Aeroelasticidade Dinâmica - Flutter Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA/IEA

Transcrição

1 AE-49 - AEROELASTICIDADE Aeroelasticidade Dinâica - Flutter Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA/IEA

2 O que precisaos da aerodinâica não estacionária para flutter? Teodorsen: (.5 ) ( 1 8 ) (.5 ) ( ) α (.5 ) ( ) (.5 ) C k πρ α α πρ α α l b + V ba + Vb + V + b a y πρb ba + Vb a α b + a α + C k + πρv b + a + V + b a C k ( ) C k ( ) J + iy 1 1 ( ) ( ) α ( H ) ( ) 1 k ( ) ( ) ( ) ( ) J + Y + i Y J H k + ih k ik ik +.3

3 Parcelas Circulatória e Não Circulatória REGIME É INCOMPRESSIVEL Não Circulatória efeitos de assa aparente e aorteciento associado ao oviento do aerofólio. Circulatória considera a udança na sustentação associada ao vórtice ligado no aerofólio devido a u efeito de eória. Cada parcela será ais ou enos relevante dependendo do oviento Efeitos não circulatórios assa aparente alta frequência Efeitos circulatórios acoplaento de odos causado pelo atraso da fase do carregaento aerodinâico.

4 Significado físico: Os efeitos de atraso aerodinâico no carregaento aerodinâico são representados pela função de deficiência de sustentação de Teodorsen; Ela representa a influência da esteira de vórtices alternados que se fora a jusante, a partir do BF. O potencial dos vórtices da esteira é que uda a agnitude e fase do vórtice ligado, e consequenteente da circulação.

5 Teodorsen no doínio da frequência Na realidade, frequência reduzida: l b ( ) ( )[ ] [ ] [ ] ( )[ ] { } b qd M nc k + Bnc + C k Bc ik + C k Kc b y E este carregaento será iportante para estudos de estabilidade, usualente feitos no doínio da frequência A frequência reduzida representa o quão não estacionário é o escoaento; É u parâetro adiensional que indica quantas oscilações ocorre por quantidade de sei cordas percorrido pelo aerofólio. α

6 Coeficientes de Influência l b l 4 lα b πρb y α α i C ( k ) ic ( k )(.5 a) lα a k k k A atriz na relação, é a atriz de coeficientes de influência da seção típica; Relaciona as "influências" entre os ovientos associados aos graus de liberdade e os esforços atuantes. a + l ( ) ic k k ( )( + a) ic k.5 (.5 ) ( )(.5 + ) ic ( k )(.5 a ) i a C k a α + a + + k k k k

7 E o que ais... Aproxiação quase estacionária: (.5 ) ( ) α (. 5 ) ( ) (.5 ) πρ α α ρ α α 1. ( ) ( ) y πρb ba + Vb.5 a α b a α + l b + V ba + π Vb + V + b a C k + πρv b + a + V + b a 1. C k α O carregaento está e fase co o oviento, exceto a parcela associada ao aorteciento aerodinâico, defasado de 9 o

8 Introdução a aeroelasticidade dinâica Problea do flutter Flutter é ua auto-excitação de dois ou ais odos de vibração de u sistea, devidaente alterada e realientada pelo escoaento de u fluido. Pode vir a causar oscilações de aplitude que cresce exponencialente levando a estrutura a ua fala dinâica

9 Introdução a aeroelasticidade dinâica Problea do flutter Sobre os tipos de Flutter Alé do flutter classificado coo clássico, ou seja, previsível co teoria dinâica e aerodinâica linear, existe outro tipo iportantes de flutter; Alguns desses fenôenos são classificados coo não aeronáuticos, por se tratar de estruturas coo construções civis ou arítias, tais coo raisers de petróleo. Existe instabilidades que são de natureza não linear, tanto associados ao regie de escoaento (transônico, supersônico ou subsônico), co e se separação da caada liite, ou eso a estruturas que coporta-se não linearente. Vaos caracterizar a seguir:

10 Estol-flutter Quando u aerofólio oscila próxio à sua condição de estol e regie peranente, o fenôeno do estol passa a ter u caráter dinâico. Isto significa que o perfil poderá apresentar, se partir de ua condição de escoaento colado, estol para ângulos aiores que o previsto no caso estático, ou eso, se partir de u estol, apresentar escoaento descolado para ângulos de ataque inferiores ao de estol estático. Este coportaento recebe o noe de isterese aerodinâica. Existe casos e que este atraso aerodinâico proove a extração de energia do escoaento, produzindo ua instabilidade. Este flutter coporta-se noralente associado a u oviento de u grau de liberdade, o qual não pode ser explicado pela teoria clássica de flutter.

