Os apontamentos Luís V. Pessoa, Problemas em Cáculo Diferencial e Integral I (CDI I),

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1 Os apontamentos Luís V. Pessoa, Problemas em Cáculo Diferencial e Integral I (CDI I), DMIST, 006 serviram de apoio pedagógico, aos alunos inscritos em algum dos cursos de Cálculo Diferencial e Integral I, por o autor professados no Instituto Superior Técnico. Oautorconsidera natural a ocorrência de imprecisões, as quais o leitor poderá indicar por meio de comunicações endereçadas a lpessoa@math.tecnico.ulisboa.pt.

2 Problemas em Cálculo Diferencial e Integral I Luís V. Pessoa Dezembro de 006 Conteúdo Prefácio Os números reais. Lógica. Operações informais com conjuntos Indução Matemática Aioma do supremo Sucessões de termos reais e limite Algumas resoluções Continuidade. Diferenciabilidade Teorema de Lagrange e algumas consequências Algumas resoluções Fórmula de Taylor Primitivação Soluções Integral de Riemann. Teorema fundamental

3 Prefácio Alistadeproblemasqueoleitorencontraránaspáginasabaio, resulta da agregação de um conjunto de problemas, que o autor preparou e forneceu aos seus alunos do turno de problemas, do curso de Cálculo Diferencial e Integral I, noprimeirosemestrede06/07eleccionadoàslicenciaturas e respectivos mestrados pós-bolonha, em Bio-Médica, Física ematemática. Àdatadeentão,osproblemas eram disponibilizados semanalmente com a nomeação de Fichas de Problemas e pretendiam preencher algumas das lacunas dos problemas integrantes das referências bibliográficas comuns no Instituto Superior Técnico, tão bem quanto contrariar a maioritária tendência do aluno em procurar receituário com intuitos em resolver os diversos problemas que lhe são colocados. Como causa natural do objectivo declarado, alguns dos problemas poderão apresentar dificuldades, ajuizadas por o aluno iniciado em análise matemática, com características de eventual eagero. Cumpre acrescentar, que nas páginas abaio o autor não considera qualquer sinalética de hierarquização do grau de dificuldades dos respectivos problemas. Justifica-se por intermédio de confessa inabilidade em obter classificações relevantes, eporjulgardeinteresseavaliarascapacidadedoalunoemreconhecer as distintas dificuldades dos problemas que intenta solucionar. Os números reais. Lógica. Operações informais com conjuntos..considere a, b números reais fios. Determine o conjunto das soluções reais das seguintes inequações: a) sin () cos ()+, R ; b) cos ()+ sin > ; c)+cos +cos() > 0; d) cos 3cos + 0; e) ( ) tan π < 0; f) < ; g) ( ) ; h) a + b ; i) a + b ; j) a b ; k)n 6 9n , n N ; l) 4 4 ( ) > 0..Escreva cada um dos seguintes conjuntos na forma de reunião de intervalos: a) A = { R\{0} :sin > 0} ; b) B = { R\{0} :sin( )+sin( + ) sin( )} ; c) A B ; d) A B ; e) C a = { R : e + e a} ; f) D a = { R : e e a},a R. 3.Decida qual o valor lógico das seguintes proposições: a) ; b) ; c) / ; d) ; e) Q n N m N cos(n) m Z ; f) n N Q m N cos(n) m Z ; g) m N Q n N cos(n) m Z ; h) R\{0} Q ( + ) Q ; ( i) R\{0} + ) Q Q ; j) R\{0} Q ( + ) Q ; k) R + n N y R + n + y ; l) n N R + y R + n + y ; m) y R + R + n N n + y.

4 3. Lógica. Operações informais com conjuntos. 4.Define-se o factorial dum número natural usando a recorrência 0! =, (n +)!=(n +)n!,n N. Se 0 k n ocoeficientebinomial ( n k) é d a d o p o r n!/k!(n k)!. Usando manipulações algébricas prove que: i) ) ( = n ( k) + n k ),k =,,n; ( n ( k) = n n k),k =0,,n. ( n+ k Defina a soma P n (j) = j ( ) n ( ) k,j=0,,n. k k=0 Mostre sucessivamente que i P n (j) =( ) j( ) n j,j=0,,n ; iv) P n (n) =0.

