CAPíTULO 5. Superfícies em 3

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1 CAPíTULO 5 Superfícies em 3 Vamos agora estudar propriedades geométricas das superfícies em 3. Alguns dos conceitos desenvolvidos para curvas têm análogos neste contexto, tendo em conta a passagem da dimensão 1 para a dimensão 2. Assim, por exemplo, em vez de comprimento, temos áreas, em vez de rectas tangentes temos um plano tangente, etc Mapas regulares Tal como no caso de curvas, convém distinguir uma superfície, ou seja um conjunto bidimensional (num sentido que introduzimos adiante) da função que a parametriza. Assim, um mapa será uma função de dois parâmetros que define um subconjunto bidimensional no espaço euclideano n, enquanto uma superfície em n será a imagem de um certo mapa. Vamos focar-nos no estudo de superfícies em 3, por ser o caso mais simples, e por termos à nossa disposição várias ferramentas de cálculo a várias variáveis, como por exemplo, o produto externo de vectores. Para os parâmetros vamos usar as letras s, t, e vamos considerar funções φ = φ(s, t) com φ : U 2 n (tipicamente, n = 3). As propriedades geométricas da imagem φ(u) em n podem ser estudadas a partir das derivadas de φ, pelo que vamos considerar subconjuntos abertos e conexos U 2, aos quais, para abreviar, chamamos regiões. DEFINIÇÃO Uma região U 2 é um conjunto aberto, conexo e não vazio. Uma aplicação φ : U n, definida na região U diz-se diferenciável se existem, e são contínuas, as derivadas de todas as ordens em todos os pontos (s, t) U. Notação As coordenadas de φ são escritas como: φ(s, t) = (x(s, t), y(s, t), z(s, t)). A derivada de φ : U 2 3 no ponto u =(s, t), pode ser escrita como matriz, que denotaremos por D u φ com 3 linhas e 2 colunas. Pela convenção usual, cada linha corresponde a um gradiente, e cada coluna a uma derivada direccional: 1 x x s t D u φ = y y s t = = φ φ s t. z s z t u x u y u z O vector φ t, o produto externo das colunas de D uφ, está bem definido em 3, para qualquer dos pontos u =(s, t) U. A seguinte definição de mapa regular é o conceito análogo, para dimensão 2, da noção de caminho regular. s φ 1 Naturalmente, quando não explicitamente indicado, as derivadas devem ser calculadas no ponto u =(s, t) 53

2 54 5. SUPERFÍCIES EM 3 DEFINIÇÃO Seja U 2 uma região. Um mapa regular é uma aplicação diferenciável φ : U 3, tal que o vector φ s φ não se anula (em nenhum ponto de U). t OBSERVAÇÃO Tal como um caminho γ : [a, b] n define uma curva, a sua imagem γ([a, b]) n, um mapa regular φ : U 3 define uma superfície. Convém, como no caso das curvas, distinguir os casos em que o mapa φ não é injectivo, porque correspondem a superfícies que se auto-intersectam. EXEMPLO (1) O plano π = {ax + by + cz = d} pode ser parametrizado de duas formas naturais. (i) Com 2 vectores tangentes geradores, e um ponto de π: φ(s, t) =p 0 + sv 1 + tv 2 (ii) Escrevendo uma das variáveis em função das outras duas, que se tomam como os próprios parâmetros. (2) A esfera em coordenadas esféricas: note-se que não é regular nos 2 pólos. A inversa da projecção estereográfica é regular, mas não atinge o pólo norte. Uma classe bastante geral de mapas regulares obtém-se como gráficos de funções. EXERCÍCIO (Gráficos de funções) Mostre que um gráfico de uma função diferenciável f : U corresponde sempre a um mapa regular. Há também casos de objectos bidimensionais que não são imagem de mapas regulares. EXEMPLO O cone z 2 = x 2 + y Relação entre mapas regulares e caminhos regulares. Tal como no caso dos caminhos, os vectores φ = φ s s e φ = φ t t são tangentes à imagem φ(u) 3. De facto, qualquer mapa regular define uma infinidade de caminhos-s e caminhos-t: σ t (s) := φ(s, t), τ s (t) := φ(s, t). PROPOSIÇÃO Dado um mapa regular φ : U 3,eu =(s, t) U, os caminhos σ t e τ s definidos acima, são caminhos regulares. DEMONSTRAÇÃO. É uma verificação elementar, uma vez que ambos σ t = φ s e τ s = φ t não se anulam (caso contrário φ s φ t = 0). Note-se que, para cada s fixo, o parâmetro t deve pertencer a um intervalo de tal forma que (s, t) U, o que é certamente possível pois há um disco aberto em U, centrado em (s, t) Plano tangente e vector normal. Seja φ : U 3 um mapa regular. Para simplificar, assumimos que o aberto U 2 contém a origem 0, e seja φ(0)=p 3. Pela fórmula de Taylor, para vectores u U temos: φ(u)=p + D 0 φu + O( u 2 ), pelo que {p + D 0 φu : u 2 } é o plano que melhor aproxima φ(u) perto de p, a nível infinitesimal. Chamamos-lhe o plano tangente a φ(u) em p φ(u) e denotamo-lo por T p φ(u) DEFINIÇÃO Seja φ : U 2 3 um mapa regular. O plano tangente a φ(u) em p φ(a) é dado por T p φ(u) := p + D a φu : u 2 Mais interessante é que, para um mapa regular temos também a noção de vector normal.

