DINÂMICA DE ESTRUTURAS E AEROELASTICIDADE

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1 DINÂMICA DE ESTRUTURAS E AEROELASTICIDADE Prof. GIL Aeroelasticidade Dinâmica - Introdução 1

2 Introdução a aeroelasticidade dinâmica Exemplo de fenômeno aeroelástico dinâmico a ser abordado: Flutter é uma auto-excitação de dois ou mais modos de vibração de um sistema, devidamente alterada e realimentada pelo escoamento de um fluido. Pode vir a causar oscilações de amplitude que crescem exponencialmente levando a estrutura a uma fala dinâmica

3 Introdução a aeroelasticidade dinâmica Sobre os tipos de Flutter Além do flutter classificado como clássico, ou seja, previsível com teoria dinâmica e aerodinâmica linear, existem outro tipo importantes de flutter; Alguns desses fenômenos são classificados como não aeronáuticos, por se tratar de estruturas como construções civis ou marítimas, tais como raisers de petróleo. Existem instabilidades que são de natureza não linear, tanto associados ao regime de escoamento (transônico, supersônico ou subsônico), com e sem separação da camada limite, ou mesmo a estruturas que comportamse não linearmente. Vamos caracterizar a seguir: 3

4 Estol-flutter Quando um aerofólio oscila próximo à sua condição de estol em regime permanente, o fenômeno do estol passa a ter um caráter dinâmico. Isto significa que o perfil poderá apresentar, se partir de uma condição de escoamento colado, estol para ângulos maiores que o previsto no caso estático, ou mesmo, se partir de um estol, apresentar escoamento descolado para ângulos de ataque inferiores ao de estol estático. Este comportamento recebe o nome de isterese aerodinâmica. Existem casos em que este atraso aerodinâmico promove a extração de energia do escoamento, produzindo uma instabilidade. Este flutter comporta-se normalmente associado a um movimento de um grau de liberdade, o qual não pode ser explicado pela teoria clássica de flutter. 4

5 Estol-flutter Costuma acontecer e fans de turbinas - > Pode também estar associado a uma súbita perda de sustentação devido ao descolamento do escoamento Dependendo da condição as forças de inércia induzem a amplificação do movimento associada a outra perda abrupta de sustentação causada por outro estol da superfície sustentadora 5

6 Oscilações de ciclo limite (LCO) A oscilação em ciclo limite é caracterizada como uma oscilação de amplitude constante associada a frequências de modos aeroelásticos da estrutura. Usualmente este fenômeno manifesta-se em uma determinada faixa estreita de número de Mac e confinado em uma variação em ângulo de ataque de amplitude finita e constante (Filme do F-16 que mostra o LCO.) 6

7 LCO - Limit Cycle Oscillation Não linearidade boa Não linearidade ruim 7

8 Observações sobre LCO LCO normalmente é caracterizado como: Subcrítico ou supercrítico (bom ou ruim) Fortemente não linear ou fracamente não linear (pequenos ou grandes deslocamentos) Flutter catastrófico corresponde a um LCO fraco, e associados a grandes deformações, uma estrutura nunca é perfeitamente linear; O LCO típico está associado a não linearidades importantes, que limitam o movimento a pequenas deformações; É um fenômeno não linear, esta associado a condições iniciais. 8

9 Wirl-flutter Sistemas aerodinâmicos rotativos, tais como élices, rotores de elicóptero e pás de compressores e turbinas, podem apresentar uma instabilidade rotativa. Tomando como representativo o caso de uma élice, por ocasião da instabilidade o cubo do rotor executa um movimento tipo de precessão de amplitude crescente que pode levar à quebra do conjunto. Neste fenômeno interagem a aerodinâmica das pás, a dinâmica do conjunto e a elasticidade da estrutura. Normalmente, a solução do problema consiste em reforçar as ligações do grupo moto-propulsor à nacele, eventualmente com a adição de amortecedores. Filme NASA 9

