Matemática. R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos Ltda.(setor gráfico) Printed in Brazil

Transcrição

1

2 3ª Edição R&A Editora Autor: Professor Joselias Santos da Silva Revisão: Silvio Luis Motta Editoração Eletrônica: Valquíria Farias dos Santos Capa: Studio Color Company - ( Projeto Gráfico: R&A Editora R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos Ltda Rua Sete de Abril, º andar - Bloco B - São Paulo - Cep.: Fone: (011) Fax: (011) TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. Proibida a reprodução total ou parcial, por qualquer meio ou processo, especialmente por sistemas gráficos, microfilmicos, fotográficos, repográficos, fonográficos, videográficos. Vedada a memorização e/ou a recuperação total ou parcial, bem como a inclusão de qualquer parte desta obra em qualquer sistema de processamento de dados. Essas proibições aplicam-se também às características gráficas da obra e à sua editoração. A violação dos direitos autorais é punível como crime (art. 184 e do C.P.), com pena de prisão e multa, busca e apreensão e indenizações diversas (arts. 101 à 110 da Lei de 19/02/1998, Lei dos Direitos Autorais). Impresso no Brasil Printed in Brazil R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos Ltda.(setor gráfico) 2

3 Concursos Públicos MATEMÁTICA TEORIA Com mais de 500 questões resolvidas e comentadas Joselias Santos da Silva São Paulo 3

4 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Silva, Joselias Santos da, Concursos Públicos: matemática : teoria, com mais de 500 questões resolvidas e comentadas / Joselias Santos da Silva. -- São Paulo : R&A Editora Cursos e Materiais Didáticos, Bibliografia. 1. Matemática - Concursos públicos I. Título CDD Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Concursos públicos

5 Índice Matemática 1. As quatro operações com números inteiros, fracionários e decimais; Números Pares, Ímpares, Primos e Compostos;... 7 Operações e propriedades com números inteiros... 8 Números Pares Números Ímpares Divisibilidade Múltiplos e Divisores Números Primos Números Compostos: Máximo Divisor Comum (MDC) Mínimo Múltiplo Comum (MMC) Números Fracionários e Decimais Operações nas Formas Fracionárias e Decimais Sistema Métrico Decimal (medidas de comprimento, área, volume, capacidade, massa e tempo) Sistema Métrico Decimal Medidas de Superfície (área) Medida de Volume Medidas de Capacidade Medidas de Massa Medidas não decimais Juros e Porcentagem Conceitos de Matemática Financeira Regime de Capitalização Capitalização Simples Porcentagem Razão e Proporção; Regra de Três Simples e Composta; Divisões Proporcionais Razões e Proporções Série de Razões iguais ou porporções em série Razões Divisões Proporcionais

6 Regra de Sociedade Regra de Três Simples Regra de Três Composta Sistema do 1º grau Potenciação e Radiciação Potenciação Radiciação Produtos Notáveis Equação do 2º grau Trinômio do 2º grau Inequação do 2º grau Questões Resolvidas e Comentadas Bibliografia

7 As quatro operações com Números Inteiros, Fracionários e Decimais; Números Pares, Ímpares, Primos e Compostos; MMC e MDC; Divisibilidade. A matemática desenvolvida nesta apostila não terá o compromisso de ensinar os verdadeiros princípios de numeração que motivaram a criação dos números. Lembramos ao leitor que este material está voltado aos candidatos aos concursos públicos que exigem o segundo grau completo, portanto partimos da premissa que o aluno já possui a iniciação matemática necessária ao entendimento dos assuntos abordados, não sendo precisos detalhes triviais do 1 grau. Representaremos inicialmente os números naturais: 0, 1, 2, 3, 4,... A coleção de todos os números naturais representaremos pela letra N e chamaremos de conjunto dos números naturais, então : N = { 0, 1, 2, 3, 4... }. Assim, o leitor já observou que os números naturais servem para contar, e este foi o grande salto da humanidade no sentido matemático, quando as primeiras civilizações começaram a contar seus rebanhos. A seguir, traremos a idéia de números inteiros; suponha que na reta marquemos os pontos como na figura: Os pontos marcados representam os números inteiros e observe que teremos inteiros positivos, negativos, não positivos e não negativos. Então, Z é o conjunto dos números inteiros. Daí: Z = {... 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... } Representaremos por Z o conjunto dos números não positivos. Daí : Z = {... 4, 3, 2, 1, 0 } Se no conjunto dos inteiros considerarmos apenas os números não negativos, teremos a notação Z +. Logo : Z + = { 0, 1, 2, 3, 4,... } Obs.: Você viu que o conjunto dos inteiros não negativos é o conjunto dos naturais? 7

8 Vamos introduzir a notação com (*), para dizer que o conjunto não possui zero, isto é, Z* = Z { 0 } = {... 3, 2, 1, 1, 2, 3... } Então, representaremos por conjunto dos números inteiros negativos a : Z* = {..., 3, 2, 1 } Analogamente representaremos por conjunto dos inteiros positivos a : Z* + = {1, 2, 3, 4,... } OPERAÇÕES E PROPRIEDADES COM NÚMEROS INTEIROS A. ADIÇÃO Chamaremos de adição à operação de reunir em um só número as quantidades representadas por dois ou mais números. Representaremos a operação de adição pelo símbolo +. Ao resultado da adição chamaremos de soma. Exemplo : Seja uma caixa A com 10 canetas Seja uma caixa B com 20 canetas Então, o total de canetas será a adição das quantidades das caixas A e B representaremos por = 30. Ao resultado da adição chamaremos de soma, isto é, 30 canetas é o resultado da adição de 10 canetas com 20 canetas. PROPRIEDADES Sejam os números inteiros: Então: I. a + 0 = a ( Existência do neutro). O número não se altera quando adicionamos o 0 (zero). II. a + b = b + a A adição é comutativa. III. a + b + c = a + ( b + c ) = ( a + b ) + c A adição é associativa. Exemplo: Uma pessoa tinha x livros. Comprou mais 5 livros, com quantos livros ficou? Resposta : ( x + 5 ) livros. Exemplo: Uma microempresa possui 3 funcionários ( A, B e C ). Se A ganha R$ 300,00, B ganha R$ 400,00 e C ganha R$ 500,00, qual o valor da folha de pagamento da microempresa? 8

9 SOLUÇÃO A adição entre 300, 400 e 500 é = R$ 1.200,00 Matemática B. SUBTRAÇÃO Chamaremos subtração à operação de achar a quantidade que um número excede o outro e esta operação representaremos pelo símbolo. Ao resultado da subtração chamaremos de diferença. Exemplo: Suponhamos que uma pessoa tinha 40 canetas e perdeu algumas ficando com 30 canetas ao final. Quantas canetas ela perdeu? SOLUÇÃO A subtração entre 40 e 30 é = 10 canetas perdidas. Exemplo: Suponha que um vendedor ambulante tinha 50 canetas para vender. Se durante a manhã ele vendeu 15 canetas e à tarde vendeu 18 canetas, com quantas canetas acabou o dia? SOLUÇÃO = = 17 Canetas C. MULTIPLICAÇÃO Chamamos de multiplicação à operação de realizar a adição de um número quantas vezes for o outro. A operação de multiplicação representaremos pelo símbolo. Ao resultado da multiplicação chamaremos de produto. Aos números envolvidos na operação chamamos de fatores. Exemplo: a. 3 5 = = 15 b. 7 4 = = 28 c = = 60 PROPRIEDADES 1. A ordem dos fatores não altera o produto (Comutativa). Exemplo: a. 2 3 = 3 2 = 6 b = = = Associativa = = 120 9

