3.1 Equação da onda unidimensional: pequenas oscilações de uma corda

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1 3 A Equação da Onda 3 Equação da onda unidimensional: pequenas oscilações de uma corda Dedução do Modelo Matemático: Por corda entende-se um fio fino e fleível Supondo que, em estado de equilíbrio, a corda coincida com o eio-, nosso estudo limitar-se-á ao caso de pequenas oscilações transversais Por transversal designa-se a oscilação que se realiza em um plano que contém o eio- e no qual cada elemento da corda se desloca perpendicularmente eio- Representaremos por u(,t) o deslocamento transversal de cada ponto da corda no instante t a partir da sua posição de equilíbrio Fig 3 As seguintes hipóteses são necessárias para a fundamentação das considerações posteriores; (H) Todas as forças de atrito, tanto internas quanto eternas, não serão consideradas (H) A força gravitacional é pequena quando comparada com as tensões na corda (H3) As amplitudes u(,t) das oscilações e suas derivadas são pequenas, de modo que seus quadrados e produtos serão desprezados nos cálculos quando comparados com a unidade Par obtermos o modelo matemático analisaremos todas as forças atuando numa pequena seção da corda num certo instante t Supondo que o perfil da corda no instante t seja dado pela figura abaio, onde o segmento [, +] se deformou no arco de curva M M Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP

2 Fig3 O comprimento do arco M M no instante t é dado por Em virtude de (H3) obtem-se que u S d S Desse modo quando se estuda pequenas oscilações não há variação no comprimento do segmento [, +] De modo que, pela Lei de Hooke, pode-se concluir que a intensidade da tensão, T, em cada ponto, não varia com o tempo, ou seja, que a variação da tensão durante o movimento não é levada em conta em relação à tensão de equilíbrio T Aqui T é a tensão a qual está submetido o segmento [, +] na posição de equilíbrio É possível mostrar que a tensão T pode ser tomada como independente de, isto é, pode-se considera-la igual a tensão T De fato, as forças que atuam sobre o arco M M são as seguintes; F) As tensões T(), T(+) tangenciais a corda F) As forças eternas: uma força eterna poderia ser aplicada a qualquer ponto da corda em qualquer instante; alguns eemplos seriam: - gravidade: F(, t) mg - impulsos ao longo da corda em diferentes instantes de tempo F3) As forças de inércia: 3- forças de atrito: F(, t) u (, t), t Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP

3 3- forças restauradoras: F(, t) u(, t), 33- peso do segmento [, +]: F(, t) Peso ma ( ( ) ) u (, t) Como, por hipótese, o movimento é na direção perpendicular ao eio- e as forças eternas e de inércia também tem direção perpendicular a esse eio, deduz-se que o arco M M não possui aceleração na direção do eio-, isto é, a resultante das forças na direção do eio- é nula Então, representando por o ângulo agudo que a direção de T faz com o eio- no instante t, tem-se que T ( )cos ( ) T ( )cos( ) Da hipótese de serem pequenas as oscilações obtem-se que cos ( ) tg ( ) ( u ) tt Resultando que T ( ) T ( ) quaisquer que sejam os pontos da corda Assim T não depende de e será identificada com T para todo e todo t Vale a pena lembrar o Princípio de D Alembert: Num sistema material em movimento as forças nele aplicadas e as forças de inércia se equilibram A equação diferencial para pequenas oscilações de uma corda será deduzida mediante a aplicação desse princípio Para tanto serão eplicitadas as forças que atuam na corda Viu-se que, devido as condições impostas, as forças responsáveis pelo movimento são as componentes das tensões nas direções dos deslocamentos perpendiculares, as forças eternas e as forças de inércia Analisando essas forças obtem-se: A resultante das tensões na direção perpendicular, no instante t, é dada por; Sendo que F T [sen ( ) sen ( )] tg ( ) u sen ( ) u tg ( ) ( u ) Conclui-se que Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP 3