11 Estol-flutter Custua acontecer e fans de turbinas - > Pode tabé estar associado a ua súbita perda de sustentação devido ao descolaento do escoaento Dependendo da condição as forças de inércia induze a aplificação do oviento associada a outra perda abrupta de sustentação causada por outro estol da superfície sustentadora

12 Oscilações de ciclo liite (LCO) A oscilação e ciclo liite é caracterizada coo ua oscilação de aplitude constante associada a frequências de odos aeroelásticos da estrutura. Usualente este fenôeno anifesta-se e ua deterinada faixa estreita de núero de Mac e confinado e ua variação e ângulo de ataque de aplitude finita e constante (File do F-16 que ostra o LCO.)

13 LCO - Liit Cycle Oscillation Não linearidade boa Não linearidade rui

14 Observações sobre LCO LCO noralente é caracterizado coo: Subcrítico ou supercrítico (bo ou rui) Forteente não linear ou fracaente não linear (pequenos ou grandes deslocaentos) Flutter catastrófico corresponde a u LCO fraco, e associados a grandes deforações, ua estrutura nunca é perfeitaente linear; O LCO típico está associado a não linearidades iportantes, que liita o oviento a pequenas deforações; É u fenôeno não linear, esta associado a condições iniciais.

15 Wirl-flutter Sisteas aerodinâicos rotativos, tais coo élices, rotores de elicóptero e pás de copressores e turbinas, pode apresentar ua instabilidade rotativa. Toando coo representativo o caso de ua élice, por ocasião da instabilidade o cubo do rotor executa u oviento tipo de precessão de aplitude crescente que pode levar à quebra do conjunto. Neste fenôeno interage a aerodinâica das pás, a dinâica do conjunto e a elasticidade da estrutura. Noralente, a solução do problea consiste e reforçar as ligações do grupo oto-propulsor à nacele, eventualente co a adição de aortecedores. Filee NASA

16 Wirl-flutter

17 Buzz-flutter Para aeronaves que opera no regie transônico sabeos existir sobre as asas "pacotes" de ar e regie supersônico, os quais terina através de ondas de coque norais à superfície. Se nesta situação a asa oscila, as ondas de coque "passeia" por sobre a asa, eventualente atingindo ua superfície de controle, coo u aileron. Esta oscilação induz ua resposta elástica da estrutura, podendo exibir instabilidade. Para copreenderos be este fenôeno, deve-se conecer a interação da caada liite co a onda de coque, o que exige conecientos avançados de aerodinâica. Trata-se noralente de u fenôeno não-catastrófico, de alta freqüência, de onde ve o seu noe. Pode ser tabé entendido coo u LCO de lata frequência.

18 Galloping-flutter Linas de transissão de energia elétrica, be coo raisers de exploração de petróleo são exeplos de cilindros iersos no escoaento provido pelos ventos, ou por correntes arítias no últio caso. Cilindros são corpos aerodinâicos robudos, que provoca descolaento da caada liite e foração de esteiras de vórtices, faosas e fotografias clássicas. Estas esteiras induze oscilações dos fios, as quais pode instabilizar, produzindo ovientos de grande aplitude, pode existir ua realientação dos vórtices alternados que aplifica as deforações dos cabos que por sua vez gera vórtices cada vez ais fortes. Este fenôeno pode reduzir significativaente a vida útil de linas de transissão por fadiga, quando associados a vibrações induzidas pelas esteira de vórtices alternados.

19 Galloping-flutter

20 Esteira de vórtices alternados

21 Galloping-flutter ou Ressonância? Até certo ponto, pode-se associar tabé ua aplificação do oviento a ua ressonância, pois caso a frequência dos vórtices eitidos seja coincidente co ua das frequências naturais dos cabos, podeos encontrar a ressonância, caso da oscilação induzida pelos vórtices; E ao lado pode-se ver coo supriir este tipo de fenôeno

22 Vortex induced vibrations (VIV)

23 Depende do Reynolds R d < < R d < 4 4 < R d < < R d < 3 Transição turbulenta 3 < R d < 3*1 5 3*1 5 < R d < 3.5* *1 6 < R d

