Matemática C Extensivo V. 3

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1 Matemática C Extensivo V. Exercícios 0) C 0) D De acordo com a relação apresentada no exercício e com a figura temos: I. Resistência e comprimento º fio º fio (R) R R () l l Note que a resistência (R) cresce na mesma razão que cresce o comprimento ( ). l II. Resistência e secção transversal (A) Note que a resistência (R) decresce e a secção transversal (A) cresce na razão inversa. III. Comprimento ( ) e secção transversal (A) º fio () l l º fio l A (A) Note que o comprimento ( ) cresce na mesma razão que cresce a secção transversal (A). A 0) E III. A V Para acharmos a capacidade de armagenagem do aquífero transformamos quilômetros cúbicos para metros cúbicos. km 00 m, portanto ( km) (00 m) é igual km 9 m O aquífero tem km, então m 0. m Calculamos do reservatório em metros cúbicos. m 00 L O reservatório tem 0000 L, então: 0. L x m 00 L m x L 00 Dividindo o aquífero pelo reservatório 0.. 8, ) D 0) E Dada a ausência de instrumentos de medida, em cada etapa só é possível encher um recipiente ou transferir todo o conteúdo de um recipiente para outro. Na ª etapa, observamos que foram transferidos 800 ml de azeite da lata para a garrafa com capacidade de 800 ml. Para que isso seja possível, deve-se esvaziar tal garrafa, que na 4ª etapa continha 00 ml, transferindo esse conteúdo para a garrafa com capacidade de 00 ml. O resultado dessa operação está apresentado na alternativa D. O que a questão pede é: quando a população vai consumir de litros de água/dia. Com a seguinte tabela. Calculando a área de superfície e o volume de cada tanque a partir das fórmulas: área (A) π. R. l volume (V) π. R. l π. I. A... 7 V.. 7 II. A V Lembre-se de que a cada ano a população aumenta em torno de 000 habitantes e que o consumo de água é população vezes 0. Matemática C

2 0) 0 Fixe x (0, 0). A quantidade de água colocada no barril é x x x + x, então: 0 x 00 x através da soma e produto S: x' 0 p: x" 80 Com x (0, 0), a única opção é x 0. 07) min. Note que se T tanque, então x T + x + T T T x + ( x + ). x x 8 + ( + ) 8 8 e assim x. Logo o tempo gasto foi x + (x + ) + 9 min.. x + x +, portanto x 0 08), x 7 mg/g picograma g. A partir do gráfico a concentração de chumbo é aproximadamente 0 picogramas/g. Assim, em uma garrafa de 70 ml de vinho, temos 0,7 L de vinho. Com isso, como L equivale pg, ou seja L 00 g, temos que: 0,7 L 0,7. 00 g 70 g. Logo, em uma garrafa teremos 70 g x 0 picogramas/g 8 00 picogramas de chumbo. Passando para mg, picograma 9 mg 8 00 pico x mg x,8. 4 mg Como o enunciado pede concentração (massa/volume), temos que,8. 4 mg/70 g,. 7 mg/g 09) Copo menor, pois 90/00 < 70/00 No º copo: 00 ml/90,00 cr$, ml/cr$ No º copo: 00 ml/70,00 cr$,94 ml/cr$ Para cada cruzeiro no º copo eu tomo, ml de refrigerante e no º copo,44 ml, então bebo mais no copo de 00 ml pagando o mesmo preço. ) No mínimo 7,9 Prova p Prova p Prova p Temos que: p. + p. + p., Substituindo p e p, temos:,. + 4,. +. p,, p 9 p,7 p 7,9 ) 80,77 g de lentilha A cada 0 g soja seca g de proteína 0 g de lentilha g de proteína A pessoa consumiu 40 g de soja 40 g de soja x g de proteína 0 g de soja g x 49 g de proteína 70 g 49 g g restantes para consumo g de proteína y g de lentilha g de proteína 0 g de lentilha y 80,7 g ) R$ reais ) D Seja a importância igual a x. Pelos dados temos que x x 000, então x x x 8x x x reais Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear, tomamos os pontos (, 0) e (7, 00) para construir uma reta: m y x (y y 0 ) m(x x 0 ) y 0 00 (x ) 7 y 00 x Logo se y 400, temos: x x x, 7 00 Matemática C