4 u u u F T T d A resultante das forças eternas na direção perpendicular, no instante t, é dada por: F p(, t) d Onde p(, t ) é a distribuição das forças eternas por unidade de comprimento atuando sobre a corda na direção perpendicular, no instante t 3 A resultante das forças de inercia: se ( ) for a densidade linear da corda então a massa do segmento [,+] da corda é ( ) e a resultante perpendicular das forças de inercia sobre esse segmento será, no instante t, dada por ( ) utt uma vez que não se está considerando as forças de atrito e restauradoras De modo que a força de inercia atuando sobre todo arco M M,no instante t, é dada por F3 ( ) uttd Aplicando o Princípio de D Alembert conclui-se que u u T ( ) p(, t) d t Qualquer que seja o segmento [,+] para todo t > Supondo o integrando é uma função contínua, obtem-se necessariamente que ( ) u T u p(, t) tt Esta é a equação diferencial para pequenas oscilações de uma corda fleível sob ação de uma força eterna p(,t) desprezando-se a s forças de atrito e forças restauradoras Quando se tem ( ) constante, obtem-se a EDP: Onde c T e u u c F(, t) t p(, t) F(, t) No caso de se considerar as forças de atrito e restauradoras obtem-se a equação do telégrafo: Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP 4

5 u c u u u F(, t) tt t 3 O Método de d Alembert Obtida uma equação diferencial parcial descrevendo determinado fenômeno, somos confrontados com o problema de saber se eiste solução e se essa solução é única Outra questão etremamente importante nas aplicações é saber se as soluções de um determinado modelo matemático variarão pouco quando os dados iniciais e de fronteira sofrerem pequenas modificações, uma vez que tais dados são obtidos através de medidas eperimentais que portanto sempre apresentam um erro, ou seja são sempre aproimações De modo que é importante saber se eiste uma dependência continua das soluções em relação aos dados iniciais No caso da corda, as condições iniciais são dadas pela posição da corda e pela velocidade de cada ponto no instante inicial t = A dependência continua seria então o problema de saber se, observadas duas posições iniciais u e v e duas velocidades iniciais u e v, sendo u próima de v e u próima de v, resulta em se ter a solução u obtida de u, u e a solução v obtida de v, v suficientemente próimas Esses três quesitos impostos a um PVI (Problema de Valor Inicial) constituem o critério de Hadamard para boa postura de um PVI Utilizaremos o modelo matemático para corda infinita para montagem do PVI e o método criado por d Alembert para provar que o PVI é bem posto, mediante certas hipóteses naturais sobre os dados iniciais Tal método baseia-se em uma mudança de variáveis visando simplificar a equação Com o objetivo de encontrar a mudança conveniente considera-se a aplicação linear ( t, ) (, ) do no dada por (, t) t, (, t) t onde supomos para que tal mudança seja invertível Modelo Matemático para corda infinita livre e homogênea; utt c u,, t PVI : u(,) u( ), ut (,) u( ), Tem-se que u u u u u Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP 5

6 u u u t t t t t u u u u u u u u u u u u u u t t t t t De modo que u c u ( c ) u ( c ) u ( c ) u tt Logo, para reduzir à forma canônica desejada impomos que c c e c Portanto se c e c obtem-se que c c c c c ( )( ) pois por hipótese ( c ) ( c ) c Assim, uma boa mudança é dada por ( ct) ( ct) Sendo, números reais não nulos podemos tomar e obter a seguinte equação transformada u 4c u ou seja Integrando em relação a obtem-se que u h( ) u(, ) h( ) d g( ) f ( ) g( ) Onde f, g são funções de classe por C em De modo que, a solução de D Alembert é dada u(, t) f ( ct) g( ct) Assim obteve-se uma solução geral para uma EDP, fato ecepcional na teoria das EDP s! Para obtermos dessa solução geral uma única solução do PVI, basta impormos as condições Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP 6

