12) A círculo = π r ) A lateral cone = π.r.g. 18) A lateral pirâmide = 19) (y y 0 ) = m(x x 0 ) 20) T p+1 = a

Transcrição

1 MATEMÁTICA (Prova AMARELA). INTRODUÇÃO A prova de Matemática do Vestibular 04 foi elaborada com o intuito de contemplar todos os tópicos do programa, associando convenientemente a parte teórica com as mais diferenciadas situações do cotidiano. Em várias questões é possível perceber as relações estabelecidas entre os conteúdos da matemática com diversas áreas do conhecimento. Cabe destacar que o processo de elaboração da prova busca, na medida do possível, uma aproximação com outras áreas, como por exemplo a questão 5, que faz referência a uma das obras literárias da disciplina de português, ou ainda a questão discursiva, que neste ano contou com um tema central que pôde ser explorado pelas disciplinas de Física, Química, Matemática, Geografia e História. FORMULÁRIO 0 o 45 o 60 o sen cos tg base altura ) A triângulo = ) A triângulo = D, x y ) A círculo = π r onde D= x y ) A lateral cone = π.r.g x y ) sen (x)+ cos (x)= 4) A retângulo = base altura 4) sen(x) = sen(x) cos(x) 5) C = π r 5) cos(x) = cos (x) sen (x) 4 π r 6) V esfera = 6) P n = n! 7) V paralelepípedo = abc 7) 8) 9) A p n n! = ( n p)! α,β n! Pn = α! β! C p n n! p! ( n p)! 8) A lateral pirâmide = 9) (y y 0 ) = m(x x 0 ) n 0) T p+ = a p n a b a p p p x n = ) d A,B = ( ) ( ) x B A x + y B y A

2 n (n - ) 0) d = ) d P,r = ax + by + c p a p ) (x a) + (y b) = r ) (hipotenusa) = (cateto ) + (cateto ) + b Questão 0. O número do cartão de crédito é composto de 6 algarismos. Zezé teve seu cartão quebrado, perdendo a parte que contém os quatro últimos dígitos. Apenas consegue lembrar que o número formado por eles é par, começa com e tem todos os algarismos distintos. Então, existem 80 números satisfazendo essas condições. 0. No prédio onde Gina mora, instalaram um sistema eletrônico de acesso no qual se deve criar uma senha com 4 algarismos, que devem ser escolhidos dentre os algarismos apresentados no teclado da figura. Para não esquecer a senha, ela resolveu escolher 4 algarismos dentre os 6 que representam a data de seu nascimento. Dessa forma, se Gina nasceu em 7/0/9, então ela pode formar 5 senhas diferentes com 4 algarismos distintos. 04. Entre as últimas tendências da moda, pintar as unhas ganha um novo estilo chamado de filha única. A arte consiste em pintar a unha do dedo anelar de uma cor diferente das demais, fazendo a mesma coisa nas duas mãos, conforme mostra o exemplo na figura. Larissa tem três cores diferentes de esmalte, então, usando essa forma de pintar as unhas, poderá fazê-lo de 6 maneiras diferentes. 08. Uma fábrica de automóveis lançou um modelo de carro que pode ter até 5 tipos de equipamentos opcionais. O número de alternativas deste modelo com respeito aos equipamentos opcionais é igual a Jogando-se simultaneamente dois dados idênticos e não viciados, observa-se a soma dos valores das faces que ficam voltadas para cima. A soma com maior probabilidade de ocorrer é 7.. O número de soluções inteiras não negativas de x+ y+ z= 6 é igual a Se a soma de quatro números primos distintos é igual a 45, então o menor deles é.

