O Modelo Cosmologico Standard

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1 O Modelo Cosmologico Stndrd Histori rápid do Universo O Princípio Cosmológico A Reltividde Gerl de Einstein A métric de Friedmnn-Robertson-Wlker Propgção d Luz em FRW: horizontes, pssdo e futuro cosmologi FRW: poeir, rdição, Λ, esclres etc. Tempo, distânci, redshift, energi e tempertur

2 redshift Rápid Históri Cósmic 9 s Nucleossinthesis 1 MeV 3 3. nos 1 ev Descoplmento (sup. Ult. esplhmento) 15Gy tempo energy

3 Ftos: Idde: T (13.8 ±.)Gy Densidde: ρ (1.9 ±.15) h x 1-9 g cm -3 Prmetro de expnso: H 1 h Km s -1 Mpc -1 h.69 ±. Frco Brionic: Ω b ρ b / ρ tot.4 h - Frco de Energi em rdico (fotons e neutrinos sem mss): Ω γ.5 x 1-6 h - 1 pc 3,6 l.y. 1 Mpc 3,1 x 1 4 cm Extremmente homogeneo e isotropico: T/T ~ 1-5

4 O Principio Cosmologico Queremos estudr o universo como um todo, em sus mis lrgs escls, pr depois estudr detlhes locis específicos. Num primeiro instnte queremos pens descrever su evolução, idde e geometri. Sbemos, trvés d rdição cósmic de fundo (RCF), que pelo menos té époc do descoplmento dos fótons com mtéri (qundo idde do universo er 3. nos), densidde er um fluido extremmente homogêneo e isotrópico s regiões mis denss erm pens.1% mis denss que médi. Além disso, distribuição de gláxis fic bstnte homogêne qundo observd em escls muito grndes (> 1 Mpc). Esss consttções servem pr fundmentr um hipótese extremmente útil: o Princípio Cosmológico. Ele diz que não existem posições nem direções privilegids no universo.

5 Reltividde Gerl As velociddes ds gláxis distntes são dds, n lei fenomenológic de Hubble, por: vh.r, onde H 69 km/s.mpc A distâncis R miores que 1 Mpc, velocidde entre dus gláxis será próxim à velocidde d luz. Portnto, pr descrever esse sistem é necessário empregr um teori reltivístic. A mis simples teori de cmpos reltivístic, covrinte, que obedece o princípio d equivlênci, enfim, temente Deus, é teori d Reltividde Gerl de Einstein. Ness teori, métric de Minkowski é generlizd: ds dt! + dx ds g b dx dx A grvitção é descrit pels equções de Einstein: Tensor de Einstein G b [g] (geometri) G b 8πG T b Constnte de Newton b Tensor de energi e momento (mtéri) c1

6 .3 reltividde gerl O tensor de Einstein é um função d métric do espço-tempo. Alguns objetos úteis em espços curvos são os seguintes, ns nosss convenções: 3 b 1 g g b, g c gcb δb delt de c Kronecker Conexões (símbolos de Christoffel): índices c 1 cd repetidos Γ b g ( gd, b + gdb, gb, d ) Tensor de Riemnn: R d bc Γ d eb Γ e c Γ d ec Tensor de Ricci e Esclr de Ricci: b c cb Γ e b + R R, R R Tensor de Einstein: G R 1 b b g b R Γ d c,b g b R b Γ d b,c

7 .4 A métric de Friedmnn-Robertson-Wlker A métric mximlmente simétric que descreve um espço homogêneo e isotrópico é chmd Friedmnn-Robertson-Wlker (FRW): ds dt + dr ( + r dθ + r sen θ dφ 1 Kr É quse sempre de grnde utilidde reprmetrizr o tempo comóvel t em termos do tempo conforme : t dη dt ( Portnto, um form equivlente pr métric FRW é: dr ds η) dη + + r dθ, η dt ( t ) ( + r sen θ dφ 1 Kr Note que, se K (seção espcil pln), métric FRW é conformemente pln: ds K! ( η), [ ] K dη + dx g b ηb

8 A geometri d prte espcil d métri FRW é dd pelo elemento de distânci espcil: dl dr 1 Kr Definindo: r sen( K χ) 1 K + r dω Temos: dl dχ + 1 K sen ( K χ) dω Portnto, obtemos três csos limite: K geometri é de um hiperesfer, com χ π. K geometri é hiperbólic, com χ. K -- geometri é pln (eucliden), r χ.