3 PROPOSIÇÃO O vector φ s φ t DEMONSTRAÇÃO. O vector φ anula. Assim, é normal a φ(u) SUPERFÍCIES REGULARES 55 s φ t é perpendicular ao plano tangente. é o produto exterior de 2 vectores tangentes e não se Área de um mapa regular. Tal como definimos comprimento de um caminho, vamos definir área de um mapa. DEFINIÇÃO Sendo φ : U 3 um mapa regular, a área de φ é definida por A(φ) := φ ds d t. U s φ t EXEMPLO (1) Coordenadas esféricas e a área de um oitavo de esfera. (2) Área de parte de um cilindro. PROPOSIÇÃO A área é independente da parametrização. DEMONSTRAÇÃO. Segue da fórmula de mudança de variável. Ver o exercício... Desta forma, podemos dizer que a área é uma grandeza associada ao conjunto φ(u) 3 e não apenas à função φ. Outra questão importante é que a totalidade da esfera não pode ser obtida como a imagem de um mapa regular!! (Tente descobrir porquê!) Este tipo de dificuldade não apareceu no estudo das curvas: qualquer curva fechada (tal como as circunferências, elípses, etc) é obtida como imagem de um caminho regular Superfícies regulares Como vimos, há mapas que não são injectivos ou que têm singularidades. Por outro lado, há superfícies, como a esfera, que não podem ser definidas na sua totalidade, como a imagem de um único mapa regular. Vamos então definir superfícies regulares como imagem de um ou vários mapas regulares que se colam de forma adequada e sem singularidades. DEFINIÇÃO Uma superfície elementar em 3 é a imagem de um mapa regular injectivo φ : U 3. Léxico Usamos o conceito de parametrização da mesma forma que no caso das curvas. Dizemos que o mapa φ parametriza a superfície φ(u) 3, ou que φ(u) é parametrizada por φ. EXERCÍCIO Mostre que qualquer gráfico de uma função diferenciável f : U é uma superfície elementar. Dê um exemplo de uma superfície elementar que não é um gráfico! EXEMPLO O cone não é uma superfície elementar. A esfera não é uma superfície elementar! Tal como no caso das curvas, para cada superfície existem inúmeras formas diferentes de parametrzar uma superfície. Por exemplo, até no caso simples da esfera temos várias parametrizações naturais. EXEMPLO A esfera dada por 2 projecções estereográficas, ou por 6 projecções coordenadas. Como há muitas superfícies importantes que não são elementares, a definição de superfície regular deve incluir estes casos. Fazemos então a seguinte definição.