24 VIV experiento para fazer e casa

25 Equações do oviento da seção típica co 1 GDL - Introdução K x x + Kx x s g/k x g EDO de a orde a coeficientes constantes x x x g K E probleas de vibração sepre edios os deslocaentos dinâicos a partir do ponto de equilíbrio. K + x

26 Solução da EDO: x st X e x Substituindo a solução acia na equação de oviento podeos isolar a dependência teporal: s st X e st K st st K s Xe + Xe Xe s + K K K s s ± s ± i ± i Autovalores solução da equação característica

27 Solução final ( ) it it 1 x t X e + X e it e cost + i sint it e cost i sint K ( ) ( + ) cos + ( ) x t X X t i X X sint ( ) 1 1 x t C cost + C sint 1

28 Solução final x x ( ) ( ) ( ) ( ) x v x C cos + C sin C x 1 1 x C sin + C cos C + 1 ( ) x t x cos t sin t v v

29 Freqüência natural É o resultado da solução da equação característica do sistea st K Xe s + equação característica K Depende das características de rigidez e inércia do sistea

30 Exeplo: Seção típica co 1 GDL restrict to sall angle (t) (t) c.g. x I + KT qsecl α I + KT qsecl α ( ) sear center Equação torna-se oogênea I + K T x cg KT qseclα qseclα 1 K K T qsecl α 1 q, q K T T

31 Solução eleentar t ( ) K ( 1 ) ( ) T KT q KT qsecl α e st ( ) T s I e K e s I K e st st st + T + K s s ± i I K T T Note que esta é nossa vela conecida, a rigidez aeroelástica I

32 Solução eleentar Análise das possibilidades de solução: Se tiveros a rigidez aeroelástica enor que zero, o sistea apresentará ua solução coposta por dois expoentes reais u positivo e outro negativo. Esta solução caracteriza u cresciento exponencial de ua das parcelas da Solução para q co o tepo indicando a instabilidade. Note que é análogo ao caso estático, rigidez aeroelástica enor que zero iplica e ua instabilidade aeroelástica, no caso a divergência. K T K T KT 1 < ( q ) t e + e p p ( ) pt 1 ± K I T i ± K I T pt

33 Solução eleentar Por outro lado se a rigidez aeroelástica for aior que zero, o que indica que as forças aerodinâicas são enores que as forças elásticas, a resposta do sistea será do tipo arônica t e + e ( ) it 1 s i ± i K I T it K s s ± i I K T T t C cost + C sint ( ) 1 Onde C1 e C são deterinados a partir de condições iniciais e de contorno I

34 Frequência X velocidade 1 GDL 35 Torsional frequency vs. airspeed at sea level torsional natural frequency (Hertz) airspeed (ft/sec) divergência

35 Conclusões 1.Sistea estável: apresenta u oviento oscilatório senoidal quando perturbado;.sistea instável: apresenta u oviento exponencialente divergente quando sistea é perturbado. 3.Sistea neutraente estável: apresenta u oviento constante co o tepo, podendo ser senoidal ou não.

36 Rigidez aerodinâica A rigidez aerodinâica é u conceito decorrente da variação de u esforço aerodinâico dado u deslocaento; Está explícito e aeroelasticidade estática; E tabé quando o fenôeno aeroelástico é dinâico: I + ( K ) T qsecl Entretanto, da esa fora que a rigidez associada a u deslocaento proove u esforço aerodinâico, podeos ter u aorteciento que estaria associado às velocidades do corpo, e tabé forças de inércia que estaria associadas às acelerações. Note que agora o nosso problea é dinâico. α

37 Modelo dinâico do seção típica co GDL restrict to sall angle (t) (t) c.g. x Derivação das equações de oviento epregando étodos de energia (Equações de Lagrange) sear center x cg É u odelo clássico para dar início a copreensão dos fenôenos aeroelásticos. Assue-se que as olas são lineares e continuaos assuindo pequenas perturbações.

