACF). A não-esacionariedade das séries foi superada modelando-as em primeira diferença ou com ajuse de endência, como será mosrado. Figura 5 Correlograma da série κ feminina

6 Resulados 5 Figura 6 Correlograma da série κ masculina Devido à endência decrescene das séries, foi considerada a presença de uma consane quando da esimação dos modelos. Em relação à série feminina, doravane denominada κfem, dois modelos esados apresenaram bons ajuses e uma análise de resíduos saisfaória. O primeiro modelo é um processo ARIMA, onde a série é modelada em primeira diferença, uma vez que já foi verificado que ela não é esacionária em nível. Os parâmeros dos modelos foram esimados aravés do pacoe esaísico EViews, uilizando o méodo de Mínimos Quadrados, e esão apresenados na Tabela 3. O índice κfem modelado como um processo ARIMA(0,,,) é represenado algebricamene na forma: Δκfem = c + θ ε + ε, ε ~ N(0, σ ), onde Δ represena o operador de diferença. Assumindo os valores esimados para os parâmeros, a equação esimada se orna: ^ Δκ fem =,09 0,77894ε + ε ; ε ~ N(0, σ )

7 Resulados 53 Tabela 3 Parâmeros esimados - processo ARIMA(0,,), série κfem Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C -,09 0, ,6636 0,0000 MA() -0, , , ,0000 R = 0,385 AIC = 4,709 É imporane desacar que o coeficiene R refere-se a Δκfem, e não a κfem. O segundo modelo esimado para κfem foi ajusado com uma endência linear e um processo média móvel (MA) 4. Nese ajuse, o R observado ficou próximo de, conforme exposo na Tabela 4. A represenação algébrica para o modelo é: kfem = α + β + ε ; ε = η + θ 4 η 4; η ~ N(0, σ ) Assumindo os valores esimados para os parâmeros, a equação proposa se orna: ^ kfem = 8,8689, ε ; + 0,508999η ε = η 4, onde η ~ N(0, σ ) Tabela 4 Parâmeros esimados - processo com endência linear, série κfem Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C 8,8689 0, ,056 -, , , ,0000 MA(4) 0, ,967 4, ,000 R = 0,9770 AIC = 4,6498 Comparando os dois modelos pelo méodo de Akaike (AIC) e observando o coeficiene R, opou-se por modelar a série feminina considerando a endência linear e o processo MA(4). No caso da série masculina, κmasc, quando da enaiva de ajuse dos modelos, foi observado um comporameno aípico para o resíduo da observação referene ao ano 95. De fao, os gráficos das séries masculina e feminina possuem um pico no ano 95. Foi possível a esimação de

8 Resulados 54 um modelo com uma análise de resíduos saisfaória para a série feminina, sem que fosse necessária a anulação do impaco da observação do ano 95. No enano, para a série masculina, o modelo preferido inclui uma variável dummy para remover a influência do referido ano. Observando a série masculina, noa-se que a endência do declínio de κmasc esá enre uma endência linear e uma endência quadráica. O modelo uilizado para a previsão do índice masculino se baseia nas duas endências, linear e quadráica, bem como na uilização de uma varíavel dummy referene ao ano 95 e em um processo MA(). As esimações para os parâmeros, obidas via EViews, são apresenados na Tabela 5. A forma algébrica para o modelo é da forma: κ masc + = α + β + β + β 3 D ε ; ε = η θ η ; η ~ N(0, σ ), onde D é a varíavel dummy assumindo valor se o ano observado é 95. Inserindo os valores esimados para os parâmeros, observa-se: ^ kmasc = 3, ,79 0, , D + ε ; ε = η 0, η Tabela 5 Esimação dos parâmeros - modelo ajusado para a série κmasc Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C 3,43730,73386,4573 0,79 0,0909,55 0,054 (@TREND)^ -0, ,0058 -,8683 0,0000 D95 9, ,3309, ,0074 MA() -0, , ,3363 0,0000 R = 0,9940 O coeficiene em D indica que κmasc foi 9, maior do que o esperado em 95. A análise de resíduos é necessária para verificação dos pressuposos adoados quando da modelagem de uma série emporal. Ao ajusar os modelos às séries, assume-se que os resíduos não são correlacionados e possuem disribuição normal. Cada uma dessas condições foi verificada a parir da análise de oupus do EViews. As Fig. 7 e 8 exibem os resíduos dos modelos ajusados, bem como um comparaivo dos valores observados x valores previsos:

9 Resulados Resíduo Observado Ajusado Figura 7 Valores observados x ajusados x resíduos Série κfem Resíduo Observado Ajusado Figura 8 Valores observados x ajusados x resíduos Série κmasc

10 Resulados 56. Auocorrelação dos resíduos Tabela 6 Tese de auocorrelação dos resíduos Série κfem Breusch-Godfrey Serial Correlaion LM Tes: F-saisic.6796 Probabiliy Obs*R-squared Probabiliy Tabela 7 Tese de auocorrelação dos resíduos Série κmasc Breusch-Godfrey Serial Correlaion LM Tes: F-saisic Probabiliy Obs*R-squared Probabiliy O ese LM para auocorrelação serial, conhecido como ese Breusch- Godfrey, foi uilizado para esar a correlação serial dos resíduos dos modelos avaliados. A hipóese nula do ese prevê que os erros são não-correlacionados aé a ordem p. Os modelos foram esados com p = 0 e concluiu-se que, ao nível de 5% de significância, aceia-se a hipóese de inexisência de correlação serial nos resíduos.. Normalidade dos resíduos Series: Residuals Sample Observaions 49 Mean Median Maximum Minimum Sd. Dev..355 Skewness Kurosis.9760 Jarque-Bera Probabiliy Figura 9 Tese de normalidade dos resíduos Série κfem

11 Resulados Series: Residuals Sample Observaions 49 Mean Median Maximum Minimum Sd. Dev Skewness Kurosis.3949 Jarque-Bera Probabiliy Figura 0 Tese de normalidade dos resíduos Série κmasc A normalidade dos resíduos de regressão foi invesigada aravés do ese de Jarque-Bera. Nese ese, é invesigada a hipóese nula de que os resíduos possuem disribuição normal. Com base nas probabilidades apresenadas, aceiamos a hipóese nula de normalidade dos resíduos ao nível de significância de 5%. Parindo dos modelos validados, o passo seguine é a previsão dos índices κfem e κmasc. Para que fosse possível avaliar a capacidade prediiva do modelo, pariu-se do modelo esimado no período in-sample ( ). Com base na previsão ou-of-sample, ou ex-pos 3, é possível a comparação, aravés de medidas de aderência, enre as previsões e os valores realmene observados na série para o período (ou-of-sample). A Tabela 8 apresena os valores das séries κfem e κmasc no período ou-of-sample. As Fig. e exibem as séries reais e os valores previsos com um inervalo de confiança de 95%. Todos os valores observados enconram-se denro do inervalo de previsão de 95%, o que confirma uma boa capacidade prediiva dos modelos proposos. 3 Previsão ex-pos: uiliza-se o modelo esimado no período in-sample e exrapola-se o modelo no período ou-of-sample, comparando o previso com o realmene observado (Fernandes, 006).

12 Resulados 58 Tabela 8 Medidas de aderência no período ou-of-sample Período Observado Previsão Erro % Erro Série κfem % % % % % Série κmasc % % % % % Série feminina Real Previsão Lim.inferior Lim.Superior Figura Previsão ou-of-sample da série κfem

13 Resulados 59 Série masculina Real Previsão Lim.inferior Lim.Superior Figura Previsão ou-of-sample da série κmasc Após cerificação da capacidade prediiva do modelo, as observações referenes ao período foram incluídas no modelo para a obenção da exrapolação das séries κ a parir da úlima observação disponível. Os novos parâmeros esimados para os modelos prediivos finais enconram-se na Tabela 9. As Fig. 3 e 4 ilusram as previsões das séries κfem e κmasc para os 5 anos subsequenes à úlima observação (004 08). É válido noar que o méodo LC foi uilizado para calcular os inervalos de previsão concenrados somene na variabilidade de κ. Em Brouhns e al. (005), mosra-se a possibilidade de inclusão de ouras fones de variação aravés de méodo de boosrap. Tabela 9 Coeficienes esimados para os modelos prediivos finais Série feminina Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C MA(4) R = 0,986 Série masculina Variable Coefficien Sd. Error -Saisic Prob. C (@TREND)^ D MA() R = 0,9957