4 56 5. SUPERFÍCIES EM 3 DEFINIÇÃO Um subconjunto S 3 diz-se uma superfície regular se para qualquer ponto p S existe uma vizinhança V de p S, tal que S V é uma superfície elementar. EXEMPLO Há mapas regulares que não definem superfícies regulares. Por exemplo, o caso em que φ não é injectivo. PROPOSIÇÃO Um mapa regular φ define uma superfície regular, se é injectivo. DEMONSTRAÇÃO.... No exercício 5.2.2, vimos que um gráfico define uma superfície (elementar). Reciprocamente, não é muito difícil verificar que, localmente uma superfície coincide sempre com o gráfico de uma dada função. Deixamos ao leitor a tarefa de tornar esta afirmação precisa e de a verificar Superfícies de nível. O problema com a definição de superfície regular S é que podemos, em princípio, necessitar de uma infinidade (numerável ou não!) de mapas para cobrir S. No entanto, em muitos casos práticos, conseguimos escolher parametrizações com apenas um ou dois mapas. Por outro lado, temos um outro critério baseado na existência de funções definidas implicitamente, o que nos leva à noção de superfície de nível. DEFINIÇÃO Seja V um aberto em n e F : V m diferenciável. Diz-se que p V é um ponto regular para F se a transformação linear D p F tem característica máxima. Caso contrário p diz-se ponto singular para F. EXEMPLO (O caso m = 1) Um ponto p V n é regular para F : V, se o gradiente p F não se anula. PROPOSIÇÃO Seja F : V 3 uma função diferenciável, e p F 1 (0) V um ponto regular para F. Então existe uma vizinhança W de p tal que é uma superfície elementar. F 1 (0) W = {p 3 : F(p) =0} DEMONSTRAÇÃO. Seja p 0 =(x 0, y 0, z 0 ) V ponto regular, com F(p 0 )=0. Então F 0 em p 0 e podemos assumir, sem perda de generalidade que F z (p 0) 0. Pelo teorema da função implícita, existem vizinhanças W de p 0 e U em 2 e uma função g : U (a função implícita) tais que F 1 (0) W = {(x, y, g(x, y))}. Ou seja, z = g(x, y) é equivalente a (x, y, z) F 1 (0) para todo (x, y, z) W (e podemos tomar U = π 3 (V )). Além disso g é diferenciável e g(x 0, y 0 )=z 0. Finalmente, definindo φ(s, t) = (s, t, g(s, t)), φ : U 3 temos que φ(u)=f 1 (0) W, com φ s φ t (p 0) 0. Assim, F 1 (0) W é uma superfície elementar. COROLÁRIO Seja F : V 3 diferenciável de forma a que todos os pontos de F 1 (0) sejam regulares. Então S := F 1 (0) é uma superfície regular simples, e p F é um vector normal a S em p. DEMONSTRAÇÃO. A primeira afirmação segue da proposição anterior, notando que a superfície que se obtém é parametrizada localmente por mapas injectivos. A segunda verifica-se considerando a função F φ : U dada por: F φ(s, t) =F(s, t, g(s, t)) 0.

5 5.3. AS FORMAS FUNDAMENTAIS DE UM MAPA 57 Derivando esta função constante obtemos: ( φ(u) F) D u φ =[ F x F y F ] z φ s φ t =[0, 0], o que implica que p F é ortogonal a ambos os vectores tangentes φ s = φ s Léxico Se F : V é uma função diferenciável, e p S := F 1 (0) verifica p F 0, então F chama-se uma função definidora de S em p. e φ t = φ t As formas fundamentais de um mapa Seja φ : U 3 um mapa regular e S = φ(u) a superfície que ele define. Ao contrário do que acontecia com curvas, que sempre podem ser parametrizadas por comprimento de arco, não existe sempre uma parametrização canónica ou natural de S: para uma dada superfície S, pode não existir nenhuma parametrização ψ de S na qual ψ s e ψ t formem um par de vectores ortonormados em todos os pontos (s, t). Por exemplo, este tipo de parametrizações existem para um plano e para um cilíndro, mas não existem para uma esfera! A forma de analisar esta obstrução está relacionada com uma das mais importantes noções em superfícies: o conceito de curvatura. Nesta secção, definimos as primeira e segunda formas fundamentais associadas a um mapa, instrumentos que permitirão o cálculo das várias curvaturas associadas a uma superfície, relação essa que é deixada para uma secção posterior. A palavra forma refere-se à expressão forma quadrática, que é equivalente à noção de produto interno num espaço vectorial. O espaço vectorial de que falamos é o espaço tangente à superfície S num dado ponto. Assim, estas formas quadráticas podem ser vistas como matrizes simétricas, quando temos uma base concreta do espaço tangente, ou como produto interno abstracto, na ausência de tal base explícita. Começamos por definir as formas fundamentais de um dado mapa. Assim, temos os vectores φ s e φ t que são linearmente independentes, quando φ é regular. DEFINIÇÃO Seja φ um mapa regular. A primeira forma fundamental de φ éa matriz: φs 2 φ g = g φ = s φ t φ t φ s φ t 2. A primeira forma fundamental é uma matriz simétrica, e invertível. PROPOSIÇÃO O determinante da primeira forma fundamental g φ, de um mapa regular φ, é não nulo. De facto: det g = φ s φ t 2. DEMONSTRAÇÃO. Segue da identidade φ s φ t 2 +(φ s φ t ) 2 = φ s 2 φ t 2, que por sua vez equivale a: sendo θ o ângulo entre φ s e φ t. φ s 2 φ t 2 sin 2 θ + φ s 2 φ t 2 cos 2 θ = φ s 2 φ t 2, EXEMPLO Cálculo da primeira forma fundamental da esfera em coordenadas naturais. Seja φ :]0, π[ [0, 2π] 3 a parametrização usual de uma esfera de raio R > 0: φ(s, t) := R(cos s cos t, cos s sin t, sin s).

