MÉTODOS NUMÉRICOS. Preparado por Dr. Ralph W. P. MASENGE. NOTA Este documento é publicado sob condições da Creative Commons

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1 MÉTODOS NUMÉRICOS Preparado por Dr. Ralph W. P. MASENGE NOTA Este documento é publicado sob condições da Creative Commons Atribuição Licença (abreviada cc-by, Versão.5 African Virtual university Université Virtuelle Africaine Universidade Virtual Africana

2 Índice I. Métodos Numéricos...3 II. Pré-requisitos ou Conhecimentos preliminares...3 III. Tempo...3 IV. Material...3 V. Análise do Módulo...3 VI. O conteúdo Vista Geral Plano Geral: Syllabus (aqui se incluem tempos específicos se necessários Organizador Gráfico...7 VII. Objectivo(s Geral(gerais...7 VIII. Actividades específicas da aprendizagem...8 IX. Actividades de Ensino e Aprendizagem... X. Actividades de Aprendizagem...7 XI. Lista Compilada de todos Conceitos Chaves (Glossário... XII. Lista Compilada de Leituras Obrigatórias...7 XIII. Lista Compilada de Recursos Multimedia (Opcional...7 XIV. Síntese do Módulo...8 XV. Avaliação Sumativa... XVI. Referências... XVII. Autor do Módulo...

3 3 I. Métodos Numéricos Por Dr. Ralph W. P. Masenge II. Pré-requisitos ou Conhecimentos preliminares Cálculo é o pré-requisito III. Tempo O tempo total para este módulo é de horas de estudo. IV. Material Os estudantes devem ter acesso a leituras nucleares adiante especificadas. Os estudantes necessitarão do computador para ganhar o acesso completo das leituras centrais. A adicionar a isso, os estudantes devem ser capazes de instalar o software wamaima e usá-lo na eercitação (prática dos conceitos algébricos. V. Análise do Módulo Um atributo chave da matemática é a sua aplicabilidade na resolução de problemas. A história da disciplina está repleta de evidências de que a força condutora nos seus desenvolvimentos primordiais está assente nas tentativas de resolver problemas na Geometria Plana, na Mecânica Celestial e na Navegação. Infelizmente, as formulações matemáticas (modelos de muitos problemas na ciência e na engenharia são, em geral, difíceis de resolver analiticamente ou por causa da complea natureza das soluções analíticas ou porque tais soluções não podem ser epressas em termos de combinações de funções matemáticas conhecidas. Em todos estes casos, os métodos numéricos têm de ser recorridos a intervir. O estudante de matemática ou de ciência é portanto, esperado que tenha um conhecimento de trabalho e

4 4 habilidade de aplicar métodos numéricos na resolução de alguns problemas básicos da matemática tais como a interpolação, a integração numérica e a determinação de raízes de funções. Navegando na internet é a chave para auto-aprendizagem VI. O conteúdo 6. Vista Geral Premira Actividade de Aprendizagem: Tipos e Causas de Erros A primeira actividade de aprendizagem se destina a levar o estudante a apreciar a necessidade para métodos numéricos. Também se sente que este é o momento certo para definir o conceito de um erro matemático, de apontar as origens e os tipos de erros e mencionar algumas formas práticas de reduzir seus efeitos cumulativos numa solução numérica. Segunda Actividade de Aprendizagem: Interpolação A segunda actividade de aprendizagem trata do conceito de interpolação. Ambos métodos de interpolação linear e de interpolação de polinómios de ordem superior, baseados em Lagrange, em diferenças divididas de Newton e as técnicas de interpolação de diferenças finitas são apresentados. Terceira actividade de aprendizagem: Integração Numérica

5 5 A terceira actividade de aprendizagem analisa os problemas de integração numérica. A discussão é limitada às fórmulas de Newton-Cotes. Atenção específica é dada às regras de Trapézio e de Simpson e a aplicação da técnica de Interpolação de Richardson em ambas fórmulas de Trapézio e de Simpson na dedução de esquemas de integração de Romberg Quarta actividade de aprendizagem: Raízes de Funções A quarta e a final actividade de aprendizagem apresenta o problema de encontrar raízes na resolução de equação não linear f ( = e na resolução de sistema associado de duas equações não lineares f (, y =, g (, y = Figura 4: Uma árvore Baobab: o número de raízes é igual ao número de galhos 6. Plano Geral: Syllabus (aqui se incluem tempos específicos se necessários Este é um curso de duas unidades fornecido no Nível com prioridade de classificação A. O módulo da Matemática é o pré-requisito do curso. A seguir são ideias gerais detalhadas de conteúdos de cada Actividade de Aprendizagem. O cronograma apresentado é adequado para estudantes frequentando uma unidade do curso durante 35 horas por unidade. O cronograma mostra o intervalo de tempo que o Estudante é recomendado a gastar na aprendizagem de cada um de seus componentes. [Estudantes que frequentam um módulo do curso necessitariam horas para completar o módulo].

6 6 Preparação e realização de Avaliação (4 horas. Actividade de aprendizagem Nº : Tipos e causas de erros (5 horas Tipos e fontes de erros Necessidade para métodos numéricos Fontes de erros e tipos Estratégias para reduzir os erros Actividade de aprendizagem Nº : Interpolação (35 horas Interpolação linear Interpolação de Lagrange Diferenças divididas de Newton Operadores de diferenças finitas Tabelas de diferenças finitas Interpolação de diferenças finitas de polinómios Actividade de aprendizagem Nº 3: Integração Numérica (5 horas Fórmulas de Newton-Cotes Dedução das regras de Trapézio e de Simpson Integração de Romberg Fórmulas de Quadratura de Gauss Actividade de aprendizagem Nº 4: Raízes de Funções (5 horas Método de Bissecção Convergência do Método de Bissecção Método de posição falsa ou Regula Falsi Método de Secantes Método de Newton-Raphson

7 7 Resolvendo um sistema associado de duas equações não lineares Iterações de Ponto Fio Preparação e realização de Avaliação Somativa (6 horas 6.3 Organizador Gráfico Fig. 5: Organizador gráfico VII. Objectivo (s Geral (gerais No fim deste módulo: Você será equipado(a de conhecimento e compreensão das propriedades das funções elementares e suas várias aplicações necessárias para ensinar com segurança estes assuntos na escola do nível secundário. Você terá conhecimento seguro de conteúdos relacionados da matemática escolar de modo a capacitá-lo para, com confiança, ensinar estes assuntos na escola do nível secundário. Você vai adquirir conhecimentos sobre ICT (Tecnologias Informação e Comunicação e