10 3. Qualquer número multiplicado por 0 tem como resultado zero. 2 0 = = 0 4. O produto de qualquer número por 1 é igual ao próprio número. a 1 = a = 120 D. DIVISÃO Chamamos de divisão de um número (dividendo) por outro número (divisor) à operação de achar um terceiro número (quociente) tal que multiplicado pelo divisor produza o dividendo. A operação de divisão será representada pelo símbolo : Exemplo Dividir 650 por 13 é encontrar um número (50) tal que 50 multiplicado por 13 produza = 50 x dividendo quociente divisor PROPRIEDADES 1. O quociente da divisão de um número por 1 é o próprio número: 30 1 = = Um número, diferente de zero, dividido por ele mesmo é sempre igual a = = Efetue os produtos : a. 9 9 = b = c = d = e = EXERCÍCIOS PROPOSTOS RESPOSTA a. 81 b. 882 c d e

11 02. Efetue os produtos : a = b = c = d = RESPOSTA a b c d Efetue a divisão RESPOSTA 9 (veja exercício 01) NÚMEROS PARES Chamamos de números pares aos números que terminam com 0, 2, 4, 6 ou 8. NÚMEROS ÍMPARES Chamamos de números ímpares aos números que terminam com 1, 3, 5, 7 ou 9. DIVISIBILIDADE Esta parte do material irá tratar das regras que permitem dizer se um número é divisível por outro sem precisar efetuar os cálculos. DIVISIBILIDADE POR 2 Um número é divisível por 2 quando é par ( termina em 0, 2, 4, 6, 8 ). Exemplos: 10, 24, DIVISIBILIDADE POR 3 Um número é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos produz como resultado um número múltiplo de 3. Exemplo: a. 36 (3 + 6 = 9) b. 147 ( = 12) DIVISIBILIDADE POR 4 Um número é divisível por 4 quando os 2 últimos algarismos formam um número divisível por 4. Exemplo: a. 840 (40 é divisível por 4) b (32 é divisível por 4) c (24 é divisível por 4) 11

12 DIVISIBILIDADE POR 5 Um número é divisível por 5 quando termina em zero ou cinco. Exemplo: a b DIVISIBILIDADE POR 6 Um número é divisível por 6, quando é divisível por 2 e 3, simultaneamente. Portanto, tem que ser par e divisível por 3. Exemplo: a. 324 b. 126 DIVISIBILIDADE POR 7 Não há regra, porém vou apresentar um algoritmo que certa vez um professor me apresentou. Exemplo: 315 é divisível por 7. Veja como verificar: 1º Sempre separe a casa das unidades. n n 31 n 5 n n 2º Multiplique o algarismo à direita da separação por 2, e subtraia do algarismo à esquerda. Logo: 31 2 X 5 = = 21 3º Se o resultado for divisível por 7, então o número original é divisível por Exemplo: é divisível por 7. n n 863 n 8 n n X 2 = = 847.

13 n n 84 n 7 n n 84 7 X 2 = 70 é divisível por 7. Logo é divisível por 7. DIVISIBILIDADE POR 8 Um número é divisível por 8 quando os três últimos algarismos formam um número divisível por 8. Exemplo: a é divisível por 8, pois 160 é divisível por 8. b é divisível por 8, pois 800 é divisível por 8. DIVISIBILIDADE POR 9 Um número é divisível por 9, quando a soma dos seus algarismos formam um número divisível por 9. Exemplo: a. 297 é divisível por 9, pois = 18 é divisível por 9. b é divisível por 9, pois = 9 é divisível por 9. c é divisível por 9, pois = 27 é divisível por 9. DIVISIBILIDADE POR 10 Um número é divisível por 10 quando termina em 0 (zero). Exemplo: a é divisível por 10. b é divisível por 10. DIVISIBILIDADE POR 11 Um número é divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem par e a soma dos algarismos de ordem ímpar é divisível por 11. Exemplo: a é divisível por 11 pois, soma dos algarismos de ordem par: = 6 soma dos algarismos de ordem ímpar: = 17 Diferença: 17 6 = 11 é divisível por

14 Exemplo: a é divisível por 11. soma dos algarismos de ordem par: = 5 soma dos algarismos de ordem ímpar: = 27 Diferença: 27 5 = 22 é divisível por 11. MÚLTIPLOS E DIVISORES Sendo x e y números inteiros; x é múltiplo de y, se x é produto de y por um outro número inteiro z. Exemplo: a. 21 é múltiplo de 7, pois 21 = 7. 3 b. 21 é múltiplo de 3, pois 21 = 3. 7 c. 9 é múltiplo de 3, pois 9 = 3. ( 3) d. 0 é múltiplo de 10 pois 0 = Observamos que zero é múltiplo de qualquer número inteiro, pois 0 = x. 0, para qualquer número x Z. Se x, y são números inteiros, definimos que x é múltiplo de y ou z, tal que x = y. z, nestas condições y e z são divisores de x. Exemplo: a. 3 é divisor de 21, pois 21 = 3. 7 b. 7 é divisor de 21, pois 21 = 7. 3 c. 3 é divisor de 9, pois 9 = 3. (-3) d. 10 é divisor de 0, pois 0 = Observação: Indicaremos por D(x) o conjunto dos divisores de x. Indicaremos por M (x) o conjunto dos múltiplos de x. D (x) = { d Z d divide x } M (x) = { m Z m é múltiplo de x } Exemplo: a. D(6) = { 6, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 6 } b. D(3) = { 3, 1, 1, 3 } c. M(5) = {... 15, 10, 5, 0, 5, 10, 15,...} d. M( 2) = {... 4, 2, 0, 2, 4, 6,... } NÚMEROS PRIMOS Um número inteiro x, x ±1 é primo, se e somente se, seus únicos divisores são 1, 1, x, x. 14

15 Observação: Por esta definição observe que 0, 1, 1, não são primos. NÚMEROS COMPOSTOS: Chamamos de números pares aos números que possuem mais de dois divisores positivos. MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Dados dois inteiros x e y, não nulos, seu máximo divisor comum, que se indica por MDC(x, y), é o maior elemento do conjunto Dx () I Dy (). Exemplo: Sejam os inteiros 15 e 24 Então, temos: D (15) = { 15, 5, 3, 1, 1, 3, 5, 15 } D (24) = { 24, 12, 8, 6, 4, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} O máximo divisor comum de 15 e 24 será o maior elemento de D (15) I D (24) = { 3, 1, 1, 3 }, logo: MDC (15, 24) = 3. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI Dizemos que dois inteiros são primos entre si, quando o MDC entre eles é um. Exemplo: 5 e 9 são primos entre si, pois o MDC (5, 9) = 1 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Dados dois inteiros x e y, não nulos, o mínimo múltiplo comum entre x e y, é o menor elemento positivo do conjunto M (x) I M (y) Exemplo: Considere os inteiros 6, 8. M (6) = {... 36, 30, 24, 18, 12, 6, 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36,... } M (8) = {... 40, 32, 24, 16, 8, 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48,... } M (6) I M(8) = {... 24, 0, 24, } O MMC (6, 8) é o menor inteiro positivo do conjunto M (6) I M (8), logo o MMC (6, 8) =

