Aeroelasticidade Dinâmica Introdução Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA/IEA

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1 AE-7 - AEROELASTICIDADE Aeroelasticidade Dinâmica Introdução Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA/IEA

2 Equações do movimento da seção típica com GDL - Introdução K m x m x + Kx = x s =mg/k x mg EDO de a ordem a coeficientes constantes x = x x mg K Em problemas de vibração sempre medimos os deslocamentos dinâmicos a partir do ponto de equilíbrio. K + x = m

3 Solução da EDO: x = st X e x Substituindo a solução acima na equação de movimento podemos isolar a dependência temporal: = s st X e st K st st K s Xe + Xe = Xe s + = m m K K K s = s = ± s = ± i = ± i m m m Autovalores solução da equação característica

4 Solução final ( ) it it x t = X e + X e it e = cost + i sint it e = cost i sint = K m ( ) = ( + ) cos + ( ) x t X X t i X X sint ( ) x t = C cost + C sint

5 Solução final x x ( ) ( ) ( ) ( ) = = x v x = C cos + C sin C = x x = C sin + C cos C = = + ( ) x t x cos t sin t v v

6 Freqüência natural É o resultado da solução da equação característica do sistema st K Xe s + = m equação característica = K m Depende das características de rigidez e inércia do sistema

7 Exemplo: Seção típica com GDL restrict to small angle (t) (t) c.g. x I + KT = qsecl α I + KT qsecl α = ( ) sear center Equação torna-se omogênea I + K = T x cg KT qseclα qseclα = = K K T qsecl α = q, = q K T T

8 Solução elementar t = ( ) K ( ) ( ) T = KT q = KT qsecl α e st ( ) T s I e K e s I K e st st st + T = + = K s = s = ± i I K T T Note que esta é nossa vela conecida, a rigidez aeroelástica I

9 Solução elementar Análise das possibilidades de solução: Se tivermos a rigidez aeroelástica menor que zero, o sistema apresentará uma solução composta por dois expoentes reais um positivo e outro negativo. Esta solução caracteriza um crescimento exponencial de uma das parcelas da Solução para com o tempo indicando a instabilidade. Note que é análogo ao caso estático, rigidez aeroelástica menor que zero implica em uma instabilidade aeroelástica, no caso a divergência. K T K T = KT < ( q ) t = e + e p p ( ) pt ± K I T = i = = ± K I T pt

10 Solução elementar Por outro lado se a rigidez aeroelástica for maior que zero, o que indica que as forças aerodinâmicas são menores que as forças elásticas, a resposta do sistema será do tipo armônica t = e + e ( ) it s = i = ± i K I T it K s = s = ± i I K T T t = C cost + C sint ( ) Onde C e C são determinados a partir de condições iniciais e de contorno I

11 Frequência X velocidade GDL 35 Torsional frequency vs. airspeed at sea level torsional natural frequency (Hertz) airspeed (ft/sec) divergência

12 Conclusões.Sistema estável: apresenta um movimento oscilatório senoidal quando perturbado;.sistema instável: apresenta um movimento exponencialmente divergente quando sistema é perturbado. 3.Sistema neutramente estável: apresenta um movimento constante com o tempo, podendo ser senoidal ou não.

13 Rigidez aerodinâmica A rigidez aerodinâmica é um conceito decorrente da variação de um esforço aerodinâmico dado um deslocamento; Está explícito em aeroelasticidade estática; E também quando o fenômeno aeroelástico é dinâmico: I + = ( K ) T qsecl Entretanto, da mesma forma que a rigidez associada a um deslocamento promove um esforço aerodinâmico, podemos ter um amortecimento que estaria associado às velocidades do corpo, e também forças de inércia que estariam associadas às acelerações. Note que agora o nosso problema é dinâmico. α

14 Modelo dinâmico do seção típica com GDL restrict to small angle (t) (t) c.g. x Derivação das equações de movimento empregando métodos de energia (Equações de Lagrange) sear center x cg É um modelo clássico para dar início a compreensão dos fenômenos aeroelásticos. Assume-se que as molas são lineares e continuamos assumindo pequenas perturbações.