8 8 habilidade para aplicar ICT disponível para melhorar o ensino e a aprendizagem da matemática escolar. Especificamente você será capaz de: ( Distinguir métodos/soluções numéricos e métodos/soluções analíticos ( Apreciar a necessidade de aprender e aplicar métodos numéricos (3 Identificar as fontes principais de erros e tomar medidas apropriadas com vista a eliminar ou reduzir tais erros (4 Deduzir e aplicar uma série de métodos de interpolação (5 Deduzir e aplicar uma série de métodos de integração numérica (6 Deduzir e aplicar uma série de métodos numéricos para encontrar raízes de funções (7 Resolver um sistema associado de duas equações não lineares com duas variáveis Fig. 6: Antena da Internet na AVU Centro de Aprendizagem, Universidade de Dar Es Salam VIII. Actividades específicas da aprendizagem Como já se mencionou na apresentação das Ideias Gerais na Secção VI, este é um módulo de duas unidades e seus conteúdos serão apresentados usando quatro actividades de aprendizagem. Cada actividade de aprendizagem tem uma série de objectivos específicos de aprendizagem. Especificá-los com antecedência com vista a permitir ao estudante a ter um panorama global sobre o que vêm à frente em termos do que ela/ele será capaz de fazer no estudo do módulo.

9 9 No final do módulo, o estudante será capaz de: S/N Actividade de Aprendizagem Tipos e Fontes de Erros Interpolação Objectivos Específicos de Aprendizagem Fazer a lista das fontes principais dos erros de cálculo e as estratégias práticas a levar a cabo com vista a eliminar ou reduzir seus efeitos cumulativos numa solução numérica Notar a diferença entre o tamanho (eactidão e a gravidade (precisão de um erro Compreender e aplicar a interpolação numa tabela dada de valores da função. Estimar o erro na interpolação linear para uma função suave conhecida. Eplicar porque é que os métodos numéricos são essenciais na resolução de problemas matemáticos Escrever e aplicar a Interpolação Polinomial de Lagrande para dados igualmente espaçados. Escrever e aplicar a interpolação de Newton baseada nas diferenças divididas Definir e Manipular operadores de mudança, para a frente, para a trás, central e de diferença de médias Construir tabelas de diferenças para uma dada função ou para um conjunto de valores Deduzir e aplicar interpolação polinomial de diferenças de Newton para a frente, para a trás e diferenças centrais de Stirling.

10 3 Integração Numérica 4 Raízes de funções Deduzir, compreender e aplicar a regras de Trapézio, de Simpson e qualquer outra fórmula de Integração Numérica de Newton-Cotes Deduzir, compreender e aplicar o esquema de integração numérica de Romberg baseado ou na regra de Trapézio ou na regra de Simpson. Deduzir e aplicar o método de bissecção Provar a convergência do método de bissecção Deduzir, compreender e aplicar os métodos da secante e da Regula Falsi (método de posição falsa. Deduzir, compreender e aplicar o método de Newton-Raphson Deduzir, compreender e aplicar o método de Newton num par de equações simultâneas não lineares. IX. Actividades de Ensino e Aprendizagem 9. Pré-avaliação. Se X é uma medida eacta de uma certa quantidade e X é sua aproimação, o conceito de erro na aproimação é definida por: ( a X X ( b X X ( c X X ( d X X

11 . O erro absoluto na aproimação da quantidade X = 4 pelo valor aproimado X = 7 é dado por 4 ( 7 ( 3 ( 4 ( d c b a O erro relativo na aproimação X dado na Questão é:,3846 (,885 (,9946 (,8846 ( d c b a 3. Uma razão válida por que a função f( = se se não é contínua em X = é: ( ( lim ( ( lim ( ( lim ( ( ( lim ( f f d f c f b f f a 4. A função contínua deve ter zero (raiz em algum ponto no

12 intervalo < < 3 porque (3 ( ( (3 ( ( (3 ( ( (3 ( ( f f d f f c f f b f f a 5. A primeira derivada da função y = é d c b a ln( ( ( ln( ( ( ln( ( ( 6. O desenvolvimento da série cúbica truncada de Maclaurin da função f ( = é: (a (b (c (d A anti-derivada geral da função f( = ln( é dada por: C d C c C b C a ln( ( ln( ( ln( ( ln( ( 8. O valor da integral 3 5 d é:,6458 (,4685 (,4568 (,4658 ( d c b a

13 3 9. Com seis casas decimais correctas, o valor aproimado de regra de trapézio com h =,5 é: 3 d 5 usando a ( a,4685 ( b,4656 ( c,4638 ( d,4658. Trabalhando sob mesmas condições, o valor aproimado da integral dada na Questão 8 usando a regra de Simpson é: ( a,4639 ( b,4683 ( c,4638 ( d,4658. Se o 3º e 4º termos de uma progressão aritmética são 7 e 7 respectivamente, então o 5º elemento da progressão é: ( a ( b ( c ( d Começando com X =, o valor de X 4 usando a fórmula de iteração X n- = 3( X n X n é: ( a ( b ( c ( d,455,373,373,373

14 4 3. Dados dois pontos P(, y e Q(, y, abcissa do ponto onde a secante AB; corta o eio dos é: 4. A curva da função y = f( passa pelos dois pontos cujas coordenadas são (,;,83 e (,4;.34. Usando uma recta que liga os dois pontos para aproimar a curva da função no intervalo dado, o valor aproimado de y no ponto =,3 é:,65 (,56 (,65 (,65 ( y d y c y b y a 5. Dado um ponto P(, f( na curva de uma função diferenciável y = f(, a coordenada do ponto onde a tangente em P corta o eio das abcissas é: ( '( : ( ( '( : ( '( ( : ( '( ( : ( f f d f f c f f b f f a 6. O método de Bissecção é baseado no princípio de que uma função contínua que é positiva num ponto a = e negativa num outro ponto = b tem uma raiz em algum ponto = c no intervalo a < c < b e que o ponto = b a, que bissecta o intervalo [a, b], é uma aproimação razoável de C. Começando com os dois pontos a =, b = 3, a aplicação do método de bissecção na

