Matemática 1B. 2 Matemática e suas Tecnologias ENEM c O quipus da figura 2 representa o número 3 064, pois

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1 Matemática A. b No retângulo, o perímetro (medida do contorno) é dado pela soma das medidas dos seus lados. Então, nesse caso: perímetro (m + a) + x perímetro (m + a + x). a A área de um retângulo é determinada multiplicando-se a medida da sua base pela medida da sua altura: Área (m + a) x. c E 999 E ( + 999).( 999) E 999. E 999. d Multiplicando a medida da base pela medida da altura desse retângulo, temos: A (x + y + z) a, ou seja, A a (x + y + z) 5. d A área do quadro menor, cujo lado mede x, é x. Observe que a figura pode ser dividida em 9 quadrados de área x. Portanto: x 9 x 9 cm x cm x cm O valor, em cm, da medida x é 6. e B x + 7x + B ( x + x) + ( x+ ) B x( x+ ) + ( x+ ) B (x+ ). (x+ ) 7. d x. y (). y para qualquer y real. x x. y () x. para qualquer x real. y Matemática e suas Tecnologias Resoluções ENEM x. y () x. x y I. Falsa de () temos que y poderá ser qualquer número real, ou seja, poderá ser diferente de zero. II. Verdadeira de () temos que y poderá ser qualquer número real. III. Verdadeira de () temos que x poderá ser qualquer número real. Portanto, poderá ser igual a zero. IV. Verdadeira de () temos que x, necessariamente. 8. e Observe, abaixo, uma reprodução do esquema que representa a sala projetada e suas divisões. x Sabendo que x, podemos concluir que a sala foi dividida em dois quadrados diferentes (regiões sombreadas) e dois retângulos iguais e não quadrados (regiões não sombreadas). Portanto, é correto afirmar que a sala quadrada foi dividida em dois quadrados diferentes e dois retângulos iguais. 9. b Sendo (x + ) a medida do lado da figura quadrada que representa a sala, temos: Área total da figura (x + ) Área total da figura x + x + Área total da figura x + x +. a x + 9 x 5 x 5 ( x> ) Área (x + ) Área (5+ ) Área 9 x 5 x Matemática e suas Tecnologias ENEM

2 Matemática B. c O quipus da figura representa o número 6, pois Milhares Centena 6 Dezenas 6 Unidades a A B {Monera, Protista, Fungi } {Plantae, Animalia, Fungi } A B {Fungi } Sendo R {Monera, Protista, Fungi, Plantae, Animalia} o conjunto constituído por todos os reinos, tem-se: (A B) C R (A B) (A B) C {Monera, Protista, Fungi, Plantae, Animalia} {Fungi } (A B) C {Monera, Protista, Plantae, Animalia} Logo: (A B) C C {Monera, Protista, Plantae, Animalia} {Animalia, Protista, Fungi } (A B) C C {Monera, Plantae} Observe que: as bactérias pertencem ao reino Monera; as leveduras pertencem ao reino Fungi; as samambaias pertencem ao reino Plantae; os cogumelos pertencem ao reino Fungi; as algas microscópicas pertencem ao reino Protista; os caracóis pertencem ao reino Animalia; as esponjas pertencem ao reino Protista; os musgos pertencem ao reino Plantae. Portanto, da lista de indivíduos, os únicos que pertencem ao conjunto {Monera, Plantae} são: bactérias, musgo e samambaia.. b Pelo diagrama, 78 alunos responderam sim a ambas as perguntas e 8 responderam não a ambas as perguntas.. d O reino Fungi, na classificação de Whittaker, é subconjunto do reino Metaphyta, na classificação de Copeland. 5. e Observe que são racionais os seguintes números: , 6 6 7, No texto, é o único número irracional. 