3 4) C ) B 9 x 40.,.. 9 y Logo 8x y Supondo que cada pedalada é uma volta na catraca maior e cada volta na maior é na menor, temos: (voltas) x (voltas) 8 voltas. ) B 7) B O gasto deverá ser diretamente proporcional. 0, 8 x 08,. x 0,4 F L. H x x x 4 x x ± 8) V V V 0. Verdadeira. Pois. 00 ml 0 ml de vermute. Como 0% do vermute são de álcool, tem-se que 0% de 0 ml são 0 ml de álcool. Por outro lado,. 00 ml 00 ml de gim, e assim 40%. 00 ml 00 ml de álcool. Logo, uma garrafa de 00 ml totaliza 0 ml de álcool. 0. Verdadeira. Em uma garrafa de L de martini seco temos:. 00 ml, ml de vermute, e assim, ml de álcool. 00 ml 97, ml de gim, e assim 7 ml de álcool Já em uma garrafa de L de martini doce temos:. 00 ml, ml de vermute, e assim, ml de álcool. 00 ml 8, ml de gim, e assim, ml de álcool Portanto em uma garrafa de L, temos: e 87,, 0, 8 % de diferença 87, +, 0. Verdadeira. 77,08 > 70 7% (dos 00 ml) Matemática C

4 9) V V F F ) D Verdadeira., é o valor de cada 8 escala. Logo, na seta temos: 8 +., 8 +,7,7. 0. Verdadeira. x y x + y x 0 y 4. x y 0% Note que ) A ) D ) B 0. Falsa. Note que a cada C que aumentam, 0 N aumentam. Para se chegar a 0 C, precisamos apenas de C, e assim, 0 N C x N C x 44 Logo, a temperatura necessária de ebulição é 44 N. 04. Falsa. Seja x a idade do indivíduo e seja y o tempo de trabalho. Então, pelo enunciado, x + y 9. Mas se um trabalhador começar com anos, "faltam 70 anos na equação". Entretanto, a cada ano que ele trabalha, ele envelhece um ano também. Logo, depois de anos ele se aposenta. Portanto, aos 0 anos estará aposentado. (0 + 9 na equação). V 0, V P P Regra de três composta. x. x. 00 x 00 gravetos ,. 9 anos 4 anos,0. 9 anos x anos (regra de simples) 4. 4,. 9 x 4.,0. 9 x 9 0 anos. 4,. 9 4) D ) B Mas em III temos:, e assim x 40 x 4. x. x. Os respectivos inversos serão: e (,) (,). e.. (, ). (, ) (I) (II) 7,8 h. Mas 7,8 h 7h48', ou seja, Como a proporcionalidade entre dois números não se altera se multipicarmos (ou dividirmos) esses números proporcionais por um mesmo número, podemos dividir cada uma das expressões I e II por que a proporcionalidade (, ) entre elas não se alterará. Assim, I e II ficam: e... Logo, Façamos, 4 Matemática C

5 F A fortuna a ser distribuída ao que inicialmente tinha mi. F A fortuna a ser distribuída ao que inicialmente tinha mi. F F + F total da fortuna acumulada a ser distribuída. F F F + F F F. F F. F... F ) B F.. F.. F Como é proporcional, basta dividir o salário de anos pelo de 8 anos e ver se a proporcionalidade é igual, depois pega- -se a idade de trabalho e também se divide e, se houver diferenças, subtraem-se os valores. Se houver diferença, encontre-a e aplique regra de três na contribuição. Ficando: 00 90, e 8,. Como,, 0, a contribuição dada é igual e não aplica-se a regra de ao valor da contribuição. Logo, o empregado de 8 anos também tem R$ 0,00 de contribuição. 7) V V V F Verdadeira. Pois k y e y k k, logo x z y k k k k z Verdadeira. Pois x k. y, w k y z w. z constante x k. x z k k.k z constante Verdadeira. Pois, se x k. y e x k. y, então: x. y ky k x. x. y y. x. Falsa. Tome os hexágonos de lados l e l. 8) C 9) B 0) E ) E 80 k( ) K 80 O que trabalhou menos k.. 4. Portanto, R$ 4, mw bi mw ,.,. 4 Como a estação trata litros de água por segundo, o volume de água tratada em uma hora será igual a litros. Cada litro de água pode conter no máximo, miligramas de flúor. Como miligrama é igual a 0,00 g,, miligrama é 0,00 g. O cálculo do flúor necessário será dado por: , g kg Regra de simples: 40 g x (cidade) 0,8 g 000 m (praça) x x m 08, ) E mil S 0 mil A 4 mil Regra de simples: Evandro: x (lucro) (lucro) x x Sandro:?,. A A (. ) mil x 90 mil 0 mil 0 mil. 0 mil x 0 mil. 90 mil Matemática C