15 5 função resulta no valor ( a ( b ( c ( d ,5,5,5,5 depois do terceiro processo de bissecção 7. O método de Newton-Raphson para a aproimação de uma raiz de uma função usa a fórmula de iteração X n+ = n - f ( n f '( n n =,,, Se = é uma aproimação de uma das raízes da função f( = 3 3 3, então a aplicação do método de Newton-Raphson sobre a função resulta no valor de como: ( a ( b ( c ( d,3836,3386,3836, As coordenadas do ponto onde as curvas que representam as funções + y = 4; y = intersectam uma da outra que se situam no primeiro quadrante são: ( a ( b ( c ( d,4745, y, 5639,5839, y, 4745,5839. y, 7445,4745, y, Começando com =,5, y =,, os valores 3 e y 3 obtidos usando o par de fórmulas n n n n+ = 4 y, y, n =,,, são ( a ( b ( c ( d ,565, y,3875, y,565. y 3 3,33875, y 3 3,3875,565,3875,565

16 6 Soluções: Comentários Pedagógicos para o estudante A confiança do estudante para embarcar neste módulo será grandemente reforçada com a resolução destas questões da avaliação diagnóstica. As questões. discutem sobre os erros e a questão 3 aborda a continuidade. Se você tem dificuldades de resolver estas questões aconselhamos que estude as definições dadas no Módulo Glossário. Questões 4, 5, 6 e 7 discutem os conceitos de limites, continuidade, diferenciação e antiderivada. Se fracassa de resolver em cada uma delas, então trabalhe nas questões relevantes das Secções do Módulo de pré-requisitos (Matemática, Módulo 3. A mesma sugestão é dada se encontra dificuldades na resolução das questões 8, 9, e sobre a integração. As questões, 3, 6, 7, 8 e 9 se relacionam com o conceito de iterações e equações simultâneas. Neste caso simplesmente estude cuidadosamente as fórmulas dadas e aplique-as integralmente. As questões 5, 6 e 7 discutem aproimação linear de funções. No caso em que alguém depara-se com problemas na resolução de cada uma delas, uma opção seria trabalhar nas secções

17 7 relevantes dos livros da Matemática Superior. Cada solução correcta tem 5 pontos, com na pontuação máima de 9 pontos. Uma pontuação de 4 a 6 é uma pontuação média. Abaio desta pontuação ( 4 provavelmente implica que necessite voltar a estudar as questões relevantes de pré-requisitos antes de começar com o módulo. Uma pontuação média pode significar que comece com o módulo, mas com uma revisão frequente a alguns materiais de pré-requisitos. Com a pontuação acima da média (6-9 o estudante pode, com confiança, começar a estudar o módulo e completá-lo com sucesso. X. Actividades de Aprendizagem ACTIVIDADE Tipos e fontes de erros Sumário Nesta actividade discutimos três tópicos introdutórios importantes. Começamos por fazer uma distinção entre uma solução analítica e uma solução numérica. Esta distinção é seguida de uma discussão de alguns problemas matemáticos típicos especialmente seleccionados para convencer o estudante porquê os métodos numéricos são necessários. Concluímos a actividade com o conceito de erros em cálculos matemáticos, destacando as suas causas principais, os tipos e as formas práticas de eliminar ou minimizar seus efeitos em soluções numéricas. Objectivos específicos de aprendizagem: No fim desta actividade o estudante deve ser capaz de: Definir o conceito de erros em cálculos matemáticos Distinguir erros absolutos dos erros relativos e correctamente relacioná-los com os conceitos de eactidão (tamanho e precisão (consequências de um erro. Fazer a lista das fontes principais de erros de cálculo e os passos a tomar com vista

18 8 a eliminá-los ou reduzir seu efeito cumulativo numa solução numérica. Apreciar a diferença entre o tamanho (eactidão e a seriedade (precisão de um erro Compreender e aplicar interpolação linear numa dada tabela de valores da função Estimar o erro numa interpolação linear de uma função suave Leituras requeridas: Wikipedia: Numerical Methods/Errors Introduction Lista de Links relevantes Wolfram MathWorld (visitado em Os estudantes devem pesquisar a entrada que abrange o título da unidade. Também pesquisar quaisquer palavras-chaves que aparecem no teto. Mathworld fornece uma referência detalhada em todos casos. Wikipedia (visitado em Tal como mathworld, os estudantes devem pesquisar a entrada que abrange o título da unidade. Também pesquisar quaisquer palavras-chaves que aparecem no teto. Wikipedia geralmente dá sugestões curtas e menos completas. Todavia elas podem ser mais fáceis de ler. MacTutor History of Mathematics (visitado em O arquivo McTutor é muito mais compreensível arquivo da história de matemática na

19 9 internet. Os estudantes devem pesquisar título da sua unidade e ler a história de seu tema. Esta prática fornece considerável visão da importância e conteto do tópico que está sendo estudado. Palavras-chaves [Definições completas são dadas no teto] Error in an approimation: a diferença entre o valor eacto e o valor aproimado Absolute error: Erro sem consideração do sinal (positivo ou negativo Relative error: a relação entre o erro absoluto e o valor eacto da quantidade Initial, discretization, truncation and rounding errors: Diferentes tipos de erros causados pelas diferentes fontes de erros Actividade de Aprendizagem: Tipos e fontes de erros Introdução Esta actividade do módulo se destina a prover ao estudante com respostas às seguintes questões importantes; questões levantadas por muitos estudantes que entram em contacto pela primeira vez com o curso de métodos numéricos. ( O que é uma solução numérica e como tal solução difere de uma solução analítica eacta (verdadeira? ( Porquê aprender métodos numéricos? Os métodos numéricos são necessários? (3 O que são erros no conteto matemático? Quais são as fontes principais de erros de cálculo? Como alguém pode eliminar os erros ou reduzir seu efeito em soluções numéricas? Começamos actividade com a eplicação da diferença entre uma solução analítica e uma solução numérica. De forma a estabelecer a necessidade de métodos numéricos, discutimos uma série de problemas matemáticos especificamente seleccionados com o objectivo de