10 Wirl-flutter 1

11 Buzz-flutter Para aeronaves que operam no regime transônico sabemos existir sobre as asas "pacotes" de ar em regime supersônico, os quais terminam através de ondas de coque normais à superfície. Se nesta situação a asa oscila, as ondas de coque "passeiam" por sobre a asa, eventualmente atingindo uma superfície de controle, como um aileron. Esta oscilação induz uma resposta elástica da estrutura, podendo exibir instabilidade. Para compreendermos bem este fenômeno, deve-se conecer a interação da camada limite com a onda de coque, o que exige conecimentos avançados de aerodinâmica. Trata-se normalmente de um fenômeno não-catastrófico, de alta freqüência, de onde vem o seu nome. Pode ser também entendido como um LCO de lata frequência. 11

12 Galloping-flutter Linas de transmissão de energia elétrica, bem como raisers de exploração de petróleo são exemplos de cilindros imersos no escoamento provido pelos ventos, ou por correntes marítimas no último caso. Cilindros são corpos aerodinâmicos rombudos, que provocam descolamento da camada limite e formação de esteiras de vórtices, famosas em fotografias clássicas. Estas esteiras induzem oscilações dos fios, as quais podem instabilizar, produzindo movimentos de grande amplitude, pode existir uma realimentação dos vórtices alternados que amplificam as deformações dos cabos que por sua vez geram vórtices cada vez mais fortes. Este fenômeno pode reduzir significativamente a vida útil de linas de transmissão por fadiga, quando associados a vibrações induzidas pelas esteira de vórtices alternados. 1

13 Galloping-flutter 13

14 Modelos Aeroelásticos simplificados Seção típica com 1 e graus de liberdade Aerodinâmica simplificada Compreensão do fenômeno 14

15 Exemplo: Seção típica com 1 GDL restrict to small angle (t) (t) c.g. x I + K T = qsec L α I + K T qsec L α = ( ) sear center Equação torna-se omogênea I + K = T x cg K T qsec Lα qsec Lα = 1 = K K T qsec Lα = 1 q, = K T T q 15

16 Solução elementar t = ( ) e K ( 1 ) ( ) T = KT q = KT qsecl α st ( ) T s I e K e s I K e st st st + T = + = K s = s = ± i I K T T I Note que esta é nossa vela conecida, a rigidez aeroelástica 16

17 Solução elementar Análise das possibilidades de solução: Se tivermos a rigidez aeroelástica menor que zero, o sistema apresentará uma solução composta por dois expoentes reais um positivo e outro negativo. Esta solução caracteriza um crescimento exponencial de uma das parcelas da Solução para com o tempo indicando a instabilidade. Note que é análogo ao caso estático, rigidez aeroelástica menor que zero implica em uma instabilidade aeroelástica, no caso a divergência. K T K T = K 1 T ( q ) t = e + e p p < ( ) pt 1 ± K I T = i = = ± K I T pt 17

18 Solução elementar Por outro lado se a rigidez aeroelástica for maior que zero, o que indica que as forças aerodinâmicas são menores que as forças elásticas, a resposta do sistema será do tipo armônica t = e + e ( ) 1 s = i = ± i i t i t K I T K s = s = ± i I K T T ( ) 1 t = C cost + C sin t Onde C1 e C são determinados a partir de condições iniciais e de contorno I 18

19 Frequência X velocidade 1 GDL 35 Torsional frequency vs. airspeed at sea level torsional natural frequency (Hertz) airspeed (ft/sec) divergência 19

20 Conclusões 1. Sistema estável: apresenta um movimento oscilatório senoidal quando perturbado;. Sistema instável: apresenta um movimento exponencialmente divergente quando sistema é perturbado. 3. Sistema neutramente estável: apresenta um movimento constante com o tempo, podendo ser senoidal ou não.