6 Antônio: mil x 90 mil 0 mil mil. 0 mil x 4 mil. 90 mil ) Regra de composta: ) R$ 40,00 Seja F a força de trabalho do segundo cavalo: x. 7) 0, 40 e 40 x Note que: anos e 9 meses são,7 4 anos. anos e 4 meses são, anos. Então:. F 480 x F x x 40 Logo, o preço do cavalo é de R$ 40,00 4) 4 L ,4 L % xl 4,4 % x x 4, 4 % x x 9 L. Logo, L evaporados. ) pessoas Quantos funcionários são necessários para se concluir a obra em 8 meses, sendo que faltam km? 8) a) 4% b) 0% c) d) a) (0%) % b) % 0% c) 0 0% d) 0% ) 8% Regra de composta: x x x O número de abstenções foi: Então: 0% x x. 0% 0,08. 0% 8% Matemática C

7 40) 8,4% 47% + 9% + x% + x% 0% 8 % + x % 0 % x ( 0 8 ). 8,4% Logo, o percentual de votos brancos foi de 8,4%. 4) 70 g A + C 0 A 0 C 40% A + C 70 Sejam: P C peso do copo. P A peso da água. Então: P P C + P A 0 g Pelo enunciado: P P A. 0% 70 g 0 P A. 0% 70 0%P A 0 70 P A 0,. 0 0 g 0%. 0 Portanto: P C P P A g 4) R$ 4 000,00 Pelo enunciado, temos que: x + 0%. x x x 0 x 000 Logo, x + 0%. x Portanto, o preço passa a ser R$4 000,00. 4) Perdeu 4% Sejam: x valor de venda do rádio A. x valor de venda do rádio B. Pelo anunciado sabemos que: Custo de A + 0% custo de A x. Custo de B 0% custo de B x. Logo,, custo de A 0,8 custo de B. custo dea E assim, custo deb 08,, Vamos supor que A tenha custado 00. Então B custou 00. Venda de A com lucro de 0% Venda de B com prejuízo de 0% Resultado apurado com a venda dos dois Capital investido na compra dos dois João investiu 00 e vendeu por 480, então perdeu 0. Mas 0 4 4% 00 0 Logo, João perdeu 4%. 44) B Seja P a quantidade de papelão usada pela embalagem pequena. Então, embalagem grande ( 0,).. P,7 P. Para, kg, pode-se adquirir: embalagens grandes.,7 P,4 P embalagens pequenas P Logo, a economia percentual na embalagem é de: (, 4), 0, % 4) C O valor pago antes do aumento era: x + 0% x 0, x 0 x 0 00, O número de bolsista contemplados em 0 era: %, alunos O valor total em 0 era: reais O valor total em 009 era: reais Logo, em 0, a quantia em dinheiro que aumentou foi: Dividindo pelo valor das bolsas em 009, fica: ) E Descontar % é o mesmo que multiplicar por 7% 0,7. Aumentar % é o mesmo que multiplicar por %,. Pagando as parcelas: Cheque especial: reais. Cartão de crédito: reais. Total: 00 reais Matemática C 7

