Estudo do Comportamento Dinâmico de um Atuador Hidráulico e suas Características Não Lineares

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1 Estudo do Comportmento Dinâmico de um Atudor Hidráulico e sus Crcterístics Não Lineres Vness Dild, Fine Miotto Depto. de Físic, Esttístic e Mtemátic, UNIJUÍ , Ru São Frncisco, 50, Cix Postl 560, Ijuí, RS E-mil: vnedild@yhoo.com.r, file@itke.net.r Antonio Crlos Vldiero, Pedro Luís Andrighetto Depto. de Tecnologi, UNIJUI , Cmpus Pnmi, Cix Postl, Pnmi, RS E-mil: vldiero@unijui.edu.r, pedro@unijui.edu.r Mrt Rfikov Depto. de Físic, Esttístic e Mtemátic, UNIJUÍ , Ru São Frncisco, 50, Cix Postl 560, Ijuí, RS E-mil: rfikov@unijui.edu.r. Introdução O presente trlho trt do estudo do comportmento dinâmico de um tudor hidráulico trvés d modelgem mtemátic e d nálise ds crcterístics não lineres do sistem. O ojetivo é dptr s equções mtemátics dos modelos existentes n litertur [,, 6,, ] e escrevê-ls de form fcilitr plicção d metodologi de controle ótimo propost por Rfikov e Blthzr [8]. Já em medos do século pssdo, Merrit [7] mostrou importânci e s vntgens d plicção de sistems hidráulicos, tis como excelente relção torque/dimensão e respost rápid os comndos de prtids, prds ou inversões de velocidde sem dnos às prtes mecânics. Christensen et l. [] compr s diferentes tecnologis de trnsmissão de potênci e mostr que os sistems hidráulicos são competitivos ns plicções com potênci ou forçs lts e onde são necessários tudores reltivmente pequenos com flexiilidde de instlção. Ests plicções são comuns n indústri do setor metl-mecânic, n mecnizção grícol, no mnuseio e trnsporte de mteriis, n minerção, n vição, n mrinh e no lzer []. A formulção do modelo mtemático de um sistem dinâmico é importnte pr fins de simulção, de nálise de comportmento e projeto de lgoritmos de controle. O conhecimento do modelo dinâmico de um sistem e de sus proprieddes tem ppel fundmentl no projeto de lgoritmos de controle. Além disso, simulções seds no modelo que descreve o comportmento do sistem têm por ojetivo testr s estrtégis de controle, prevendo prolems de projeto do controldor e/ou do sistem, sem o perigo de cidentes decorrentes de instilidde ou de flhs no projeto. Fornecem tmém informções e estimtivs de vriáveis do sistem (como, por exemplo, velocidde, celerção e forç, s quis são úteis n nálise d estrutur mecânic e no projeto e especificções de seus componentes. Entretnto os tudores hidráulicos possuem diverss crcterístics não lineres que prejudicm o controle preciso [6,,, ], tis como o comportmento ds vzões de fluido hidráulico nos orifícios de pssgem d válvul de controle, compressiilidde deste fluido e o trito, lém de não lineriddes não suves e descontínus devido à mudnç n direção de ertur d válvul e à zon mort. Ests não lineriddes estão presentes ns equções que descrevem o comportmento dos componentes do sistem. O trito em tudores hidráulicos é devido principlmente às vedções dos êmolos e à viscosidde do fluido utilizdo no tudor hidráulico. Juntmente com os efeitos do trito nos tudores hidráulicos, não lineridde d zon mort em válvuls proporcionis direcionis cus efeitos de degrdção do desempenho tis como perd de movimento e trso de tempo. Este trlho inici com um reve descrição do sistem tudor hidráulico n