21 Rigidez aerodinâmica A rigidez aerodinâmica é um conceito decorrente da variação de um esforço aerodinâmico dado um deslocamento; Está explícito em aeroelasticidade estática; E também quando o fenômeno aeroelástico é dinâmico: I + = ( K ) T qsec L Entretanto, da mesma forma que a rigidez associada a um deslocamento promove um esforço aerodinâmico, podemos ter um amortecimento que estaria associado às velocidades do corpo, e também forças de inércia que estariam associadas às acelerações. Note que agora o nosso problema é dinâmico. α 1

22 Modelo dinâmico do seção típica com GDL restrict to small angle (t) (t) c.g. x Derivação das equações de movimento empregando métodos de energia (Equações de Lagrange) sear center x cg É um modelo clássico para dar início a compreensão dos fenômenos aeroelásticos. Assume-se que as molas são lineares e continuamos assumindo pequenas perturbações.

23 Seção típica com GDL a) Convenção de sinais por conveniência: O plunge é positivo para baixo. b) O sistema de referência possui origem no centro elástico (Xce = ) restrict to small angle (t) sear center (t) c.g. x x cg (t) = grau de liberdade em plunge (flexão) (t) = grau de liberdade em pitc (torção) Medidos a partir da posição de equilíbrio estático 3

24 Expressões de energia z(t) é o deslocamento para baixo em uma posição x localizada após ao centro elástico Energia cinética z = + x sin + x 1 l 1 1 U = K + KT Equações de Lagrange Energia potencial d dt x= xt T = ( ρ )( + x ) dx x= x ( T U ) ( T U ) = ηi ηi Q i 4

25 Energia Cinética T 1 ( = + + ) m 1 T x= xt = ( ρ)( + x ) dx x= x m S I m é a massa total da seção típica = ρ ( x)dx S = mx = ρ ( x)xdx I x x dx I mx l = ρ = o + ( ) X =X CG posição do centro de massa com relação ao sistema de coordenadas da seção. No caso representa um desbalanceamento com relação ao eixo elástico S é o momento estático, ou desbalanceamento estático I momento de inércia da seção típica, composto por: 5

26 Equações do movimento T T = = m mx + mx + I U = U = K K T Equações de movimento na forma matricial. Note que o acoplamento ocorre devido a excentricidade x m mx K mx I + = K T 6

27 Parâmetros dinâmicos Definições: I K r =, =, m m K K I = =, r = I mr m T T r = r + x, Ω =, R = r Raio de giração com relação ao cg 7

28 Solução elementar ( t) st = e ( t) m mx K st st s e e mx I + = K ( s m + K ) ( ) s mx st e = ( s mx ) ( s I K ) + T Substituímos no sistema acoplado: + = + ( s m K ) ( s mx ) ( s mx ) ( s I KT ) Divide-se pelo termo exponencial 8

29 Determinante da matriz + ( s m K ) ( s mx ) ( s mx ) ( s I + K ) T = ( )( ) ( )( s m K ) s I K T s mx s mx + + = s + K m s + K I T mx I ( ) s s = 9

30 Equação Característica Parâmetros de freqüência desacoplados : = K m = K T I ( )( ) ( ) s + s + s s = s mx I mx = 4 ( ) s I PERGUNTA: O QUE ACONTECE QUANDO O CG COINCIDE COM O CE? mx I = 3

31 Frequências naturais s s I + ( ), ( ) + + = + + = I 4 o 4 s s as bs c ( ) ( ) I + ± + 4 b ± b 4ac =, s = a I o I Finalmente, temos a expressão para s : o I 1 I = + ± 1 I + I ( ) ( ) I o I o I o Cuidado, as frequências naturais são diferentes das frequências associadas a cada grau de liberdade do sistema desacoplado! 31

32 Movimento Harmônico Simples m mx K + = mx I K T Assume-se MHS -> O que resulta em: ( t) ( t) = e it m mx e + e it it mx I K K T = 3

33 Equações do Movimento - Sistema Livre m mx mx I + K K T = Note que o sistema a dois graus de liberdade é um sistema acoplado dinamicamente, ou seja nas diagonais da matriz de massa temos os momentos estáticos; No domínio da frequência, assumindo MHS: m mx K + = mx I K T 33