8 47) D Quitação imediata: Cheque especial: reais. Cartão de crédito: ,7 00 reais. Total: 800 reais. Verificando cada uma das alternativas, temos: a) 8. 0 reais. b) 800., 0 reais. c) 00 reais. d) 00., reais. e) 00., reais. Logo, a alternativa com o menor custo é a opção E. Sendo T o total de consumo na mistura, em milhões de litros, temos: 9 0,04. T T 9 004, Caso a mistura tivesse % do combustível, o consumo de biodiesel, em milhões de litros, seria: 9 0,0. T. 9, , Ou seja, 9,7 milhões de litros. 48) A Tomemos a mistura 0, L + 0,7 L km. Mas, com 0, L de álcool, andam-se km. Logo, com 0,7 L de gasolina, andam-se 9 km. ( + 9 km) Assim, 0,7 L 9 km,00 L x 9 x km/l 07, Com a nova mistura: 0,8 L gasolina + 0, L álcool 0,8. + 0,. 8 9, +,, km 49) A Sejam, a preço inicial da mercadoria A. b preço inicial da mercadoria B. a( + 0, ) b+ 999, b( 0, 0) a Substituindo a segunda equação na primeira, ficamos com: b( 0,0). ( + 0,) b + 9,99,04 b b + 9,99 0,04 b 9,99 b 999, 04, b 0) A ) C O faturamento será de 0,9 x,0,08 vezes o faturamento anterior, Logo, aumentou em 8%. Sejam P V preço de venda. P C preço de custo. Pelo enunciado: P V P V. 0% P C P C. 0% 0,8 P V, P C P V, P C, P C 08, P V P C + 0, P C ) B ) E 4) D Logo, o preço de venda é 0% maior que o preço de custo. 4% % 4 0 a+ a a %., b+ 0%. b, b Aumento de 8% A a b,., A 8, ab Pelos processos III, IV e V do diagrama, temos: 4% + % + 4% 44% > % Metade da energia absorvida pela superfície 8 Matemática C

9 ) D 0) E % ) A Região Norte: ) D 7) C Então, no resíduo: 4 kg. 0% 9,4% 700 kg 00 g 0% 80 g x x 40% 00 Amostra após secagem Logo, 0% da amostra eram água. Portanto, era um tecido conjuntivo. x 0% x 0,7 x º mês 0,7 x + 0% (0% x) 0,7 x º mês Logo: 0,7x 800 x , 8) % de 97,8 A redução será de 97,8 KW/h. Assim, o consumo médio cairá de para 4, KW/h mensais aproximadamente. 9) 48, km² Seja A 08 área de desmatamento na Amazônia calculada em 008. Então: 0% 4974 km 4% x x 8, km 0% Como havia sido 4% maior do que em 008, tem-se que: , 87, km. Falta achar % dessa área: 87,. % 48, km² , ,8% ),..., Mais de 0 salários mínimos:.. 0,0 8. pessoas , 000 TEP. Consumo individual: 000,. EP. 8. Até salários mínimos:.. 0,0 80. pessoas , TEP. Consumo individual: ,97. EP. 80. Cálculo de x:,. x 0, 97. ) ano e 4 meses,..., C 000 i % a. a % a. m J 4000 (juros simples) J cit t t meses 0 Logo, são necessários ano e 4 meses. 4) R$409,00 70% dos 000 reais são 7 00 reais, que serão acrescidos de 0% ao ano, ou seja, 4% em ano e meio. Logo, o total pago será: % ,00 Dividindo em 8 parcelas, ficam: reais 8 Matemática C 9