7 iniciais Outro fato raro na teoria das EDP s! Para isso precisamos supor que u é de classe u é de classe C em Com isso obtemos que C e u(,) f ( ) g( ) u ( ) u (,) cf ( ) cg( ) u ( ) t Ou seja f ( ) g( ) u ( ) f ( ) g( ) u ( s) ds c c Ou seja c c f ( ) u ( ) u ( s) ds c c g( ) u ( ) u ( s) ds O que implica em ct c c f ( ct) u ( ct) u ( s) ds ct c c g( ct) u ( ct) u ( s) ds Portanto a solução de D Alembert do PVI é dada por ct u(, t) [ u( ct) u( ct)] u( s) ds c ct Fórmula obtida em 747 Assim, provou-se a eistência e também a unicidade, já que se eistir uma outra solução v(, t ) do PVI com as mesmas condições iniciais então pela própria fórmula obtem-se que u v Façamos a verificação da dependência continua em relação aos dados iniciais Sejam ( u, u),( v, v ) dois dados iniciais e sejam u(, t), v(, t ) as respectivas soluções do PVI Novamente, pela fórmula de d Alembert obtem-se que u(, t) v(, t) u( ct) v( ct) u( ct) v( ct) c ct ct u ( s) v ( s) ds Então dado pode-se tomar / ( T), T e obter-se que Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP 7

8 u(, t) v(, t),, t T se Portanto, o PVI da corda infinita é bem posto! u ( ) v ( ), i, i i Eemplo: Dado o seguinte utt u,, t PVI : u(,), ut (,), Determine o valor da solução no ponto (,) Pela fórmula de d Alembert, tem-se que De modo que, u(,) 9 t u(, t) ( t) ( t) ds t t 33 Interpretação da solução de d Alembert t Considerando-se uma fotografia da onda no instante t (posição inicial u ), obtem-se o gráfico da função u ( ) u(,), onde u(, t ) é a solução da equação da onda e u é o perfil inicial da onda Supondo-se a velocidade inicial nula ( u ) obtem-se que a solução se reduz a u(, t) u( ct) u( ct) Observamos primeiramente que o gráfico de u ( ct) é obtido do gráfico de u ( ) transladando de ct, no sentido positivo do eio- Do mesmo modo, o gráfico de u ( ct) é o transladado do gráfico de u ( ) no sentido negativo A parte da solução u ( ct) é, então, uma onda com perfil u ( ) propagando-se no sentido positivo do eio- com velocidade de propagação igual a c Essa onda chama-se onda progressiva ou onda do futuro Analogamente, a parte u ( ct) é uma onda que se propaga com mesma velocidade porém no sentido oposto e recebe o nome de onda regressiva ou onda do passado A solução u(, t ) será a superposição dos dois movimentos Embora, de acordo com o que foi visto, a onda-solução seja representada por uma função de classe C (no caso em que se tem u ), Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP 8

9 para facilitar a analise gráfica, vamos considerar uma função de classe caso da Corda Dedilhada Consideremos uma onda cujo perfil inicial seja dado pela função Então e, u( ),,, ct, ct ct u( ct) ct, ct ct, ct, ct ct, ct ct u( ct) ct, ct ct, ct, ct C por partes como no Fazendo t t n / c, n,,, obtem-se uma visão clara de que u ( ct) é n progressiva e u ( ct) é regressiva Fig33 Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP 9