6 58 5. SUPERFÍCIES EM 3 Temos e portanto φ s = R( sin s cos t, sin s sin t, cos s) φ t = R( cos s sin t, cos s cos t, 0) φ s 2 = R 2 (cos 2 s + sin 2 s)=r 2, φ t 2 = R 2 cos 2 s, φ t φ s = 0. Assim, a primeira forma fundamental é: g φ = R cos 2 s Estamos interessados em características das superfícies que sejam independentes da parametrização. Ou seja, queremos encontrar propriedades que não dependam do mapa φ, e que dependam apenas da superfície imagem φ(u). Infelizmente, ao contrário do caso das curvas, não há forma de encontrar uma parametrização natural para qualquer superfície. DEFINIÇÃO Seja S uma superfície e p S. Uma parametrização ortonormada em p é uma parametrização φ : U S que verifica g = I no ponto p, onde I é a matriz identidade (2 2). É um facto que a generalidade das superfícies não admite nenhuma parametrização ortonormada em todos os pontos: em geral, podemos apenas encontrar parametrizações ortogonais adaptadas a um único ponto. EXEMPLO Seja S uma superfície e p S. Mostre que existe uma parametrização φ, de S, ortonormada em p. Algumas propriedades, como a curvatura, dependem das segundas derivadas de φ, assim vamos usar os vectores: φ ss, φ st = φ ts, φ tt das segundas derivadas de φ em ordem às duas variáveis s, t. DEFINIÇÃO Seja φ um mapa regular. A segunda forma fundamental de φ éa matriz: φss n φ h = h φ = st n, φ ts n φ tt n onde n = φ s φ t é o vector normal unitária. φ s φ t Tal como a primeira, a segunda forma fundamental é simétrica, mas h não é necessariamente invertível. Com ela podemos determinar um invariante do mapa. DEFINIÇÃO Seja φ um mapa regular. O operador curvatura é: Q = Q φ = g 1 φ h φ eacurvatura escalar é K = detq = det h. As curvaturas principais são os valores próprios det g do operador curvatura. EXEMPLO (1) Cálculo de h,q e K para o mapa regular φ =(s, t, st). (2) Cálculo de h,q e K para o exemplo do cone: curvatura zero..

7 5.4. MÉTRICA E CURVATURA Métrica e Curvatura Na secção anterior aprendemos a calcular as primeira e segunda formas fundamentais de um dado mapa φ : U 3, bem como o operador curvatura e a curvatura escalar, como funções dos parâmetros (s, t) U 2. As noções de curvatura foram definidas de forma ad hoc. Nesta secção, explicamos estas noções no contexto das próprias superfícies (e não da sua parametrização) e damos a sua interpretação geométrica, que serviu de motivação para as definições. Começamos pela definição de espaço tangente e de espaço normal a uma superfície num ponto (compare-se as definições dadas em e 5.1.9, para os mesmos conceitos relativos a um mapa regular). DEFINIÇÃO Seja S uma superfície e φ uma parametrização local em p S. O espaço tangente a S em p é o espaço vectorial, bidimensional, gerado por φ s e φ t (calculados no ponto p = φ(s 0, t 0 )). O espaço normal a S em p é o espaço vectorial unidimensional gerado por φ s φ t. Notação: O espaço tangente a S em p denota-se por T p S e o normal por N p S. Por conveniência na descrição da base de T p S vamos também escrever φ 1 := φ s e φ 2 := φ t. EXERCÍCIO É importante notar que a definição acima faz sentido. Por outras palavras, considere dois mapas φ e ψ que parametrizam a mesma superfície S e seja p S. Mostre que o espaço tangente, calculado usando φ, coincide com o que se calcula usando ψ, e que o mesmo se passa para o espaço normal. OBSERVAÇÃO Nas condições da definição, {φ 1, φ 2, φ 3 } (sendo φ 3 := φ 1 φ 2 = φ s φ t ) é uma base de 3. Uma vez que (φ 1, φ 2 ) é uma base de T p S, podemos escrever: v = aφ 1 + bφ 2, para a, b, univocamente determinados. Isto representa um isomorfismo ψ entre T p S e 2 que denotamos por: (5.4.1) v ψ(v)=u =(a, b) 2. LEMA Seja φ uma parametrização da superfície S = φ(u) com p S. O produto interno (em 3 ) entre v 1 e v 2, dois vectores em T p S é dado por onde u i = ψ(v i ) 2,i= 1, 2. v 1 v 2 = u t 1 g φu 2, DEMONSTRAÇÃO. Sejam u 1 =(a, b) e u 2 =(c, d). Então: v 1 v 2 = (aφ 1 + bφ 2 ) (cφ 1 + dφ 2 )=ac φ 1 2 +(ad + bc)φ 1 φ 2 + bd φ 2 2 = = a b φ 1 2 φ 1 φ 2 c φ 1 φ 2 φ 2 2 = u t d 1 g φu 2, como pretendido. Em alternativa podiamos ter verificado que o resultado é válido para v 1 = φ 1 e v 2 = φ 2 e usar a bilinearidade de ambos os lados da expressão. Desta forma, podemos dizer que a interpretação geométrica da primeira forma fundamental é a seguinte: g representa o produto interno no espaço tangente de S.