6. d Inicialmente, convém destacar que: X: conjunto dos paralelogramos; Y: conjunto dos retângulos; V: conjunto dos quadrados; W: conjunto dos quadriláteros convexos cujos lados têm medidas iguais, mas as diagonais têm medidas diferentes. Isto é, W é o conjunto dos losangos que não são quadrados. Além disso: Todo quadrado é um retângulo, ou seja, V Y. Todo retângulo é um paralelogramo, ou seja, Y X. Todo quadrilátero convexo cujos lados têm medidas iguais (equilátero), mas as diagonais têm medidas diferentes é um paralelogramo, mas não é um quadrado, nem um retângulo, ou seja, W X, W Y e W V. Vamos analisar as afirmativas: a) Falsa Todo losango é um paralelogramo: W X. Todo quadrado é um retângulo: V Y. Logo, Y V V. b) Falsa Da afirmação anterior, tem-se Y V V. Porém, V W, pois quadrados possuem diagonais congruentes. c) Falsa Todo retângulo possui diagonais congruentes: Y W. d) Verdadeira Se um retângulo possuir lados iguais, será denominado quadrado. Como qualquer quadrado possui diagonais congruentes, pode-se corretamente concluir que nenhum retângulo que possua lados iguais terá diagonais com medidas diferentes. Portanto: Y W { }. 7. d a) Falsa Observe que, por exemplo,.. 9 I. b) Falsa Observe que, por exemplo, ( ) + I. c) Falsa Observe que, por exemplo, os números e são irracionais, de modo que < < e < <. d) Verdadeira a b Se a e b são números racionais, então c + é racional e a < c < b. e) Falsa Observe que, por exemplo, ( ) ( ) + 8. b a) Falsa Considere os números irracionais ( + ) e ( ). Observe que ( + ) + ( ) I. b) Verdadeira Se a é um número racional e b é um número irracional, então a diferença (a b) é irracional. Note que se ocorresse a b c, com c racional, então o número irracional b seria igual à diferença entre os racionais a e c (b a c). Mas isso é contraditório, pois a diferença entre dois números racionais é sempre um número racional. Portanto, conclui-se que a diferença entre um número racional e um irracional resulta sempre em um irracional. c) Falsa Pode-se considerar como contraexemplo: I. d) Falsa Considere os números irracionais e 8, e observe que. 8 6 I. Matemática e suas Tecnologias ENEM

3 ENEM e) Falsa Considere o número irracional e observe que ( ) I. 9. c As informações podem ser organizadas por meio da seguinte ilustração: V A M As pessoas que não têm automóveis podem ou não ter motos. Nenhuma pessoa que tem menos de anos pode ter automóveis. d Se todo matemático é cientista, necessariamente, M C. Se alguns matemáticos são professores, necessariamente, M P. Além disso, também garante-se a veracidade de C P e ( M P) C. Entretanto, a partir das duas premissas não se pode garantir que P M. Observe uma possível ilustração que pode ser esboçada a partir da veracidade das duas premissas: Pode-se observar que: As pessoas que não têm automóvel podem ou não ter menos de anos. As pessoas que não têm moto podem ou não ter mais de anos. As pessoas que não têm mais de anos não podem ter automóveis. C M P Matemática C. a Considerando E(I) o valor cobrado pela primeira empresa, para a construção de n km de rodovia, e E(II), o valor cobrado pela segunda empresa: E(I) n + 5 E(II) n + 5 E(I) E(II) n + 5 n + 5 n + 5 n + 5. b A pessoa, que comprava n unidades do produto ao preço unitário de R$,, passou a gastar R$ 6, a mais para comprar (n ) unidades do mesmo produto ao preço unitário de R$, (preço unitário aumentado de %), donde segue que: (n ) n + 6 n 5 Portanto, a pessoa leva sempre reais (R$ 56,). e Considerando que Diofanto viveu x anos: x x x x x x x x x x *( mmc( 6; ; 7 ; ) 8) 6 7 x + 7x+ x+ x x x x x x 8 Diofanto viveu 8 anos.. c x porções de g desse arroz contêm,5 x mg de ferro e x mg de zinco. y porções de g desse feijão contêm 7 y mg de ferro e y mg de zinco. De acordo com as necessidades diárias (,5 mg de ferro e mg de zinco): 5, x+ 7y 5, () x+ y (-) x 5, 6x+ 8y 9 6x 9y y A pessoa deverá comer, diariamente,,5 g 5 g de arroz e g g de feijão. 