10 OBS: Uma corda para poder ser dedilhada não poderia ser infinita pois seus etremos teriam que estar fios 33 Domínio de Dependência: Deduz-se da fórmula de d Alembert que o conhecimento da solução u do PVI no ponto ( t, ) depende apenas dos valores dos dados iniciais no intervalo [ ct, ct], isto é dado (, t ), o valor da solução neste ponto só dependo de u nas etremidades de [ ct, ct] e de u sobre este intervalo Observamos que qualquer alteração em u e em u fora desse intervalo não altera a solução no ponto (, t ) Por isso, define-se o intervalo D( u,, t ) { : ct ct } como sendo o domínio de dependência da solução u no ponto (, t ) 33 Domínio de Influência: Fig34 Agora tomando no eio-, queremos saber quais são os pontos ( t, ) nos quais a solução se modifica quando se alteram os valores de u e u em? Isto é, quais são os pontos ( t, ) tais que pertence ao seu domínio de dependência? Observando-se a figura 34 conclui-se que são os pontos pertencentes ao cone no semi-plano superior t, com vértice em (,) e lados t ( ) / c Essa região (vide figura 35) é denominada domínio de influência na solução do ponto (,) e é dada pelo cone futuro I( u, ) {(, t) : ct ct, t } Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP

11 Fig 35 No eemplo anterior tem-se que no ponto (3,) D( u,3,) { : 5} As características por esse ponto são as retas: t e t 5 O domínio de influência é o cone com vértice no ponto (3,) limitado pelas retas: t 3 e t3 pois c I( u;3) {(, t) : 3 t 3 t, t } Resumindo se perturbarmos u ou u em (,) cone para todo t essa perturbação será observada no referido O domínio de influência de um intervalo [, ] é a união dos domínios de influência de cada um dos pontos do intervalo (vide figura 36) Tomemos um ponto (, t ) do plano t Da fórmula de d Alembert tem-se que ou seja ct ct c c u(, t ) u ( ct ) u ( s) ds u ( ct ) u ( s) ds u(, t ) ( ct ) ( ct ) Logo, ( ct) é constante ao longo da característica: ct ct,ou seja ( ct) ( ct ), a onda do futuro possui deslocamento constante sobre essa característica Do mesmo modo, ( ct) é constante ao longo da característica: ct ct, ou seja, a onda do passado possui deslocamento constante sobre essa Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP

12 característica Na figura 36 as características por e dividem o semi-plano t em seis regiões Fig 36 Na região I, tem-se a superposição da onda do futuro com a onda do passado, isto é os pontos de I são afetados pelas ondas progressivas e regressivas que tiveram inicio em pontos do intervalo [, ] Na região II, os pontos são perturbados apenas pelas ondas regressivas, enquanto na região III, os pontos são perturbados apenas pelas ondas progressivas Os pontos das regiões IV e V são tais que seus domínios de dependência não interceptam o intervalo [, ], ou seja, os pontos dessas regiões não são afetados pela perturbação inicial Na região VI, tomemos um ponto genérico (, t ), tem-se que ct c ct u(, t ) [ u ( ct ) u ( ct )] u ( s) ds onde ct, ct [, ] o que implica em u( ct) u( ct) Logo, no ponto (, t) de VI resta apenas u(, t ) u ( ) d c O que significa que nesses pontos o sinal já passou, deiando apenas o traço de sua passagem dado pelo deslocamento constante c u( ) d Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP

13 O fenômeno de Huyghens: Quando a velocidade inicial é nula, u, (o caso da corda dedilhada é um caso particular, pois nesse caso u possui suporte compacto, isto é anula-se fora de um intervalo fechado limitado), observa-se um fenômeno interessante: fiado um ponto longe da perturbação inicial, esta perturbação demora um certo tempo até alcançar o ponto, então perturba esse ponto e, em seguida, passa deiando esse ponto em repouso para sempre Esse fato, característico de ondas em dimensão ímpar, é conhecido como fenômeno de Huyghens e não ocorre em dimensão par (membranas, superfícies de líquidos) onde a perturbação inicial continua a afetar para sempre o ponto Ao contrario do que ocorre para ondas unidimensionais, no caso de ondas tridimensionais, o fenômeno de Huyghens ocorre mesmo se a velocidade inicial for diferente de zero A integral da energia: Suponhamos que os dados iniciais u, u sejam tais que para cada t u(, t ) e suas derivadas parciais até de segunda ordem sejam de quadrado integrável em relação a variável Por eemplo, isso ocorre se u, u satisfizerem as condições de compatibilidade impostas pela fórmula de D Alembert para eistência de solução única, isto é u C ( ), u C ( ) e além disso se ambas possuírem suporte compacto Neste caso, multiplicando a EDP por u t obtem-se a seguinte igualdade u u c u u tt t t ou seja c t t ut u c uut Integrando em relação a, de até, e supondo que lim uu e que é possível permutar a ordem de integração com a derivação com relação a t ( o que ocorre nas condições acima) obtem-se que d dt c ut ud (*) A integral em (*) é denominada integral da energia e a equação (*) nos diz que a energia é constante em relação ao tempo De modo que, t u c u u c u (, t) (, t) d (,) (,) d t t = c d u( ) u( ) d d para todo t Esse fato é interpretado como epressando a conservação da energia Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP 3

14 Unicidade da solução para o PVI da corda infinita: Através da utilização da conservação da energia é possível dar uma demonstração direta da unicidade da solução do PVI para a corda infinita Supondo que u e u satisfazem as condições de diferenciabilidade necessária para a eistência de solução clássica e que ambas tem suporte compacto, então se o PVI possuir duas soluções u(, t ) e v(, t ), teremos que w(, t) u(, t) v(, t) será uma solução da EDP com condições iniciais identicamente nulas Pela conservação da energia obteremos que c wt (, t) w(, t) d para todo t Como w, w C( [, [), então necessariamente t w (, t) w (, t),, t, o que implica em se ter w(, t) cte Como t w (,) conclui-se que w em [, [, ou seja, u(, t) v(, t) em [, [ 34 Vibrações Forçadas na Corda Infinita O modelo matemático é dado pelo seguinte utt c u F(, t),, t PVI : u(,) u( ), ut (,) u( ), onde u C ( ), u C ( ) e F é contínua em ], [ Seja A (, t) um ponto arbitrário do semi-plano positivo no qual se deseja calcular a solução Consideremos o seguinte triangulo característico Fig 37 Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP 4

15 onde a orientação de AB BC CA é dada pelo sentido das setas de modo a ser coerente com a orientação natural do eio- Integrando-se a equação sobre obtem-se ( c u utt ) ddt F(, t) ddt Para calcular essa integração utilizaremos o Teorema de Green Pondo obtemos que Q c u, P ut div( c u ut ) ddt Pd Qdt utd c udt Para calcularmos a integral curvilínea sobre parametrizamos cada um dos segmentos orientados AB,BC,CA do seguinte modo; AB : ct ct, ct CA : ct ct, ct BC : t, ct ct donde obtem-se que d cdt sobre AB, d cdt sobre CA e dt sobre BC De modo que, BC ct t t ct u d c u dt u (,) d d utd c udt ut ( cdt) c u( ) c[ u( ct,) u(, t)] c AB AB d t t c CA CA CA u d c u dt u ( cdt) c u ( ) c du c[ u(, t ) u( ct,)] ou seja ct utd c udt u d c u ct u ct cu t ct ( ) [ ( ) ( )] (, ) o que fornece ct F(, t) ddt u ( ) d c[ u ( ct ) u ( ct )] cu(, t ) ct E como (, t ) é arbitrário, conclui-se que ct u(, t) [ u( ct) u( ct)] u( s) ds F(, t) ddt c ct c Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP 5

16 Onde t c( t ) F(, t) ddt F(, ) dd c( t ) Eemplo: Calcular a solução do seguinte utt u,, t PVI : u(,), ut (,), Tem-se que t u(, t) [( t) ( t) ] ds dsd t 3 t t t t t ( t ) t ( t ) 35 Corda Semi-Infinita Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP 6

17 Paulo Marcelo Dias de Magalhães UFOP 7