34 Aprox. Aerodinâmica Quase-Estacionária A proposta é estudar o problema da seção típica com dois graus de liberdade, considerando a teoria aerodinâmica quase-estacionária; Esta teoria pressupõem que as cargas aerodinâmicas são proporcionais aos deslocamentos, velocidades e acelerações associadas a condições de contorno estabelecidas sobre o corpo sujeito a um escoamento. 34

35 Flutter Quase-Estacionário Flutter é uma instabilidade dinâmica de natureza oscilatória e auto excitada que ocorre devido a interação entre dois modos de movimento distintos e um fornecimento de energia externo (carregamento aerodinâmico). Aerodinâmica quase-estacionária desconsidera efeitos associados ao atraso entre as forças aerodinâmicas geradas (auto-excitação) e o movimento da estrutura; Ou seja, o carregamento é função exclusivamente de deslocamentos, velocidades e acelerações do corpo (seção típica). Uma primeira aproximação assume que a sustentação e o momento é função de uma ângulo de ataque associado a variação em mais a velocidade de translação (d/dt) dividida pela velocidade do escoamento não perturbado V. 35

36 Sustentação e Momento V (ref. Centro aerodinâmico) L = qsc L + α V L (ref. eixo elástico) M Y = L e = qs e C L + α V 36

37 EST 56 Prof. Gil 37 Sistema omogêneo = + K K I mx mx m T A inclusão do carregamento aerodinâmico é feita adicionando ao lado direito a sustentação L e o momento L.e

38 Inclusão do carregamento aerodinâmico m mx K L + = mx I K T Le O sinal de L é trocado pois uma sustentação positiva age para cima enquanto que é positivo para baixo I Dividimos por m, massa, r = raio de giração = r = do aerofólio: K L 1 x m m x r + = K T Le m m m 38

39 Substituindo o carregamento Temos: 1 1 x qsc L V α x r + + m e V K m qsc 1 Lα + + KT m e = m Equação de vibração livre o aerofólio sujeito a um escoamento. 39

40 Problema estático: Derivadas temporais nulas: K m qsc 1 Lα + K T m = e m Recuperamos o problema estático de onde podemos calcular a velocidade de divergência -> verificar! 4

41 EST 56 Prof. Gil 41 Adimensionalizando... = + T m Le m L m K m K r x x 1 1 = + m Le m L r r x x 1 1

42 Carregamento Aerodinâmico L m = Le m 1 Teoria de Pines qsc m L α 1 V e V 1 x x r + = r + qsc m L α 1 e Fazemos a substituição das relações para a sustentação e o momento, como função dos deslocamentos apenas. qsc 1 L V qsc L 1 α α = + m e m e V 4

43 Teoria de Pines (1958) É uma maneira de cegarmos a solução do problema de estabilidade aeroelástica, através da solução de um sistema de equação omogêneo onde a contribuição aerodinâmica se dá através da rigidez somente. Ou seja, desconsidera-se os efeitos aerodinâmicos associados às velocidades de translação e rotação do aerofólio, uma vez que a sua inclusão implica em um amortecimento aerodinâmico o qual impediria tratar os sistema como um problema de vibração livre não amortecida. É uma forma conveniente e bastante simplificada para identificar uma condição de flutter. 43

44 EST 56 Prof. Gil 44 = + α e 1 m qsc r r x x 1 1 L qsc L x x r e m r α + + = Vibração livre com escoamento

45 EST 56 Prof. Gil 45 Solução assumindo MHS ( ) ( ) t i e st e t t = = = + + e 1 m qsc r r x x 1 L α Dividindo por e it

46 EST 56 Prof. Gil 46 Associando a parâmetros de similaridade. V 1 q ρ = Ω = = + + e 1 m qsc r r x x 1 L α = + + Ω 1 1 ρ α e m SC V r r x x L

47 EST 56 Prof. Gil 47 Definindo novos parâmetros 1, q V ρ = m massa da seção b l massa do volume de ar µ πρ = = L L L qsc V clc C b m m V b α α α ρ µ π = = = + + Ω 1 1 ρ α e m SC V r r x x L Velocidade reduzida b=[velocidade] µ = massa aparente V b =