5 4. Indução Matemática. Indução Matemática.Mostre por indução matemática as seguintes igualdades: a) n j= j = (n+)n,n N ; b) n j= j = n(n+)(n+) 6,n N ; c) ( r) n j=0 rj = r n,n N,r R ; d) ( r) n j=0 (j +)rj = (n +)r n + nr n+,n N,r R ; e) 4 n {3k : k N},n N ; f) 3 n {8k : k N},n N ; g) + n j=.defina t n () =cos(n), R, n N. n+ sin cos(j)= sin,n N. i) Prove que eiste T n um polinómio de grau n, com coeficiente de grau n dado por n, usualmente designado por polinómio de Tchebichef, tal que t n () =T n (cos ). Sugestão: Considere as fórmulas trigonométricas para o coseno da soma e retire a equação t n+()+ t n () =t n()cos. Mostre que os números cos ( ) ( π n, cos 3 ) ( π n,, cos n ) π n são zeros de Tn econcluaque 3.Considere a soma finita ( T n () = ( n cos n Q n = π n k=0 )) ( cos ( ) n,n N. k ( n i) Usando as propriedades dos coeficientes binomiais ( ) ( ) ( ) n n n = +,n,k N,k<n, k k k mostre que Q n =Q n,n N ; Prove por indução que Q n = n,n N. 4.Considere a sucessão definida por recorrência =, n+ = n. i) Usando indução matemática prove sucessivamente que: a) 0 < n < ; b) n é m o n ó t o n a e s t r i t a m e n t e c r e s c e n t e. n π )),n. Mostre que ( n n < 0) ( n+ n < 0), n N. Eplique porque é que o principio de indução matemática não permite obter resultados contraditórios com a alínea ib), i.e, concluir que n também é estritamente decrescente.

6 5.3 Aioma do supremo.3 Aioma do supremo.sejam A e B subconjunto não vazios de R. Definindo os conjuntos λa = {λa : a A} e A + B = {a + b : a A, b B}, mostre sucessivamente que i) sup A = inf A einfa = sup A; i sup λa = λ sup A, einfλa = λ inf A, se λ>0; sup A + B =supa +supb..considere subconjuntos não vazios A, B R tais que a A, b B a b. Mostre que s R a A, b B a s b. Em que condições eiste um único s R verificando a A, b B a s b? 3.Considere um conjunto de índices I eumafamíliadeconjuntosnãovaziosa j R, j I. i) Se os conjuntos A j,j I são majorados por um número real fio então sup j I A j =sup{sup A j : j I}. Justifique que se I é fi n i t o e n t ã o o s u p r e m o n a f ó r m u l a a n t e r i o r é m á i m o. Se os conjuntos A,A R são majorados e A A então sup A A min {sup A, sup A }. Suponha que sup A =supa =0. Mostre através de eemplos que nas condições do enunciado é p o s s í v e l q u e s u p A A seja um qualquer número no intervalo ], 0]. Da alínea i) no eercício, retire formulas para o ínfimo da uniãoeintersecçãodeconjuntos. 4.Dados subconjuntos não vazios A, B R defina AB = {ab : a A, b B}. i) Através de eemplos, mostre que é possível os conjuntos A e B serem majorados e AB não ser majorado. Suponha A e B majorados e A R + 0. Prove que AB é m a j o r a d o e s u p AB =ma{inf A sup B,sup A sup B}. Mostre igualmente que é possível A e B não terem máimo e AB ter máimo. 5. Uma função f : X R com domínio não vazio diz-se limitada superiormente se eiste C R verificando f() C, X, ediz-selimitadainferiormentese f é limitada superiormente. Se A X é um subconjunto não vazio e f é respectivamente limitada superiormente e inferiormente, define-se sup A f =supf(a) einf A f =inff(a), com f(a) ={f() : A}. i) Utilizando o resultado na alínea do eercício 4, mostre que dadas funções f,g : X R limitadas superiormente e tais que f() 0, X, então { } sup fg ma sup f sup g, inf f sup g. A A A A A Forneça eemplos mostrando que é possível a desigualdade anterior ser estrita; Se f : X R é u m a f u n ç ã o l i m i t a d a s u p e r i o r m e n t e e n ã o n e g a t i v a e n t ão sup A f =(sup A f ). 6. Um número real não nulo T diz-se um período da função f : R R, se f( + T )=f(), R. A função f diz-se periódica se têm um período.

7 6.3 Aioma do supremo i) Mostre que T é p e r í o d o d e f sse T é p e r í o d o d e f. Mostre igualmente que se T,T são períodos de f e T + T 0entãoT + T é p e r í o d o d e f. Usando indução matemática prove que se T é p e r í o d o d e f então nt, n N é u m p e r í o d o d e f. i iv) Defina T 0 =inf{t >0:T é p e r í o d o d e f} esuponhaquet 0 > 0. Conclua que T 0 é m í n i m o e o conjunto dos períodos é dado por T 0 Z. Considere a função de Dirichelet {, Q, D() = 0, R\Q. Mostre que D() temqualquernúmeroracionalnãonulocomoperíodo.emparticular T 0 =0.