15 Seção típica com GDL a) Convenção de sinais por conveniência: O plunge é positivo para baixo. b) O sistema de referência possui origem no centro elástico (Xce = ) restrict to small angle (t) sear center (t) c.g. x x cg (t) = grau de liberdade em plunge (flexão) (t) = grau de liberdade em pitc (torção) Medidos a partir da posição de equilíbrio estático

16 Expressões de energia z(t) é o deslocamento para baixo em uma posição x localizada após ao centro elástico z = + x sin + x Energia cinética l Energia potencial U = K + KT Equações de Lagrange d dt ( T U ) ( T U ) = ηi ηi x= xt T = ( ρ)( + x ) dx x= x Q i

17 Energia Cinética T x= xt = ( ρ)( + x ) dx x= x T ( = + + ) m m S I m é a massa total da seção típica = ρ ( x)dx S = mx = ρ( x)xdx l I x x dx I mx = ρ = o + ( ) X =X CG posição do centro de massa com relação ao sistema de coordenadas da seção. No caso representa um desbalanceamento com relação ao eixo elástico S é o momento estático, ou desbalanceamento estático I momento de inércia da seção típica, composto por:

18 Equações do movimento T T = = m mx + mx + I U = U = Equações de movimento na forma matricial. Note que o acoplamento ocorre devido a excentricidade x K K T m mx K mx I + = K T

19 Parâmetros dinâmicos Definições: I K r =, =, m m K K I = =, r = I mr m T T r = r + x, Ω =, R = r Raio de giração com relação ao cg

20 Solução elementar ( t) st = e ( t) m mx K st st s e e mx I + = K ( s m + K ) ( ) s mx st e = ( s mx ) ( s I K ) + T Substituímos no sistema acoplado: ( s m + K ) ( ) s mx = ( s mx ) ( s I K ) + T Divide-se pelo termo exponencial

21 Determinante da matriz ( ) ( ) ( ) ( ) T s m K s mx s mx s I K + = + ( )( ) ( )( ) T s m K s I K s mx s mx + + = ( ) = + + I mx s s I K s m K s T

22 Equação Característica Parâmetros de freqüência desacoplados : = K m = K T I ( )( ) ( ) s + s + s s = s mx I mx = 4 ( ) s I PERGUNTA: O QUE ACONTECE QUANDO O CG COINCIDE COM O CE? mx I =

23 Frequências naturais s s I + ( ), ( ) + + = + + = I 4 o 4 s s as bs c ( ) ( ) I + ± + 4 b ± b 4ac =, s = a I o I Finalmente, temos a expressão para s : o I I = + ± I + I ( ) ( ) I o Io Io Cuidado, as frequências naturais são diferentes das frequências associadas a cada grau de liberdade do sistema desacoplado!

24 Movimento Harmônico Simples m mx K + = mx I K T Assume-se MHS -> O que resulta em: ( t) ( t) = e it m mx mx e + K e it it I K T =

25 Equações do Movimento Sistema Livre - Resumo m mx mx I K Note que o sistema a dois graus de liberdade é um sistema acoplado dinamicamente, ou seja nas diagonais da matriz de massa temos os momentos estáticos; No domínio da frequência, assumindo MHS: + K T m mx K + = mx I K T =

26 Aerodinâmica Quase-Estacionária A proposta é estudar o problema da seção típica com dois graus de liberdade, considerando a teoria aerodinâmica quaseestacionária; Esta teoria pressupõem que as cargas aerodinâmicas são proporcionais aos deslocamentos, velocidades e acelerações associadas a condições de contorno estabelecidas sobre o corpo sujeito a um escoamento.

27 Flutter Quase-Estacionário Flutter é uma instabilidade dinâmica de natureza oscilatória e auto excitada que ocorre devido a interação entre dois modos de movimento distintos e um fornecimento de energia externo (carregamento aerodinâmico). Aerodinâmica quase-estacionária desconsidera efeitos associados ao atraso entre as forças aerodinâmicas geradas (auto-excitação) e o movimento da estrutura; Ou seja, o carregamento é função exclusivamente de deslocamentos, velocidades e acelerações do corpo (seção típica). Uma primeira aproximação assume que a sustentação e o momento é função de uma ângulo de ataque associado a variação em mais a velocidade de translação (d/dt) dividida pela velocidade do escoamento não perturbado V.