48 Parâmetros adimensionais Estes parâmetros são úteis para caracterizarmos o fenômeno V = V b Velocidade Reduzida Ω = R = e = e b r = r b 48

49 EST 56 Prof. Gil 49 Adimensionalizando por b = + + Ω 1 1 α b e mb qsc b r R b r x x L R = = α e m qsc r r x x L 1/b 1/b

50 Para surgir a massa aparente: Ω 1 x qsc α m x r R b+ V = b b L C L α πµ b+ r qsc L α mb 1 b e = 1 x R b b Ω x r + + r CL V 1 α b + πµ b = e 5

51 Sistema aeroelástico No domínio da frequência: C Lα Ω R Ω x V πµ 1 b = C Lα e x r r V Ω Ω + πµ E para estudar a estabilidade deste sistema, posso usar um critério de estabilidade. 51

52 Cálculo do Determinante Para calcularmos a estabilidade, ou seja o flutter, busca-se a Equação característica para obter as suas raízes. ( ) [ 1 ] 4 r x Ω r + R ( e x ) + C πµ V L C α L α Ω + r R R V e πµ = b d = e + x Distância adimensional entre o ca e o cg. ca cg Centro elástico 5

53 Equação quártica: 4 AΩ BΩ + C = Onde os coeficientes A, B e C são dados por: ( ) A = r x = r > ( e x ) [ ] + C α = + L V B r 1 R πµ V ec L α C = r R R πµ -> Raio de giração ref. cg A solução para a eq. característica possui a forma: B ± B Ω = A 4 AC 53

54 Ocorrência de flutter Com o acréscimo na velocidade reduzida, o termos dentro do radical decresce, torna-se negativo implicando em raízes complexas conjugadas; = ± iσ, σ > e f ( t ) = a e ( i + σ ) ( i σ ) Raízes complexas, indicam que o exponencial onde s é positivo indica um movimento divergente! t t Na situação quando B = 4AC, temos a velocidade reduzida correspondente a condição de flutter. 54

55 Condições nominais Exemplo de um aerofólio com as seguintes características: X =.1, e =.3, R =.3, = 5 rad/s, µ = Frequency Ratio (Real) Frequency Ratio (Imag) Reduced Velocity Reduced Velocity 55

56 Efeitos dos parâmetros no flutter Variação de posição do CG, CE e CA. A posição do CG em relação ao CE é dada por x. A posição do CA em relação ao CE é dada por e. E a posição do CA ao CG é denotada por d. Pode-se analisar a dinâmica da seção típica sujeita à variações paramétricas descritas em termos de posição do CA e do CG com relação ao CE. Programa em MATLAB (pinesgdl.m) -> 56

57 Método de Pines codificado: close all clear all % % dof system % xt ; x _ teta % rt ; ( r _teta)^ % R ; (omega /omega alpa)^ % e -> distncia do CE ao CA - negativa atras do CE, positiva a frente do CE b=3.; S = 1.; wt=5.; xt =.1; e=.3; cla=*pi; d=e+xt; R =(.3)^; rt=(.5)^; mu =. ; %mu =3. ; %mu =5. ; for kk=1:4; vel(:,kk)=kk*.1; % A=rt-xt^; % B=rt*(1+R)-(vel(:,kk)^)*(d*cla)/(pi*mu); % C=R*(rt-(vel(:,kk)^)*(e*cla)/(pi*mu)); % rst1(:,kk)=sqrt((b+sqrt(b^-4*a*c))/(*a)); rst(:,kk)=sqrt((b-sqrt(b^-4*a*c))/(*a)); end figure(1); plot(vel(1,:),real(rst1(1,:)),'.r',vel(1,:), real(rst(1,:)),'.b'), axis([ ]),xlabel('Reduced Velocity'), ylabel('frequency Ratio (Real)'),grid; figure(); plot(vel(1,:),imag(rst1(1,:)),'.r',vel(1,:), imag(rst(1,:)),'.b'), axis([ ]),xlabel('Reduced Velocity'), ylabel('frequency Ratio (Imag)'),grid; 57