16 Nota importante: Para se calcular o MDC ou MMC, consideramos a decomposição nos fatores primos. Sendo assim teremos: a. O MDC será o produto dos fatores primos comuns tomados com os menores expoentes b. O MMC será o produto de todos os fatores primos tomados com os maiores expoentes. Exemplo: Considere os inteiros 40 e = 2³ x = 2³ x 3² Logo: MDC (40, 72) = 2³ = 8 MMC (40, 72) = 2³ x 3² x 5 1 = 8 x 9 x 5 = 360 Exemplo: Calcule: MDC (72, 120) e MMC (72, 120) = 2³ x 3² 120 = 2³ x 3 1 x 5 1 MDC (72, 120) = 2 3 x 3 1 = 8 x 3 = 24 MMC (72, 120) = 2 3 x 3 2 x 5 1 = 8 x 9 x 5 = 360 Exemplo: Três satélites artificiais giram em torno da Terra, em órbita constante. O tempo de rotação do primeiro é de 42 minutos, o do segundo 72 minutos e o do terceiro 126 minutos. Em dado momento eles se alinham no mesmo meridiano, embora em latitudes diferentes. Eles voltarão a passar, em seguida, simultaneamente, pelo meridiano depois de : 16

17 a. 16h e 24 min b. 7h e 48 min c. 140 min d. 126 min e. 8h e 24 min SOLUÇÃO O tempo de rotação do satélite A = 42 min. O tempo de rotação do satélite B = 72 min. O tempo de rotação do satélite C = 126 min. Houve uma coincidência, a próxima coincidência ocorrerá daqui a: MMC (42, 72, 126) = 2 3 x 3 2 x 7 1 = 8 x 9 x 7 = 504 min. Matemática = 2 1 X 3 1 X = 2 3 X = 2 1 X 3 2 X 7 1 Logo, decorrerão 504 minutos para que os satélites passem simultaneamente pelo mesmo meridiano. Dai, 504 min min 8h Resposta: 8h e 24 min. E Exemplo: Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do mesmo ponto de partida de uma pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. Calcule os minutos que levarão para se encontrar novamente. a b. 132 c. 120 d. 60 e

18 SOLUÇÃO O primeiro dá uma volta em 132 seg. O segundo dá uma volta em 120 seg. Houve uma coincidência, a próxima coincidência ocorrerá em : MMC (132, 120) = 2 3 x 3 1 x 5 1 x 11 1 = seg = 2 2 x 3 1 x = 2 3 x 3 1 x 5 1 MMC (132, 120) = seg seg seg 22 min 0 Resposta: 22 min. E ( NÚMEROS FRACIONÁRIOS E DECIMAIS Suponha que temos uma pizza e a dividimos em 8 pedaços iguais. Cada pedaço representa 1 8 (um oitavo) da pizza. 18

19 Logo, os três pedaços apresentados na figura acima representam 3 oitavos da pizza ( 3 8 da pizza). Então o leitor tem que começar a entender que uma fração representa uma parcela (ou várias parcelas) de um todo. Seja então a fração a b. Chamamos de a o numerador da fração e de b o denominador da fração. Quando o denominador da fração for igual a 10 ou múltiplo de 10 a fração será chamada de fração decimal, caso contrário de fração ordinária. Exemplo: a. 1 8 fração ordinária. b. c. 4 fração ordinária. 5 3 fração decimal d. fração decimal. 100 Quando o numerador for menor que o denominador, a fração será chamada de fração própria, caso contrário será chamada de fração imprópria (ou mista). Exemplo: 3 4 (própria) 4 5 (própria) 9 5 (imprópria) 10 3 (imprópria) obs: As frações impróprias são também chamadas de mistas e escritas da forma q r b. 19

20 Exemplo: a b. c. = = Onde: ( ( = ( lê-se 3 inteiros e 1 terço lê-se 1 inteiro e três quartos lê-se 3 inteiros e quatro quintos. OPERAÇÕES NAS FORMAS FRACIONÁRIAS E DECIMAIS ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES Devemos primeiramente reduzir as frações a um denominador comum para depois realizar as operações necessárias. Exemplo: 2 4 a Vamos achar o denominador comum: MMC (3, 6, 5) = 30 Logo: x x x = = = :3 = 10 30:6 = 5 30:5 = 6 20

21 Logo, o resultado é 58, que pode ser simplificado por 2 (dividindo numerador 30 e denominador por 2) = = Exemplo: Vamos calcular o denominador comum: MMC ( 5, 7, 21, 15 ) = 105 Logo: 105 : 5 = : 7 = :21 = :15 = 7 Logo, a resposta será a fração: MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES Basta lembrar o esquema : a c a c = b d b d Exemplo: 4 5 x x 5 7 x = = = que pode ser simplificada: basta dividir o numerador e o denominador por = x21+ 3x15+ 2x5 3x7 + + = = = =

22 DIVISÃO DE FRAÇÕES Basta lembrar o esquema: a c b : a d = b x d c Exemplo: : = 14 x 5 3 = 15 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 04. Calcule 3 4 de 160. Resposta : 3 4 x 160 = 3 x 40 = Calcule 3 5 de 200. Resposta : 3 5 x 200 = 3 x 40 = Qual o valor de X para que 3 5 seja 60. Resposta : 3 5 X = 60 60x5 X = X = 20x5 X = Qual o valor do produto : L n a. b. c. d. e. 1 n 2 n 2( n 1) n 2 nn+1 ( ) 3 nn+1 ( ) 22

23 L = L 4 5 n n 1 2 = n n Resposta: B 08. Calcular 2 5 de 3 4 Resposta: = = 20 simplificando por 2 temos : = Um comerciante vende uma mercadoria por R$ 1.200,00, ganhando nessa transação 1 5 do preço de custo; por quanto deveria vender a mercadoria para ganhar ½ do preço de custo? Solução Seja x o preço de custo. Logo, x+ 1 x 5 representa R$ 1.200,00 portanto, 6 x representa R$ 1.200,00 5 Isto é, 6 x = 1.200,00 x = 6 x = x = R$ 1.000,00 O preço de custo é R$ ; como quero ganhar 1 do preço de 2 custo 1 de 1000., temos que o preço de venda será: R$ 1.000,00 + R$ 500,00 2 = R$ 1.500, (FUVEST) Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo por : 1 a b. 8 c. 8 d. 12,5 e