8 60 5. SUPERFÍCIES EM 3 É por esta razão que a primeira forma fundamental é também chamada a métrica de S. A interpretação geométrica da segunda forma fundamental (e do operador curvatura) é um pouco mais elaborada sendo, à partida, um conceito extrínseco - depende da forma como S está inserido em 3 - pois, como vimos, envolve o vector normal n em cada ponto p de uma superfície S. DEFINIÇÃO Seja S uma superfície e S 2 a esfera unitária. A aplicação S S 2 dada por p n é chamada a aplicação de Gauss. A interpretação da curvatura envolve as derivadas direccionais da aplicação de Gauss. Vamos introduzir a noção de derivada direccional. DEFINIÇÃO Sendo w : U 3 uma função diferenciável, a sua derivada direccional na direcção de v 3 é definida por: onde γ é uma curva em 3 com γ (0)=v. Dw(v)= d dt t=0(w γ)(t), EXERCÍCIO Mostre que, sendo u, w : U 3 duas funções diferenciáveis (u w) v = Du(v) w + u Dw(v). LEMA Sendo v um vector tangente a S em p (v T p S) temos Dn(v) T p S. DEMONSTRAÇÃO. Basta provar que Dn(v) é perpendicular a n. Como n 2 = n n é constante, temos: 0 = (n n) v = Dn(v) n + n Dn(v)=2Dn(v) n, pelo que Dn(v) n. O próximo resultado caracteriza a curvatura de uma curva em termos de D v n. PROPOSIÇÃO Seja S uma superfície regular e p S. Sendo n uma normal unitária e v um vector tangente a S em p, consideremos a curva Γ= S (n, v) obtida intersectando S com o plano contendo n e v. Sendo γ uma parametrização métrica de Γ com γ(0) =p, v = γ (0), temos: γ (0) n = v Dn(v) Em particular, a curvatura de Γ em p é κ = ±v Dn(v) DEMONSTRAÇÃO. Derivando em ordem a s a expressão γ (s) n(γ(s)) 0 temos então: γ (s) n(γ(s)) = γ (s) n (γ(s)) = γ (s) Dn(v), pelo que o resultado segue, calculando no ponto p (s = 0). Notamos agora que a normal n de S em p, coincide (a menos de sinal) com a normal n de Γ em p, porque a curva Γ está contida num plano! Assim, γ (0)=±κn e obtemos a fórmula para a curvatura: κ = κn n = ±γ (0) n = ±v Dn(v), como pretendido. DEFINIÇÃO A curvatura anterior, orientada de acordo com n, chama-se curvatura seccional de S no ponto p S, relativa ao plano (n, v).

9 5.4. MÉTRICA E CURVATURA 61 A proposição acima relaciona curvatura com a derivada da aplicação de Gauss. Assim, vamos definir fazer uma nova definição do operador curvatura como: Q : 2 2, Qu := ψ(dn(v)), em que, sendo u =(a, b) 2, temos v = ψ 1 (u) =aφ 1 + bφ 2 T p S, como na equação (5.4.1). Vamos agora determinar as representações da forma quadrática que determina a curvatura, ou seja (v, w) v Dn(w). PROPOSIÇÃO Sejam v 1, v 2 T p S, e φuma parametrização de S numa vizinhamça de p S. Temos então: v 1 D v2 n = u t 1 h φu 2, onde u i = ψ(v i ) 2. DEMONSTRAÇÃO. Seja L ij := φ i D φ j n, i = 1, 2. Temos apenas que mostrar que os L ij coincidem com os h ij, as entradas da segunda forma fundamental, uma vez que ψ(φ 1 )= (1, 0) e ψ(φ 2 ) = (0, 1), por definição do isomorfismo ψ. Verificam-se as fórmulas: φ i Dn(φ j )=φ ij n, onde φ 11 := φ ss, φ 12 := φ st e φ 22 := φ tt. De facto, por exemplo, a fórmula com i = 1, j = 2 resulta de 0 = d dt (φ s n) = d dt (φ 1 n) de forma análoga à demonstração da Proposição Assim, temos L ij = φ i Dn(φ j )=φ ij n = h ij como pretendido. A fórmula para vectores gerais segue da bilinearidade de ambos os membros. COROLÁRIO O operador curvatura é dado por Q = g 1 h, na base φ 1, φ 2, sendo φ uma parametrização arbitrária. DEMONSTRAÇÃO. De acordo com o Lemma 5.4.4, temos v 1 Dn(v 2 )=u t 1 g[ψ( Dn(v 2))] = u t 1 gqu 2 = u t 1 hu 2, sendo u i = ψ(v i ) 2. Assim, gq = h ou Q = g 1 h como pretendido. COROLÁRIO Numa base ortonormada, o operador curvatura é simétrico e coincide com a segunda forma fundamental. Assim, as curvaturas principais são números reais. Além disso, os espaços próprios do operados curvatura são ortogonais. DEMONSTRAÇÃO. De facto, numa base ortonormada de T p S, temos g = I, pelo que Q = h e é, portanto, simétrico. A segunda afirmação segue do teorema de diagonalização de matrizes simétricas. Assim, a interpretação geométrica do operador curvatura é a seguinte: Q é o operador associado à forma quadrática definida pela derivada da aplicação de Gauss Dn. PROPOSIÇÃO Sendo k 1 k 2 as curvaturas principais em p S, as curvaturas seccionais em p verificam k 1 k k 2.