20 convencer o estudante de que eiste uma necessidade real para a aprendizagem de métodos numéricos ou porque as soluções analíticas não podem ser encontradas ou são muito compleas para o uso prático. Para responder às questões sobre erros, definimos o conceito de erro e alistamos uma série desses erros. A seguir ainda sugerimos para cada tipo, a fonte do erro, passos práticos a tomar para reduzir o erro, e portanto, seu impacto na solução numérica. Métodos Analíticos, Métodos Numéricos e Erros (a Métodos analíticos versus Métodos numéricos. O que é uma solução numérica e como ela difere da solução eacta (verdadeira ou solução analítica? Um método analítico para resolver um dado problema matemático é qualquer método baseado rigorosamente na análise matemática e cuja aplicação conduz a uma solução verdadeira (eacta, também conhecida como solução analítica Método numérico para resolver um dado problema matemático é qualquer método baseado na análise matemática rigorosa cuja aplicação em muitos casos, pode simplesmente conduzir a uma solução aproimada (não eacta, também conhecida como solução numérica. Em alguns casos, raros, um método numérico pode dar uma solução eacta. Eemplo. As soluções eactas da equação não linear = podem ser obtidas usando a bem conhecida fórmula quadrática (método analítico, b b a 4ac Esta fórmula dá uma solução analítica, 5 3 Por sua vez, a fórmula de iteração (método numérico

21 n+ = 5 3, n =,,,...; n = 4,5 n pode também ser aplicada para aproimar uma das duas soluções da equação quadrática dada. Este método pode somente dar uma solução numérica aproimada. RESOLVE: Dadas as fórmulas de integração numérica h Regra do Trapézio: f ( d [ f( + f( ] h = h Regra de Simpson: f ( d [ f( + 4f( + f( h = = 3 (i a regra do Trapézio dá valores eactos para a integral f ( d para qualquer função linear f( = a + b (ii A regra de Simpson dá valores eactos da integral f ( d para qualquer função cúbica f( = a 3 + b + c + d Em geral a diferença entre soluções analíticas e soluções numéricas pode ser resumida na seguinte frase: Soluções Analíticas são eactas enquanto soluções numéricas são aproimadas. (b Necessidade para métodos numéricos Porquê alguém aprenderia métodos numéricos? Os métodos numéricos são necessários? Por causa da distinção acima entre os métodos analíticos e os métodos numéricos alguém facilmente pode ser levado a concluir que é suficiente usar métodos analíticos na resolução de problemas matemáticos. Em outras palavras, não há necessidade de aprender métodos numéricos pois eles conduzem somente a soluções aproimadas. Tal conclusão é enganadora. Precisamos de aprender métodos numéricos pelas seguintes três razões:. Para alguns problemas, soluções analíticas podem não ser conhecidas. Eemplos típicos são

22 dados nos seguintes casos:,,5,5,75, f(,,8,8,39,44 e. d é perfeitamente definida mas a anti-derivada do integrando epressa usando as funções matemáticas conhecidas f ( e não pode ser 3. Em alguns casos, pode ser possível encontrar uma epressão matemática para uma solução analítica de um dado problema. Todavia, a epressão pode ser computacionalmente muito complicada para manejar numericamente. Um problema típico é de encontrar uma anti-derivada de f( = 3 8 Depois de fastidiosas manipulações envolvendo factorização do denominador seguida da aplicação do método de fracções parciais, a anti-derivada geral é: 3 4 F( = tan ln C onde C é uma constante arbitrária de integração. Este resultado complicado torna difícil avaliar d a integral definida 8 grau de eactidão. 3 com ela associada, quase impossível determinar com algum sentido o RESOLVE (i df Verique que = f( (usando a função F no eemplo 3 acima d (ii Por factorizar 8 3 = ( ( e aplicando o método de fracções parciais obtenha a epressão F( como anti-derivada de f(.

23 3 (c Erros O que são erros no conteto da matemática? Quais são as principais fontes de erros de cálculo? Como alguém pode eliminar erros ou reduzir nas soluções numéricas? Na secção de palavras-chave você pode encontrar definições de conceitos chaves, formulações de teoremas chaves e princípios relevantes ao tópico de métodos numéricos. A secção inclui as definições de erros, erros absolutos, erros relativos, erros de discretização, erros de truncação e erros de arredondamentos. Para facilitar a referência, alistamos esses erros. Hipótese: Seja X* uma aproimação à uma quantidade eacta (verdadeira X. Então: O erro absoluto em X* é definido por *. O erro em X* é definido por * * O erro percentual em X* é definido por % Uma vez que o valor eacto (verdadeiro não é normalmente conhecido, é costume substituí-lo pelo valor aproimado X* no denominador da epressão para o erro relativo e erro percentual respectivamente. Precisão e Eactidão Medidas e cálculos podem ser caracterizados com respeito à eactidão e precisão. Precisão refere-se a quão grande ou quão pequeno o erro absoluto * é. O erro absoluto refere-se portanto a uma medida de precisão de uma aproimação. Eactidão refere-se a quão perto a aproimação X* concorda com o valor X. Aqui o que conta

24 4 não é somente a magnitude do desvio * mas também seu tamanho relativo do valor de X. A eactidão é portanto medida pelo erro relativo *. (d Tipos e fontes de Erros Agora apresentamos a lista das fontes e tipos de erros e em poucas linhas discutir os métodos de eliminá-los ou reduzi-los de modo que a solução numérica que obtemos não seja seriamente afectada por eles o que pode torná-la insignificante. (i Erros iniciais Qualquer problema matemático que careça de uma solução numérica envolve alguns dados iniciais. Tais dados podem ser na forma de coeficientes numa epressão matemática ou casas de uma matriz. Se este dado inicial não é eacto, então os desvios do seu respectivo valor real são chamados erros iniciais. Em alguns problemas, incertezas nos dados iniciais podem ter efeitos devastadores na solução numérica final do problema. (ii Erro de Discretização A maior parte da Literatura sobre erros de cálculo não faz distinção entre erros de discretização e erros de truncação, a razão é de que os dois tipos de erros são quase inseparáveis. Nesta apresentação separamos os dois tipos porque erros de truncação são tipos especiais de erros de discretização. As soluções verdadeiras (eactas de alguns problemas matemáticos são funções contínuas y = f( das respectivas variáveis independentes. Em quase todos casos, métodos numéricos para resolver tais problemas são aproimações a uma função contínua desconhecida f( por uma sequência {f( n } de valores aproimados da solução num conjunto discreto de pontos { n } no domínio da solução da função f(. Por eemplo, a função contínua f( = + e - é a solução do problema do valor inicial de y + y = + y( = Um método numérico típico para resolver este problema é dado pela relação de recorrência. =, y =, y n = ( hy n- + ( + n- h, n =,, 3,..., sendo h uma distância