8 7.4 Sucessões de termos reais e limite.4 Sucessões de termos reais e limite.considere polinómios p n () =a n n + + a 0 e q m () =b m m + + b 0 respectivamente de graus n e m, n, m N. Suponha q m não identicamente nulo e determine p n (k) lim k q m (k)..mostre que todas as sucessões monótonas têm máimo ou mínimo. Forneça eemplo duma sucessão limitada sem máimo nem mínimo e finalmente demonstre que se umasucessãoconvergea+ ou então têm respectivamente mínimo ou máimo. 3. Seja n,n N asucessãodefinidaporrecorrência =, n+ = n. Tendo em conta o eercício n 4daFicha, justifique que n é c o n v e r g e n t e e c a l c u l e o s e u l i m i t e. 4.Seja n asucessãodefibonnaci,i.e.asucessãodefinidaporrecorrência da seguinte forma Considere a sucessão v n = n+ n. = = n+ = n+ + n. i) Mostre que v n satisfaz v =ev n+ =+/v n. Usando indução matemática mostre que (v n v n > 0) (v n+ v n < 0), n N. () i Mostre que v n é e s t r i t a m e n t e d e c r e s c e n t e, v n+ é e s t r i t a m e n t e c r e s c e n t e e v n não é monótona. Sugestão: Mostre que v n+/v n < ssev n+ v n < 0. iv) Razoado nas alíneas anteriores justifique que v n e v n+ são convergentes e calcule lim v n e lim v n+. Asucessãov n,n N é c o n v e r g e n t e? 5. Seja n,n N um infinitésimo não identicamente nulo e considere as sucessões Mostre que: i) y n é i n fi n i t é s i m o ; y n = min{,, n } z n = ma{,, n },n N. z n é c o n s t a n t e a p a r t i r d e c e r t a o r d e m e o s e u l i m i t e é p o s i t i v o. 6.Considere uma sucessão n > 0, n N. i) Suponha que eistem a, b números reais não negativos verificando a < b e a j+ / j b, j N. Usando indução matemática mostre que n [ a n, b n ],n N. Da alínea i) conclua que se lim n+ / n eiste então lim n n eiste e lim n n =lim n+ / n. 7.Considere uma sucessão n > 0, n N convergente em R. Defina a média geométrica dos primeiros n termos de n, i.e. defina u n = n.. n. Usando o resultado no eercício 6 mostre que a sucessão u n é c o n v e r g e n t e e l i m u n =lim n. Se n =+( ) n,n N justifique que lim u n = 3mas n é divergente.

9 8.4 Sucessões de termos reais e limite 8. Considere uma sucessão de termos positivos n,n N tal que α := lim n n eiste. Demonstre que lim n =+, se α>, e lim n =0, se α<. Verifique sucessivamente que: i) se n = >0, n N então lim n n =elim n = R + ; se n = n,n N então lim n n =elim n =0; i iv) se n = n,n N então lim n n =elim n =+ ; se n =+( ) n,n N então lim n n =elim n não eiste. 9.Considere polinómios p, q tais que o coeficiente do maior grau de q()épositivo ep não é constante. Definindo p a () =p() p(a), mostre que lim p(n) q(n) eisteemr sse lim pa(n) q(n), a R eiste. i) Mostre que se p é p o l i n ó m i o d e g r a u e n t ã o l i m p(n) q(n) =. Considerando a igualdade p 0 (n) q(n) = n r(n) q(n), sendo r um polinómio de grau inferior ao grau de p, prove por indução matemática que para quaisquer polinómios nas condições do enunciado tem-se lim p(n) q(n) =. 0. Sabe-se que se n,y n,n Nsão sucessões tais que n,n N é c o n v e r g e n t e e m R elim y n =, então ( lim + ) yn n = e lim n. () y n i) Suponha lim y n =+ eindiquejustificandocomoreescrever()noscasoslim n =+ ou lim n =. Baseado em () forneça eemplos de sucessões u n,v n,n N com as propriedades lim u n =, lim v n =+ etaisque: a) lim u vn n =+ ; b) lim u vn n =, R+ 0 ; c) lim u vn n não eiste.. Calcule os limites das sucessões com os seguintes termos gerais ou justifique que não eistem: ( ) n ( ) n +n +n a) +( ) n n ; b) +( ) n n ; c) + n+ ; d) n + ; e) np an n!,p N; f) n,a>0, p N ; p g) nn n n! ; h) n a n n!,a R\{0} ; i) an b n a n +b n,a,b R + ; j) n a n + b n,a,b R + ; l) ( + n 00 ) n! ; m) ( n n ) n! ; n) ( n ) n n! ; o) (+ n) n3 n ; p) e n n n ; q) e n( + n) n.. Prove que as sucessões monótonas são convergentes em R sse possuem uma subsucessão convergente em R. 3. i) Mostre que o conjunto dos sublimites em R de n,n N é s u b c o n j u n t o d e {, + } sse n,n N não tem subsucessões limitadas. Forneça um eemplo duma sucessão sem subsucessões limitadas.

10 9.4 Sucessões de termos reais e limite Justifique que o conjuntos das sucessões sem subsucessões limitadas coincide com o conjunto das sucessões sem subsucessões convergentes em R. 4. Mostre que o conjunto dos sublimites duma sucessão de termos num conjunto finito,coincide com oconjuntonãovaziodostermosinfinitamenterepetidos. 5. Fie uma sucessão n,n N eforneçaeemplodumaoutrasucessãoy n,n N tal que o conjunto dos termos { n : n N} é u m s u b c o n j u n t o d o s t e r m o s i n fi n i t a m e n t e r e p e t i d o s d a s u c e ssão y n,n N.