3 Análise Questão N de proposições: 07 Gabarito: = 5 N de acertos dos inscritos: (,6%) N de acertos dos classificados: 76 (,70%) A questão abordava conteúdos de Análise Combinatória, tais como problemas de contagem, arranjos, combinações, permutações e probabilidade. A maioria das proposições abordava situações do cotidiano cuja resolução necessitava de algum dos tópicos já citados. Um pequeno percentual de candidatos acertou a questão integralmente (,6%). Contudo, mais de 5% dos classificados obtiveram acertos parciais na questão. Questão Seja p um polinômio de grau 4 dado por p( x ) = ( x + ) 4. Com essa informação, assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S) O polinômio p é igual a p( x ) = x + 4x + 6 x + 4x O único número real no qual p se anula é x= Se k é um polinômio dado por k( x ) = x + 4x + 6 x + 4x +, então o menor valor possível para o polinômio k, quando x varia em todo o conjunto dos números reais, é. 08. O coeficiente do termo de expoente 5 do polinômio dado por p( x) ( x ) 4 é igual a. Análise Questão N de proposições: 04 Gabarito: = 07 N de acertos dos inscritos: 540 (5,8%) N de acertos dos classificados: 50 (7,0%) Grau de dificuldade previsto: Fácil A questão contemplava os conteúdos Polinômios e Binômio de Newton e era de cunho técnico, não apresentando situações contextualizadas. Apesar do pequeno número de inscritos que acertou integralmente a questão 540 (5,8%), mais de 75% dos classificados acertaram parcialmente a questão.

4 Questão Duas cidades, marcadas no desenho abaixo como A e B, estão nas margens retilíneas e opostas de um rio, cuja largura é constante e igual a,5 km, e a distâncias de,5 km e de 5 km, respectivamente, de cada uma das suas margens. Deseja-se construir uma estrada de A até B que, por razões de economia de orçamento, deve cruzar o rio por uma ponte de comprimento mínimo, ou seja, perpendicular às margens do rio. As regiões em cada lado do rio e até as cidades são planas e disponíveis para a obra da estrada. Uma possível planta de tal estrada está esboçada na figura abaixo em linha pontilhada: Considere que, na figura, o segmento HD é paralelo a AC e a distância HK = 8 km. Calcule a que distância, em quilômetros, deverá estar a cabeceira da ponte na margem do lado da cidade B (ou seja, o ponto D) do ponto K, de modo que o percurso total da cidade A até a cidade B tenha comprimento mínimo. Análise Questão Questão aberta N de acertos dos inscritos: 96 (0,%) N de acertos dos classificados: 56 (,65%) Grau de dificuldade previsto: Difícil Tratava-se de um problema que apresenta uma aplicação da geometria numa situação de construção de uma ponte. A resolução do problema consistia em uma aplicação da semelhança de triângulos. Por ser uma questão aberta, não permitia acertos parciais, portanto apenas,65% dos classificados pontuaram nessa questão. Curiosamente, cerca de 55% dos classificados assinalaram uma resposta entre 04 e.

5 Questão 4 0. Se x é um número inteiro positivo tal que x ² é par, então x é par. 0. A quantidade de números inteiros positivos cujo dobro de seus quadrados têm 4 como algarismo das unidades é igual à quantidade dos números inteiros positivos cujo dobro de seus quadrados têm 8 como algarismo das unidades. 04. A quantidade de números pares positivos de dois algarismos (algarismo da dezena não nulo) cujo produto desses dois algarismos é um quadrado perfeito não nulo é igual a 8. ( ) ( ) ( ) 4 sen x + cos x cos x cos x = sen 4x para todo x real. 08. ( ) ( ) ( ) 6. Na figura abaixo, a reta que passa por A e B é tangente à circunferência de centro O e raio OA = no ponto A. Se o ângulo AOB mede x radianos, então tan x= AB.. Para todo x real, o maior valor que a soma S = sen(x) + cos(x) pode assumir é. Análise Questão 4 N de proposições: 06 Gabarito: = 9 N de acertos dos inscritos: 08 (,6%) N de acertos dos classificados: 0 (,46%) Na questão, os assuntos abordados foram operações e propriedades do conjunto dos números reais e trigonometria. As proposições exigiam, além da habilidade com o conteúdo já citado, uma boa dose de raciocínio, visto que as proposições 04 e 08 apresentavam em sua resolução uma linha de raciocínio similar à usada na resolução de questões de olimpíadas de matemática. Vale ressaltar que menos de % dos inscritos acertaram essas proposições, e consequentemente essa questão foi a que apresentou o menor índice de acertos. Essa informação pode nortear estudos futuros para os candidatos de próximas edições do vestibular.