28 Y L M L e qs e C V α = = + V L L L qsc V α = + Sustentação e Momento (ref. Centro aerodinâmico) (ref. eixo elástico)

29 Sistema omogêneo = + K K I mx mx m T A inclusão do carregamento aerodinâmico é feita adicionando ao lado direito a sustentação L e o momento L.e

30 Inclusão do carregamento aerodinâmico m mx K L + = mx I K T Le O sinal de L é trocado pois uma sustentação positiva age para cima enquanto que é positivo para baixo I Dividimos por m, massa, r = raio de giração = r = do aerofólio: K L x m m x r + = KT Le m m m

31 Substituindo o carregamento Temos: x qsc L V α x r + + m e V K m qsc Lα + + KT m = e m Equação de vibração livre o aerofólio sujeito a um escoamento.

32 Problema estático: Derivadas temporais nulas: K m qsc Lα + KT m = e m Recuperamos o problema estático de onde podemos calcular a velocidade de divergência -> verificar!

33 Adimensionalizando... = + T m Le m L m K m K r x x = + m Le m L r r x x

34 Carregamento Aerodinâmico é função dos deslocamentos + = α α e m qsc V e V m qsc m Le m L L L L L x x r r qsc qsc V e e m m V α α + = = + Fazemos a substituição das relações para a sustentação e o momento, como função dos deslocamentos apenas. Teoria de Pines

35 Teoria de Pines (958) É uma maneira de cegarmos a solução do problema de estabilidade aeroelástica, através da solução de um sistema de equação omogêneo onde a contribuição aerodinâmica se dá através da rigidez somente. Ou seja, desconsidera-se os efeitos aerodinâmicos associados às velocidades de translação e rotação do aerofólio, uma vez que a sua inclusão implica em um amortecimento aerodinâmico o qual impediria tratar os sistema como um problema de vibração livre não amortecida. É uma forma conveniente e bastante simplificada para identificar uma condição de flutter.

36 = + α e m qsc r r x x L qsc L x x r e m r α + + = Vibração livre com escoamento

37 Solução assumindo MHS ( ) ( ) t i e st e t t = = = + + e m qsc r r x x L α Dividindo por e it

38 Associando a parâmetros de similaridade. V q ρ = Ω = = + + e m qsc r r x x L α = + + Ω ρ α e m SC V r r x x L

39 Definindo novos parâmetros, q V ρ = m massa da seção µ πρb l massa dovolume de ar = = L L L qsc V clc C b m m V b α α α ρ µ π = = = + + Ω ρ α e m SC V r r x x L Velocidade reduzida b=[velocidade] µ = massa aparente V b =

40 Parâmetros adimensionais Estes parâmetros são úteis para caracterizarmos o fenômeno V = V b Velocidade Reduzida Ω = R = e = e b r = r b

41 Adimensionalizando por b = + + Ω α b e mb qsc b r R b r x x L R = = + + α e m qsc r r x x L /b /b

42 Para surgir a massa aparente: Ω x qsc α m x r b + V = b b R L C L α πµ qscl b + r mb α x R b b Ω x r + + r b = e CL V α b + πµ b = e

43 Sistema aeroelástico No domínio da frequência: CL α Ω R Ω x V πµ b = CL αe x r r V Ω Ω + πµ E para estudar a estabilidade deste sistema, posso usar um critério de estabilidade.

44 Cálculo do Determinante Para calcularmos a estabilidade, ou seja o flutter, busca-se a Equação característica para obter as suas raízes. ( ) [ ] 4 r x Ω r + R ( e x ) + C πµ V L C α L α Ω + r R R V e πµ = b d = e + x Distância adimensional entre o ca e o cg. ca cg Centro elástico

45 Equação quártica: 4 AΩ BΩ + C = Onde os coeficientes A, B e C são dados por: ( ) A = r x = r > B C ( e x ) [ ] + C = r + R πµ V ec L α = r R R πµ -> Raio de giração ref. cg Lα V

46 Exame dos termos: B = C ( [ ] ) Lα r + R d V πµ Possui a forma: B = b b V b r R ( ) = + > Como a solução para a eq. característica possui a forma: B B ± 4 AC Ω = A Ω =

47 Exame dos termos Como b é maior que zero, e se V barra for igual a zero recuperamos as frequências naturais da seção típica. Uma mudança na velocidade reduzida (V barra) promove uma mudança dentro do radical. B B ± 4 AC Ω = A É positivo quando a velocidade reduzida é nula e decresce com o acréscimo nesta velocidade. Este efeito representa o acréscimo do acoplamento aerodinâmico causado pelo aumento da velocidade.