2 seção. A seção present modelgem mtemátic de cd um dos componentes do sistem e o estudo de sus crcterístics não lineres. A seção mostr os resultdos otidos n dequção ds equções mtemátics do modelo pr o projeto de controldores ótimos. Por fim, presentm-se s conclusões e perspectivs de continução d pesquis.. Descrição do tudor hidráulico O tudor hidráulico considerdo neste trlho é composto de um válvul proporcionl de controle direcionl tipo crretel de vis e um cilindro hidráulico de hste dupl, conforme desenho esquemático mostrdo n Figur. Figur : Desenho esquemático do tudor hidráulico. Durnte o seu funcionmento, o fluido é fornecido à válvul por um unidde de potênci e condicionmento hidráulico (UPCH um pressão de suprimento p s. E um sinl elétrico de controle u energiz s oins dos solenóides proporcionis d válvul, produzindo um deslocmento do crretel. Por su vez, o crretel, o ser deslocdo, ger orifícios de pssgem, fornecendo fluido lt pressão pr um ds câmrs do cilindro e permitindo que o fluido d outr escoe pr o reservtório que está um pressão p r. Conseqüentemente, tem-se vrição ds pressões p e p ns câmrs do cilindro, resultndo num forç que moviment mss M num deslocmento y. Um descrição mis detlhd deste sistem encontr-se em [,, ].. Modelgem mtemátic do tudor hidráulico e sus não lineriddes Nest seção é presentd modelgem mtemátic dos principis componentes do sistem de tução hidráulic: válvul proporcionl de controle direcionl e o cilindro hidráulico.. Modelo mtemático d válvul A válvul considerd pr modelgem é um válvul proporcionl de controle direcionl do tipo crretel de qutro ressltos, simétric e de centro supercrítico (lrgur do resslto é mior que lrgur do orifício. A dinâmic elétric dos solenóides proporcionis e do movimento do crretel d válvul pode ser considerd muito rápid e é desprezd. Ou sej, ddo um sinl elétrico de controle u, consider-se o movimento instntâneo do crretel representdo por x v u. A Figur mostr um desenho em corte d válvul com destque pr soreposição existente entre o resslto do crretel e o orifício do pórtico. Est soreposição é um imperfeição e principl cus d não lineridde de zon mort d válvul, sendo lrgur do resslto mior que lrgur de ertur do orifício no pórtico d válvul. Figur : Desenho em corte d válvul com destque pr soreposição no orifício de pssgem de fluido. A não lineridde de zon mort em válvuls cus trsos e erro n respost do sistem, requerendo identificção de seus prâmetros e su dequd compensção.

3 Vldiero et l. [] propõe um metodologi pr identificção d zon mort, e como el é um não lineridde de entrd do sistem pode ser fcilmente compensd n síd do controldor e ter os seus efeitos minimizdos. Assim, determinção ds vzões nos orifícios d válvul, medinte o deslocmento x v, pode ser feit prtir d equção de Bernoulli (lnço de energi e result ns seguintes expressões: Q (, p k s g( p ( Q (, p k s g ( p ( sendo k s o coeficiente de vzão dos orifícios e que represent s crcterístics geométrics d válvul e tmém gregm proprieddes considerds constntes pr o escomento e pr o fluido, como por exemplo, o peso específico do fluido; x v é o deslocmento do crretel d válvul e s funções g ( p x e v g ( p são definids como em Bu e Yo []: pr 0 ( ps p g p p ( p pr pr < 0 que representm s pressões iniciis ns câmrs, não são nuls e é necessário determiná-ls pr que o modelo e simulção numéric presente resultdos dequdos de previsão do comportmento dinâmico (Dild et l. [5]. A utilizção ds Equções (5 e (6 é um proximção em torno d condição inicil (válvul fechd, ms fcilit o projeto de controldores sedos em modelo. Os resultdos dest proximção são mostrdos n seção trvés d simulção com os ddos de um tudor hidráulico.. Modelo mtemático do cilindro O cilindro hidráulico considerdo n modelgem é simétrico de dupl hste. Pr modelgem mtemátic deste componente, utilizou-se equção d continuidde pr determinção d dinâmic ds pressões ns câmrs do cilindro e equção do movimento d hste. A Figur mostr um desenho esquemático do cilindro. Q p V V p Q p pr pr 0 g ( p p ( p s p pr < 0 onde p s é pressão de suprimento; p r é pressão de retorno. Assim, pode-se oservr que s vzões Q e Q fornecids pel válvul são um função não liner do deslocmento do crretel x v e ds pressões p e p. Os vzmentos internos que ocorrem n válvul form desprezdos, ms podem ser incorpordos num coeficiente de vzãopressão e compensdos trvés do modelo liner ds vzões [] ddo por: Q (, p K q Kc ( p pi (5 Q (, p K q Kc ( p pi (6 onde K q é o gnho de vzão e K c é o coeficiente vzão-pressão nos orifícios e d válvul simétric; p i e p i são constntes Figur : Desenho esquemático em corte de um cilindro de hste dupl A dedução do modelo mtemático d vrição ds pressões ns câmrs do cilindro encontr-se detlhd em [5]. As expressões d vrição ds pressões dds pels equções (7 e (8. dp dp y ( ( Q x p A y ( v, & V + A y ( ( Q x p A y ( v, + & V A y 0 β β (7 (8 onde β é o módulo de elsticidde do fluído; V e V 0 são, respectivmente, os volumes iniciis ns câmrs e (incluindo os volumes ds tuulções que ligm ests câmrs às síds d válvul; A refere-se

