8/20/2010 MEDIDAS DE POSIÇÃO

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1 BIOESTATÍSTICA 4 MEDIDAS DE POSIÇÃO As medidas de tendência central são assim denominadas por indicarem um ponto em torno do qual se concentram os dados. Este ponto tende a ser o centro da distribuição dos dados. 1

2 Tabela primitiva ou dados brutos: É uma tabela ou relação de elementos que não foram numericamente organizados. É difícil formar uma idéia exata do comportamento do grupo como um todo, a partir de dados não ordenados. Exemplo: Idade de uma população pesquisada Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51 ROL: É a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente). Ex : 45, 41, 42, 41, 42 43, 44, 41,50, 46, 50, 46, 60, 54, 52, 58, 57, 58, 60, 51 Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60 2

3 SEM INTERVALOS DE CLASSE: É a simples condensação dos dados conforme as repetições de seu valores. Para um ROL de tamanho razoável esta distribuição de freqüência é inconveniente, já que exige muito espaço. Exemplo: Idade de uma população pesquisada Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60 ROL: 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60. Dados Freqüência TOTAL 20 3

4 COM INTERVALOS DE CLASSE: Quando o tamanho da amostra é elevado, é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe. Exemplo: Idade de uma população pesquisada Ex : 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, 60 CLASSES FREQÜÊ QÜÊNCIAS ROL: 41, 41, 41, 42, 42 43, 44, 45,46, 46, 50, 50, 51, 52, 54, 57, 58, 58, 60, TOTAL 20 4

5 Elementos de uma distribuição de freqüência com intervalos de classe. a) CLASSE: São os intervalos de variação da variável e é simbolizada por i e o número total de classes simbolizada por k. Ex: Na tabela anterior k = 5 e é a 3ª classe, onde i = 3. i {k CLASSES FREQÜÊ QÜÊNCIAS TOTAL 20 b) LIMITES DE CLASSE: São os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe li e o maior número é o limite superior de classe Li. Ex: em li3 = 49 e L3 = 53. O símbolo representa um intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. O dado 53 do ROL não pertence a classe 3 e sim a classe 4 representada por CLASSES FREQÜÊ QÜÊNCIAS li Li TOTAL 20 5

6 c) INTERVALOS DE CLASSE: Conjunto de observações contidas entre dois valores limite (limite inferior e limite superior) Representação: intervalo fechado no limite inferior e aberto no limite superior (contém o valor 49 mas não contém o valor 53) intervalo aberto nos limites inferior e superior (não contém os valores 49 e 53) intervalo fechado nos limites inferior e superior (contém os valores 49 e 53). OBS: Representar o intervalo meses é equivalente a representá-lo como meses. d) AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE: É obtida através da diferença entre o limite superior e inferior da classe e é simbolizada por hi = Li - li. Ex: na tabela anterior hi = = 4. Obs: Na distribuição de freqüência c/ classe o hi será igual em todas as classes. hi (Li- li) CLASSES FREQÜÊ QÜÊNCIAS TOTAL 20 6

7 e) AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO: É a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. AT = Li(max) - li(min). Ex: na tabela anterior AT = 61-41= 20. AT = Li (max) - li (min) CLASSES FREQÜÊ QÜÊNCIAS TOTAL 20 f) AMPLITUDE TOTAL DA AMOSTRA (ROL) AA: É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra (ROL). Onde AA = Xmax - Xmin. Exemplo AA = = 19 Obs: AT sempre será maior que AA. AT = Li (max) li (min) logo AT = 61-41= 20 AA = X (max) X (min) logo AA = = 19 7

8 g) PONTO MÉDIO DE CLASSE: É o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. (xi) Exemplo: em o ponto médio x3 x3=( l3 + L3 ) / 2 ou seja, ( ) / 2 = 51. h) DETERMINAÇÃO DO NÚMERO DE CLASSES E INTERVALOS DE CLASSE: Quando se dispõe de uma tabela primitiva ou de um rol, precisa-se estabelecer a quantidade e o intervalo das classes que irá criar, de outro modo a distribuição de frequência pode não ser útil para a análise. 8

9 Uma das maneiras de determinar o número de classes (k) é usando a Regra de Sturges que determina k em função de n. k = 1 + 3:3 log(n) onde k é o número de classes e n o número de dados. Da mesma forma pode-se usar outra regra que associa k e n de outra forma: k n. No exemplo, usando a Regra de Sturges tem-se: n = 20, logo k= 1 + 3:3 log(20) 4,52 ou 5, portanto utiliza-se 5 classes. Com a outra regra, tem-se k = 20 = 4,47 ou 5, cujo resultado para o número de classes é o mesmo. Sabendo o número de classes (k) que irá ser usado, pode-se determinar o intervalo de classes (h) através da amplitude total da distribuição (AT). h AT k Lembrando: AT = Li(max) - li(min)= AT = = 20 e k = 5 h 20 h 4 5 CLASSES FREQÜÊ QÜÊNCIAS TOTAL 20 9