11 0.4 Sucessões de termos reais e limite.4. Algumas resoluções 4i) Claramente v =. Para terminar observe que v n+ = n+ n+ = n+ + n n+ =+ n n+ =+ v n,n N. (3) 4 De (3) concluiu-se v n+ v n = v n v n,n N. (4) Para n N fio suponha-se (v n v n > 0) (v n+ v n < 0). Claramente v n > 0, n N. Da hipótese de indução e de (4) obtém-se Ainequaçãoanteriore(4)têmcomoconsequência v (n+) v (n+) = v n+ v n > 0. v (n+)+ v (n+) = v n+ v n+ < 0. Finalmente v v = > 0ev 3 v =3/ < 0. 4i Da definição de v n,n N v(n+) v n = n+3 n n+ n+ = ( n+ + n+ ) n ( n+ + n ) n+. Logo v (n+) v n < n+ n < n+ v n+ <v n. Usando o resultado na alínea anterior mostra-se v n+ /v n <, n N, i.e. v n,n N é d e c r e s c e n t e. De forma análoga conclui-se que v n+,n N é c r e s c e n t e. 4iv) Éóbvioquev n, n N. Logo v n é d e c r e s c e n t e e m i n o r a d a ( v n > 0) e em consequência convergente. De (3) conclui-se facilmente v n,n N. Logo v n+ é m a j o r a d a e c r e s c e n t e e p o r t a n t o c o n v e r g e n t e. De (3) infere-se v (n+) = v n + v n + e v (n+)+ = v n+ + v n+ +. (5) Definam-se α j =limv n+j,j=0,. Do teorema das sucessões enquadradas conclui-se α j ecomo v n+ e v n+3 convergem respectivamente a α 0 e α, de (5) obtém-se α j =(α j +)/(α j +). Portanto α j = ( + 5 ) /, j=0,. Como as sucessões dos termos pares e dos termos ímpares convergem para omesmolimiteconclui-sequev n converge a ( + 5 ) /. 6 Suponha α =lim n+ / n. Dado ϵ>0definam-se α + (ϵ) =α + ϵ e α (ϵ) =ma(0,α ϵ).

12 .4 Sucessões de termos reais e limite Eiste k N tal que para n k tem-se α (ϵ) n+ / n α + (ϵ). Da alínea i) obtém-se k α n (ϵ) n k α n + (ϵ), n k. Portanto, para n k n k α (n )/n (ϵ) n n n k α (n )/n + (ϵ). Conclui-se que a sucessão n n é l i m i t a d a e d o t e o r e m a d a s s u c e s s õ e s e n q u a d r a d a s, q u e t o d os os sublimites de n n pertencem ao intervalo [α (ϵ),α + (ϵ)]. Como lim ϵ 0 + α (ϵ) =lim ϵ 0 + α + (ϵ) =α, da arbitrariedade de ϵ >0 retira-se que α é o único sublimite. q) Observe que a sucessão a n,n N é c r e s c e n t e. D e f a c t o n a n = e ( +n ) n ( ) easucessão +n n é c r e s c e n t e e c o n v e r g e n t e a o n ú m e r o e [, pag. 07]. Logo n a n <, n N e n a n é m o n ó t o n a c r e s c e n t e. Então 0 <a n <, n N e a n é m o n ó t o n a c r e s c e n t e. D e f a c t o Observe que n an n+ a n+ a n (a n+ ) n n+ a n+. ( a n = e n + ) 4n = a n n ( ) + 4n n ( ) + n = a n n ( + ) n. (6) 4n(n +) Em conta de sucessões monótonas e limitadas serem convergentes, está bem definido a =lima n. Como ( ) n lim + 4n(n+) = e, retira-se de (6) a equação a = a e, i.e. a = e /.

13 .5 Continuidade. Diferenciabilidade..5 Continuidade. Diferenciabilidade..Uma função f : R R diz-se limitada no ponto R se M>0 y Vϵ() f(y) <M. Suponha dada uma sucessão r n,n Ntal que qualquer número racional é termo da sucessão r n,n N econsideref : R R definida por { n, = rn, f() = 0, r n, n N. Mostre que a função f é i l i m i t a d a ( n ã o é l i m i t a d a ) e m q u a l q u e r p o n t o R. Conclua que f é descontínua em todos os pontos..seja D(), R afunçãodedirichelet D() = {, Q, 0, R\Q, f C (R) eg : R R. Define-se ψ() =f()d(g()), R. Mostre sucessivamente que: i) Se f( 0 )=0entãoψ é c o n t í n u a e m 0 ; Se f( 0 ) 0,g é c o n t í n u a e m R enãoconstanteemnenhumavizinhançav ϵ ( 0 ),ϵ>0, então ψ não é contínua em 0. 3.Assumindo lim 0 sin /, da fórmula trigonométrica para o coseno do dobro conclua que cos lim 0 =. 4.Determine o domínio e o domínio de continuidade das seguintes funções de variável real: a) + ; b) + ; c) e) sin ; f) sin ( sin 3+ ; d) cos4 3cos + ) ; g) sin (sin ) ; h)e sin cos ; cos 3cos+ ; i) esin ; j) e sin ; l) tan sin (cos ) e e ; m). (e ) Para cada uma das alíneas anteriores determine o conjunto dos pontos aos quais as funções mencionadas são prolongáveis por continuidade. 5.Considere a função f : R\{0} R cos π,, f() = f( ), << 0, sin π,. i) Em que pontos do seu domínio a função f é c o n t í n u a? Épossívelprolongarf por continuidade ao ponto 0? i Caso eistam, calcule os limites lim ± f(). iv) Justificando determine o contradomínio da restrição de f aos conjuntos ], ], [, + [, [, 0[, ]0, ]eocontradomíniodef.