4 áre d seção trnsversl do êmolo do cilindro; y e y& são, respectivmente, posição e velocidde do êmolo do cilindro. As equções ds dinâmics ds pressões ns câmrs do cilindro (7 e (8, podem ser escrits n form (9 e (: β f ( y β f ( y ( Q (, p A y& ( Q ( x, p + A y& v (9 ( onde f ( y e f ( y são funções não lineres dds pels equções: f ( y f ( y ( V + A y ( V A y 0 ( ( A equções ( e ( são proximds neste trlho por polinômios em função de y, como os polinômios de 6º. gru mostrdos ns equções ( e (. 6 5 A y + B y + C y + D y + E y + F y + G ( 6 5 A y + B y + C y + D y + E y + F y + G ( f f onde A, B, C, D, E, F, G, A, B, C, D, E, F e G, são os coeficientes constntes de cd um dos polinômios que correspondem o juste de ( em ( e de ( em (. Os resultdos dest proximção tmém são mostrdos n seção. Utilizndo equção do movimento plicd à hste do cilindro, considerndo como entrd diferenç de pressão ( p p ns câmrs e levndo em cont forç de inérci, M & y, o trito como mortecimento viscoso, B y&, e forç de crg F L, têm-se o equilírio dinâmico e representdo pel equção (5. d y M + B dy + FL A ( p p (5 onde M é mss totl em movimento, compost pel mss d hste do cilindro mis crg e pel mss do fluído deslocdo. A equção (5 pode ser reescrit n form d equção (6 com finlidde de expressr celerção do sistem ÿ, resultnte d entrd de um forç hidráulic proveniente do lnço de pressões ns câmrs do cilindro. & y ( A ( p p B y& FL (6 M. Modelo não liner de ª ordem dotdo pr o tudor hidráulico Cominndo s equções (9, ( e (6 tem-se um modelo mtemático não liner de ª ordem ddo por: ( Q ( u, p A y& ( Q ( u, p + A y& β f y ( β f y ( & y ( A & M ( p p B y F L (7 (8 (9 onde y é posição do êmolo do tudor hidráulico, y& é velocidde, p e p são s pressões ns câmrs do cilindro, s funções ds vzões nos orifícios d válvul são s mesms ds equções (5 e (6, porém vriável x v foi sustituído pelo sinl de controle u, já que dinâmic d válvul foi desprezd, f e f são dds pels equções ( e (. Neste modelo, s equções d vzão nos orifícios d válvul já estão linerizds em torno d posição nul (u 0. A prcel do trito n equção (9 consider pens prcel liner, denotd pelo termo B y&, o qul represent o trito viscoso. Este trito prece nos estudos de Reynolds em medos do século XIX, corresponde um situção de o lurificção e, como se pode oservr é linermente proporcionl à velocidde. O trito viscoso tem o efeito de umentr o mortecimento do sistem. Um descrição detlhd sore s crcterístics não lineres do trito podem ser otids em Vldiero et l. []. As equções d dinâmic ds pressões ns câmrs do cilindro crcterizm-se pel compressiilidde do fluido e sofrem os efeitos ds vzões conforme s funções f ( y e f ( y. Como conseqüênci, freqüênci nturl do sistem é mior ns extremiddes do cilindro, qundo um dos volumes é pequeno.