6 Questão 5 No livro A hora da estrela, de Clarice Lispector, a personagem Macabéa é atropelada por um veículo cuja logomarca é uma estrela inscrita em uma circunferência, como mostra a figura. Se os pontos A, B e C dividem a circunferência em arcos de mesmo comprimento e a área do triângulo ABC é igual a 7 cm², determine a medida do raio desta circunferência em centímetros. Análise Questão 5 Questão aberta N de acertos dos inscritos: 789 (9,56%) N de acertos dos classificados: 569 (8,7%) Grau de dificuldade previsto: Fácil Grau de dificuldade obtido: Fácil A questão faz referência ao livro A hora da estrela, de Clarice Lispector, no qual a personagem Macabéa é atropelada por um veículo cuja logomarca é uma estrela inscrita em uma circunferência. O problema consiste em determinar a medida do raio da circunferência que circunscreve o triângulo formado pelos vértices destacados na figura. Para tanto, deve-se encontrar a altura no referido triângulo e posteriormente determinar o raio desejado. Mesmo sendo a questão com o maior número de acertos entre os classificados 569 (8,7%), um número expressivo de candidatos inscritos, total de 56, assinalou equivocadamente 09, o que representa a altura do triângulo, e portanto não pontuou nessa questão.

7 Questão 6 0. Jorge parou em um posto de combustível no qual o preço do litro de gasolina era R$,90. Ao entrar na loja de conveniência, percebeu que a garrafa de 500 ml de água mineral custava R$,50. Então o preço do litro da gasolina é 58% do preço do litro de água. 0. Um polígono regular de 7 lados possui uma diagonal que passa pelo centro da circunferência circunscrita a ele. 04. As medidas dos ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética de razão r > 0. A quantidade de possíveis valores para r é igual a Se um polígono tem todos os seus ângulos congruentes entre si e se ele está inscrito em uma circunferência, então ele é regular. 6. Em um triângulo ABC, o segmento AH, com H no segmento BC, é perpendicular a BC e (AH) = BH CH. Se M é o ponto médio de BC, então AM = BC. Análise Questão 6 N de proposições: 05 Gabarito: 0+6 = 7 N de acertos dos inscritos: 80 (,0%) N de acertos dos classificados: 5 (,58%) A questão era densa pela quantidade de conteúdos abordados, sendo que, em algumas proposições, mais de um conteúdo foi trabalhado. A lista dos conteúdos da questão inclui porcentagem, número de diagonais de um polígono, soma dos ângulos internos do triângulo, progressão aritmética, polígonos inscritíveis na circunferência, semelhança de triângulos e relações métricas no triângulo retângulo. Fato curioso que merece destaque é que, na proposição 0, pouco mais de 9% dos inscritos garantiram ser verdadeira a afirmação que dizia que Um polígono regular de 7 lados possui uma diagonal que passa pelo centro da circunferência circunscrita a ele. Tal fato sugere uma deficiência nessa parte da geometria, o que provavelmente deve-se à pouca ênfase dada aos conteúdos de geometria no Ensino Básico. Com relação ao item 6, destaca-se o fato de que menos de 4% dos inscritos responderam corretamente, o que supostamente indica uma carência desse conteúdo, novamente em geometria, por parte da maioria dos candidatos.