14 3.5 Continuidade. Diferenciabilidade. 6.Dada uma função limitada em todos os pontos de R, mostre que o limite eiste. Demonstre adicionalmente que: i) f é c o n t í n u a e m sse osc f () = 0; osc f () := lim ϵ 0 + sup { f() f(y) :y V ϵ ()}, R, Supondo que f( + )ef( )eistem,determineoscf(). Diz-se que f : R R é s e c c i o n a l m e n t e c o n t í n u a s e p a r a q u a l q u e r R eistem os limites laterais f( + )ef( ). Supondo que f é s e c c i o n a l m e n t e c o n t í n u a e m R define-se O ϵ = { :oscf() ϵ},ϵ>0. i Se O ϵ então eiste δ>0talqueparatodoy V δ ()\{} tem-se y/ O ϵ. iv) O conjunto dos pontos de descontínuidade da função f é d a d o p o r n N O n. v) Se f : R R é m o n ó t o n a e n t ã o f é s e c c i o n a l m e n t e c o n t í n u a. 7.Suponha f : R R diferenciável e calcule lim h 0 f(h) f( h) h. 8. Verifique se cada uma das seguintes funções de variável real é prolongável por continuidade ao ponto 0 e se o prolongamento por continuidade é uma função diferenciável na origem: a) (+ ) ; b) ( + ) ; c) sin sin ; e) sin ; f) sin sin d) ; ; g) e 3 ; h) e ; i) e cot ; j) log ( sin +); l) log( sin +); m) n D(), n N. Caso verifique que o prolongamento por continuidade é uma função diferenciável na origem, decida adicionalmente se a sua função derivada é contínua em 0.

15 4.6 Teorema de Lagrange e algumas consequências..6 Teorema de Lagrange e algumas consequências..considere uma função f : R R localmente constante, i.e. Mostre que f é c o n s t a n t e e m R. R ϵ>0 t,y Vϵ() f(t) =f(y). Observação: Sugere-se ao leitor que estabeleça provas com e sem auilio do cálculo diferenciável..considere a função f() = α sin ( ), R\{0}. i) Se α>entãof é p r o l o n g á v e l p o r c o n t i n u i d a d e a o p o n t o 0 e o s e u p r o l o n g a m ento por continuidade é uma função diferenciável em R. Se <α<entãoafunçãof não é limitada superiormente nem inferiormente em qualquer vizinhança da origem. Mostre que f verifica o teorema do valor intermédio. De seguida f : R R designa uma função diferenciável em R, tal que f não é limitada superiormente nem inferiormente em qualquer vizinhança da origem. Suponha que f verifica o teorema do valor intermédio e mostre que: i Dado ξ R eistem sucessões n,y n tais que lim n =limy n =0e lim n f( n ) f(y n ) n y n = ξ. 3. Suponha f : R R diferenciável no ponto a R. Mostre que se n,y n,n N são sucessões convergentes a a verificando y n <a< n, então lim n f( n ) f(y n ) n y n = f (a). Sugestão: Inicie mostrando que se w n,z n,n N são sucessões convergentes para a R e t n é u m a s u c e s s ã o limitada, então lim [t nw n +( t n)z n]=a. De seguida considere a igualdade f( n) f(y n) n y n = t n f( n) f(a) n a 4.Dado 0 <µ<e, y 0, mostre as seguintes desigualdades: Se µ e, y 0, então f(yn) f(a) +( t n),t n = n a. y n a n y n + y µ µ + y µ µ + y µ µ y µ y µ. µ + y µ µ + y µ + y µ µ y µ y µ. Sugestão: Encontre os etremos locais das funções [0, ] t ( + t µ ) / ( + t) µ e[0, [ t ( t µ ) / ( t) µ. 5.Uma função f :[a, b] R, a<b R diz-se α-hölder, se Mostre sucessivamente que: i) Se f é α-hölder então é contínua; M>0,y [a,b] f() f(y) M y α,α>0.