24 Dividir um número por 0,0125 equivale a multiplicá-lo pelo inverso Logo 1 = 80. Resposta : E 00125, 1, 00125, 11. O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos entre si, é igual a 825. Então, o máximo divisor comum desses dois números é: a. 1 b. 3 c. 5 d. 11 e. 15 Sejam x e y os números inteiros positivos dados. Como x e y não são primos entre si, existe um fator primo comum na decomposição deles. Como x. y = 825 = , então, o fator primo comum só pode ser 5. Daí o MDC ( x, y ) = 5 Resposta: C 12. Numa corrida de automóveis, o primeiro corredor dá uma volta completa na pista em 10 segundos, o segundo, em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Quantas voltas terá dado cada um, respectivamente, até o momento em que passarão juntos na linha de saída? a. 66, 60, 55 b. 62, 58, 54 c. 60, 55, 50 d. 50, 45, 40 e. 40, 36 e 32 Corredor A - dá uma volta em 10 segundos. Corredor B - dá uma volta em 11 segundos. Corredor C - dá uma volta em 12 segundos. Dado que partiram juntos, passarão juntos em: 24

25 MMC ( 10, 11, 12 ) = 660 segundos Logo, em 660 seg. A - dará B - dará = 66 voltas = 60 voltas C - dará 660 = 55 voltas 12 Resposta: A 13. Quantos divisores positivos possui o número 216? Vamos decompor o número = Para achar o número de divisores positivos, basta somar 1 a cada expoente e multiplicá-los (3 + 1). (3 + 1) = 4. 4 = 16 divisores positivos. 14. Temos 3 caixas com igual número de balas e mais uma com 10 balas apenas, tirando-se 6 balas de cada uma das caixas, ficamos com 61 balas. Quantas balas tinha cada uma das 3 primeiras? a. 23 b. 25 c. 28 d. 31 e

26 Seja x a quantidade de balas em cada caixa. Logo, temos ( 3x + 10 ) balas nas 4 caixas. Se tirarmos 6 de cada caixa, ficaremos com: 3x = 3x 14 Logo, 3x 14 é igual a 61. 3x 14 = 61 3x = x = 75 x = 75 3 x = 25 Resposta : B 15. Dois concursos têm o mesmo número de candidatos. Os 3 4 dos candidatos do primeiro concurso excedem de 560 os 2 5 dos candidatos do segundo. O número de candidatos de cada concurso é: a b c d. 800 e. 400 Seja x o número de candidatos em cada concurso. Logo x x = 560 x = x 8x = x = x = x = candidatos Resposta: C 16. O salário do Sr. Agenor é vezes o salário do Sr. Antenor. Então, o Sr. Antenor ganha que fração do salário do Sr. Agenor? a. 1 2 b 1 3 c. 2 3 d

27 Se o salário do Sr. Agenor é vezes o salário do Sr. Antenor, então, o salário do Sr. Agenor é 3 2 do Sr. Antenor, isto é, o salário do Sr. Agenor = 3 2 salário do Sr. Antenor. Logo, o salário do Sr. Antenor = 2 3 salário do Sr. Agenor. Resposta : C 17. Resolva a expressão: ( ) + ( ) ( +767 ) + ( +49 ) ( 6 ) a b c d e Resposta : E 18. Efetuar os cálculos: ( + 57 ). ( 722 ) : ( 19 ) a b c. 114 d. 35 e. 684 Resposta : B 19. O maior divisor e o menor múltiplo dos números 12, 18 e 30 são, respectivamente: a. 6 e 180 b. 1 e 30 c. 2 e 90 d. 60 e 60 e. 3 e 360 Resposta : A 20. Resolver a seguinte expressão : : a. 3 b. 4 c

28 d e. 16 Resposta: A 21. A expressão 5 6 3a é idêntica a : a. b. c. a a a d. a e Resposta: A 22. Efetuar as operações : 65,90 ( 57,40 : 2 ) 1,4 + 7,88 a. 13,83 b. 33,60 c. 37,52 d. 39,44 e. 53,28 Resposta: B Calcular : 0, a. 52,5 b. 5,25 c. 525 d e Resposta: D 28

29 24. Sabendo-se que A = 2 x , B = 2 2x e que MMC ( A, B ) tem 45 divisores, o valor de x será: a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5 Resposta : B 25. O terço e a metade de um número fazem juntos 860. Qual é esse número? a b c d e Resposta : C 26. Qual é o número cujo 1 aumentado de 600 dá como soma? 25 a. 100 b c d e Resposta : C 27. Viviane quer comprar 4 pacotes de biscoitos que custam R$ 0,57 cada um. Pagando com uma nota de R$ 10,00, quanto receberá de troco? a. R$ 2,28 b. R$ 7,30 c. R$ 7,72 d. R$ 9,43 e. R$ 9,72 Resposta : C 28. João é 4 anos mais velho que seu irmão José. Se em 1995 José completou 22 anos, então João nasceu em: a b c d e Resposta : A 29

30 29. Um produto que custa R$ 2,60 estava sendo vendido a R$ 1,70. Viviane aproveitou a oferta e comprou 6 unidades do produto. Quanto Viviane economizou? a. R$ 0,90 b. R$ 4,30 c. R$ 5,40 d. R$ 5,60 e. R$ 25,80 Resposta : C 30. João e Maria são irmãos. Maria nasceu em 1972 e João completou 18 anos em Qual era a idade de Maria quando João nasceu? a. 2 anos b. 3 anos c. 5 anos d. 7 anos e. 8 anos Resposta : C 31. Quero comprar 3 lápis ao preço de R$ 0,42 cada um. Pagando com uma nota de R$ 10,00, quanto receberei de troco? a. R$ 8,58 b. R$ 8,74 c. R$ 9,04 d. R$ 9,58 e. R$ 9, 74 Resposta : B 32. Augusto é 7 anos mais novo que seu irmão Antônio. Se Antonio nasceu em 1971, quantos anos Augusto completou em 1995? a. 17 b. 19 c. 24 d. 31 e. 33 Resposta: A 33. (CESGRANRIO) Numa cidade de habitantes, a razão entre o número de mulheres e de homens é igual a 3 5. A diferença entre o número de homens e o número de mulheres é de: a b c

31 d e Resposta : A 34. (CESGRANRIO) Um pequeno agricultor separou para consumo de sua família 1 8 de sua produção de feijão. Se ainda sobraram 112 Kg para serem vendidos, a produção, em Kg, foi de: a. 128 b. 160 c. 360 d. 784 e. 846 Resposta : A 35. (CESGRANRIO) Quatro amigos compraram 850 arrobas de carne. Três ficaram com do total e o quarto com o restante. O 1 o ficou com o dobro do 3 o mais 100 arrobas; o 2 o, com a metade do que coube ao l o mais 40 arrobas. Quantas arrobas couberam, ao que comprou mais e ao que comprou menos, respectivamente? a. 612 e 238 b. 612 e 105,5 c. 311 e 195,5 d. 311 e 105,5 e. 238 e 105,5 Resposta : D 31

32 Sistema Métrico Decimal (medidas de comprimento, área, volume, capacidade, massa e tempo) SISTEMA MÉTRICO DECIMAL O sistema métrico decimal é o conjunto de medidas que têm como base a unidade padrão de comprimento chamada de metro, e seus múltiplos e submúltiplos, que são: 10,100,1000, etc, vezes maiores ou menores. MEDIDAS DE COMPRIMENTO A unidade padrão de medida de comprimento é o metro e representamos por m. Então teremos seus múltiplos e submúltiplos. Múltiplos do metro Km - quilômetro (1000 metros) hm - hectômetro (100 metros) dam - decâmetro (10 metros) Submúltiplos do Metro dm - decímetro (0,1 metro) cm - centímetro (0,01 metro) mm - milímetro (0,001 metro) Na prática é interessante construir a escada abaixo: 32