5. d A taxa deve ser paga apenas ao final do primeiro mês no imóvel. No primeiro mês: mensalidade + taxa 9 taxa 9 mensalidade Em meses: mensalidades 65 mensalidades mensalidade reais Portanto, taxa reais 6. e O número natural N tem exatamente (x + ) (y + ) (z + ) divisores positivos, e um total de (x + ) (y + ) (z + ) divisores. Considerando apenas os divisores diferentes de N, são (x + ) (y + ) (z + ) divisores positivos e, no total, (x + ) (y + ) (z + ) divisores. Nesse problema, foram considerados apenas os divisores naturais do natural N, pois em nenhuma das alternativas foi indicado o número total de divisores de N, diferentes de N. Portanto, de acordo com as opções apresentadas, a resposta é (x + ) (y + ) (z + ) 7. b Considerando que a empresa, em agosto, vendeu x colchões de solteiro e y colchões de casal, temos: x+ 8y 8 6 x y 5 + 6x+ 6y 6 x+ y x+ y 5 x+ y 5 x+ y ( ) x y 6 x 8 x8 Portanto, essa empresa vendeu, em agosto, 8 colchões de solteiro. Matemática e suas Tecnologias ENEM

4 8. d Vamos supor que o lado do ladrilho quadrado mede x cm e considerar as dimensões da sala em centímetros: 875 cm de comprimento e cm de largura. Se será utilizada uma quantidade inteira de ladrilhos, então existem os inteiros positivos k e n tal que kx 875 e nx, donde segue que x deve ser, necessariamente, um divisor comum de 875 e (pois k 875 e n são números inteiros). x x A quantidade de ladrilhos será mínima quando a medida do seu lado for máxima. Ou seja, quando x for o máximo divisor comum dos números 875 e : x mdc (875; ) mdc( 875; ) Não havendo perdas, serão utilizados, no mínimo, ladrilhos c Atendendo aos critérios para a distribuição de ingressos, vamos supor que x escolas receberão exatamente n ingressos para uma mesma sessão vespertina e y escolas receberão a mesma quantidade n de ingressos para a sessão noturna. Portanto: xe y n n Se x e y são quantidades de ingressos (números inteiros e positivos), então n é um divisor comum de e. O número de escolas escolhidas, x + y, será mínimo se for máxima a quantidade n de ingressos que cada uma receberá, ou seja, se n for o máximo divisor comum de e mdc( ; ). 5 8 x+ y Portanto, respeitando os critérios de distribuição dos ingressos, o número mínimo de escolas que podem ser escolhidas é 9.. a Maria iniciou o tratamento tomando os três remédios quando o relógio marcava t horas (horário desconhecido). Somando a esse horário os múltiplos de, descobrem-se os horários em que tomou o remédio A; os múltiplos positivos de 5, descobrem-se os horários em que tomou o remédio B; os múltiplos positivos de 6, descobrem-se os horários em que tomou o remédio C. Os três remédios eram, então, tomados juntos sempre que coincidiam os múltiplos de, 5 e 6, o que ocorreu pela primeira vez x horas após o início do tratamento. Logo, x é o menor múltiplo comum de, 5 e 6 x mmc (, 5, 6). 5 6 mmc ( ; 5; 6) Portanto, os remédios eram tomados simultaneamente a cada 6 horas e, em dias de tratamento, isso ocorreu exatamente. h vezes. 