48 B -4AC em função de V Flutter em Ω Ω Ω V

49 Ocorrência de flutter Com o acréscimo na velocidade reduzida, o termos dentro do radical decresce, torna-se negativo implicando em raízes complexas conjugadas; = ± iσ, σ > f t ( ) e = a e ( i + σ ) ( i σ ) Raízes complexas, indicam que o exponencial onde s é positivo indica um movimento divergente! t t Na situação quando B = 4AC, temos a velocidade reduzida correspondente a condição de flutter.

50 Condições nominais Exemplo de um aerofólio com as seguintes características: X =., e =.3, R =.3, = 5 rad/s, µ = Frequency Ratio (Real) Frequency Ratio (Imag) Reduced Velocity Reduced Velocity

51 Efeito da massa aparente I Variando a massa aparente µ... µ = µ = 3 m µ = πρb l Frequency Ratio (Real).8.6 Frequency Ratio (Real) Reduced Velocity Reduced Velocity

52 Efeito da massa aparente II E aumentando ainda mais a massa aparente... µ = 5 µ =.6.6 m µ = πρb l Frequency Ratio (Real).8.6 Frequency Ratio (Real) Reduced Velocity Reduced Velocity

53 Efeitos dos parâmetros no flutter Variação de posição do CG, CE e CA. A posição do CG em relação ao CE é dada por x. A posição do CA em relação ao CE é dada por e. E a posição do CA ao CG é denotada por d. Vamos analisar a dinâmica da seção típica sujeita à variações paramétricas descritas em termos de posição do CA e do CG com relação ao CE. Programa em MATLAB (pinesgdl.m) ->

54 Método de Pines codificado: close all clear all % % dof system % xt ; x _ teta % rt ; ( r _teta)^ % R ; (omega /omega alpa)^ % e -> distncia do CE ao CA - negativa atras do CE, positiva a frente do CE b=3.; S =.; wt=5.; xt =.; e=.3; cla=*pi; d=e+xt; R =(.3)^; rt=(.5)^; mu =. ; %mu =3. ; %mu =5. ; % for kk=:4; vel(:,kk)=kk*.; % A=rt-xt^; % B=rt*(+R)-(vel(:,kk)^)*(d*cla)/(pi*mu); % C=R*(rt-(vel(:,kk)^)*(e*cla)/(pi*mu)); % rst(:,kk)=sqrt((b+sqrt(b^-4*a*c))/(*a)); rst(:,kk)=sqrt((b-sqrt(b^-4*a*c))/(*a)); % end figure(); plot(vel(,:),real(rst(,:)),'.r',vel(,:), real(rst(,:)),'.b'), axis([. 5..6]),xlabel('Reduced Velocity'), ylabel('frequency Ratio (Real)'),grid; figure(); plot(vel(,:),imag(rst(,:)),'.r',vel(,:), imag(rst(,:)),'.b'), axis([ ]),xlabel('reduced Velocity'), ylabel('frequency Ratio (Imag)'),grid;

55 Regra de Pines I CA atrás do CE e CG a frente do CE : x = -,, e =-,3 Nunca averá flutter! Frequency Ratio (Real) Frequency Ratio (Imag) Reduced Velocity Reduced Velocity

56 Regra de Pines II.6.4. CG e CA atrás do CE (e= -.3, x =.4) -> flutter garantido pois x >e, Porém, se x < e nunca averá flutter! Frequency Ratio (Real) Frequency Ratio (Imag) Reduced Velocity Reduced Velocity

57 Regra de Pines III e IV CA a frente do CE e CM atrás do CE, bem como o CA e o CM atrás do CE, o flutter vai depender de parâmetros. Condição ideal CA=CE=CM (desacoplamnto dinâmico e aerodinâmico) Frequency Ratio (Real) Frequency Ratio (Imag) Reduced Velocity Reduced Velocity

58 Conclusões Para evitar flutter, CG coincidente ou a frente do CE; Para evitar divergência, CA coincidente o ou a frente de CG; Flutter depende da combinação entre a altitude e a velocidade, isto é da pressão dinâmica; A pressão dinâmica de flutter é proporcional à rigidez em torção; O flutter é inversamente proporcional a C Lα.