8 Questão 7 0. O sistema linear, abaixo, de duas equações a duas incógnitas x e y, no qual os coeficientes A, B, C e D são números primos distintos, tem solução única. Ax + By = E Cx + Dy = F A B 0. A matriz C D, na qual A, B, C e D são números inteiros positivos que não têm fator primo comum, é inversível. 04. Se (, y ) x e (, y ) x são dois pontos da reta y= x, então a matriz inversível. 08. A equação log 0( x ) + log 0( x+ ) = log0 4 tem duas soluções reais log 000 >.. Os gráficos das funções f ( ) por x x y y : 0, + e g :, dadas respectivamente x f ( x ) = log x e g( x ) = 0, não têm ponto comum. 0 é Análise Questão 7 N de proposições: 06 Gabarito: = 9 N de acertos dos inscritos: 6 (,8%) N de acertos dos classificados: 8 (,95%) Abordando matrizes, sistemas lineares, logaritmos, gráficos de funções e conhecimentos sobre números primos, a questão apresentou um baixo número de acertos. Para resolver as proposições 0, 0 e 04, o candidato precisava ter conhecimentos sobre decomposição de um número em fatores primos. Já nas proposições 08, 6 e, o principal conteúdo explorado foi logaritmos. Pelo baixo rendimento apresentado pelos candidatos, acreditamos existir uma deficiência principalmente nesses dois conteúdos citados, que merecem por isso maior dedicação e apreciação.

9 Questão 8 0. No último inverno, nevou em vários municípios de Santa Catarina, sendo possível até montar bonecos de neve. A figura ao lado representa um boneco de neve cuja soma dos raios das esferas que o constituem é igual a 70 cm. O raio da esfera menor é obtido descontando 60% da medida do raio da esfera maior. Então, o volume do boneco de neve considerado é igual a 88π dm³. 0. O MMA é uma modalidade de luta que mistura várias artes marciais. O ringue onde ocorre a luta tem a forma de um prisma octogonal regular. Suas faces laterais são constituídas de uma tela para proteção dos atletas. Se considerarmos a aresta da base com medida igual a m e a altura do prisma igual a,9 m, para cercar esse ringue seriam necessários 8,4 m² de tela. 04. Para a festa de aniversário de sua filha, Dona Maricota resolveu confeccionar chapéus para as crianças. Para tanto, cortou um molde com a forma de semicírculo cujo raio mede 0 cm. Ao montar o molde, com o auxílio de um adesivo, gerou um cone cuja área lateral é igual à área do molde. Dessa forma, a altura desse cone é igual a 0 cm. 08. Fatos históricos relatam que o ícone da Renascença, Leonardo da Vinci, no século XV, idealizou uma espécie de paraquedas. O protótipo teria o formato de uma pirâmide regular de base quadrangular, como mostra a figura. Recentemente, recriaram o modelo, construindo uma pirâmide com o mesmo formato, cujas arestas medem 6 m. Portanto, para fechar as laterais, usaram 6 m² de material. 6. A caçamba de um caminhão basculante tem a forma de um paralelepípedo e as dimensões internas da caçamba estão descritas na figura. Uma construtora precisa deslocar 5 m³ de terra de uma obra para outra. Dessa forma, com esse caminhão serão necessárias exatamente 4 viagens para realizar esse deslocamento. Disponível em: < Acesso em: 9 set. 0.,0m,50m,40m Análise Questão 8 N de proposições: 05 Gabarito: = 4 N de acertos dos inscritos: 80 (8,6%) N de acertos dos classificados: 9 (,5%) Disponível em: < Acesso em: 9 ago. 0. A questão abordava basicamente conhecimentos de geometria espacial: prisma, pirâmide, cone, esfera. Em todas as proposições, foram apresentados problemas e curiosidades relacionados a situações do cotidiano. Apesar de mais de 50% dos inscritos conseguirem alguma pontuação na questão, em torno de 5% consideraram verdadeiras as proposições 0 e 6, que eram falsas.