6 h Matemática D. e n n campos campos 555 km 555. m m 9 m. 9 m 9759 n campos 6. d desenho real Escala : 5 desenho real 5 5 real 8,5 m 85 cm 85 cm desenho 9 cm 5 real 6 m 6 cm 6 cm desenho cm 5 Deixando uma margem de cm em relação às bordas da folha, essa folha deverá ter dimensões mínimas de (9 + + ) cm cm por ( + + ) cm 6 cm, ou seja, cm x 6 cm. Matemática e suas Tecnologias ENEM. e Sejam CA e CR as capacidades do aquífero Guarani e do reservatório novo da SABESP, respectivamente. CA km. dm. 6 dm 7 7 CR milhões de litros. litros. dm CA. 6 dm 9 5,. CA,5 9 CR 7 CR. dm Portanto, a capacidade do aquífero Guarani é,5 9 vezes a capacidade do reservatório novo.. c Como b e d são diretamente proporcionais à resistência S, estes multiplicam a constante de proporcionalidade (k). Ou seja, S k b d 5. e,cm mm Razão : m mm 6. c maquete real Escala : 5 maquete real 5 5

5 ENEM Comprimento real 8 m 8 cm 8 cm maquete, cm 5 Largura real m cm cm desenho 8, cm 5 Portanto, na maquete, o comprimento e a largura deverão medir, respectivamente,, e,8 centímetros. 7. a Como b e d são diretamente proporcionais à resistência S, estes multiplicam a constante de proporcionalidade (k). Já x divide essa constante, pois a resistência S é inversamente proporcional ao quadrado da distância x entre os suportes da viga. Ou seja, S k b d... x 8. b Bacia não ecológica: 6 litos/ dia descargas / dia 5 litros / descarga Bacia ecológica: ( descargas / dia) x (6 litros / descarga) litros / dia Portanto, a economia diária será de 6 6 litros. 9. d Considere que a malha quadriculada é composta por quadrados cujos lados medem x u.c. (x unidades de comprimento). Árvore I: desenho 9x HI () 9xuc.. real HI () Matemática E. b 8. m elétron mpróton 7 8. m elétron,7. kg 7,7. kg m elétron 8 7,7. kg m elétron, 8. m,9. kg elétron. c N 5. N 5 N 5. c Perímetro (em centímetros): perímetro perímetro. ( 8) perímetro 6 6 é racional Área (em centímetros quadrados): Área (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) Área 9 Área 8 8 Área 7 7 é racional Os dois números são racionais. Árvore II: desenho 9x HII () 5x uc.. real HII () Árvore III: desenho 6x H( III) 9xuc.. real H( III) Árvore IV: desenho 5, x HIV ( ) 5x uc.. real HIV ( ) Árvore V: desenho 5, x HV ( ) 675xuc.. real HV ( ) Portanto, a árvore IV é a que tem a maior altura real.. e 5 g Carne :. pessoas 5, kg. 7, 5 kg pessoa copo Arroz :. pessoas 75, copos pessoas colheres Farofa :. pessoas colheres pessoa garrafa Vinho :. pessoas 5 garrafas 6 pessoas garrafa Cerveja :. pessoas 5 garrafas pessoas garrafa Espumante :. pessoas garrafas pessoas. d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (. ) O expoente da potência de base 6 é o número da casa. Ou seja, o número da casa era e 6 ( ) ( ) ( ) zeros 9 algarismos Logo, o número de algarismos que há, ao todo, no resultado de 6 é c ( ) ( ) 6 Matemática e suas Tecnologias ENEM 5

6 7. c ( ) ( + + ) x x. x x A x A x ( x ) ( x.. + ) x+. x ( ) ( ) ( ( ) ( + ) ( ) ( ).( ) A x. x ). x+. x x+. x A x x + Substituindo x por 8: A 8.( 8+ ) A 8. 5 A 8. a ( ) ( + ) x + x. x x A x A x.( x + ) ( x. ) ( x+ ).( x ) A x.( x + ).( x ). x ( x+ ).( x ) A x. x ( ) ( ) Substituindo x por 8: A 8 (8 ) A 8 6 A 8 9. d A 8 56 B ( ) 6 6 C < 56 < 5 B < A < C. d,... 8 A 7 + (, ) A A 7 + A + A + A 6 Matemática e suas Tecnologias ENEM