10 62 5. SUPERFÍCIES EM 3 DEMONSTRAÇÃO. Sendo v = cos θe 1 + sin θe 2 unitário, com e 1, e 2 base ortonormada de T p S, correspondendo a base de vectores próprios de Q = h, temos: v t hv = v t Qv = v t (k 1 cos θ + k 2 sin θ)=k 1 cos 2 θ + k 2 sin 2 θ, donde as desigualdades seguem de imediato. DEFINIÇÃO Classificação dos pontos de uma superfície através da sua curvatura. Seja S uma superfície regular, p S e k 1 k 2 as suas curvaturas principais. Diz-se que p é: planar, se k 1 = k 2 = 0 umbílico, se k 1 = k 2 mas k 1 k 2 0 parabólico, se k 1 k 2 mas k 1 k 2 = 0 elíptico, se k 1 k 2 > 0 hiperbólico, se k 1 k 2 < 0 EXEMPLO (1) O plano. Se considerarmos φ(s, t) =v 0 + sv 1 + tv 2 com v 1, v 2 linearmente independentes, vemos que φ parametriza um plano. Temos φ 1 = v 1, φ 2 = v 2 eo vector normal n = φ 1 φ 2 φ 1 φ 2 = v 1 v 2 é uma constante. Assim, o operador curvatura anula-se v 1 v 2 porque Qu = ψ(dn(v)) = 0. Assim, k 1 = k 2 = 0 e todos os pontos são planares. (2) A métrica da esfera em coordenadas geográficas já foi calculada em 5.3.3: R 2 0 g φ = 0 R 2 cos 2. s Sendo a normal unitária igual a n = (cos s cos t, cos s sin t, sin s) e calculando: Obtemos a segunda forma fundamental: φ ss = R(cos s cos t, cos s sin t, sin s) φ st = R(sin s sin t, sin s cos t,0) φ tt = R(cos s cos t, cos s sin t, 0) h φ = R 0 0 R cos 2 s pelo que o operador curvatura é Q φ = g 1 φ h φ = 1 I (onde I é a matriz identidade). Assim R k 1 = k 2 = 1 R e a curvatura de Gauss é K = 1. Assim, todos os pontos são umbílicos (e R 2 elípticos). EXERCÍCIO Efectue os mesmos cálculos para um elipsóide, parabolóide, hiperbolóide, cone e cilíndro. DEFINIÇÃO Seja p S um ponto não planar nem umbílico. As direcções principais são as direcções dos espaços próprios do operador curvatura Q. PROPOSIÇÃO As direcções principais são ortogonais Isometrias e o Teorema de Gauss A noção de isometria entre superfícies generaliza o conceito de isometrias do plano, e é um dos aspectos essenciais da teoria das superfícies. Começamos por definir isometrias entre mapas regulares. DEFINIÇÃO Sejam φ, φ : U 3 mapas regulares. Dizemos que φ e φ são isométricos se as suas primeiras formas fundamentais coincidem: g φ = g φ.,

11 5.5. ISOMETRIAS E O TEOREMA DE GAUSS 63 OBSERVAÇÃO Na definição acima, considerámos que o espaço dos parâmetros U era o mesmo para φ e para φ. Caso tenhamos mapas definidos em regiões diferentes φ : U 3 e φ : U 3, para usar esta definição, devemos primeiro considerar um difeomorfismo ψ : U U e verificar se φ e φ ψ são isométricos, ou seja: g φ = g φ ψ. A definição de uma isometria em geral é mais difícil devido à necessidade de considerar superfícies que não são elementares (não podem ser parametrizadas por um único mapa). Recorde-se que uma superfície regular S 3 é localmente parametrizada por um mapa regular e injectivo. DEFINIÇÃO Sejam S e S duas superfícies regulares. Dizemos que S e S são isométricas se existe uma função bijectiva F : S S (chamada isometria) tal que, para qualquer p S existe um mapa regular injectivo φ : U S com p φ(u) de forma a que φ e φ := F φ : U S são