38 Seção típica co GDL a) Convenção de sinais por conveniência: O plunge é positivo para baixo. b) O sistea de referência possui orige no centro elástico (Xce ) restrict to sall angle (t) sear center (t) c.g. x x cg (t) grau de liberdade e plunge (flexão) q(t) grau de liberdade e pitc (torção) Medidos a partir da posição de equilíbrio estático

39 Expressões de energia z(t) é o deslocaento para baixo e ua posição x localizada após ao centro elástico z + x sin + x 1 Energia cinética l 1 1 Energia potencial U K + KT Equações de Lagrange d dt ( T U ) ( T U ) ηi ηi x xt T ( ρ)( + x ) dx x x Q i

40 Energia Cinética 1 T x xt ( ρ)( + x ) dx x x T 1 ( + + ) S I é a assa total da seção típica ρ ( x)dx S x ρ( x)xdx l I x x dx I x ρ o + ( ) X q X CG posição do centro de assa co relação ao sistea de coordenadas da seção. No caso representa u desbalanceaento co relação ao eixo elástico S é o oento estático, ou desbalanceaento estático I oento de inércia da seção típica, coposto por:

41 Equações do oviento T T x + x + I U U Equações de oviento na fora atricial. Note que o acoplaento K K T ocorre devido a excentricidade x q x K x I + K T

42 Parâetros dinâicos Definições: I K r,, K K I, r I r T T r r + x, Ω, R r Raio de giração co relação ao cg

43 Solução eleentar ( t) st e ( t) x K st st s e e x I + K ( s + K ) ( ) s x st e ( s x ) ( s I K ) + T Substituíos no sistea acoplado: ( s + K ) ( ) s x ( s x ) ( s I K ) + T Divide-se pelo tero exponencial

44 Deterinante da atriz ( ) ( ) ( ) ( ) T s K s x s x s I K + + ( )( ) ( )( ) T s K s I K s x s x + + ( ) + + I x s s I K s K s T

45 Equação Característica Parâetros de freqüência desacoplados : K K T I ( )( ) ( ) s + s + s s s x I x ( ) s I PERGUNTA: O QUE ACONTECE QUANDO O CG COINCIDE COM O CE? x I

46 Frequências naturais s s I + ( ), ( ) I 4 o 4 s s as bs c ( ) ( ) I + ± + 4 b ± b 4ac, s a I o I Finalente, teos a expressão para s : o I 1 I + ± 1 I + I ( ) ( ) I o Io Io Cuidado, as frequências naturais são diferentes das frequências associadas a cada grau de liberdade do sistea desacoplado!

47 Moviento Harônico Siples x K + x I K T Assue-se MHS -> O que resulta e: ( t) ( t) e it x x e + K e it it I K T

48 Equações do Moviento Sistea Livre - Resuo x x I K Note que o sistea a dois graus de liberdade é u sistea acoplado dinaicaente, ou seja nas diagonais da atriz de assa teos os oentos estáticos; No doínio da frequência, assuindo MHS: + K T x K + x I K T

49 Aerodinâica Quase-Estacionária A proposta é estudar o problea da seção típica co dois graus de liberdade, considerando a teoria aerodinâica quaseestacionária; Esta teoria pressupõe que as cargas aerodinâicas são proporcionais aos deslocaentos, velocidades e acelerações associadas a condições de contorno estabelecidas sobre o corpo sujeito a u escoaento.

50 Flutter Quase-Estacionário Flutter é ua instabilidade dinâica de natureza oscilatória e auto excitada que ocorre devido a interação entre dois odos de oviento distintos e u forneciento de energia externo (carregaento aerodinâico). Aerodinâica quase-estacionária desconsidera efeitos associados ao atraso entre as forças aerodinâicas geradas (auto-excitação) e o oviento da estrutura; Ou seja, o carregaento é função exclusivaente de deslocaentos, velocidades e acelerações do corpo (seção típica). Ua prieira aproxiação assue que a sustentação e o oento é função de ua ângulo de ataque associado a variação e ais a velocidade de translação (d/dt) dividida pela velocidade do escoaento não perturbado V.

51 Y L M L e qs e C V α + V L L L qsc V α + Sustentação e Moento (ref. Centro aerodinâico) (ref. eixo elástico)

52 Sistea oogêneo + K K I x x T A inclusão do carregaento aerodinâico é feita adicionando ao lado direito a sustentação L e o oento L.e

53 Inclusão do carregaento aerodinâico x K L + x I K T Le O sinal de L é trocado pois ua sustentação positiva age para cia enquanto que é positivo para baixo I Dividios por, assa, r q raio de giração r do aerofólio: K L 1 x x r + KT Le

54 Substituindo o carregaento Teos: 1 1 x qsc L V α x r + + e V K qsc 1 Lα + + KT e Equação de vibração livre o aerofólio sujeito a u escoaento.