10 Questão 9 0. O domínio da função f dada por f ( x ) = x x+ 0. O único valor inteiro que pertence à solução da inequação. é { x ; x } 04. O conjunto solução da equação modular x x é S { } x, se x< A função R( x ) = x², se 0 x, se x> é crescente em todo o seu domínio. 6. Se uma função f :. Os gráficos das funções f : 64. ( ) e ( ) f x x g x ponto. x = =. x 4x+ < 0 é. R R é simultaneamente par e ímpar, então ( ) R R e g : f = 0. R R, dadas respectivamente por x = =, para todo x real, se intersectam em exatamente um único = x para todo x real. Análise Questão 9 N de proposições: 07 Gabarito: 0+6 = 8 N de acertos dos inscritos: 6 (,46%) N de acertos dos classificados: 4 (,66%) A questão contemplava essencialmente temas associados ao estudo de funções, avaliando-se a capacidade de manuseio e leitura da simbologia usada em matemática. Trata-se de um assunto de extrema importância para quem almeja seguir uma carreira em qualquer área do conhecimento relacionada às Ciências Exatas. Infelizmente, o índice de acerto foi o segundo pior da prova, o que pode explicar parcialmente o alto índice de reprovação nas disciplinas de cálculo quando se adentra ao nível superior, uma vez que tais conteúdos são a base dessas disciplinas. Cabe ressaltar que o baixo rendimento nessa questão pode estar associado também ao fato de a questão possuir sete proposições, das quais apenas duas são corretas. Em especial, nota-se que nessa questão a proposição mais assinalada como verdadeira foi a 64, marcada por 5,9% dos inscritos, contudo a proposição é falsa. Acreditamos que esse fato se deu pela falta de atenção, associada ao uso de algum tipo de macete que nesse caso não funcionou. Acreditamos ainda que, de modo geral, os fatos acima relatados podem sugerir falta de conhecimento dos conteúdos relacionados ao estudo de funções, os quais devem ser mais explorados no Ensino Médio.

11 Questão 0 Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). Para a transmissão da copa do mundo de 04 no Brasil, serão utilizadas câmeras que ficam suspensas por cabos de aço acima do campo de futebol, podendo, dessa forma, oferecer maior qualidade na transmissão. Suponha que uma dessas câmeras se desloque por um plano paralelo ao solo orientada através de coordenadas cartesianas. A figura ao lado representa o campo em escala reduzida, sendo que cada unidade de medida da figura representa 0 m no tamanho real. 0. A equação da circunferência que delimita o círculo central do campo na figura é x + y x 8 y+ 5= Se a câmera se desloca em linha reta de um ponto, representado na figura por A( 4, ), até outro ponto, representado na figura por C( 0,6 ), então a equação da reta que corresponde a essa trajetória na figura é x y = Na figura, o ponto B (8,) está a uma distância de 8 unidades da reta que passa pelos C 0,6. pontos A( 4,) e ( ) 08. Os pontos (7,4), (4,) e (0,6) não são colineares. 6. No tamanho real, a área do círculo central do campo de futebol é igual a 00π m. Análise Questão 0 N de proposições: 05 Gabarito: = 9 N de acertos dos inscritos: 8 (,7%) N de acertos dos classificados: 6 (7,65%) Grau de dificuldade obtido: Médio A questão abordava o conteúdo de geometria analítica através de um tema associado ao cotidiano. Os conteúdos trabalhados foram: condição de alinhamento, equação da reta, equação da circunferência, distância de ponto a reta, área e proporcionalidade. Dentre as questões de múltipla escolha, foi a que apresentou o maior número de acertos, tendo mais de 60% dos candidatos pontuando de alguma maneira. Contudo, 7,45% dos inscritos assinalaram como verdadeira a proposição que afirmava que os pontos (7,4), (4,) e (0,6) não são colineares, quando na verdade são.