25 5 constante entre dois valores discretos consecutivos da variável. O erro resultante de um tal processo de discretização é chamado erro de discretização. (iii Erro de Truncação Erros de Truncação são tipos especiais de erros de discretização. O termo erro de truncação refere-se ao erro num método, que ocorre porque um processo infinito é interrompido prematuramente (truncado a um pequeno número de termos ou iterações no processo. Tais erros são essencialmente erros algorítmicos e alguém pode predizer a etensão do erro que pode ocorrer num método. Especificamente, a solução obtida usando alguns métodos numéricos pode envolver processos infinitos. Por eemplo, este é o caso que envolve todos métodos de iteração convergente e séries infinitas convergentes. Uma vez que tais processos infinitos não podem ser levados a cabo indefinidamente, alguém é forçado a parar (truncar o processo e aceitar uma solução aproimada. O erro causado devido a esta inevitável terminação de um processo infinito é chamado um erro de truncação. (iv Erros de arredondamento Erros de arredondamento são erros introduzidos durante cálculos numéricos devido às limitações dos dispositivos de cálculo para eecutar o cálculo aritmético eacto. Por eemplo, se multiplicamos dois números, cada um com seis dígitos decimais, o produto terá doze algarismos decimais. Infelizmente algumas calculadoras podem não ser capazes de mostrar todos doze algarismos decimais. Neste caso alguém é forçado a trabalhar com poucos algarismos e necessariamente retirando alguns (menos significativos à direita do produto. O erro que ocorre assim é chamado erro de arredondamento (c Métodos de reduzir os erros No espírito de prevenção do que a cura tentamos nesta secção dar sugestões práticas das formas de eliminar ou reduzir o impacto dos vários tipos de erros de cálculo que são encontrados

26 6 no uso de métodos numéricos (i Como reduzir erros iniciais Erros iniciais podem ter efeitos devastadores nas soluções numéricas Ilustramos um caso típico de um eemplo tirado de Francis Sheid, Numerical Analysis, Shaum Outline Series, 968 page 34, envolvendo a solução das seguintes duas equações simultâneas: - y = -,y = a solução verdadeira (analítica é =.; y =.. Neste eemplo, o conjunto de dados iniciais consiste de elementos da matriz dos coeficientes A = e o vector do, lado direito b = Todavia, se a casa, na matriz A é alterada para -,99999 enquanto outros dados na matriz não são alteradas, o sistema de equações resultante - y = -,99999y = tem solução eacta (analítica que muda drasticamente: = e y = -. Este resultado de alguma forma surpreendente demonstra como uma pequena mudança nos dados iniciais pode causar desproporcionalmente mudanças enormes na solução de alguns problemas. Assim a única forma para reduzir ou se possível, eliminar erros iniciais é por assegurar que todos dados do problema colocado ou calculados para o uso na resolução de um problema sejam eactos bem como humanamente possíveis. (ii Como reduzir erros de discretização? Métodos numéricos diferentes para aproimar a solução de um dado problema matemático podem resultar em soluções numéricas com diferentes graus de eactidão devido a magnitudes de

27 7 seus erros de discretização. Considere o problema de avaliar a integral definida: eacto (analítico da integral, com seis algarismos decimais correctos é tan - ( =, d. O valor Vamos aplicar as regras do trapézio e de Simpson usando um comprimento do intervalo h =,5. Primeiro avaliamos o integrando f ( nos pontos relevantes e obtemos: i O ' 4 Y. O f{y Regra do trapézio dá a seguinte solução numérica,78794 Regra de Simpson Que conduz à solução numérica,78539 Observamos que enquanto a solução obtida usando a regra do trapézio é duas casas decimais correctas, a solução obtida pela regra de Simpson é 4 casas decimais correctas. Esta significativa diferença na eactidão das duas soluções é causada pelas diferenças nos erros de discretização dos dois métodos numéricos. A regra de Simpson apresenta menor erro de discretização do que a regra de trapézio. Em geral, erros de discretização não podem ser evitados. Todavia, podemos reduzi-los substancialmente seleccionando cuidadosamente o método numérico cujo erro de discretização é conhecido a priori que é relativamente pequeno. (iii Como reduzir os erros de truncação Os erros de truncação são causados pela inevitável necessidade de parar um processo de convergência infinito num esforço de obter solução. O tamanho do erro de truncação vai depender, portanto, de um particular processo infinito (método numérico a ser usado e de como estamos preparados para realizar tal processo infinito. O erro de truncação pode ser reduzido por

28 8 (a escolher um método numérico com um menor erro de truncação ou por (b levar o processo infinito suficientemente longe Eemplo. A função contínua f( = 3 + tem uma raiz no intervalo < < (Porquê?. Usando a fórmula resolvente (fórmula quadrática, o valor eacto da raiz, correcta a seis algarismos decimais é =, Uma série de métodos iterativos eistem para aproimar a uma tal raiz. Aqui consideramos dois de tais métodos: O método de bissecção n + = n n dado que f( n f( n- < O método de Newton-Raphson = - f ( n dado que f ( n f '( n Se realizamos apenas três iterações (truncação depois de três iterações com cada um dos métodos, começando com = e =, para o método de bissecção e = para o método de Newton-Raphson, obtemos a seguinte sequência de aproimações para cada método: Método Valores Iniciais Bissecção Newton Raphson I X o = O Xl = Xl X?, X a Estes resultados mostram que parando o processo infinito (iteração depois de três iterações, o erro de truncação do método de Newton-Raphson é muito mais pequeno do que o método de bissecção.

29 9 RESOLVE Continue aplicando o método de bissecção do eemplo acima até que a solução seja seis casas decimais correctas. Quantas mais iterações a resolução requer? (iv Como reduzir os erros de arredondamento Antes de discutirmos esta última tarefa importante na nossa actividade de aprendizagem, introduzimos alguns termos que serão frequentemente mencionados e usados no processo. Algarismos ou dígitos Na matemática computacional, as palavras algarismo e dígito são sinónimas. São usadas indistintamente para significar cada um dos numerais no conjunto {,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. No sistema decimal de números reais, um número N é um string ou uma sequência ordenada de algarismos ou dígitos. Um eemplo típico é o número N = ,457 Um número pode ser visto como uma medida de tamanho ou magnitude de alguma quantidade real ou imaginária. A posição de cada dígito num string de dígitos indica a importância ou significância de tal dígito no valor global do tamanho ou magnitude da quantidade que o número representa. Intuitivamente sabemos que o dígito 7 mais à esquerda do número N acima á mais significativo do que o dígito 7 mais à direita. Que dígitos são mais significativos num número? As seguintes regras se aplicam para decidir que dígitos ou algarismos num dado número são significativos:. Inteiros não zeros são sempre dígitos significativos. Quaisquer zeros mais à esquerda de um número são não significativos 3. Todos dígitos zeros situados entre dígitos não zeros são significativos 4. Zeros na parte final mais à direita de um número são contados como significativos somente se o número contém uma vírgula decimal Quantos algarismos significativos são num dado número?