mapas isométricos. TEOREMA Se F : S S é uma isometria, e γ é uma curva em S, então o seu comprimento é igual ao comprimento da curva imagem F γ, isto é: C(γ)=C(F γ). DEMONSTRAÇÃO. Segue de um cálculo explícito. OBSERVAÇÃO Note-se que devido à injectividade, F pode ser obtida através da composição: F = φ φ 1. TEOREMA (Theorema Egregium de Gauss) A curvatura escalar é um invariante por isometria. Mais precisamente, se F : S S é uma isometria entre superfícies, então K(p) = K(F(p)). COROLÁRIO Sejam S = φ(u) es = φ (U) duas superfícies elementares. Se g φ = g φ, então K p = K p para qualquer ponto p, e p = φ φ 1 (p). A forma mais simples de mostrar o teorema de Gauss é usando o método de Cartan que descrevemos na próxima secção Mapas ortogonais e conformes. Apesar de não haverem, em geral, parametrizações canónicas de uma dada superfície, é comum encontrarmos parametrizações de tipos especiais. DEFINIÇÃO Um mapa ortogonal é um mapa φ : U 2 3 que verifica φ 1 φ 2 = 0 em todos os pontos de U. Um mapa conforme é um mapa ortogonal φ que verifica também φ 1 = φ 2. De forma equivalente, φ é ortogonal se a primeira forma fundamental g φ é diagonal e é conforme se g φ é escalar. EXEMPLO A anti-projecção estereográfica ψ : 2 S 2 \{N} é conforme. OBSERVAÇÃO As coordenadas u, v de uma parametrização conforme chamam-se isotérmicas. PROPOSIÇÃO Seja φ um mapa ortogonal. Então o operador curvatura Q é simétrico. DEMONSTRAÇÃO. Sendo φ ortogonal, a métrica g é escalar, e h é simétrico o que implica Q = g 1 h simétrico.

12 64 5. SUPERFÍCIES EM O método de Cartan O método de Cartan para estudar as superfícies usa de forma essencial a teoria das formas diferenciais em duas variáveis. Esta teoria é revista no Apêndice Triedros de Cartan. DEFINIÇÃO Um triedro ou referencial de Cartan é um referencial {e 1, e 2, e 3 } ortornormado em p S, de tal forma que T p S = e 1, e 2. EXEMPLO Dada um mapa ortogonal φ, temos o seguinte referencial de Cartan: e 1 = φ 1 φ 1, e 2 = φ 2 φ 2, n = φ 1 φ 2 φ 1 φ 2 = e 1 e 2. PROPOSIÇÃO Existem triedros de Cartan que variam C numa vizinhança de p. DEMONSTRAÇÃO. É uma consequência da ortogonalização de Gram-Schmidt e de que este processo é diferenciável. Assim, fazemos e 1 := φ 1 / φ 1, e finalmente e 3 := e 1 e 2. e 2 := φ 2 (φ 2 e 1 )e 1 φ 2 (φ 2 e 1 )e 1, DEFINIÇÃO As 1-formas de estrutura da parametrização φ : U S são dadas por: dφ = φ 1 ds+ φ 2 dt = e 1 χ 1 + e 2 χ 2. Por convenção, escrevemos χ 3 = 0. PROPOSIÇÃO Em termos das formas de Cartan, a métrica pode ser escrita como χ 2 1 +χ2 2. DEMONSTRAÇÃO. De facto, temos g = dφ 2 = φ 1 ds+ φ 2 dt 2 = = χ 1 e 1 + χ 2 e 2 2 = χ 2 1 e 1 e 1 + 2χ 1 χ 2 e 1 e 2 + χ 2 2 e 2 e 2 = = χ χ2 2, como pretendido. Desta forma, podemos dizer que a métrica se diagonaliza com as formas de Cartan. EXEMPLO No caso de uma parametrização ortogonal, φ 1 φ 2 = 0, tomamos simplesmente: χ 1 = φ 1 ds, χ 2 = φ 2 dt. PROPOSIÇÃO No caso de não termos uma parametrização ortogonal, podemos tomar: Note-se que χ 1 χ 2 = φ 1 φ 2 ds d t. χ 1 := φ 1 ds+ φ 1 φ 2 φ 1 χ 2 := φ 1 φ 2 φ 1 DEMONSTRAÇÃO. Reduz-se essencialmente a um cálculo de mudança de base. Deixa-se como exercício. dt dt