5 . Resultdos Est seção present os resultdos do estudo e d dptção do modelo mtemático de um tudor hidráulico com o ojetivo de fcilitr o projeto de controldores ótimos. Pr otenção dos gráficos do comportmento ds não lineriddes do sistem, utilizrm-se os ddos d Tel, os quis form otidos e identificdos conforme descrito em [9, ] n ncd experimentl utilizd por Andrighetto []. Prâmetro Descrição p s 50 5 P Pressão suprimento p r 5 P Pressão de retorno 8 k s.97 m / s / V / P Constnte hidráulic K q 6, -5 m /s/v Gnho de vzão K c,6 - m /s/p Coeficiente vzãopressão V,88 - m Volume inicil n câmr V 0,88 - m Volume inicil n câmr A 7, m Áre d câmr 9 β N / m Módulo de elsticidde do fluido F L 00 N Forç de crg M 0,66 kg Mss deslocd B 6 N.s/m Coeficiente de trito viscoso y máx 0,5 m Limite de curso y min - 0,5 m Limite de curso Tel : Prâmetros do tudor hidráulico Os coeficientes constntes de cd um dos polinômios ds Equções ( e ( form clculdos utilizndo o método de mínimos qudrdos trvés d função POLYFIT do softwre MtL e são mostrdos n Tel. Coeficientes do polinômio ( 5 A,5 B 7,8 C,5 D,0 E 6, F,5 Coeficientes do polinômio ( 5 A,5 B 7,8 C,5 D,0 E 6, F,5 G,0 G,0 Tel : Coeficientes dos polinômios O gráfico comprtivo em equção ( não liner d vzão no orifício d válvul e equção linerizd (5 é mostrdo n Figur. Est curv foi gerd pr condição de operção próxim do ponto dos estdos iniciis e mostr um juste dequdo. Pr condições de operção distntes deste ponto, os erros do juste são miores. A utilizção d equção liner (5 é um proximção, ms fcilit o projeto ótimo de controldores. Figur : Gráfico do juste d vzão. A Figur 5 mostr o gráfico do polinômio ( justdo em comprção com equção ( que cptur o efeito d vrição do volume d câmr em função d posição do êmolo y. Figur 5: Gráfico comprtivo entre o polinômio justdo ( n equção (. D mesm form Figur 6 mostr o gráfico do polinômio ( justdo em comprção com equção ( pr câmr.

6 Conference, Chicgo, Illinois, p. 9-, June 000. [] G. K. Christensen, J. Zhou, F. Conrd, T. Sorensen, The stte of hydrulic technology nd its electric competitions, In: Andrzej Grcik, Jcek Stecki (Ed.. Developments in fluid power control mchinery nd mnipultors, Crcow: Fluid Power Net Puliction, p , 000. Figur 6: Gráfico comprtivo entre o polinômio justdo ( n equção (. 5. Conclusões Neste trlho foi presentdo o estudo do comportmento dinâmico de um tudor hidráulico com o ojetivo de oter um modelo dptdo pr o projeto ótimo de controldores de sistems dinâmicos não lineres. Apresentou-se modelgem mtemátic de cd componente do tudor, e prtir d cominção dequd dos modelos, foi otido um modelo não liner de ª ordem com juste de não lineriddes de difícil mnipulção, tis como s funções riz qudrd e invers, por polinômios. Tl juste é importnte, pois permite mior fcilidde n mnipulção ds equções no projeto do controle ótimo de sistems hidráulicos, ser relizdo em futuros trlhos. Referêncis [] P. L. Andrighetto, Posiciondor eletrohidráulico controldo por válvul proporcionl direcionl, Florinópolis, Dissertção (Mestrdo em Engenhri Mecânic, Deprtmento de Engenhri Mecânic, Universidde Federl de Snt Ctrin, 996. [] F. Bu, B. Yo, Nonliner dptive roust control of ctutors regulted y proportionl directionl control vlves with dednd nonliner flow gins, Proceedings of the Americn Control [] V. J. De Negri, Modelgem de um servomecnismo mecânico hidráulico, Dissertção (Mestrdo em Engenhri Mecânic, Universidde Federl de Snt Ctrin, Florinópolis, 6f, 987. [5] V. Dild, A. C. Vldiero, P. L. Andrighetto, M. Rfikov, Simulção computcionl de um modelo mtemático pr tudores hidráulicos, Proceedings of the Brzilin Conference on Dynmics, Control nd Their Applictions (DINCON, São José do Rio Preto-SP, Brzil, 007. [6] M. Honegger nd P. Corke, Modelsed control of hydruliclly ctuted mnipultors, Proceedings of IEEE Interntionl Conference on Rootics nd Automtion, Vol., p , 00. [7] H. E. Merrit, Hydrulic control system, New York: John Wiley & Sons, 967. [8] M. Rfikov, J. M. Blthzr, Síntese Do Controle Ótimo Liner Feedck Pr Sistems Que Exiem Cos. In: III Congresso Temático de Dinâmic e Controle d SBMAC, pp. 69-6, 00. [9] L. A. H. Rodrigues, V. J. De Negri, A. C. Vldiero, Principis prâmetros de válvuls direcionis proporcionis plicds em sistems hidráulicos de controle, Revist de Automção e Tecnologi d Informção, Vol., No., p , Florinópolis, 00. [] A. C. Vldiero, Controle de roôs hidráulicos com compensção de trito,

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