30 3 O número de algarismos significativos num dado número é encontrado usando a regra seguinte: Regra : O número de algarismos significativos num número inteiro puro (sem algarismos decimais é obtido por contar, a começar pelo algarismo não zero mais à esquerda, terminando com o algarismo não zero mais à direita. Eemplo.3 O número tem 9 algarismos significativos O número 573 tem 6 algarismos significativos Regra : O número de algarismos significativos num número contendo uma parte decimal é obtido por contar todos algarismos, começando com o algarismo não zero mais à esquerda. Eemplo.4 O número 6,3 tem 6 algarismos significativos O número 6,3 tem 6 algarismos significativos Nota: Todos dígitos zero no final do número decimal são significativos (iv Como reduzir erros de arredondamento Munidos de conceitos de dígitos/algarismos e algarismos significativos num número podemos agora confortavelmente discutir as formas de reduzir os erros de arredondamento Um método óbvio de lidar com o problema de erros de arredondamento é trabalhar com a eactidão máima permissível no nosso dispositivo de cálculo em cada fase de realização de cálculos. Eemplo.5 Determinar a soma,35;,48; 4,4 usando um dispositivo de cálculo que somente pode eecutar o cálculo com dois algarismos significativos. A soma eacta é S =,35 +,48 + 4,4 = 8,7

31 3 Se negligenciamos o segundo algarismo decimal de cada termo e determinar sua soma, obtemos a soma aproimada S =,3 +,4 + 4, = 7,9 O erro absoluto em S é: S S =,7 Uma melhor aproimação de S dentro dos mesmos limites é: S =,4 +,5 + 4, = 8, O erro absoluto em S é: S S =,3 Este erro é significativamente menor do que em S. A questão imediata que se espera que o estudante coloque é: Como se chegou a termos de dois dígitos em S? A resposta a esta questão é simples. Cada termo foi obtido a partir dos correspondentes termos de três dígitos fazendo arredondamento. Em breve o estudante saberá como arredondar números O que significa arredondar um número? Arredondar um número a um número fio de algarismos ou dígitos, simplesmente significa deiar de fora (deiando cair todos dígitos no lado direito do número que estão além de uma certa posição. Se um número é arredondado simplesmente deiando cair todos dígitos que estão além de uma certa posição no lado direito do número sem fazer algum ajustamento ao último dígito mantido, falamos de arredondamento por defeito ou corte do número Eemplo.6 A soma S foi calculada usando termos obtidos a partir de números originais pelo arredondamento por defeito (ou pelo corte do número do terceiro algarismo decimal de cada termo. O termo,35 foi arredondado para,3; o termo,48 arredondado para,4 e o termo 4,4 foi arredondado para 4,. Em cada caso o último dígito mantido (primeira posição decimal não

32 3 foi ajustado no processo de arredondamento. Nota A soma S foi também obtida via arredondamento. Contudo, o arredondamento neste último caso é diferente. Aqui, não todos três termos foram arredondados por defeito ou cortados: O termo,35 foi arredondado para,4 O termo,48 foi arredondado para,5 O termo 4,4 foi arredondado para 4, Observamos que ao arredondar cada um dos dois primeiros termos,35 e,48 o dígito ocupando a segunda posição foi deiado cair mas o dígito ocupando a primeira posição decimal foi ajustado adicionando a ele (uma unidade. O terceiro termo 4,4 foi simplesmente arredondado pelo defeito ou cortado. Esta prática (ou como ainda uma regra desconhecida de arredondar números para ter alguma significativa vantagem sobre o arredondamento por defeito (ou corte manifestada pelo eemplo acima no qual S é mais correcto do que S Regras para arredondar números De forma a reduzir os erros no arredondamento de números, a rejeição de dígitos para além de uma posição predeterminada (n é acompanhada com a realização de ajustamentos ao dígito que fica na posição (n. O ajustamento envolve ou mantendo o dígito na posição (n sem mudanças ou adicionar uma unidade a ele. A decisão de reter ou acrescentar uma unidade ao dígito ocupando a posição (n - é governada pelas seguintes regras: (a Se o dígito na posição (n + é maior que 5 então o dígito na posição (n é acrescentado a ele. (b Se o dígito na posição (n + é 5 e pelo menos um outro dígito à sua direita não é zero então o dígito na posição (n é acrescentado (c Se o dígito na posição (n + é menor que 5 então o dígito na posição (n é deiado imutável (d Se o dígito na posição (n + é 5 e todos outros dígitos à direita da posição (n + são zeros, então:

33 33 (i O dígito na posição (n é aumentado se tal dígito na posição (n é um número ímpar (, 3, 5, 7, 9 Eemplo.7 (ii O dígito na posição (n é mantido se ele é número par (,, 4, 6, 8. Arredondar um número dado a dois algarismos significativos correctos: Ordem Número Arredondado a dois Regra Algarismos (a (b (d (i (d (ii (d (ii (c (d (i (d (ii (a (b Avaliação Formativa: Os estudantes devem trabalhar nos eercícios propostos cuidadosamente escrevendo soluções completas para cada problema. Devem verificar suas respostas minuciosamente usando as soluções dadas. Questões. (a Usando o método de substituição determina a solução eacta do seguinte sistema de equações: 5 + 7y =, y = 6,95 (b Arredonde o valor direito de cada uma das equações a dois algarismos significativos e depois determine a solução eacta do sistema de equações resultante. (c Use as soluções obtidas dos dois sistemas de equações para eplicar que os erros iniciais precisam de ser evitados ao máimo.. (a Quantos algarismos significativos eistem em cada um dos seguintes números? (i (ii 34 (iii 3.45