33 EXEMPLOS: Completar : a. 0,1234 km =... m b. 2,3456 hm =... m c. 0,3678 km =... cm d. 789,2 m =... mm e ,5 mm =... m f ,43 cm =... hm g. 765,3 dm =... km h. 23 m =... cm i. 23 m =... hm a. Observe que vamos transformar km em m, logo, vamos descer três graus em nossa escada, e no sentido da direita. Portanto, vamos deslocar a vírgula três posições para a direita. Logo: 0,1234 km = 123,4 m. b. Observe que vamos transformar hm em m, logo, vamos descer dois degraus em nossa escada, e no sentido da direita. Portanto, vamos deslocar a vírgula duas posições para a direita. Logo: 2,3456 hm = 234,56 m 33

34 c. Observe que vamos transforrnar km em cm, logo, vamos descer cinco degraus em nossa escada e no sentido da direita. Portanto, vamos deslocar a vírgula cinco posições para a direita e neste caso preenchemos as posições com zero quando necessário, logo: 0,3678 km = cm d. Observe que vamos transformar m em mm, analogamente aos itens anteriores e concluímos que 789,2 m = mm e. Observe que vamos transforrnar mm em m, logo, vamos subir três degraus em nossa escada, e, portanto, agora no sentido da esquerda. Portanto, vamos deslocar a vírgula três posições para a esquerda, logo: 1.234,5 mm = 1,2345 m 34

35 f. Observe que vamos transformar cm em hm, logo, vamos subir quatro degraus em nossa escada, e no sentido da esquerda, é claro. Portanto, vamos deslocar a vírgula quatro posições para a esquerda. Logo : ,43 cm = 8, hm g. é fácil verificar que: 765,3 dm = 0,07653km h. é fácil verificar que: 23 m = cm i. é fácil verificar que: 23 m = 0,23 hm EXERCÍCIO Calcule em metros. a. 0,02 km + 0,1 hm + 2 m = b. 0,234 hm + 0,l dam + 30 cm = c. 0,045 km m dm = d. 0,25 hm dm cm = e. 12,34 km m mm = Resposta: a. 32 m b. 24,7 m c ,5 m d. 55 m e ,456 m 35

36 MEDIDAS DE SUPERFÍCIE (ÁREA) A unidade padrão de medida de superfície é o metro quadrado e representamos por m 2. Então teremos seus múltiplos e submúltiplos. MÚLTIPLOS DO METRO QUADRADO km 2 - quilômetro quadrado ( m 2 ) hm 2 - hectômetro quadrado ( m 2 ) dam 2 - decâmetro quadrado (100 m 2 ) SUBMÚLTIPLOS DO METRO QUADRADO dm 2 - decímetro quadrado (0,01 m 2 ) cm 2 - centímetro quadrado (0,0001 m 2 ) mm 2 - milímetro quadrado (0, m 2 ) Na prática é interessante construir a escada abaixo, e lembrar que cada degrau equivale a duas casas decimais. Exemplo: Completar: a. 0, km 2 =... m 2 b. 0, km 2 =... m 2 c. 0, hm 2 =...cm 2 d. 0,789 m 2 =... mm 2 e ,4 cm 2 =... hm 2 Respostas: a m 2 b m 2 c cm 2 d mm 2 e. 0, hm 2 36

37 MEDIDA DE VOLUME Matemática A unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico e representamos por m 3. Teremos, então, múltiplos e submúltiplos. MÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO km 3 - quilômetro cúbico ( m 3 ) hm 3 - hectômetro cúbico ( m 3 ) dam 3 - decâmetro cúbico ( m 3 ) SUBMÚLTIPLOS DO METRO CÚBICO dm 3 - decímetro cúbico (0,001 m 3 ) cm 3 - centrímetro cúbico (0,000001m 3 ) mm 3 - milímetro cúbico (0, m 3 ) Na prática é interessante construir a escada abaixo, e lembrar que cada degrau equivale a três casas decimais. EXEMPLO: Completar a. 0, km 3 =...m 3 b. 0, km 3 =...m 3 c. 0, hm 3 =... cm 3 d. 0, m 3 =...mm 3 e ,4 cm 3 =...m 3 Resposta: a m 3 b m 3 c cm 3 d mm 3 e. 0, m 3 37

38 MEDIDAS DE CAPACIDADE A unidade padrão de capacidade é o litro e representamos por l. Então teremos seus múltiplos e submúltiplos. MÚLTIPLOS DO LITRO kl - Quilolitro (1.000 litros) hl - Hectolitro (100 litros) dal - Decalitro (10 litros) SUBMÚLTIPLOS DO LITRO dl - decilitro (0,1 do litro) cl - centilitro (0,01 do litro) ml - mililitro (0,001 do litro) Analogamente, teríamos: Obs.: A relação entre a medida de capacidade e de volume é : 1 l = 1 dm 3 Exemplo: Completar a. 2 l =...dm 3 b. 3 dm 3 =... l c l =...m 3 d ,7 m 3 =...dm 3 e l =...m 3 Resposta: a. 2 dm 3 38 b. 3 l c. 3,243 m 3 d. 8,4267 dm 3 e. 5 m 3

39 MEDIDAS DE MASSA A medida de massa tem como unidade padrão o grama e representamos por g. Análogamente, temos os múltiplos e submúltiplos MÚLTIPLOS Quilograma (kg) g Hectograma (hg) g Decagrama (dag) - 10 g SUBMÚLTIPLOS Decigrama (dg) - 0,1 g Centigrama (cg) - 0,01 g Miligrama (mg) - 0,001 g MEDIDAS NÃO DECIMAIS TEMPO 1 Dia = 24 Horas 1 Hora = 60 min. 1 Minuto = 60 Seg. Ano Comercial = 360 Dias Ano Civil = n exato de Dias = 365 dias (ou 366 dias) Mês Comercial = 30 Dias Mês Civil = n exato de Dias = 28/29, ou 30, ou 31 dias EXEMPLO: Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80 cm e com velocidade constante de 2m/s. Quantos passos ela dará em 60 segundos? v = 2m/s t = 60 seg. s = v t s = 2 60 s = 120 m s = cm O número de passos é = 150 passos 80 39