59 Conclusões Nunca teremos flutter quando o CG estiver a frente do eixo elástico (x < ) Se o CG estiver atrás do CE, o flutter é possível somente se o CA estiver entre o CE e o CG. e = x x α = x ea= CE ac= CA

60 CA a frente do CE O flutter será possível somente: e = x e + x e x e + r x α = x ea= CE ac= CA

61 CA atrás do CG e CE O flutter ocorre somente se: e x > e x e + r e = x x α = x ea= CE ac= CA

62 Esquema de Pines:

63 Causa do flutter O flutter clássico somente ocorre quando a interação de dois modos; Vamos supor que existam dois movimentos tais como os associados aos graus de liberdade da seção típica: e α (ou como preferir). Ambos obedecem a um movimento armônico simples, porém apresentam uma defasagem de um ângulo φ. Defasagem entre movimentos significa que em um determinado instante de tempo um deles atinge o seu máximo enquanto o outro não. Esta diferença de fase é essencial para o flutter.

64 O mecanismo do flutter Assume-se que os movimentos de arfagem e vertical são formados de forma que tenam amplitude e fase contantes Cálculo do trabalo realizado pelos esforços aerodinâmicos agindo no CA, durante um ciclo de dutação T p. Lembre que: T p = π T = π O trabalo realizado pelo escoamento é representado pela força que que gera um carregamento (sustentação) a qual é aplicada no CA. O deslocamento resultante neste ponto é dado por: p z ( t) = e

65 Entendendo o Mecanismo de flutter Assume-se um movimento defasado como: ( t) b = cost b ( t ) = cos ( t + φ ) Vamos calcular o trabalo realizado pelo aerofólio em um ciclo de movimento: T T p p = π = = π ciclo restrict to small angle (t) sear center (t) c.g. x x cg

66 Trabalo realizado O trabalo realizado é representado pela seguinte relação: W aero T p = Lidz = o T o p dz Li dt d t Como: ( t) b = cost e ( ) ( ) b t = cos t + φ = e L = qscl α z ( t ) e

67 Trabalo por ciclo: Temos: L = qsc cos( ) L qsc L o t + φ α α T = C cos( + ) ( ) L o i e p W qs t W aero = o φ dt α Tp qsc L o cos ( t φ ) b sin t e sin ( t ) dt α o b φ = + i + o aero o W = aero qsc π L o o sin φ α

68 Trabalo por ciclo W = aero qsc π L o o sin φ α Se < φ < 8 o, W aero < o aerofólio trasfere energia para o escoamento! Se -8 o < φ <, sin φ <, o aerofólio absorve energia do escoamento, W aero >, a tendência é aumentar a amplitude do movimento Flutter! Quando φ = 8 o tem-se o ponto de estabilidade neutra, associado ao limite da condição onde o aerofólio começa a extrair energia do escoamento.

69 Acoplamento dos modos Os movimentos de pitc e plunge estão defasados em 8 o, o que é representado na solução de flutter pelo par de raízes complexas conjugadas que surgem na condição de flutter, onde ocorre o acoplamento destes dois graus de liberdade. Frequency Ratio (Imag) Reduced Velocity

70 Defasagem entre os movimentos W sin air = qsc L π α o o φ L t = cos t + φ ( ) ( ) velocidade em plunge vel. plunge + W aero +W aero V φ negativo indica flutter velocidade em plunge velocidade em plunge

71 Entendendo o movimento... Analisando o movimento na amplitude mais negativa do movimento em plunge, o ângulo de arfagem é nulo (defasagem). A medida que a velocidade em plunge aumenta, o ângulo em arfagem decresce e a sustentação age na direção do movimento em plunge que aumenta. Quando o deslocamento em plunge é nulo, o ângulo em pitc é mais negativo. Aumentando o plunge, o pitc decresce porém sendo ainda negativo, a sustentação continua agindo na direção do movimento em plunge. Ao atingir o máximo deslocamento, a velocidade é nula, mas a partir deste ponto o ângulo de pitc aumenta (fica mais positivo) promovendo uma sustentação na direção do movimento restaurador em plunge, ou seja, trabalo positivo é realizado durante todo o ciclo, na condição em que a defasagem do movimento é em um ângulo onde sin φ <.