Introdução à Expressão de Resultados Experimentais.

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1 U n i v e r i d a d e d e S ã o P a u l o I N S T I T U T O D E F Í S I C A Introdução à Epreão de Reultado Eperimentai. Prof. Manfredo H Tabacnik Ee é um reumo operacional do principai conceito uado para uma análie etatítica decritiva e epreão de reultado. Conulte a literatura na referência para aprofundar eu etudo e para melhor compreenão do conceito. Etudar a natureza ignifica obervá-la e para io, podemo uar noo entido e, talvez, algum intrumento apropriado. Quando uamo um intrumento realizamo uma medida. Medida podem er direta, quando medimo o comprimento de uma folha de papel com uma régua, ou o tempo de duração de um evento com um cronômetro, ou indireta quando ão derivada de outra medida, em geral direta. Uma medida direta conite em comparar a grandeza bucada com um padrão calibrado. Quando medimo um comprimento com uma régua, implemente comparamo o noo objeto com a ecala do intrumento de medida utilizado. Ecala podem er múltipla e variada. Podemo medir a riqueza de uma peoa em vária moeda diferente: Real, Dólar, Dinar, Rand, etc. A diveridade da ecala monetária traz um problema imediato: 100 Dinare é mai ou meno que 100 Rande? Como converter uma moeda em outra? O memo ocorre com a régua. Imagine e cada paí tivee ua própria régua! Em 0 de maio de 1875, na Convenção do Metro em Pari, 17 paíe definiram o metro como unidade padrão aim como a forma de ua realização. Q1. Imagine que você tem um amigo marciano e uponha que você têm uma linguagem comum. Como você eplicaria para ele o tamanho de 1 metro? Ordem de grandeza é a potência de 10 que melhor repreenta o valor de uma medida acompanhado de ua unidade. Medida Fio de cabelo Folha de caderno Ditância da Terra a Lua Ordem de grandeza 10-4 cm 10 1 cm 10 5 km RM-017-guia-incerteza-v4.doc. IFUSP-MHT

2 Qualquer que eja o intrumento de medição, ua ecala tem um número limitado de diviõe. A precião de uma medida é limitada na fabricação (Qualidade do material, precião do procedimento de calibração, etc.) Quando uma leitura ocorre entre doi traço conecutivo da ecala, qual o valor da medida? Veja a figura 1. Figura 1- Eemplo de leitura de uma régua milimetrada. A barra que etá endo medida tem uma etremidade ajutada no zero da ecala e a régua é milimetrada. A outra etremidade da barra não coincidiu com nenhum traço. Qual o valor da medida? Ela é maior do que,7 cm e menor do que,8 cm. Portanto, a medida é,7 mai alguma coia, centímetro. Quanto vale ea alguma coia? Podemo arricar valore tai como 0,03, 0,04 ou 0,05 em garantia de que alguma eja melhor que outra. É tão certo ecrever,73 cm como,75 cm, ma eria bom e houvee uma forma de eprear a noa dúvida. Valor verdadeiro de uma medida é uma abtração e é deconhecido na maioria da veze. Seria o reultado de uma medida perfeita, que não eite. O erro de uma medida é a diferença entre o valor da medida e o valor verdadeiro. Como não conhecemo o valor verdadeiro, o erro também é deconhecido. O melhor que abemo fazer ão etimativa. A incerteza de uma medida é uma etimativa de eu erro. A melhor etimativa para o valor verdadeiro de uma grandeza e ua repectiva incerteza podem er obtido e interpretado em termo da teoria de probabilidade. Eitem inúmero teto obre o aunto. Em particular recomendamo o livro Fundamento da Teoria de Erro, de J. H. Vuolo (199). No eemplo na figura 1, podemo dizer que na medida do tamanho da barra, entre,73 e,75 cm, o algarimo e 7 ão eato, enquanto 3, 4 ou 5 ão duvidoo. O algarimo certo mai o duvidoo ão todo algarimo ignificativo. Em,73 cm, o trê algarimo ão ignificativo endo e 7 certo ou eato e 3 incerto ou duvidoo. Não eria correto ecrever,735 fazendo uo da mema ecala. Io porque, e o 3 é duvidoo, o 5 perde totalmente o entido. Daí urge a regra: nunca ecreva uma medida com mai de um algarimo duvidoo, ou de outra forma, o último algarimo de uma medida é o duvidoo. RM-017-guia-incerteza-v4.doc. IFUSP-MHT