40 EXEMPLO: Uma indústria possui, em seu reservatório, 0,25dam m dm cm 3 de óleo de soja. A empresa pretende embalar o produto em latas de 900 ml. Sabendo-se que no processo de embalagem há uma perda de 1% do líquido, qual o número de latas de soja que a indústria produzirá? 0,25 dam 3 = dm 3 = l 150 m 3 = dm 3 = l dm 3 = dm 3 = l cm 3 = dm 3 = l Total = dm 3 = l 1% de perda Resta = l l Distribuímos em latas de 900 m l. Teremos: l : 900 m l = l : 0,9 l = latas. EXEMPLO: 100 dm x 0,1 dam x 100 mm = 100 dm x 0,1 dam x 100 mm = 10 m x 1 m x 0,1 m = 1m 3 EXEMPLO: Uma sala de 0,007 km de comprimento, 80 dm de largura e 400 cm de altura, tem uma porta de 2,40 m 2 de área e uma janela de 2m 2 de área. Sabendo-se que com 1 litro de tinta pinta-se 0,04 dam 2, indique a quantidade de tinta necessária para pintar a sala toda, inclusive o teto. Dados do problema: comprimento: 0,007 km = 7 m largura: 80 dm = 8 m altura: 400 cm = 4 m Então a área total da sala, sem considerar o chão, é: 2 x 7 x x 8 x x 7 = = = 176 m 2 Deduzindo a área da porta e janela, temos: 176 m 2 2,40 m 2 2 m 2 = = 171,6 m 2 a ser pintado. 40

41 O problema diz que "com 1 litro de tinta pinta-se 0,04 dam 2 (4 m 2 ), fazendo a regra de três, temos: 1l 4 m 2 x l 171,6 m 2 x = 1716, 4 x = 42,9 litros EXEMPLO: Uma região retangular de 20 km por 15 km está sendo mapeada em uma escala em que 1 km : 300 km. Qual o menor número de folhas de papel de 5m x 2m que são necessárias para fazer tal mapa? 20 km x 15 km Mapeada a região 20 km km 300 que usa 0,06666 km x 0,05 km isto é: 66,666 m x 50 m Folhas de papel 5 m x 2 m Se considerarmos 5 m x 2 m, teremos: 14 x 25 = 350 folhas Se considerarmos 2 m x 5 m, teremos: 34 x 10 = 340 folhas Resposta: 340 folhas EXEMPLO: Para percorrer totalmente uma ponte de 100 m de comprimento, um trem de 200 m, a 60Km/h, leva: Ponte: 100m Trem: 200m m v = s = 50 3 m/s s = v t s t = v t = 50 t = t = 18 s

42 EXEMPLO: Se 300 cm 3 de uma substância têm uma massa de 500g, quanto custarão 75 dl dessa substância, sabendo-se que é vendida R$ 25,50 o quilograma? Obs.: 1l = l dm 3, logo: 300 cm 3 = 0,3 dm 3 = 0,3 l = 3d l Capacidade Massa 3 d l 0,5 kg 75 d l x kg 3 05 =, 75 x x = 12,5 kg Logo, o custo total será: 12,5 kg x 25,50 = R$ 318,75 EXEMPLO: Uma tartaruga percorreu, num dia, 6,05 hm. No dia seguinte, percorreu mais 0,72 km e, no terceiro dia, mais cm. Podemos dizer que essa tartaruga percorreu nos três dias uma distância de : Distância percorrida no primeiro dia: 6,05 hm = 605 m Distância percorrida no dia seguinte: 0,72 km = 720 m Distância percorrida no terceiro dia: cm = 125 m logo: 605 m m m = m EXEMPLO: Num mapa, cuja escala é em km, a distância real. 1 a estrada Belém-Brasília tem 67 cm. Calcular, cm no mapa equivale a cm na estrada logo: 67cm no mapa equivalem a 67 x cm na estrada. Portanto, a distância é cm; transformando para km: temos km. 42

43 EXEMPLO: Matemática Um automóvel percorre a distância de Brasília a Belo-Horizonte, de 729 km, em 7 horas e 30 minutos. Qual a sua velocidade média? Velocidade média = distancia ^ tempo 729 km Velocidade média = 7,5h Velocidade média = 97,2 km/h EXEMPLO: Na planta de um apartamento, as dimensões da sala são: 9 cm de largura e 12cm de comprimento. Ao construir o apartamento, a sala ficou com uma largura de 7,5 m. A medida do comprimento dessa sala é : Na planta, temos: largura: 9cm comprimento: 12cm Na construção, temos: largura: 7,5m comprimento: x Trata-se de um problema de regra de Três. largura comprimento 9 cm 12 cm 7,5 m x m 12 7, 5 x = 9 x = 10m 43

44 EXEMPLO: Um automóvel, com velocidade de 80 km/h, percorre uma estrada em 1h 30min. Em quanto tempo o mesmo automóvel percorrerá 3/5 da mesma estrada com 25% da velocidade inicial? V 1 = 80 Km/h t 1 = 1,5 h S 1 = v 1 t 1 S 1 = 80 x 1,5 S 1 = 120 km S 2 = S 2 = 72 km V 2 = 25% 80 V 2 = 20 km/h T 2 S2 72 = T2 = V 20 2 T 2 = 3,6 h Logo: T 2 = 3 h + 0,6 h T 2 = 3 h + 0,6 x 60 min. T 2 = 3h e 36 min. EXEMPLO: Um arquiteto planejou uma caixa de água de base quadrada, para litros de capacidade, com altura igual ao dobro do lado. Na execução da obra, o construtor fez o lado igual à altura planejada. Sabendo-se que a caixa de água continuou com a mesma capacidade, a nova altura mede : A caixa de água planejada: Como a capacidade era litros Temos: capacidade = l = dm 3 = 2 m 3 capacidade = 2 m 3 44

45 logo: capacidade = 2x x 2 = 2 m 3 2x 3 = 2 m 3 x 3 = 1 m 3 x = 1 m Conclusão: a altura planejada era 2x, portanto: altura planejada = 2m A caixa de água construída com o lado igual à altura planejada, logo: a capacidade é 2 2 y = 2 4y = 2 y = 2 4 y = 0,5 m Obs.: Entendemos como lado, a aresta da base. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. Se a velocidade média de um veículo é 12m/seg., quantos quilômetros ele percorrerá em 3 horas? (Dado: 1 hora equivale a segundos). a. 129,60 b. 130 c. 132,50 d. 135 e. 148,40 Resposta: A 02. As dimensões de um terreno retangular são: 80m de comprimento por 12m de largura. Em um outro terreno, a medida do comprimento é 80% da medida do comprimento do primeiro. Se ambos têm a mesma área, a largura do segundo terreno é? (em metros) a. 9 b

46 c. 12 d. 15 e. 18 Resposta: D 03. (BANESPA) - Dois ciclistas saem juntos, no mesmo instante e no mesmo sentido, do ponto de partida em pista circular. O primeiro dá uma volta em 132 segundos e o outro em 120 segundos. Calcule os minutos que levarão para se encontrar novamente. a b. 132 c. 120 d. 60 e. 22 Resposta: E 04. O pátio de um colégio é retangular e mede 104m de comprimento e 56m de largura. Quer-se plantar eucaliptos em volta, mantendo entre as árvores a mesma distância, que deve ser a maior possível. Determinar o número de pés de eucaliptos, sabendo que se planta um pé em cada canto. a. 40 b. 38 c. 35 d. 29 e. 18 Resposta: A 05. Um indivíduo compra um terreno retangular que tem um perímetro de 64 metros e cuja largura é 5 metros maior do que a metade do comprimento. Pode-se concluir que a relação entre a largura e o comprimento do terreno é: a. 3/5 b. 7/9 c. 5/7 d. 6/8 e. 4/6 Resposta: B 46