10 ) C R$800,00 C R$00,00 i % a.a C t 8 i J 9 C t 8 i J 0 C C + 00 J C. i. t 9 (C + 00) i. 8 9 (I) J C. i. t 0 C. i. 8 0 (II) De (I) temos: C. i i. 8 9, então: i i 8 00 i 0 0,08 a. m. Assim. i 0,08. a. a y. a. a ) C Logo, de II: C C 800 e C M C ( + i) t (juros compostos) M 0 000( + 0,0) meses M 0 000(,0) 4, Logo, esperando meses sobram aproximadamente R$. 7) A C 000 i 0,0 t x M(t) C( + it) M(x) 000( + 0,0x) M(x) x Linear (uma reta) Conforme os meses passam (x aumenta), a quantia aumenta. 8) Aproximadamente 7 meses C 700 i 0,0 M 870, t? M C( + i) t + 0,0 870, 700 (,0) t 870, (,0) t 700,48 (,0) t log (,48) log (,0) t log (,48) t. log (,0) t log(, 48 ) 0, 00 log(, ) 0, 008 t, meses 9) % a.m. M C ( + it) (+i.), i i 0, % a.m. 70) 40% C 00 M 0 J M C x 00 0% x 0,4 x 40% 7) C C t meses e dias C t i 4,% J 9 C t i,8% J 44 C C * J C. i. t (C ). 0,04t 9 (I) J C. i. t C. 0,08t 44 (II) Matemática C Então em (I) temos: C. 0,04t ,04t 9 0,04. C. t + 0t 9 (III) Mas note que em (II) podemos escrever: C. t 44 (IV). Assim, (III) ficará: 0, 08

11 0, t 9 0, 08 Logo, , 04. 0, 08 t 0 t,4 meses e dias De (IV) temos que: 4 4 C , 08. 4, E de * temos: C ) R$99,0 7) B 74) B C 0 t 0 i 0,07 M C( + i) t (Lembre-se: log A. B log A + log B) M 0 ( + 0,07) 0 log M log 0 + (,07) 0 log M log log (,07) log M log ,09 log M log 0 + 0,8 log M log 0 + log,079 log M log 0.,079 M 0.,079 M 99, O cliente já pagou reais Assim, faltam 000 reais para pagar em parcelas de 00 reais parcelas 0 C 00 i % 0,0 t M C( + i) t M 00(,0) M 0 J M C ) R$,88 C i 9% a. a. dias do ano t M C. t. i M ,88 7) R$748,4. 77) D 78) C C 7000 i % a.m. t M C( + i) t 7000( + 0,0) M 748,4 C 000 i 0,0 t 4 M 000( + 0,0) 4 494,40 O valor dos juros resultantes é: J M C 494, ,40 t meses M(t) C. 0,0t 00, t C C. log 0, 0t. log 0,0 t t anos e 4 meses 4 79) Ao final dos dois primeiros anos, a dívida era de 000. (,) 70. Após o º pagamento a dívida era de Dois anos após o º pagamento a dívida era de 000. (,) 00. Após o º pagamento a dívida era de Um ano após o º pagamento a dívida era de 000 (,) 00 e foi então quitada. Os juros pagos foram de: ( ) , que correspondem a 0,4 4,% do valor 000 do empréstimo. Assim, as afirmações certas são 0, 04,. Matemática C

12 80) E Ao final do º ano, os 000 foram acrescidos de 0% chegando a R$ 000,00. Ele pagou , ficando 8000 para o ano seguinte. Mas durante esse º ano, incidiram mais 0% nos 8000, chegando a 900 reais. 8) VR R$7,0 VR R$,0 A segunda forma de aplicação é a mais rentável 8) E 8) D 84) E C 00 t anos i 0% A.A. 0, a.a. ª opção: º ano º ano Retirada % ª opção: º ano º ano Retirada 0,, rende:, Logo a ª opção rende mais, pois o lucro é de, reais. C milhão i 0,09 t anos M C( + i) t, logo M. ( + 0,09) M (,09) 8 ) 0 M M milhões de dólares. Mas milhões 00 bilhões trilhão. Portanto, o valor da dívida é de aproximadamente trilhão de dólares. º mês º mês , O valor dos juros é: J M C Por média aritmética simples temos: , 8) D Considere a média inicial (Mi) sendo Mi Si e a média final (Mf) como: Mf Si + x Si Mi + 0, como Mi. Então: x 0, x, Portanto, a nota do aluno (Na) era Na 7,,,0 8) C Calcule a soma das notas na primeira etapa (S ) S 00 7 S 7000 Sendo a soma das notas no total (S t ), em que St 00 + n 8 S n t Para saber o número mínimo de pessoas devemos supor que a média foi máxima. Portanto, a soma das notas (S ) é S n S n Mas S também é dada por S St S, portanto n n 7000 n ) E Sendo a nota da primeira prova x então: x+ x+ x 8, x 8, x 4, 88) I: 7,9; H: 7,; P: 7,44; M: 9,4 Inglês I.(, + 7, 8) + ( 80, + 7, ) História.(, 4+ 8, ) + ( 79, + 70, ) H Português.( 7, +, 9) + ( 70, + 8, ) P Matemática.( 8, + 9, ) + ( 9, + ) M 7, 9 7,9 7, 7, 74, 4 94, 7,44 9,4 Matemática C