55 Problea estático: Derivadas teporais nulas: K qsc 1 Lα + KT e Recuperaos o problea estático de onde podeos calcular a velocidade de divergência -> verificar!

56 Adiensionalizando... + T Le L K K r x x Le L r r x x 1 1

57 Carregaento Aerodinâico é função dos deslocaentos + α α e 1 qsc V e V 1 qsc Le L L L L L x x r r qsc qsc V e e V α α + + Fazeos a substituição das relações para a sustentação e o oento, coo função dos deslocaentos apenas. Teoria de Pines

58 Teoria de Pines (1958) É ua aneira de cegaros a solução do problea de estabilidade aeroelástica, através da solução de u sistea de equação oogêneo onde a contribuição aerodinâica se dá através da rigidez soente. Ou seja, desconsidera-se os efeitos aerodinâicos associados às velocidades de translação e rotação do aerofólio, ua vez que a sua inclusão iplica e u aorteciento aerodinâico o qual ipediria tratar os sistea coo u problea de vibração livre não aortecida. É ua fora conveniente e bastante siplificada para identificar ua condição de flutter

59 + α e 1 qsc r r x x 1 1 L qsc L x x r e r α + + Vibração livre co escoaento

60 Solução assuindo MHS ( ) ( ) t i e st e t t + + e 1 qsc r r x x 1 L α Dividindo por e iwt

61 Associando a parâetros de siilaridade. V 1 q ρ Ω + + e 1 qsc r r x x 1 L α + + Ω 1 1 ρ α e SC V r r x x L

62 Definindo novos parâetros 1, q V ρ assa da seção µ πρb l assa dovolue de ar πµ ρ α α α L L L C b V b clc V qsc + + Ω 1 1 ρ α e SC V r r x x L Velocidade reduzida bw[velocidade] assa aparente V b

63 Parâetros adiensionais Estes parâetros são úteis para caracterizaros o fenôeno V V b Velocidade Reduzida Ω R e e b r r b

64 Adiensionalizando por b + + Ω 1 1 α b e b qsc b r R b r x x L R α e qsc r r x x L 1/b 1/b

65 Para surgir a assa aparente: Ω 1 x qsc α x r b + V b b R L C L α πµ qscl b + r b α 1 x R b b Ω x r + + r 1 b e CL V 1 α b + πµ b e

66 Sistea aeroelástico No doínio da frequência: CL α Ω R Ω x V πµ 1 b CL αe x r r V Ω Ω + πµ E para estudar a estabilidade deste sistea, posso usar u critério de estabilidade.

67 Cálculo do Deterinante Para calcularos a estabilidade, ou seja o flutter, busca-se a Equação característica para obter as suas raízes. ( ) [ 1 ] 4 r x Ω r + R ( e x ) + C πµ V L C α L α Ω + r R R V e πµ b d e + x Distância adiensional entre o ca e o cg. ca cg Centro elástico

68 Equação quártica: 4 AΩ BΩ + C Onde os coeficientes A, B e C são dados por: ( ) A r x r > B C ( e x ) [ ] + C r + 1 R πµ V ec L α r R R πµ -> Raio de giração ref. cg Lα V

69 Exae dos teros: B C ( [ ] ) Lα r 1+ R d V πµ Possui a fora: B b b V 1 b r R ( ) 1 1+ > Coo a solução para a eq. carcaterística possui a fora: B B ± 4 AC Ω A Ω

70 Exae dos teros Coo b1 é aior que zero, e se V barra for igual a zero recuperaos as frequências naturais da seção típica. Ua udança na velocidade reduzida (V barra) proove ua udança dentro do radical. B B ± 4 AC Ω A É positivo quando a velocidade reduzida é nula e decresce co o acréscio nesta velocidade. Este efeito representa o acréscio do acoplaento aerodinâico causado pelo auento da velocidade.

71 B -4AC e função de V Flutter e Ω 1 W 1 W V

72 Ocorrência de flutter Co o acréscio na velocidade reduzida, o teros dentro do radical decresce, torna-se negativo iplicando e raízes coplexas conjugadas; ± iσ, σ > f t ( ) e a e ( i + σ ) ( i σ ) Raízes coplexas, indica que o exponencial onde s é positivo indica u oviento divergente! t t Na situação quando B 4AC, teos a velocidade reduzida correspondente a condição de flutter.