58 A causa do flutter O flutter clássico somente ocorre quando a interação de dois modos; Vamos supor que existam dois movimentos tais como os associados aos graus de liberdade da seção típica: e α (ou como preferir). Ambos obedecem a um movimento armônico simples, porém apresentam uma defasagem de um ângulo φ. Defasagem entre movimentos significa que em um determinado instante de tempo um deles atinge o seu máximo enquanto o outro não. Esta diferença de fase é essencial para o flutter. 58

59 O mecanismo do flutter Assume-se que os movimentos de arfagem e vertical são formados de forma que tenam amplitude e fase contantes Cálculo do trabalo realizado pelos esforços aerodinâmicos agindo no CA, durante um ciclo de dutação T p. Lembre que: T p = π T = π O trabalo realizado pelo escoamento é representado pela força que que gera um carregamento (sustentação) a qual é aplicada no CA. O deslocamento resultante neste ponto é dado por: z ( t ) = e p 59

60 Entendendo o Mecanismo de flutter Assume-se um movimento defasado como: b ( t ) = cos t b ( t ) = cos ( t + φ ) Vamos calcular o trabalo realizado pelo aerofólio em um ciclo de movimento: T T p p = = π = 1 π ciclo restrict to small angle (t) sear center (t) c.g. x x cg 6

61 Trabalo realizado O trabalo realizado é representado pela seguinte relação: W aero T p = Lidz = o T o p dz Li dt d t Como: b ( t ) = cos t e ( ) ( ) b t = cos t + φ = e L = qsc L α z ( t ) e 61

62 Trabalo por ciclo: Temos: L = qsc L qsc t + φ α α T = cos ( ) L o C cos ( + ) ( ) L o i e p W qs t W aero = o φ dt α Tp qsc L o cos ( t φ ) b sin t e sin ( t ) dt α o b φ = + i + o aero o W = aero qsc π L o o sin φ α 6

63 Trabalo por ciclo W = aero qsc π L o o sin φ α Se < φ < 18 o, W aero < o aerofólio trasfere energia para o escoamento! Se -18 o < φ <, sin φ <, o aerofólio absorve energia do escoamento, W aero >, a tendência é aumentar a amplitude do movimento Flutter! Quando φ = 18 o tem-se o ponto de estabilidade neutra, associado ao limite da condição onde o aerofólio começa a extrair energia do escoamento. 63

64 Acoplamento dos modos Os movimentos de pitc e plunge estão defasados em 18 o, o que é representado na solução de flutter pelo par de raízes complexas conjugadas que surgem na condição de flutter, onde ocorre o acoplamento destes dois graus de liberdade. Frequency Ratio (Imag) Reduced Velocity 64

65 Defasagem entre os movimentos W sin air = qsc L π α o o φ L t = cos t + φ ( ) ( ) velocidade em plunge vel. plunge + W aero +W aero V φ negativo indica flutter velocidade em plunge velocidade em plunge 65

66 Entendendo o movimento... Analisando o movimento na amplitude mais negativa do movimento em plunge, o ângulo de arfagem é nulo (defasagem). A medida que a velocidade em plunge aumenta, o ângulo em arfagem decresce e a sustentação age na direção do movimento em plunge que aumenta. Quando o deslocamento em plunge é nulo, o ângulo em pitc é mais negativo. Aumentando o plunge, o pitc decresce porém sendo ainda negativo, a sustentação continua agindo na direção do movimento em plunge. Ao atingir o máximo deslocamento, a velocidade é nula, mas a partir deste ponto o ângulo de pitc aumenta (fica mais positivo) promovendo uma sustentação na direção do movimento restaurador em plunge, ou seja, trabalo positivo é realizado durante todo o ciclo, na condição em que a defasagem do movimento é em um ângulo onde sin φ <. 66