34 34 (b Arredonde cada um dos seguintes números a cinco algarismos significativos (i (ii 3.5 (iii Dada a quantidade: X 3 3 3, realize os seguintes cálculos (a Determine o valor eacto de X com cinco algarismos significativos (b Aproime o valor de X usando 3 dígitos fazendo corte aritmético (arredondar sem fazer algum ajustamento (c Aproime o valor de X usando três algarismos com arredondamento aritmético (d Calcule os erros absolutos e erros percentuais nas aproimações obtidas nas partes (b e (c. 4. O erro de truncação E( ao interpolar a função f( linearmente entre dois pontos e, com = + h, é dado por E( = ( ( f ( onde é algum ponto no intervalo I = :(,. (a Usando o teste da segunda derivada, mostra que h Ma E( I 8 M, onde M = Ma f ''( I (b Se f( = sen( determine o valor de h para o qual o erro de truncação vai ser sempre menor que, 5. Assumindo que a função f( tem uma raiz singular no intervalo a b, o método de bissecção para aproimar usa a fórmula de iteração i = i i onde i =,, 3,..., - = a, = b, f( i- f( i- < (a Prove pela indução matemática que o erro na enésima iteração de i é dado por E i = b a (b Se a = e b =, quantas iterações bissecções serão necessárias para obter uma aproimação com um erro não maior do que -3? i Soluções

35 35. (a =,45; y = (b = ; y = (c Erros iniciais devem ser evitados porque as soluções de alguns problemas podem ser muito sensíveis relativamente a pequenos erros iniciais.. (a (i 6 (b (i 3,4 (ii 4 (ii 3, (iii (iii 3, 3. (a Valor eacto X =,4566 (b Valor aproimado X b =,455 (c Valor aproimado X c =,456 (d Erro absoluto b =,6 c =,6 Erro percentual X b =,3 Erro percentual X c =,3 4. Considere a função g( = ( ( cujas primeira e segunda derivadas são: g ( = ( + e g ( =, respectivamente. g( tem um único ponto crítico = vez que g ( >, concluímos que g( = ( - ( - = = ( ( h = - 4 e uma Portanto, concluímos que h h Ma g( e assim o resultado é Ma E( M 4 4

36 36 h (b Com f( = sen(, temos M = e portanto precisamos de encontrar h tal que,. 8 Este facto conduz ao valor h, 8 <,3 b a 5. (a Indução matemática: E i = i Teste: A fórmula é verdadeira para i = porque o erro na primeira bissecção é b a Hipótese: Vamos supor que a fórmula é verdadeira para i = k > (fio. Isto significa E k = b a k Indução: Erro em k+ = E k+ = Ek b a b a = k k c. q. d. (b se a = e b =, então E i =. Este valor não ecede -3 ln( se i ln( i Actividade de aprendizagem: Interpolação Sumário O conceito de interpolação é importante em qualquer curso introdutório de Métodos Numéricos. Aproimação numérica discute tanto a necessidade de aproimar números, quanto a aproimação de funções. A interpolação numérica aproima funções. Aproimamos funções para uma ou várias das seguintes razões: Um grande número de funções matemáticas importantes pode ser conhecidas apenas por meio de tabelas dos seus valores Para algumas funções, pode ser conhecida sua eistência mas são computacionalmente muito compleas para manipulá-las numericamente Algumas funções podem ser conhecidas mas a solução do problema no qual elas aparecem pode não ter uma epressão matemática óbvia para trabalhar com ela.

37 37 Interpolação, como ela é apresentada nesta Actividade de Aprendizagem dará ao estudante uma oportunidade para eperimentar em primeiro lugar algumas aplicações práticas de métodos numéricos na resolução de um problema matemático de aproimar uma f( que é conhecida somente por um conjunto de valores num número finito de pontos. Esta actividade de aprendizagem cobre os seguintes sub-tópicos: Interpolação linear Interpolação Polinomial de Lagrange Interpolação Polinomial de Newton de diferenças divididas Começamos por definir o conceito de interpolação. Interpolação Linear é usada para ilustrar o conceito. Esta é seguida pela apresentação de interpolações polinomiais especiais. Especificamente, discutimos interpolações polinomiais baseadas na interpolação de coeficientes de Lagrange, diferenças divididas de Newton e nas diferenças finitas. Objectivos Específicos da Aprendizagem No final desta actividade, o estudante será capaz de: * Eplicar por que é que os métodos numéricos são necessários na resolução de interpolação. Aplicar interpolações polinomiais de Lagrange Aplicar interpolação polinomial de diferenças divididas de Newton Definir e manipular operadores de diferenças finitas (operadores de mudança, operadores de avanço, operadores de recuo, operadores centrais e de média de diferenças Construir tabelas de diferenças para valores tabulados da função Deduzir e aplicar interpolação polinomial de avanço e de recuo de Newton e interpolação polinomial de diferenças centrais de Stirling e, por fim, Aplicar Interpolações polinomiais de diferenças finitas na dedução de métodos de integração numérica Lista de leituras requeridas

38 38 Wikipedia: Interpolation Lista de links relevantes e úteis Wolfram MathWorld (visitado em Os estudantes devem pesquisar a entrada que abrange o título da unidade. Também pesquisar quaisquer palavras-chaves que aparecem no teto. Mathworld fornece uma referência detalhada em todos casos. Wikipedia (visitado em Tal como mathworld, os estudantes devem pesquisar a entrada que abrange o título da unidade. Também pesquisar palavras-chaves que aparecem no teto. Wipedia geralmente dá curtas e menos completas. Todavia elas podem ser mais fáceis para ler. MacTutor History of Mathematics (visitado em O arquivo McTutor é muito mais compreensível arquivo da história de matemática na internet. Os estudantes devem pesquisar título da sua unidade e ler a história de seu tema. Esta prática fornece considerável visão da importância e conteto do tópico que está sendo estudado. Termos e teoremas chaves Definições completas são dadas no teto Interpolação: aproimação de uma função usando valores discretos Interpolação Polinomial: um polinómio que interpola uma função usando valores dados Diferenças divididas: diferenças dos valores dados da função, relacionados com