47 06. Duas vasilhas contêm, em conjunto, 36 litros de água. Se transferíssemos, para a que tem menos água, 2/5 da água contida na outra, ambas ficariam com a mesma quantidade de água. Quantos litros de água contém cada vasilha? a. 30 e 6 b. 29 e 7 c. 28 e 8 d. 27 e 9 e. 31 e 5 Resposta: A 07. Dois viajantes estão distantes, um do outro, 400 km. Se um deles viaja de primeira classe e o outro de segunda classe, quanto deverá viajar cada um para que as suas despesas sejam as mesmas, sabendo-se que o preço, por km, é R$ ,00 para a primeira classe e R$ ,00 para a segunda classe. a. 160 km e 240 km b. 150 km e 250 km c. 140 km e 260 km d. 130 km e 270 km e. 120 km e 280 km Resposta: A 08. Um automóvel consome 8 litros de gasolina quando funciona durante 40 minutos seguidos. Se funcionasse durante 3 horas e 20 minutos, quantos litros de gasolina consumiria? a. 40 l b. 60 l c. 38 l d. 55 l e. 72 l Resposta: A 09. Uma caixa leva 900 litros de água, uma torneira a enche em 9 horas e outra a esvazia em 18 horas. Abrindo-se as duas torneiras a caixa ficará cheia em : a. 18 horas b. 12 horas c. 06 horas d. 03 horas e. 08 horas Resposta: A 47

48 10. (TTN) - Uma caixa de água com capacidade de 960 litros, possue uma tubulação que a enche em 7 horas. Possue um "ladrão" que a esvazia em 12 horas. Com a água jorrando, enchendo a caixa e o "ladrão" funcionando simultaneamente, em quanto tempo a caixa ficará cheia? a. 16h e 8min. b. 14h e 8min. c. 16h e 28min. d. 16h e 48min. e. 14h e 48min. Resposta: D 11. Um gramado de 720 m 2 foi podado por dois homens, que trabalharam 6 horas por dia, durante 2 dias. Quantos metros quadrados três homens conseguiriam podar se trabalhassem 8 horas por dia durante 3 dias? a b c d e Resposta: A 12. (TTN) - No interior de um colégio há um grande pátio quadrado composto de uma área calçada e outra não calçada, destinado aos alunos. A área calçada está em redor à área não calçada e tem uma largura de 3m nos seus lados paralelos. A área da parte não calçada está para a área total do pátio, assim como 16 está para 25. O lado do pátio mede: a. 36m b. 24m c. 18m d. 32m e. 30m Resposta: E 13. (TTN) - Uma pessoa caminha com passadas iguais de 80cm, com velocidade constante de 2m/s. Quantos passos ela dará em 60s? a. 240 b. 180 c. 150 d. 120 e. 90 Resposta: C 48

49 14. Uma roda faz rotações em 27 minutos. Quantas rotações fará em 2horas e 24 minutos? a voltas b voltas c voltas d voltas Resposta: A 15. Duas torneiras são abertas juntas, a primeira enchendo um tanque em 5 horas, a segunda outro tanque de igual volume em 4 horas. No fim de quanto tempo, a partir do momento em que as torneiras são abertas, o volume que falta para encher o segundo tanque é 1/4 do volume que falta para encher o primeiro tanque? a. 3h e 54 min b. 3h e 45 min c. 4h e 53 min d. 4h e 35 min e. 5h e 34 min Resposta: B 16. (MPU) - Uma peça de certo tecido foi dividida em 4 partes proporcionais aos números 10, 12, 16 e 20. Sabendo-se que a peça tinha 232 metros, o comprimento do menor corte foi de: a. 20 metros b. 40 metros c. 30 metros d. 48 metros e. 64 metros Resposta: B 17. (MPU) Sabe-se que o comprimento, a largura e a altura de um depósito de água, cuja capacidade é de litros são proporcionais, respectivamente, aos números 10, 6 e 2, nessas condições a medida da largura desse depósito é de: a. 8 metros b. 12 metros c. 40 metros d. 16 metros e. 24 metros Resposta: E 49

50 19. (TRT) - Um trem de 400 metros de comprimento, tem velocidade de 10 km/h. Quanto tempo ele demora para atravessar completamente uma ponte de 300 metros de comprimento? a. 1min e 48seg b. 2min e 24seg c. 3min e 36seg d. 4min e 12seg e. 5min Resposta: D 50

51 Juros e Porcentagem CONCEITOS DE MATEMÁTICA FINANCEIRA Matemática 1.1 INTRODUÇÃO O pouco tempo disponível para o perfeito e ideal desenvolvimento dos alunos de Matemática Financeira em classe, além da necessidade de oferecer aos candidatos aos cargos públicos e privados um material prático provocou o nascimento desse material. Nas próximas páginas, o leitor terá a oportunidade de conhecer e manipular diversas formas de aplicações financeiras e, conseqüentemente, analisar as relações entre elas e as respectivas evoluções com o decorrer do tempo. 1.2 DEFINIÇÕES JURO(J) Podemos definir juro como sendo a remuneração do empréstimo de um recurso financeiro, isto é, podemos encarar o juro como sendo o aluguel pago(ou recebido) pelo uso de um recurso financeiro. Por exemplo, suponhamos que pedimos um empréstimo de R$ 1000,00 ao Banco da Praça, para pagamento de 10% de juro daqui a um mês. É evidente que o dinheiro não é nosso, porém ele está a nossa disposição e podemos fazer o que bem entendermos com ele durante um mês. No fim do mês devemos devolver a quantia de R$ 1000,00 e pagar pela disponibilidade dessa quantia nesse período; este pagamento, da disponibilidade, é chamado de juro. (neste caso é R$ 100,00) CAPITAL(C) Chamamos de Capital ou Principal ao recurso financeiro transacionado. No exemplo anterior o capital foi a quantia de R$ 1000,00. TAXA DE JURO(i) É o valor do juro, em uma unidade de tempo, e será expresso como porcentagem do capital, logo chamaremos de taxa de juro durante essa unidade de tempo. Sendo assim, teremos: a. A taxa de juro de 10% a.d.(dez por cento ao dia) significa que o valor do juro é igual a 10% do capital, por dia. b. A taxa de juro de 20% a.a.(vinte por cento ao ano) significa que o valor do juro é igual a 20% do capital, por ano. 51

52 Sendo assim, teremos: J = Juro C = Capital i = Taxa de Juro expressa como porcentagem do capital. J Daí, pela definição, temos: i = C Observe que podemos concluir que juro em uma unidade de tempo é o produto do capital pela taxa de juro, isto é: J = C. i MONTANTE(M) Chamaremos de montante o capital acrescido do juro, e denotaremos por M, isto é: M= C+J Resumo a. A definição de juro é equivalente ao pagamento de um aluguel de dinheiro. b. Observamos a definição taxa de juro(no singular), em uma unidade de tempo, isto é, taxa de juro é definida para uma unidade de tempo. EXEMPLO Qual o juro e o montante obtido em uma aplicação de R$ 1.000,00, durante um ano, a uma taxa de juro de 25% a.a.? Como a taxa de juro está expressa no período anual temos: C= R$ 1.000,00 i= 25% a.a. Logo o juro em um ano será J = C.i J = % J = J = J = R$ 250,00 montante será M = C + J M = M = R$ 1.250,00 52