14 Resulados kfem_previsao Figura 3 Previsão da série κfem (004 08) kmasc_previsao Figura 4 Previsão da série κmasc (004 08)

15 Resulados 6 A parir dos valores de previsão do índice de moralidade κ, as axas de moralidade podem ser projeadas e as ábuas de moralidade consruídas. Primeiramene, obém-se as previsões das axas de moralidade a parir da úlima axa de moralidade empírica disponível, m x,003, aravés da fómula: ^ ^ ^ + s = mx,003 exp βx ( κ003+ s κ ), s ineiro 0 ^ mx, A parir das axas cenrais de moralidade projeadas, as probabilidades de more a serem uilizadas nas ábuas de moralidade são facilmene obidas conforme relação exposa na seção.: q x mx = + m x q x, m = + m O ideal é que seja feia a graduação das axas cruas de moralidade anes da obenção das probabilidades de more, para que as informações sejam suavizadas e produzam um comporameno de acordo com o esperado. Apesar da recomendação, o resulado apresenado para as probabilides de more calculadas via méodo LC nese rabalho não consideraram a graduação nas axas. Uma referência sobre as formas de graduação mais uilizadas, especialmene nos casos brasileiros, pode ser obida em Marins (007). A Fig. 5 exibe o logarimo das probabilidades q x projeadas aravés do méodo LC para as gerações femininas e masculinas nascidas nos anos 004 e 08. Percebemos a redução esperada para as probabilidades de more enre os referidos anos. Noa-se que a curva do 08 apresena, a parir da idade 85 aproximadamene, probabilidades de more masculinas esperadas menores do que as femininas. Os modelos feminino e masculino foram consruídos de forma independene, não havendo a pressuposição de nenhuma relação enre eles. Porano, a esimaiva de probabilidades de more menores para o sexo masculino é possível. Sabemos que as mulheres possuem uma sobrevida maior do que os homens em geral, mas não se pode afirmar se essa endência vai permanecer, reduzir ou aumenar no fuuro. x, x,

16 Resulados Fem. 08 Fem. 004 Masc. 08 Masc. Figura 5 Logarimo dos q x projeados via méodo LC Com posse dos valores q x e arbirando um valor para l 0, raiz da ábua de moralidade, é possível a obenção das funções da ábua de moralidade para odas as idades x aravés de fórmulas de recorrência. A raiz da ábua de moralidade é geralmene arbirada em e represena o número de sobrevivenes à idade 0 (recém-nascidos) da coore uilizada na consrução da ábua. Parindo dos valores q x, projeados, são definidas as funções da ábua de moralidade dependenes da idade e do empo aravés das relações descrias na seção.: l = l ( x +, x, x, ; x, x, x, q d = l q ; ) L x, lx, lx+, = ; T x, = ω x = x i L x, i ; e ο e = x, T l x, x,, onde ω é a idade limie da ábua de moralidade.