9 .4 métric frw A topologi d métric FRW é portnto determind pel constnte K: fechd - K+1 (seção espcil esféric) bert - K-1 (seção espcil hiperbólic) pln - K (seção espcil eucliden)

10 .4 métric frw O sistem de referencil de FRW é tl que os observdores do sistem estão em repouso (inerciis), em coordends (r,θ,φ) constntes. O ftor de escl ( mede o vrição do tmnho ds seções espciis: ( A tx de expnsão (ou prâmetro de Hubble) do universo é tx de crescimento do ftor de escl, medid em tempo comóvel: Em termos de tempo conforme, temos: H H 1 1 d dt d dη! ʹʹ

11 .5 Propgção d luz em FRW: distâncis e horizontes O sistem de referencil de FRW não tem posições nem direções privilegids. Portnto, propgção de um rio de luz rdil nesse sistem de coordends é idêntic à propgção de qulquer outro rio. A propgção d luz em Reltividde Gerl é trivil: como é sempre possível escolher um sistem de coordends que é loclmente Minkowski, isso signific que, ssim como n Reltividde Especil, rios de luz vijm por geodésics nuls, o que quer dizer simplesmente que o elemento de distânci ds. Portnto, um fóton se propgndo trvés d direção rdil obedece : dt ( dr 1 Kr A integrção é imedit:, ou dη dχ dt dr, Δη Δχ ( 1 Kr A distânci própri percorrid por um rio de luz de r té rr 1 é dd por: d p ( r 1 dr g rr ( r, r 1 dr ( 1 Kr ( t 1 t dt' ( t' )

12 Os objetos situdos em r e rr 1 estão nturlmente em repouso, no referencil de FRW. A velocidde com que os dois se fstm é devid somente à expnsão do universo. É muit vezes útil seprr esss distâncis físics em dus prtes: distânci em coordends, que permnece constnte; e prte dependente do tempo, que é o ftor de escl (. Escrevemos então: d ( ( p d c onde d c é distânci comóvel. A velocidde que sepr dois pontos distâncis comóveis fixs (ou sej, dois objetos inerciis no sistem FRW) é dd por: d! (! d p( H ( d p( p Ou sej, rededuzimos Lei de Hubble ds velociddes ds gláxis distntes: v H d

13 As distâncis própris podem ser finits mesmo qundo os intervlos de tempos se extendem rbitrrimente pr o pssdo ou pr o futuro. Por exemplo, vmos supor que: p t (, < < 1 p t t Esse espço-tempo pode ser continudo somente té t no pssdo (qundo ). Temos: d Hp ( p t t' ( dt' t 1 1 p t p 1 1 p H ( H (! p t A distânci d H é distânci máxim percorrid por um rio de luz emitido no pssdo. Isso signific que o cone de luz pssdo é limitdo, e não pode ser extendido lém desse instnte inicil t (que corresponde um expnsão inicil explosiv o Big Bng!) t d

14 Chmmos ess distânci máxim de horizonte. Como nesse cso (p<1) o horizonte diz respeito um truncgem do cone de luz no pssdo, ele é um horizonte tipo pssdo, tmbém conhecido como horizonte de prtículs. Veremos que esse horizonte é muito próximo do rio de curvtur do espço-tempo de FRW com o ftor de escl ddo cim. O horizonte de prtículs nos diz que observdores seprdos por um distânci d Hp ( nunc estiverm em contto ntes do instnte t. Portnto, existênci de um horizonte de prtículs indic que o universo tem regiões cuslmente desconexs. As regiões cuslmente conexs de um universo FRW com ftor de escl ~ t p com <p<1 têm um rio ddo por d Hp (. No pssdo, evidentemente, esse horizonte er ind menor do que hoje. Isso quer dizer que no pssdo tinhmos cesso um região ind menor do universo que que enxergmos hoje. Acreditmos (ver seções seguintes) que o universo foi, durnte mior prte de su históri, descrito pelo ftor de escl cim, com p~/3. Portnto, nosso horizonte de prtículs seri hoje: d H ( ) c t 46 Mpc! Exercício: compute o horizonte de prtículs n époc do descoplmento (t3. y), ssumindo que p1/. R: 184 Kpc. Problem!!! Como podemos explicr que RCF sej tão homogêne???