16 5.6 Teorema de Lagrange e algumas consequências. Se f é α-hölder, α>entãof é d i f e r e n c i á v e l e m t o d o s o s p o n t o s e f () =0. Concluaquef é constante. i Se f C ([a, b]) então f é - H ö l d e r. 6.Considere a classe de funções Mostre sucessivamente que: C b (R) = { } f C (R) :f (n) é l i m i t a d a. i) Se f C b (R) ef (n) ( ) :=lim f (n) () eisteentãof (n) ( ) =0,n N. Considere f C (R) talquef tem dois sublimites distintos em + elim + f() eiste. Mostre que f não é limitada. i Se f C b (R) elim f () =0, então lim f (n) () =0,n N. 7.Calcule os seguintes limites de funções reais de variável real: (+c) a) lim β β e,β R; b) lim c β 0 β α,α,β>0; c) lim ( + ) β,β>0; d) lim e α( + ) β,β,α>0.

17 6.6 Teorema de Lagrange e algumas consequências. 6).6. Algumas resoluções i) Suponha f (n) ( ) 0. Sem perder generalidade assuma-se f (n) ( ) > 0. Então, dado r>0, o teorema de Lagrange permite concluir a eistência de ξ r ] r, r [, verificando f (n ) (r) f (n ) (r) =rf (n) (ξ r ) r + +. Como por hipótese f (n ) é u m a f u n ç ã o l i m i t a d a, a c o n c l u s ã o a n t e r i o r é a b s u r d a. Sem perder generalidade, suponha-se a eistência dum sublimite positivo de f em +. Acontinuidade da função f eoteoremadovalorintermédio,permitemsuporquef tem dois sublimites positivos c,c tais que 0 <c <c. Considere-se ϵ>0verificando 0 <c ϵ<c + ϵ<c ϵ. Porque c é s u b l i m i t e d e f, eiste a k k verificando c ϵ<f (a k ) <c + ϵ. Defina-se b k =inf{ : >a k,c ϵ<f () <c + ϵ}. De novo, o teorema de Lagrange permite concluir que eiste ξ k ] a k,b k [verificando f(b k ) f(a k )=f (ξ k )(b k a k ) Note-se a desigualdade f (ξ k ) c + ϵ. De facto, se f (ξ k ) <c + ϵ, então o teorema do valor intermédio garantiria a eistência de c k nas condições a k <c k <ξ k <b k, everificandoc ϵ< f (c k ) <c + ϵ, oquecontradizadefiniçãodeb k. Obtêm-se 0 < (c + ϵ)(b k a k ) f (ξ k )(b k a k )=f(b k ) f(a k ) r + 0, eemconsequêncialim k (b k a k )=0. Finalmente eiste θ k ] a k,b k [verificando f (θ k ) = f (b k ) f (a k ) b k a k (c ϵ) (c + ϵ) r + +, b k a k oqueterminaademonstração. i Usaremos indução matemática para provar lim + f (n) () =0. Ocason =éverdadeiropor hipótese. Por hipótese de indução, suponha-se lim + f (n) () =0. Se f (n+) tem limite em + então da alínea i) e de f C b (R) retira-selim + f (n+) () =0. Consequentemente é suficiente considerar o caso em que lim + f (n+) () nãoeiste.dadof (n+) ser uma função limitada, retira-se do teorema de Bolzano-Weierstrass que f (n+) tem pelo menos dois sublimites no ponto +. Por hipótese de indução lim + f (n) () eiste. Logo,daalínea,conclui-se que a função f (n+) não é limitada, contradizendo as condições das hipóteses. Portanto, tem-se necessáriamente que lim + f (n+) () eisteeénulo.ademonstraçãoterminaconsiderando nos argumentos acima a função g() = f( ).

18 7.7 Fórmula de Taylor..7 Fórmula de Taylor..Seja f : R R, f C n (R),n N e a R tal que f (a) = = f (n) (a) =0. a) Se n é i m p a r o u r e s p e c t i v a m e n t e p a r, e a f u n ç ã o f verifica f (n) ()( a) > 0(< 0), se a, então a é u m p o n t o d e m í n i m o d e f (máimo), respectivamente ponto de sela. b) Se n é p a r o u r e s p e c t i v a m e n t e i m p a r, e a f u n ç ã o f verifica f (n) () > 0(< 0), se a. então a é u m p o n t o d e m í n i m o ( m á i m o ) d e f respectivamente ponto de sela..considere n N, R emostresucessivamente: i) usando indução matemática que d j d j ( + n! )n = (n j)! ( + )n j,j =,,n; i Usando a formula de Taylor, deduza que ( + ) n = n j=0 ( ) n j j Finalmente, demonstre o bem conhecido binómio de Newton (a + b) n = n j=0 ( ) n a j b n j j 3.Demonstre a seguinte desigualdade 3 6 sin, 0. 4.Considere uma função f : R R, tal que eiste n N, econstantesm 0, α>verificando f (n) () f (n) (y) M y α,,y R. Mostre sucessivamente que: a) a função f (n) é d i f e r e n c i á v e l e m R e f (n+) () =0, R; a) f() éumpolinómiodegrauinferiorouigualan.