53 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO Matemática Chamamos de regime de capitalização à maneira como o montante evolui através de vários períodos, aos quais a taxa se refere. Sendo assim, teremos dois conceitos: a. Regime de Capitalização Simples É o regime em que a taxa de juro incide somente sobre o capital inicial. Portanto, em todos os períodos de aplicações, os juros serão sempre iguais ao produto do capital pela taxa do período. EXEMPLO Seja a aplicação de um capital de R$ 1.000,00, à taxa de juro igual a 10% a.m., durante 3 meses. Qual os juros totais e qual o montante dessa aplicação, se o regime é o de capitalização simples? Seja J 1 o juro no fim do primeiro mês: J 1 = x 10% J 1 = R$ 100,00 Seja J 2 o juro no fim do segundo mês: J 2 = x 10% J 2 = R$ 100,00 Seja J 3 o juro no fim do terceiro mês: J 3 = x 10% J 3 = R$ 100,00 Assim teremos o Juro Total (J): J = J 1 +J 2 +J 3 J = 100, , ,00 J = R$ 300,00 O montante (M) será: M = C+J M = 1.000, ,00 M = R$ 1.300,00 b. Regime de Capitalização Composta É o regime em que a taxa de juro incide sobre o montante obtido no período anterior, para gerar juros no período atual. EXEMPLO Seja a aplicação de um capital de R$ 1.000,00 à taxa de juro igual a 10% a.m., durante 3 meses, no regime de capitalização composta. 53

54 No fim do 1º mês teremos o Juro e o Montante: J 1 = x 10% J 1 = R$ 100,00 M 1 = R$ 1.100,00 No fim do 2º mês teremos o Juro e o Montante: J 2 = x 10% J 2 = R$ 110,00 M 2 = R$ 1.210,00 No fim do 3º mês teremos o Juro e o Montante: J 3 = x 10% J 3 = R$ 121,00 M 3 = R$ 1.331,00 FLUXO DE CAIXA É a representação gráfica de um conjunto de entradas e saídas de dinheiro relativas a um determinado intervalo de tempo, na seguinte forma: a. Coloca-se na linha horizontal o período considerado b. Representam-se as entradas por setas de sentido para cima, e as saídas com setas de sentido para baixo. c. Evidentemente haverá sempre dois pontos de vista. EXEMPLO Um carro, que custa RS ,00 é vendido a prazo por 5 prestações mensais e iguais a R$ ,00, com a primeira prestação vencendo 1 mês após a venda. No ponto de vista do vendedor a diferença entre a soma das entradas e o valor do carro, corresponde aos juros relativos à aplicação de R$ ,00, também representada no gráfico. C = R$ ,00 No ponto de vista do comprador a diferença entre a soma das saídas e o valor do carro, corresponde ao juro relativo ao empréstimo de R$ ,00, também representada no gráfico 54

55 C = R$ ,00 R$ ,00 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 1. CÁLCULO DE JUROS SIMPLES E MONTANTE Seja C um Capital (ou Principal) aplicado à taxa i por período, durante um prazo de n períodos consecutivos, sob o regime de capitalização simples. Conforme vimos no capítulo anterior, os juros serão iguais em todos os períodos, e, portanto, teremos: Onde: J 1 = J 2 = J 3 =... = J n = C.i daí, o Juro total nos n períodos será J = J 1 + J 2 + J = J n J = C.i + C.i + C.i C.i J = C.i.n Para o Montante teremos M = C+J M = C + C.i.n M = C.[ 1 + i. n] EXEMPLOS Qual o valor dos juros obtidos por um empréstimo de R$ 2.000,00, pelo prazo de 3 meses, sabendo-se que a taxa de juros simples cobrada é de 5% ao mês? C = R$ 2.000,00 i = 5% a.m. n = 3 meses 55

56 J = C. i. n J = %. 3 5 J = J = J = R$ 300,00 Um capital de R$ ,00 aplicado durante 5 meses, a juros simples, rende R$ ,00. Determinar a taxa de juros cobrada. C = R$ ,00 n = 5 meses J = R$ ,00 J = C. i. n = i i = i = i = 250 = 0,004 i = 0,4% a.m. Calcular o montante da aplicação de R$ ,00, pelo prazo de 6 meses, à taxa de juros simples de 5% a.m. C = R$ ,00 n = 6 meses i = 5% a.m. M=C.[1+i.n] M = [1 + 5%. 6] M = [1 + 30%] M = R$ ,00 2. TAXAS PROPORCIONAIS Duas taxas são ditas proporcionais se mantiverem entre si a mesma razão que os períodos de tempo a que se referem. Assim, a taxa i 1 a. n 1 é proporcional à taxa i 2 a. n 2 se, e somente se: i i 1 2 n = n

57 EXEMPLO Qual a taxa mensal proporcional à taxa de 36% a.a.? i1 n1 = i2 n2 Matemática i 1 1 = 36% 12 i 1 = 3% a.m. 3. TAXAS EQUIVALENTES Duas taxas são ditas equivalentes, a juros simples, se aplicadas a um mesmo capital e durante um mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro. Sejam: i: a taxa de juros simples aplicada no período de 0 a 1 i k : a taxa de juros simples aplicada a cada intervalo fracionário. 1 k do período Se i e i k são equivalentes, temos: J = C.i e J = C.i k.k então: i k = i k EXEMPLO Qual a taxa mensal simples equivalente a 36% a.a.? i k = i k i k = 36% 12 i k = 3% a.m. Qual a taxa semestral simples equivalente à taxa de 10% a.m.? i =? a.s. i k =10% a.m. K = 1 semestre = 6 meses i = i k. k 57

58 i = 10%. 6 i = 60% a.s. Obs.: Observe que no regime de capitalização simples, as taxas equivalentes produzem o mesmo conceito que as taxas proporcionais. EXEMPLO Calcular o juro simples de uma aplicação de R$ 1.000,00, à taxa de juro de 36% a.a., durante o prazo de 6 meses C = R$ 1.000,00 i = 36% a.a. n = 6 meses Observe que o período a que se refere a taxa (ano) não é o mesmo período de aplicação (mês). Portanto, a taxa mensal equivalente a 36% a.a. será 3% a.m. Logo: J= %. 6 3 J = J = R$ 180,00 4. JURO EXATO E JURO COMERCIAL (ORDINÁRIO) Quando as aplicações ocorrem por alguns dias será conveniente utilizarmos a taxa equivalente diária. Nesse caso teremos dois enfoques: a. Ano Civil: 365 dias ou 366 dias para ano bissexto e os meses com o número real de dias. b. Ano Comercial: 360 dias e os meses com 30 dias. Os juros que seguem o enfoque a são chamados de juros exatos. Os juros que seguem o enfoque b são chamados de juros comerciais (ou ordinários). EXEMPLO Qual o juro exato de uma aplicação de R$ ,00, à taxa simples de 10% a.a. durante 10 dias? C = R$ ,00 i = 10% a.a. n = 10 dias 58