15 Considere gor o ftor de escl: Considere o que contece o tomr o limite t, mntendo o limite inferior como t. Isso corresponde à seguinte pergunt: qul distânci máxim de um objeto em relção nós tl que, se emitirmos um sinl de luz num instnte t, esse rio de luz ind será cpz de chegr té o objeto? Se ess distânci máxim não for infinit, existe um novo tipo de horizonte, ddo por: d t (, p > 1 t p t' 1 ( ( dt' p t t He 1 p Novmente, prece o instnte inicil t. Porém, gor t t d( ( t t' dt' t é um distânci rbitrrimente grnde qundo tommos o limite inferior t e portnto não existe horizonte de prtículs se p>1. O horizonte d He ( é um horizonte futuro. Ele indic que se um rio de luz for emitido num instnte t, desde um distânci mior que d He (, esse sinl nunc nos tingirá (em r). Ou sej, d He é um horizonte de eventos. p

16 O significdo físico do horizonte de eventos é clro: ele sepr regiões que perderm o contto cusl ums ds outrs. v c v c v c Note que, o contrário do que ocorre com burcos negros, o horizonte de eventos cosmológico não tem um loclizção num certo locl geométrico bem definido, independente do observdor. Ele funcion como um rco-íris: sempre um cert distânci do observdor. Considere o cso p>>1: v c

17 ! Exercício: Mesmo qundo p<1, há um distânci pr qul dois objetos estrim se seprndo com velocidde d luz. Por que nesse cso não existe tmbém um horizonte de eventos? Mostre que o critério pr existênci de um horizonte de eventos é o sinl do número dimensionl chmdo prâmetro de descelerção: q!!! Qundo q é positivo (descelerção), não há horizonte de eventos; qundo q é negtivo (celerção), o horizonte prece. No cso ( ~ t p, o critério se torn simplesmente <p<1 (descelerção) e p>1 (celerção).

18 .6 Cosmologi de modelos Friedmnn-Robertson-Wlker: Mtéri e geometri Até gor só estudmos s proprieddes cinemátics de objetos inerciis no espço-tempo FRW. Agor vmos estudr de que modo esses espços-tempo surgem como consequênci ds equções de Einstein. Substituindo métric de FRW (express em coordends crtesins t,x,y,z) ns expressões pr o tensor de Einstein, temos o resultdo de que pens s componentes digonis do tensor não se nulm: K H H K H H K H H K H G b!!!

19 No ldo direito ds equções de Einstein temos o tensor de energi e momento, contendo informção sobre o conteúdo de mtéri no universo. Num universo homogêneo e isotrópico, ele é ddo em gerl por: T b ( ρ + p) u u + b pδ b onde u é 4-velocidde própri do fluido: u (-1,,,). Portnto, temos: densidde de energi T b ρ( p( p( p( pressão Note que isotropi e homogeneidde são mnifestos tnto em G b qunto em T b. Em mbos os csos: os tensores são funções pens do tempo (homogeneidde); s componentes espciis (x,y,z) dos tensores são idêntics (sem direções preferids).

20 As equções de Einstein, G b 8πG T b, portnto se reduzem pens dus equções diferenciis coplds, s chmds Equções de Friedmnn: 3H 3H + H! + + K K 8πG ρ 8πG p Note que pens segund equção de Friedmnn é de segund ordem no ftor de escl (isto é, contém um segund derivd de ) e portnto determin dinâmic dos modelos FRW. A primeir equção, por ser de primeir ordem, express pens um vínculo, ou sej, um condição que deve ser obedecid pel solução explícit de ( (ess equção tmbém é conhecid como vínculo d energi). Mesmo ssim, muits vezes conseguimos obter solução cosmologicmente interessnte pr ( pens inspecionndo primeir equção.

21 O tensor de energi e momento d mtéri obedece um lei de conservção, T b, que nesse cso se resume à equção d continuidde: de pdv de d( ρv ) V dρ + ρdv dρ 1 dv V d+ ρ + ( ρ + ( ρp + ) dv p) dt V dt V 3 ( ρ! + 3 H(ρ + p) Em gerl, temos váris forms de mtéri coexistindo e grvitndo junts. N usênci de crição de um tipo de mtéri às custs de outro tipo, cd form de mtéri obedece seprdmente um equção de continuidde: ρ! X + 3 H ( ρ + p ) X X

22 Se w X constnte, podemos integrr equção d continuidde diretmente: Λ ) w 3(1 r m X X ρ ρ ρ ρ ρ Diferentes forms de mtéri têm diferentes relções entre densidde de energi e pressão. É útil definir um prâmetro chmdo equção de estdo: x x x p w ρ As forms mis simples de mtéri no universo têm um equção de estdo constnte. São els: poeir (ou mtéri fri, ou somente mtéri) w m rdição (ou mtéri ultr-reltivístic) w r 1/3 energi de vácuo (ou constnte cosmológic) w Λ -1.6 cosmologi frw: mtéri e geometri

23 .6 cosmologi frw: mtéri e geometri Sbendo que hoje em di rdição responde por proximdmente,5 x 1-6 d densidde de energi totl, podemos reconstruir históri cósmic: hoje rdição! mtéri: z~1 4 w Λ -1 1+z /