39 39 diferenças entre pontos discretos dados. Operadores de diferenças finitas: Operadores matemáticos usados na construção de diferenças nos valores da função. Introdução Quantas actividades de aprendizagem compreendem o módulo? Como referido no sumário acima, métodos numéricos são usados para aproimar números bem como para aproimar funções. Os conteúdos deste módulo são cobertos em quatro actividades de Aprendizagem. Duas destas actividades se referem a métodos de aproimar números (a integral definida e as raízes de funções. Outra actividade é sobre erros e a quarta actividade é sobre métodos numéricos para aproimar funções. Por que é que polinómios são escolhidos para aproimar funções? Funções são aproimadas usando outras funções julgadas serem simples de manipular numericamente. Especificamente, usamos polinómios para aproimar outras funções complicadas, principalmente porque polinómios são simples para avaliar simples para diferenciar, e simples para integrar Começamos a apresentação por definir o conceito de interpolação e estabelecer a necessidade para métodos numéricos e para realizar a interpolação. Esta apresentação é seguida de uma discussão detalhada do polinómio mais simples usado na aproimação de funções, na interpolação linear. Interpolações polinomiais de ordem superior são depois introduzidas, incluindo Interpolação polinomial de Lagrange Interpolação polinomial de diferenças divididas de Newton, e, finalmente

40 4 Interpolação polinomial de diferenças finitas No fim da actividade é apresentada uma discussão breve sobre possíveis usos da interpolação linear para deduzir alguns métodos de integração numérica tais como a regra do trapézio e a regra de Simpson Actividade # de aprendizagem. Significado de interpolação O conceito matemático de interpolação é concernido a problemas de aproimar uma função f( definida sobre um intervalo fechado [a, b] A função f( a ser aproimada é usualmente definida através de um conjunto de seus valores em n + distintos pontos situados no intervalo [a, b]. Em geral são dados pares de valores ( k, f( k ; k =,,,..., n = a; n = b O problema é então determinar valores (ou mesmo derivadas da função em alguns pontos não tabulados situando-se dentro do intervalo. Estes tipos de problemas são bastante comuns na física eperimental e na química, onde uma epressão numérica para uma função pode não ser conhecida mas seus valores para diferentes valores da sua variável independente pode ser obtida eperimentalmente através de medições laboratoriais. Eemplo Típico (Bajpai et al 975 pp 5 Num eperimento levado acabo num laboratório de física, o comprimento y de um arame foi medido para vários pesos supensos nele. Os resultados do eperimento são tabulados abaio. Tabela : peso versus etensão de um arame : peso (kg 3 4 5

41 4 y: comprimento (mm 7, 9,4 3,8 34, 36,5 39, A partir de dados obtidos acima, podemos desejar saber o comprimento do arame para qualquer peso não tabulado que se situa dentro intervalo [, 5]. Esta prática é conhecida como interpolação da função y = f(, onde a dependência funcional de y no peso não é eplicitamente dada. Qualquer tentativa de usar os dados da tabela para calcular o comprimento do arame para um peso fora do intervalo dado é chamada de etrapolação.. Interpolação Linear Na interpolação linear assumimos que temos dois pontos A(, f e B(, f na curva de uma função contínua y = f( (usualmente desconhecida e que queremos aproimar o valor da função num ponto (,. RESOLVE Revisite e estude as várias formas de definir uma recta e de escrever equação da recta para cada forma: dados dois pontos dado um ponto e o declive Porque a recta é completamente definida por dois pontos dados que se situam nela, aproimamos a função f( localmente no intervalo [, ] pela recta através dos dois pontos dados. A equação da recta pode ser dada em diferentes formas. Consideremos as três formas: (i a usual y-intercepto-declive ou a forma de Newton (ii a forma de Lagrange

42 4 (iii a forma de determinante. Para propósitos computacionais, a forma do determinante é a melhor das formas dadas. ( i P ( = ( ii ( iii f f f f f f ( f. Eemplo Resolvido Usando os dados obtidos do eperimento do laboratório de suspender um peso com arame e medir seu comprimento, aplique a forma do determinante da interpolação linear para aproimar o comprimento do arame quando o peso é de,7 kg Solução Neste eemplo substituímos os valores = f = 3,8 = 3 f = 34, =,7 na forma do determinante da equação e obtemos o valor: 3,8,7 P (,7 = 33, 4 34,,3 f. que parece ser bastante razoável em que, como é de esperar, está mais próimo de f do que de RESOLVE (. Aplique as outras duas formas de interpolação linear da função P ( para aproimar o comprimento do arame quando o peso é,35 kg

43 43. 3 Erro na interpolação linear Agora nos propomos a responder a questão: Quão grande é o erro na interpolação linear? Em outras palavras, queremos saber quão eactas são as respostas obtidas através do processo de interpolação linear Uma característica importante da interpolação polinomial P n ( de qualquer grau é que P n ( k = f( k k =,,,..., n Para interpolação linear isso implica que P( = f( P( = f(. Esse processo implica ainda que o erro E( em qualquer ponto [, ] na interpolação linear deve ter a forma E ( = ( ( C Onde C é uma constante independente de. Na secção subsequente nesta actividade o valor de C para uma função f( que se assume ser suficientemente diferenciável é dado como C = f ( onde Min(,, < < Ma(,, Com este resultado, o erro na interpolação linear assume a forma E ( = ( ( f ( Se M = Ma f '( no intervalo [, ], então podemos mostrar que E( M ( Mh Interpolação Polinomial Tal como se referiu no início da actividade, o principal problema da interpolação Polinomial

44 44 pode ser formulado como se segue: Dados os valores f( k = f k de alguma função contínua f( em n + pontos distintos k, k =,,,..., n Pode-se mostrar que esta, assim chamada, Interpolação Polinomial eiste e é única. Todavia há diferentes formas de representar a interpolação polinomial. Nesta actividade damos quatro diferentes formas da interpolação polinomial. 5 Interpolação polinomial de Lagrange A forma de Lagrange da Interpolação Polinomial tem a forma geral P n ( = L (f + L (f + L (f + + L n (f n = L ( n i i f i em que os termos L i ( i =,,,.., n são polinómios individuais de grau n em chamados os coeficientes de interpolação de Lagrange Para assegurar que P n ( satisfaz o critério de co-localização dado acima, os coeficientes de interpolação de Lagrange são construídos tal que eles satisfaçam a condição se i j L i ( j = i,j = se i j Pode se verificar que a seguinte definição de L i ( satisfaz a eigência L i ( = ( ( i ( (...( i...( i i i ( ( i i...( i...( Com esta definição de coeficientes de interpolação de Lagrange podemos verificar a condição da co-localização na interpolação polinomial, para i n n P n ( j = n i L ( f f i j j n i ij i f j ; j =,,,..., n