3 Queremo agora eprear a medida juntamente com a ua incerteza. De maneira geral, podemo adotar ea incerteza como endo igual o valor da metade da menor divião da mema. Portanto, a medida do comprimento da barra etará completa quando ecrevermo: L = (,73 ± 0,05) cm, ito é, L ± ΔL, onde ΔL é a incerteza na medida. Io ignifica que entre o valore de,68 cm a,78 cm, todo o valore intermediário repreentam a medida do comprimento da barra com alguma probabilidade. O valor de ΔL é a enibilidade ou precião do intrumento, ito é, o menor variação de valor que o intrumento é capaz de fornecer. O valor de L é definido pelo fabricante do intrumento coniderando a enibilidade e reprodutibilidade do intrumento e da calibração adotada. Note como ea definição é aplicada no cao da barra terminar eatamente obre uma divião da ecala, na figura. A incerteza não e altera e nee cao o zero à direita é um algarimo ignificativo duvidoo. Figura - L = (,50 ± 0,05) cm. Afirmamo que a incerteza da ecala é a metade da menor divião da ecala. Ea não é uma regra rígida. Dependendo da familiarização do operador com a ecala e do maior ou menor epaçamento entre o traço de divião da ecala, outro valore poderão er tomado como incerteza na leitura. Na tabela 1, a eguir um memo valor foi ecrito com diferente número de algarimo ignificativo. O algarimo ignificativo mai a direta, em negrito, é o duvidoo. É obre ele que em geral incide noa incerteza. Tabela 1. Algarimo ignificativo X(m) ignificativo M1 = 57,846 5 M = 5, M3 = 5, M4 = 0, Cao M4, com apena um ignificativo foe convertido para milímetro, eria ecrito como M4 = mm (em notação científica), muito diferente de mm cujo valor tem cinco algarimo ignificativo. A regra de RM-017-guia-incerteza-v4.doc. IFUSP-MHT

4 arredondamento aqui uada foi arredondar o último dígito para cima cao o dígito poterior eja 5, mantendo-o cao contrário *. Um outro eemplo é ilutrado a eguir: Suponha que e deeje medir o tamanho do beouro na figura 3. Primeiramente preciamo definir como medir o tamanho de um bezouro: Figura 3. Medindo o tamanho de um beouro Supondo que o tamanho de um bezouro eja apena o de eu corpo em a perna: a) L = 1,5 0,1 cm b) L = 1,53 0,05 cm c) L = 1,55 0,05 d) L = 1,55 0,001 cm A medida na figura 3, agora depende da régua e do operador. Se coniderarmo omente a régua, b) L = 1,53 0,05 cm é a medida correta. Ma e julgarmo que o operador comete erro de alinhamento poderíamo dizer que a) L = 1,5 0,1 cm. Note que em c) L = 1,55 0,05 falta a unidade e em d) a incerteza foi claramente ubetimada. Para decidir entre a) e b) preciaremo de método etatítico. A incerteza é quem determina o número de algarimo ignificativo (e o número de caa decimai) uado na repreentação completa do reultado. Etatítica decritiva: Quando trabalhamo com vário reultado de uma medição em condiçõe de repetitividade, podemo uar método etatítico para reumir e conolidar a informaçõe obtida. Por eemplo, ao medir vária veze o tempo de queda de um corpo obtemo, em geral, um conjunto de medida cujo valore diferem entre i. Qual é o valor que melhor repreenta a medida do tempo de queda do corpo? Qual ua incerteza? Poderíamo uar apena uma medida e aociar lhe a incerteza do aparelho, como por eemplo, a metade da menor divião da ecala do cronômetro utilizado. Ma a incerteza da ecala do cronômetro decreve apena o erro cronômetro (o erro aleatório, de eu mecanimo por eemplo e o itemático como o decorrente de ua calibração contra um padrão mai eato). Portanto, a incerteza da ecala de um cronômetro não cobre a incerteza do proceo de medição (reação do operador, leitura da ecala, etc.). Como determinar a incerteza de uma medida? * Eitem outra regra de arredondamento, mai complicada, um pouco mai precia, ma nenhuma é eata. A regra aqui propota é também uada pela maioria da calculadora e algoritmo em computadore. RM-017-guia-incerteza-v4.doc. IFUSP-MHT