19 8.8 Primitivação..8 Primitivação.. Calcule uma primitiva de cada uma das funções: a) +, b) 3 sin +, c) d) e, e) g) e sin cos, h) j) n) q) t) ) + 3, 3sin ( + cos ), f) +,, i) tan, +e +, l) tan, m) cos 3 sin 3, ( + )arctan, o) + 4, p), ( + ) +3, r) e e +4, s) arcsin,, u), v) 4 4 ( +)( ), ( +).. Calcule uma primitiva de cada uma das funções: a) d) g) + ( ), b) 4 4, c) 5, + +3, e) ( +)( +), f) ( +), 5 ( 3 +)( 3 +8), h) ( 5 +). Em seguida, determine todas as primitivas de cada uma das funções anteriores (nos respectivos domínios). 3. Usando o método de primitivação por partes, calcule uma primitivadecadaumadasfunções: a) e (e + ), b) e sin, c) 3 e, d) arctan, e) arcsin, f) ( + )arctan, g) 5 + 3, h) log ( + ), i) log, j) log, k) 3 cos, l) cos log(tan ), m) 3 arcsin, n) cos sin, o) ( +).

20 9.8 Primitivação. 4. Utilizando substituições apropriadas, determine uma primitiva de cada uma das seguintes funções: e 4 a) e +, b) 3 3 ( + 4 ), c), d) 3, e) + +, f) ( ), g) tan +tan, h) cos +sin, i), j) log (log ), k) +sin +cos. 5. Determine, usando a substituição indicada, uma primitiva de cada uma das funções seguintes: a) sec, t =sin, b) c) 4,=cost, d) + e) + 3 +,= t6, f) g) i) ( ),=sin t,,=sect, e / e,t= e, sin sin, tan = t, h),= t, t= sins, ( +) + +,+=tant, j) sin +3cos,t=cos. 6. Determine, utilizando métodos de primitivação adequados, uma primitiva de cada uma das seguintes funções: a), b) arcsin, c) +, d) sin(log +), e) cos 3 sin, f) arctan, g) +log ( + log ), h) 3sin +3 cos +sin, i) e e e +, j) cos log ( +sin ), l) log, m) + +, n) cos 3, o) cos 4, p) 8 + 6, q) (arctan ), r) log +, s) ( +)( +)( +3). 7. Mostre que, para n N, é v á l i d a a s e g u i n t e f ó r m u l a d e r e c o r r ê n c i a : P (log n ) = log n np (log n ), 0. Aproveite o resultado anterior para calcular todas as funçõ e s F () taisquef () =log, e que verificam a condição F () + F ( ) = 0.

21 0.8 Primitivação. 8. Utilizando o método de primitivação por partes, determine primitivas das funções sec 3 esec 4. Mostre que, para inteiros n, é v á l i d a a e p r e s s ã o P (sec n )= n tan secn + n n P (secn ). 9. Determine uma função ϕ : R R que verifique as condições seguintes: ϕ () = e (e +), lim ϕ () =, 0. Determine a função ψ :], + [ R que satisfaz as condições lim + ϕ() =π. ψ () = +, >, ψ(0) = ψ (0) =.. Prove que a função de Heaviside não é primitivável em R. Sugestão: Argumente por redução ao absurdo.

22 .8 Primitivação..8. Soluções. a) 3, b) 3 cos + 3 3, c) 3 log + 3, d) e, e) 3 +cos, f) ( + ) 3/, 3 g) esin, h) log( + e ), i) log cos, j) arctan, l) tan, m) 4 sin4 6 sin6, n) log arctan, o) arctan ( ), p) arctan( ), q) 3 3 arctan ( 3 ), r) arctan ( e ), s) 3 (arcsin )3, t) arcsin(), u) arcsin ( ), v) log 3 ) +. +,. a) log log +, b) + 4 log + arctan, c) log, d) log( + +3) [ arctan ], ( +) e) log + + +, f) +log + + +, g) ( 8log 3 +8 log 3 + ), h) log 5 log ( 5 +). Eemplo de solução da segunda parte de.: log( ) log +/ + K, a) log( ) log +/ + K, log( ) log( )+/ + K 3, em que K,K,K 3 são constantes reais arbitrárias. se >; se 0 <<; se <0,

23 .8 Primitivação. 3. a) e (e + ) e /, b) e (sin cos )/, c) e ( +)/, d) arctan log( + ), e) arcsin +, f) 4 ( + ) arctan /4 3 /, g) ( + 3 ) /3, h) log(/ +)+log +, i) 3 3 log 9 log + 7 3, j) log log +, k) sin cos, l) sin()log(tan), m) ( ) 3/ arcsin + 3 /3, n) sin +log tan, o) (+ ) + arctan. 4. a) e log ( e + ), b) 3 arctan 3, c) arctan, d) log arctan 6, e) ( ) + log + +, f) arctan, ( g) log cos +log tan +, h) log sin + ) +sin, 5. i) + arcsin, j) log log k) log +tan. a) log +sin, b) sin log, (, c) 3 ) 3/, d) arcsin e, e) 6 7 ( +)7/6 6 5 ( +)5/6 +( +) / 6( +) /6 +6arctan( +) /6, f) +tan +sec, g) arcsin, h) ( + ) +arcsin +, i) + + +, j) 3 3 arctan ( 3cos ).