17 Resulados Modelos Lineares Generalizados Começamos nossa análise ajusando a eq.4 àquela que envolve a graduação de Gomperz G x (s) dada pela eq.0, ou seja: η x, s = log ex + β0 + β L (x') + αi' (6) j j j= i= r i Os dados são composos por 448 informações acerca de d x, e e x, para cada sexo (83 idades x 54 anos de observação). A princípio, 0% da nossa amosra (449 observações) foi selecionada aleaoriamene e reirada do banco de dados original para a verificação do ajuse do modelo. A seleção de variáveis explicaivas a serem incluídas no modelo de regressão foi feia aravés do méodo sepwise forward, onde geramos uma sequência de modelos com um ou mais parâmeros, parindo do modelo nulo (conendo somene o inercepo). Os valores óimos de r e s foram deerminados moniorando-se a redução nas medidas Deviance e Akaike (AIC) à medida que os valores dos parâmeros aumenavam. Os valores das Deviances e do AIC dos modelos feminino e masculino esão reproduzidas nas Tabelas 0 e. Em Haberman & Wong-Fupuy (004), sugere-se que sejam usados valores baixos para r e s, pois isso assegura uma melhor suavização dos dados. Em adição, Renshaw e al. (996) aponam que a dependência no empo é expressa por polinômios de baixo valor (r=). Com base nessas informações, simulamos os valores de Deviance e AIC obidos variando o parâmero r de 0 a 4 e o parâmero s de 0 a 6. Tabela 0 Deviance e AIC polinômios prediivos femininos Deviance s r = 0 r = r = r = 3 r = , , , , , , , , , , , ,97 6.8, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,60 4.6, , , ,40

18 Resulados 64 AIC s r = 0 r = r = r = 3 r = , , , , , ,70.97,00.50,0.95,0 0.79, , , , , , , , , , , , , , , , , ,7 79.5, , , , , , , ,59 Tabela Deviance e AIC polinômios prediivos masculinos Deviance s r = 0 r = r = r = 3 r = , , , , , , , ,0 7.44,0 7.9, ,0 4.73, ,70 7.7, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,45 AIC s r = 0 r = r = r = 3 r = , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,68 Para ajudar a selecionar os valores óimos dos parâmeros r e s dos modelos, assim como em Renshaw e.al. (996), as diferenças nas deviances em cada linha e coluna da abela esadas foram aproximadas a uma disribuição qui-quadrado. A deviance do modelo com p parâmeros (modelo mais simples) menos a deviance do modelo com p+q parâmeros (modelo mais complexo) possui uma disribuição qui-quadrado com q graus de liberdade. O ese foi feio aravés da comparação da esaísica obida com uma χ, sujeia às seguines hipóeses: H 0 : o modelo com p parâmeros é adequado; H a : o modelo com p+ parâmeros é adequado. Fixando-se uma probabilidade de erro ipo I em 0,0 para o ese de inclusão de variáveis, para o modelo feminino, a inclusão dos 0 parâmeros um a um foi

19 Resulados 65 verificada e o número de parâmeros escolhidos buscando-se oimizar a modelagem foi r = e s = 3, enquano para o modelo masculino escolheu-se r = e s = 4. Desa forma, emos os modelos proposos: Feminino: log m = loge + β + β L (x') + β L (x') + β L (x') + α ' + u x, x, x, Masculino: logmx, = logex, + β0 + βl (x') + βl(x') + β3l3(x') + β4l4(x' ) + ' +α' + u x, + α, onde L é o coeficiene de lagrange e u x é o ermo de erro. O próximo passo é a esimação dos parâmeros e avaliação do erro padrão para que possamos verificar a significância esaísica de cada parâmero proposo. A modelagem GLM e a esimação dos parâmeros foi feia uilizando-se o pacoe esaísico R. As abelas e 3 exibem os parâmeros esimados para os modelos feminino e masculino. O parâmero de escala φ é considerado igual a na nossa modelagem, uma vez que não rabalhamos com dados de apólices, e sim com dados individuais. Tabela Esimação dos parâmeros GLM masculinos Coefficiens: Esimae Sd. Error z value Pr(> z ) Inercepo <e-6 *** β <e-6 *** β <e-6 *** β <e-6 *** α <e-6 *** --- Signif. codes: 0 '***' 0.00 '**' 0.0 '*' 0.05 '.' (Dispersion parameer for poisson family aken o be Null deviance: on 4034 degrees of freedom Residual deviance: 4797 on 4030 degrees of freedom AIC: 84475