5 Podemo medir vária veze a mema grandeza e calcular ua média (aritmética) dada pela equação 3.1. A média é a melhor etimativa do valor mai provável de um conjunto de medida. A média aritmética é o reultado que mai e aproima do valor mai provável de uma medição (o valor mai provável tende ao valor verdadeiro apó infinita mediçõe). É por io que uamo a média aritmética de ua nota para repreentar eu rendimento na diciplina. Média de n medida 1 n A título de eemplo, uamo o cronômetro de um celular para medir o tempo de queda de um corpo, conforme motrado no quadro 1. A incerteza nominal do cronômetro foi de 0,05. Quadro 1: Tempo de queda de um corpo (). O valore anotado eguem a precião do cronômetro, ±0,05. 4,5 3,83 4,0 4,06 3,70 3,88 3,56 4,99 3,81 4,06 n i (1) A média da medida vale t 4, 04. Podemo viualizar melhor a medida e ua diperão em torno da média no diagrama na Figura ,04 Figura 4. Tempo medido num cronômetro e a média. Note a diperão da medida em torno da média. Como calcular ea diperão? Uma primeira tentativa é calcular a ditância de cada ponto à média: 1 diperão ti t () n Infelizmente o reultado de () é nulo! (prove io). Para evitar o reultado nulo poderíamo calcular a média do módulo da diferença, ma por vária razõe que você verá em eu curo de etatítica, uamo a média do devio Supondo uma amotra aleatória imple de uma população normalmente ditribuída. RM-017-guia-incerteza-v4.doc. IFUSP-MHT

6 quadrático. A equação 3. fornece a etimativa do devio padrão de n medida do tempo de queda do corpo, também chamada devio padrão da amotra. Devio padrão de uma 1 (3) n 1 t t amotra: i 0, 4 n O devio padrão não é eatamente a média de n valore, ( t i t ) porque ao introduzir a média do tempo t em (3) o enéimo termo do omatório é conhecido a priori, poi pode er calculado de forma eata com a (n-1) medida e a média fornecida. Portanto perdemo 1 grau de liberdade e temo (n-1) valore independente no omatório. No limite, a equação (3) tende ao devio padrão: Devio Padrão da população: Lim (4) n O Devio Padrão é uma medida da diperão de noa medida. No cao de medida aleatória, o intervalo definido por ± 1 devio padrão contém 68,3% da medida. Trê devio padrão compreendem 99,5% da medida, como motrado na figura 5. O devio padrão da 10 medida com o cronômetro vale = 0, ± 1 ± 3 4,04 Figura 5. Tempo medido num cronômetro, a média e o intervalo definido por um e trê devio padrão. Note que aproimadamente 7 medida (70%) etão dentro do intervalo de ± 1, que é compatível com a probabilidade mencionada no teto. Afirmamo inicialmente que o cronômetro utilizado tinha precião de 0,05, o que no levou ecrever a primeira medida: t 4,5 0, Ea é uma notação que eprea a medida (4,5) ua incerteza (0,05) e a unidade (). No Quadro 1 implificamo a notação citando a incerteza e a unidade na legenda. RM-017-guia-incerteza-v4.doc. IFUSP-MHT

7 Verificamo que a incerteza do noo eperimento ( = 0,4 ) é muito maior que a incerteza do cronômetro. São dua grandeza diferente. Temo que compor a incerteza do cronômetro (ecala, calibração, etc.) com a incerteza do noo eperimento. A conta é feita omando a incerteza quadrática: total (5) intrumento eperimental total aparece em algun teto como erro padrão ou devio padrão etendido. Para eprear o reultado da primeira medida (t 1 = 4,5 ) e eu devio padrão ( = 0,4 ) ecrevemo t 4,5 0, 4. 1 onde cuidamo de truncar e arrendondar o valore para que a incerteza tenha apena UM algarimo ignificativo. Ficou claro que podemo uar a notação ( ± ) ma convém eplicar o que ignificam e. Utilizamo um intrumento muito precio para uma medida muito incerta. Um alerta: Um proceo de medida em geral inclui a incerteza etatítica do() intrumento() ma não inclui a() incerteza() de calibração, que depende(m) de aferiçõe eterna ao proceo. Com a 10 medida, calculamo uma média que upomo er mai precia que cada medida individual. A incerteza da média poderia er determinada realizando vário conjunto com n=10 medida, obtendo vária média, calculando a média da média e a etimativa do devio padrão da média uando a equação (3). Uma trabalheira! Felizmente a teoria etatítica no ajuda e permite prever o reultado, com apena um conjunto de medida, dado pela equação 6. Etimativa do devio padrão da média m (6) n Aim, m 0,4 / 10 0, 13. Podemo agora ecrever a média da medida e eu repectivo devio padrão da média, 0,13. Truncando e ajutando o ignificativo temo: t 4,0 0, 1. Ee último reultado motra que noo eforço valeu a pena. Fizemo 10 medida, obtivemo uma média mai precia que cada medida individual e RM-017-guia-incerteza-v4.doc. IFUSP-MHT