13 89) (,) Sendo a média aritimética simples de quatro notas igual a,, então a soma das notas (s) é dada por S,. 4 Portanto, 90) M F 8 + 8, Para chegar a um produto de qualidade intermediária que custe,0/kg baste fazer a média ponderada dos preços por quantidade de produto. 8, x x 4 x 0 + x 9) 4 Correção: para que o exercício possa ser resolvido os números devem pertencer ao conjunto dos naturais não nulos. Primeiro calculamos a soma dos quatro números (S) S 44 S 7 4 Para que um número tenha o maior valor, os outros três devem ser os menores possíveis. x 7 4 x 4 9) E Basta realizar a média aritimética simples das idades antes e depois e compará-las. M , M 4, 9) A 94) B Soma da idade das mulheres (SM). SM 8 SM 8. 0,T 0T, Soma das idades dos homens SH SH. 0,49T 049T, Portanto a idade média da população é dada por M 8. 0, T + 49, T 8. 0, +. 0,49 7,0 T Obs.: T é o total da população. A soma total das notas é dada por S NT 00 4 S NT 400 A soma das notas de A é dada por S NA,8 SNA A soma das notas de B dada por S NB 0 x e por S NB S NT + S NA Portanto, 0x x,0 9),% Soma das notas dos homens (N H ) N H,. nº H (I) Soma das notas das mulheres (N M ) N M 7,0. nº M (II) Soma total de alunos (N H + N M ) NH+ NM,, suponha nº H + nº M 0 o o nh+ n M então N H + N M 0 (III) Substituindo (I) e (II) em (III) temos:,. n H+ 70,. n M 0 n H + n M 0 ( 7) 7 nº H +, nº H 0 ( ) 0,8 nº H 0 nº H, 9) D 97) B Como consideramos o total de alunos igual a cem, então o número de homens corresponde a,% da turma. Mediana das notas da equipe gama 0;,;,; 7; 7; 8; 8; Dessa forma, independentemente da nota do aluno faltante, a média ficará entre 7 e 7,. Portanto, de qualquer forma a equipe perderá. Calcular o número de amigas inicial (Ni) Ni 00 0 Como elas querem diminuir o número a ser pago para 0, então: 00 0 Nf Nf Fazendo o número de amigos final menos inicial: N Nf Ni 4 Matemática C

14 98) C 99) C Basta somar as notas dos três primeiros bimestres e verificar quanto falta para chegar a 0. Se for maior que, o aluno está de recuperação. Português: , 0 9 Matemática: Física: Química: Portanto ele já está de recuperação apenas em português. 0) A Número de funcionários:. O salário mais representativo da empresa é R$00,00. É o salário de funcionários, metade do número de funcionários da empresa. Soma das idades de A S A Soma das idades de T S T.. Média de idade de A e T M AT ( ) 0 9,9 anos 0 0 ) B ) B De acordo com o texto, note que basta dividir o valor gasto na coleta pelo número de trabalhadores para encontrar a renda anual de cada um.. R A 90, 80. R M 90, 4 Basta fazer uma média ponderada entre a quantidade de alimento e os litros de água utilizados em cada uma. Dividindo a quantidade de alimento por 0 temos: ) E 4) 8, ) 8 Idem ao exercício 9. Soma das notas de todos os alunos T N Soma das notas de todos do vespertino V N Soma das notas de todos do matutino M N 00x e M N T N V N, 00x , Basta fazer a média ponderada das notas, M 0 M 8 ) 7, A soma dos números iniciais (Si) vale: Si. 0 Se tirarmos, Sf 0 8 Portanto, Mf 8 9 7, 7) Usando a fórmula de média harmônica temos, n n M H Sendo n temos, M M Matemática C