24 3.8 Primitivação. 6. a), b) arcsin + 6 ( ) 3/, c) 4 3 ( + ) 3/ 8 5 ( + ) 5/, d) sin(log +) cos(log +), e) 3 (sin )3/ 7 (sin )7/, f) 3 3/ arctan log( + ), g) log log +log +log, h) log + sin sin, i) e 4 log(e e +), j) sin log( + sin ) sin +arctan(sin), l) log + log +, m) log( +), n) sin 3 sin3,, o) sin + 8 sin 4, p) 5 + r) ( ) log arctan, q) (arctan ) arctan + log( + ),, s) log ( )(+3) 3 (+) log log + + C, se >0 log log + C, se <0 onde C R. 9. log ( + e )+ π. 0. ( + )log(+)+.

25 4.9 Integral de Riemann. Teorema fundamental.9 Integral de Riemann. Teorema fundamental 5.Considere uma função limitada f :[a, b] R. Mostrequeseeistec [a, b] eδ 0 > 0talquepara todo 0 <δ<δ 0 verifica-se f R[a, c δ] ef R[c + δ, b], então f R[a, b]. 6.Considere funções f, g R[a, b]. Mostre sucessivamente que: i) f R[a, b]. Em conta da igualdade fg =(f + g) f g, conclua fg R[a, b]. Sugestão: Para i) note que sup [j, j+] f =(sup [j, j+] f ),a< j < j+ <b. 7.Considere uma função f C (R) enoseudomíniodefina ψ δ () = δ δ f( + t) f(t) t i) Mostre que se f d () ef e () eistem,entãoψ δ() estábemdefinido; dt. Se f() = α, 0 <α<entãoψ δ (0) não está definido. 8.Calcule a) d) g) j) π/3 0 d, b) d, c) 3 d, sin +sin 4 d, h) e sin d, l) π e) sin 3 udu, f) Calcule as áreas dos seguintes conjuntos: log( + ) d, i) e sin d, m) a) {(, y) R : y }, π/3 0 0 π 0 log d, b) {(, y) R : 0, y, y 3,y 4}, c) { (, y) R : + y }, d) { (, y) R :ma{, y } }, e) { (, y) R : + y + y }, f) { (, y) R :0 y log a },a>. 8tan +sin d, arctan d, ( +) ( cos cos π ) d. Para as três ultimas regiões acima, determine o comprimento da linha que serve de fronteira à região em causa. 0. Determine a área da região plana delimitada pelo gráfico da funçãoarccos, pela recta tangente ao gráfico da função arccos no ponto (0,π/) e pela recta de equação cartesiana y =0. [ Eame AMII 05/07/06]

26 5.9 Integral de Riemann. Teorema fundamental. Determine as derivadas das funções seguintes: a) d) sin(t ) dt, b) π cos(t ) dt, c) 4 e t dt, e) sin( t) dt. e t dt,. Sejam f : R R e g : R R duas funções contínuas tais que, para qualquer R, f(t) dt = 0 g(t) dt =0. f(t) dt, i) Mostre que f é u m a f u n ç ã o p a r e g é u m a f u n ç ã o í m p a r. Forneça eemplos de funções f,g : R R, integráveisemtodososintervaloslimitadosder, que verificam as igualdades anteriores e que não sejam par nem ímpar, respectivamente. 3. Calcule os seguintes limites: arctan i) lim sin(t ) dt, + lim 0 + π/ 0 te t dt 3 0 (e 3 t ) dt. 4. Considere uma função f C(R) emostreque ( lim + + / 0 f(t) dt) = e f(0). 5. Considere uma função g : R R diferenciável. Calcule lim 0 arctan g(t) dt. [ Eame AMII 05/07/06] 6. Seja f : R R uma função periódica com um periodo T>0. Suponha f integrável em intervalos limitados e fechados de R, econsidereasfunções Mostre sucessivamente que: F () = +T f(t) dt e G() = i) Se f C(R) entãof é u m a f u n ç ã o c o n s t a n t e e m R. F é identicamente nula sse G é periódica de período T. 7. Mostre que Sugestão: Use uma substituição de variável adequada. 0 f(t) dt, R. +t dt = dt, > 0. / +t

27 6 REFERÊNCIAS 8. Determine o domínio, intervalos de monotonia e etremos locais das funções: e a) f() = e t dt, b) g() = log t dt. 9. Considere a função 0 e e f() =, se 0 0, se =0 a) Justifique integrabilidade da função f, emqualquerintervalolimitadoder, b) Definindo Ψ() = f(s) ds, justifique que se trata de uma função diferenciável em R, ecalcule 0 Ψ (), R. 0. Considere a função de variável real definida por ψ() = a) Calcule os zeros e o sinal de ψ ; b) Mostre que ψ() ma t [0,] log ( +t +t 4 ), R.. t e t 4 +t dt. Referências [] J. Campos Ferreira, Introdução à análise matemática. Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa, 3 a Edição.