8 etimamo o devio padrão do noo eperimento. Se ao invé de 10, tivéemo feito 100 medida, o devio padrão eria aproimadamente o memo, poi é uma caracterítica do proceo de medição, ma o devio padrão da média valeria m, 100 0, 04. Note, que no Quadro 1, regitramo corretamente a medida com a precião do cronômetro. A média e a etimativa de devio padrão e devio padrão da média foram calculado poteriormente e uado para repreentar o reultado finai corretamente. Significativo: Citando Vuolo, 199: Não eite uma regra bem definida para o número de dígito ignificativo no devio padrão. Em noo trabalho uaremo apena UM ignificativo para eprear o devio padrão, lembrando que eitem outra regra, mai detalhada. Cao eja neceário um tratamento mai rigoroo, ugiro conultar o livro do Prof. Vuolo, (Vuolo, 199). Tabela 3. Epreão de medida com incerteza notação errada notação correta 5,30 0,057 5,30 0,06 14,5 ± 11 (13 ± 1) 10 0,0000 ± 0, (,00 ± 0,05) ±,610 1 (45 ± 3) 10 1 Note que uamo potência de dez para eprear medida com o número correto de ignificativo. Cuidado para não confundir caa decimai com dígito ignificativo. Zero á direita ão ignificativo. Cálculo intermediário: para evitar carregar erro de arredonadamento é comum ecrever o reultado intermediário com 1 algarimo ignificativo em eceo, para truncar e arredondar apena o reultado finai. Propagação de incerteza: Muita veze uamo o valor de uma medição numa equação para determinar uma outra grandeza. Como calcular (propagar) a incerteza do novo reultado? Trataremo aqui do cao mai imple envolvendo a quatro operaçõe e upondo que toda a incerteza envolvida ão independente Dado e com e Linearmente Independente: RM-017-guia-incerteza-v4.doc. IFUSP-MHT

9 RM-017-guia-incerteza-v4.doc. IFUSP-MHT a) Soma ou ubtração: ou b) Multiplicação ou divião por contante A A c) Multiplicação ou divião ou d) Potência m m Na oma ou ubtração omam-e a incerteza quadrática. Na multiplicação ou divião omam-e a incerteza relativa ao quadrado. Uma fórmula geral pode er ecrita para grandeza independente entre i, (viualize uma oma de cateto em n dimenõe) (Vuolo, 199, Tabacnik, 014)... z w z (7) Você preciará dea equação para propagar a incerteza da medida de queda livre para tempo, na eperiência do Refleo Motor. Veja abaio a aplicação num eemplo imple. Note que na ubtração o valor da incerteza aumentou.

10 a = b = 1 ± 3 cm 5 ± cm c = a b = 7 ± 4 cm c c c c a a b 1 1 a b c , 6 cm b Repreentação gráfica e tabela. Já abemo eprear incerteza quando ecrevemo o reultado de uma medida. Num gráfico podemo eprear a incerteza de cada ponto eperimental na forma de uma barra vertical (ou horizontal) que repreentará o intervalo de confiança (±) definido pela incerteza da grandeza. Veja o eemplo a eguir em que o dado da tabela 4. foram graficado na Figura 7. Tabela 4. Epaço e velocidade de um corpo. n ± 0,05 (m) v (m/) 1 4,61 1,8±0, 6,90,7±0,8 3 11,13 4 ± 1 4 0,60 10 ± 3 Oberve a formatação da tabela. Dua linha horizontai definem a barra de título. Uma última linha horizontal delimita o fim da tabela. A unidade acompanham a definição da grandeza. Quando a incerteza é contante numa coluna ela pode er colocada no título. Na coluna 3, cada valor tem a ua incerteza. Não há linha verticai. A repreentação gráfica deve er limpa. Na figura 6 motramo um eemplo de um gráfico bidimenional com uma reta ajutada. O gráfico deve ter eio bem definido, com unidade legívei e uma ecala interpolável (evite número quebrado, múltiplo de 3, etc.) O gráfico pode conter um quadro com o reultado do ajute. Mai detalhe e eemplo podem er encontrado em Tabacnik, (015). RM-017-guia-incerteza-v4.doc. IFUSP-MHT