13 5.6. O MÉTODO DE CARTAN 65 DEFINIÇÃO As 1-formas de conexão ψ ij (relativas ao referencial móvel e i ) são dadas por: 3 de i = ψ ij e j, onde i {1, 2, 3}. LEMA Temos ψ ij + ψ ji = 0. j=1 DEMONSTRAÇÃO. Basta calcular 0 = d(e i e k )=de i e k + e i de k = como queriamos mostrar. 3 3 ψ ij e j e k + ψ kj e i e j = ψ ik + ψ ki, j=1 j=1 PROPOSIÇÃO O operador curvatura Q na base ortonormada (e 1, e 2 ) é dado por Q = h =[h ij ] i, j=1,2 onde: ψ13 h11 h = 12 χ1. ψ 23 h 21 h 22 χ 2 DEMONSTRAÇÃO. Sendo base ortonormada, o operador curvatura Q coincide com a segunda forma fundamental h. Temos de 3 = ψ 31 e 1 + ψ 32 e 2, logo de 3 e 1 = ψ 31 = de 1 e 3 = de 1 n = (φ 11 n)ds (φ 12 n)dt, onde φ é uma parametrização escolhida para ter φ 1 = e 1, φ 1 = e 2 (χ 1 = ds, χ 2 = dt). Para ψ 23 = ψ 32 é análogo. TEOREMA (Equações de Cartan) As formas de Cartan verificam: dχ i = ψ ij χ j para todo i, j {1, 2, 3}. dψ ij = j ψ ik ψ kj, DEMONSTRAÇÃO. Pelas propriedades da derivada exterior temos: k 0 = d(dφ)=d(e 1 χ 1 + e 2 χ 2 )=de 1 χ 1 + de 2 χ 2 + e 1 dχ 1 + e 2 dχ 2 =...ψ ij Para a segunda fórmula usamos: 0 = d(de i )= Demonstração do Teorema de Gauss. O método de Cartan resulta numa demonstração bastante curta deste importante teorema. Vamos escrever da= χ 1 χ 2. Este é o elemento de área, uma vez que da= φ 1 φ 2 ds dt. TEOREMA A curvatura escalar é dada por a DEMONSTRAÇÃO. Sendo h = c dχ 2 )= deth χ 1 χ 2 = K da K da = dψ 12, b, temos dψ d 12 = ψ 13 ψ 32 =(aχ 1 + bχ 2 ) (cχ 1 +

14 66 5. SUPERFÍCIES EM 3 COROLÁRIO Teorema de Gauss egregium: A curvatura escalar ou curvatura de Gauss é invariante por isometria. DEMONSTRAÇÃO. Como ψ 12 apenas depende das funções que entram na definição de χ 1 e χ 2 e estas funções por sua vez não dependem da segunda forma fundamental, mas apenas da primeira (a métrica g), vemos que duas superfícies com a mesma primeira forma fundamental, ou seja isométricas (por definição), terão forçosamente a mesma curvatura escalar. Temos EXEMPLO Vamos examinar o caso de um toro (de revolução) parametrizado por φ(s, t) = ((2 + cos s) cos t, (2 + cos s) sin t, sin s). φ 1 = ( sin s cos t, sin s sin t, cos s) φ 2 = (2 + cos s)( sin t, cos t, 0), e verifica-se que é uma parametrização ortogonal (φ 1 φ 2 = 0). As normas são φ 1 = 1e φ 2 = 2 + cos s. Assim, a primeira forma fundamental é: 1 g = (2 + cos s) 2. Para calcular a segunda forma fundamental fazemos: φ 11 = ( cos s cos t, cos s sin t, sin s) φ 12 = φ 21 =(sin s sin t, sin s cos t,0) φ 22 = (2 + cos s)( cos t, sin t, 0), e n = φ 1 φ 2 =( cos s cos t, cos s sin t, sin s) φ 1 φ 2 φ 11 n = 1, φ 12 n = 0, φ 22 n = cos s(2 + cos s) h = 1 e o operador curvatura tem a forma: 1 1 Q = g 1 h = 1 (2+cos s) 2 pelo que a curvatura de Gauss é: Pelo método de Cartan obtemos: e derivando K = χ 1 = ds cos s(2 + cos s) cos s(2 + cos s) cos s (2 + cos s). χ 2 = (2 + cos s)dt, dχ 1 = 0 = ψ 12 χ 2 =(2 + cos s)ψ 12 dt dχ 2 = sin s ds dt = ψ 21 χ 1 = ψ 12 ds, donde concluímos que ψ 12 não tem componente em ds e que ψ 12 = sin s d t., = 1 cos s (2+cos s),