20 Resulados 66 Tabela 3 Esimação dos parâmeros GLM masculino Coefficiens: Esimae Sd. Error z value Pr(> z ) Inercepo <e-6 *** β <e-6 *** β <e-6 *** β <e-6 *** β <e-6 *** α <e-6 *** α <e-6 *** --- Signif. codes: 0 '***' 0.00 '**' 0.0 '*' 0.05 '.' (Dispersion parameer for poisson family aken o be Null deviance: on 4034 degrees of freedom Residual deviance: 634 on 408 degrees of freedom AIC: 0034 As esaísicas calculadas dividindo-se o parâmero por seu erro padrão, indicaram significância esaísica. Com base nos valores-p obidos, pode-se afirmar que odos os parâmeros esimados foram considerados significaivos esaisicamene ao nível de 5% de significância ou bem menos. A parir dos modelos esimados, esamos as possíveis inerações enre as covariáveis. A inclusão dos ermos de ineração foi realizada conforme previso na eq. 5. O méodo sepwise resulou nos seguines modelos finais e esimaivas: Feminino: logmx, = logex, + β0 + βl (x') + βl(x') + β3l3(x' ) + + α ' +γl(x')' + u x,

21 Resulados 67 Tabela 4 Esimação dos parâmeros GLM feminino com ineração Coefficiens: Esimae Sd. Error z value Pr(> z ) Inercepo <e-6 *** β <e-6 *** β <e-6 *** β <e-6 *** α <e-6 *** γ <e-6 *** --- Signif. codes: 0 '***' 0.00 '**' 0.0 '*' 0.05 '.' (Dispersion parameer for poisson family aken o be Null deviance: on 4034 degrees of freedom Residual deviance: on 409 degrees of freedom AIC: 8044 Masculino: logmx, = logex, + β0 + βl (x') + βl(x') + β3l3(x') + β4l4(x' ) + + α ' +α' +γl(x')' +γl(x')' +γl(x')' +γl(x')' + u x, Tabela 5 Esimação dos parâmeros GLM masculino com ineração Coefficiens: Esimae Sd. Error z value Pr(> z ) Inercepo <e-6 *** β <e-6 *** β <e-6 *** β <e-6 *** β <e-6 *** α <e-6 *** α <e-6 *** γ <e-6 *** γ <e-6 *** γ <e-6 *** γ <e-6 *** --- Signif. codes: 0 '***' 0.00 '**' 0.0 '*' 0.05 '.' (Dispersion parameer for poisson family aken o be Null deviance: on 4034 degrees of freedom Residual deviance: on 404 degrees of freedom AIC: 704

22 Resulados 68 Calculamos um inervalo de confiança de 95% para a média das observações da nossa amosra de 0% dos dados. Para cada observação, verificamos se o valor observado esava denro do inervalo gerado. O índice de acero de predição foi de aproximadamene 85%, o que consideramos um bom ajuse. Esando os parâmeros esimados e os modelos validados, é possível a esimação dos valores projeados das axas cenrais de moralidade para os anos fuuros. A Fig. 6 exibe o logarimo das probabilidades de more projeadas aravés do méodo GLM para as gerações femininas e masculinas nascidas nos anos 004 e 08. Assim como no méodo LC, noa-se uma redução das probabilidades de more enre os anos 004 e 08 para os dois sexos. Apesar de não haver relação esabelecida enre os sexos para esimação das probabilidades de more, as esimaivas apresenaram o comporameno esperado da curva feminina possuir valores menores do que a curva masculina Fem. 08 Fem. 004 Masc. 08 Masc. Figura 6 Logarimo dos q x projeados via méodo GLM

23 Resulados 69 Para fins de comparação enre os modelos, as Fig. 7 e 8 ilusram, respecivamene, o logarimo das probabilidades de more femininas e masculinas para as idades 30, 50 e 70, projeadas para os anos 004 a 08 pelos méodos LC e GLM. Noa-se o mesmo padrão de comporameno para as axas, sendo que o méodo LC projea sempre axas menores do que o méodo GLM LC 50 LC 70 LC 30 GLM 50 GLM 70 GLM Figura 7 Comparaivo do logarimo dos q x projeados - Feminino LC 50 LC 70 LC 30 GLM 50 GLM 70 GLM Figura 8 Comparaivo do logarimo dos q x projeados - Masculino A parir dos q x, projeados, nascem as ábuas de moralidade geracionais.