11 Figura 6. Velocidade do corpo de prova. Referência: 1. Fíica Geral e Eperimental para Engenharia I - FEP 195 para Ecola Politécnica (003).. Vuolo, Joé Henrique. Fundamento da teoria de erro. Ed. Edgard Blücher, São Paulo, SP. a Ed Introdução à Medida em Fíica, Nota de aula, Intituto de Fíica da USP, (004). 4. Tabacnik, M.H. Introdução ao Tratamento de Reultado Eperimentai e Epreão da Incerteza, IFUSP, 015. Software: Eite grande variedade de programa para tratamento de dado, cálculo etatítico e gráfico: Dede programa tradicionai tai como Ecel, Open Office, Origin, Matemática, Mathlab até pequeno app, a maioria gratuito, que calculam vário parâmetro da etatítica decritiva. Ee programa podem facilitar muito ua vida no laboratório. Sugerimo que você tete e intale algun dee programa em eu computador (tablet ou celular) e aprenda a uá-lo de forma eficiente. Para itema android você pode eperimentar: CalcPM, uma calculadora científica que propaga incerteza e Decriptive Statitic, um app que calcula o principai parâmetro etatítico e faz gráfico imple. RM-017-guia-incerteza-v4.doc. IFUSP-MHT

12 Refleo motor para etímulo viual 1. Objetivo Medir o refleo motor para um etímulo viual ob diferente condiçõe.. Introdução Refleo motor é o tempo de reação para uma reação motora a um determinado etímulo eterno (viual, onoro, etc.). É uma grandeza que pode er deciiva em atividade eportiva, para um piloto de avião de caça, em corrida automobilítica, num vídeo-game, etc. O tempo médio de reação viual de uma peoa jovem audável varia entre 0,15 e 0,45. Ete é praticamente o tempo que o cérebro demora para receber um impulo nervoo gerado no olho e promover uma reação. O refleo motor (RM) para um etímulo viual pode er medido em dipoitivo dotado de um cronômetro eletrônico. Para o eu celular ou computador, eitem aplicativo que podem er uado para io. Outra forma, meno tecnológica, é uar uma régua milimetrada imple. Nee cao uaremo e equação horária do movimento uniformemente acelerado: a z z z0 v0t t (1) Dado um delocamento na régua z z z0 medido na direção vertical, podemo uar a equação (1) e calcular o tempo t correpondente. 3. Metodologia A tomada de dado dee eperimento deverá er feita em equipe com até 3 aluno, medindo o refleo motor de cada um do componente da equipe. A análie deverá er feita individualmente, ou eja cada aluno analiará o reultado de eu refleo motor. a) Utilize um aplicativo para computador e meça 5 veze o tempo de reação da mão direita. Repita o procedimento para a mão equerda. b) Com uma régua plática de 30 cm, prea em ua etremidade final (30cm) por um eperimentador deie a etremidade inferior (0 cm) eatamente entre o dedo polegar e indicador emi aberto da peoa que terá eu tempo de reação medido. Sem aviar, o eperimentador olta a régua enquanto eu companheiro deve fechar o dedo para egurá-la. Enaie o eperimento alguma veze e repita a medida 10 veze para a mão direita e para a mão equerda. RM-017-guia-incerteza-v4.doc. IFUSP-MHT

13 Figura 1 Medida do refleo motor uando uma régua milimetrada. ( c) Prepare uma tabela com o reultado de ua medida conforme o modelo no guia de trabalho. d) Deduza a converão de medida de ditância percorrida pela régua para tempo de reação. Deduza também a propagação da incerteza. Para aceleração da gravidade no IFUSP, ue g = 9,7864 0,0005 m Análie e dicuão Siga o guia de etudo. Calcule a média, devio padrão e devio padrão da média para cada conjunto de medida. Compare a incerteza intrumental com o devio padrão da medida (do proceo eperimental). Compare e comente a dependência do refleo motor para i) mão equerda e mão direita do memo indivíduo ii) entre o indivíduo que compõe ua equipe de trabalho iii) utilizando intrumento diferente (régua e o celular) RM-017-guia-incerteza-v4.doc. IFUSP-MHT