10 Método prático para construção de uma Distribuição de Freqüências c/ Classe 1º - Organize os dados brutos em um ROL. 2º - Calcule a amplitude amostral AA ex: AA = = 19 3º - Calcule o número de classes (k) através da "Regra de Sturges ou da outra forma. K= n ex:k= K= 20 = 4,4747 logo = 5 Método prático para construção de uma Distribuição de Freqüências c/ Classe 4º - Decidido o nº de classes (k), calcule então a amplitude do intervalo de classe. h > AA / k ex: h >19 / 5 = 3,8 Obs: Como h > AA/k um valor ligeiramente superior para haver folga na última classe. Utiliza-se então h = 4 O menor nº da amostra = 41 + h = 45, logo a primeira classe será representada por As classes seguintes respeitarão o mesmo procedimento. 10

11 Método prático para construção de uma Distribuição de Freqüências c/ Classe 5º - Tem-se então o menor nº da amostra, o nº de classes e a amplitude do intervalo. Pode-se montar a tabela, com o cuidado para não aparecer classes com freqüência = 0 (zero). O primeiro elemento das classes seguintes sempre serão formadas pelo último elemento da classe anterior. 6º Calcule o ponto médio de cada classe. Ex: xi=( li + Li ) / 2 Método prático para construção de uma Distribuição de Freqüências c/ Classe CLASSES PONTO MÉDIO (xi) FREQÜÊNCIAS (fi) TOTAL 20 11

12 Tipos de Frequências a) Frequências Simples ou Absoluta (fi) são os valores que diretamente representam o número de dados de cada classe. A soma de todas as ocorrências em cada classe é igual ao número total de dados: CLASSES PONTO MÉDIO (xi) FREQÜÊNCIAS (fi) TOTAL 20 Tipos de Frequências b) Frequências relativas (fri) são as razões entre as frequências simples (fi) e a frequência total (n): fi fi fri = logo = Σfi n A frequência relativa de uma classe mostra a parcela que aquela classe representa da amostra. Assim, a frequência relativa da terceira classe do nosso exemplo é: 4 fri = = 0,2 ou 20% 20 Então a terceira classe corresponde a uma fração de 0.2 do total ou 20 %. 12

13 Tipos de Frequências c) Frequência acumulada (Fi) é a soma das frequências simples de todas as classes com intervalos inferiores a um determinada classe: Fi = f1 + f2 + f No exemplo a frequência acumulada correspondente à terceira classe será: Fi = = 14 Classes Ponto médio (xi) Frequências (fi) Frequencias relativas (fri) Frequencias acumuladas (Fi) , , , , ,25 20 TOTAL 20 1 Tipos de Frequências d) Frequência acumulada relativa (Fri) é a frequência acumulada da classe dividida pela frequência total da distribuição: Fi Fi Fri = logo = Σfi n Logo, para a terceira classe: 14 Fri = = 0,7 20 Isto significa dizer que a fração de 0.7 da população ou 70% tem idade inferior à 53 anos (limite superior da terceira classe). 13

14 Classes Tipos de Frequências Ponto médio (xi) Frequências (fi) Frequencias relativas (fri) Frequencias acumuladas (Fi) Frequencias acumulada relativas (Fri) ,35 7 0, , , ,2 14 0, , , , TOTAL 20 1 Examinando a tabela, pode-se notar por exemplo que a primeira classe corresponde a maior fração da idade da população (fr1 = 0,35), isto é, a maior concentração da população encontra-se entre 41 (inclusive) e 45 (exclusive). Também é possível ver que 70% da população possui idade inferior a 53 anos. Representações Gráficas de um Distribuição Histograma O histograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que os seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe e seus limites coincidam com os limites da classe. 14

15 Representações Gráficas de um Distribuição EXEMPLO Estatura de 40 Alunos da Escola A (cm) A tabela assim organizada recebe o nome de rol. 150,151,152,153,154,155,155,155,155,156,156,156, 157,158,158,160,160,160,160,160,161,161,161,161, 162,162,163,163,164,164,164,165,166,167,168,168, 169,170, 172,173 15

16 EXEMPLO 1- Calcule a amplitude amostral: AA = Xmax Xmin AA= = Calcule o número de classes (k): K= n K= 40 = 6,32 3- Calcule a amplitude do intervalo de classe h > AA / k h > 23/ 6= 3,83 logo utiliza-se 4 4- Calcule o menor nº da amostra Xmin+h = 154 EXEMPLO 5- Monte a tabela com os intervalos de classe e suas frequências. 6- Calcule o ponto médio de classe. Xi = li +Li/ 2 Xi= /2 = 152 ESTATURA (li Li) Ponto médio (XI) FREQUENCIA (FI) TOTAL 40 16

17 EXEMPLO 7- Calcule a frequência relativa, a frequência acumulada e a acumulada relativa. ESTATURA (li Li) Ponto médio (XI) frequencia (fi) Frequência Relativa (fri) Frequência Acumulada (Fi) Frequência Acumulada Relativa (Fri) ,1 4 0, , , , , ,2 32 0, , , , TOTAL 40 1 EXEMPLO 7- Construa o Histograma representando os dados colhidos. 17

18 Exercícios 1-Uma turma de 4 série apresentou os seguintes valores de estatura em cm: 145, 144, 147, 145, 146, 148,143, 150,152, 143, 145, 146, 144, 152, 151, , 143, 145, 146, 148, 143, 151, 149,147, 152,145, 152, 150, 149, 143, 144, 147, 142, 145,150, 151, 149, 145. Organize a tabela seguindo os passos explicados, monte o gráfico e faça se possível pequenas inferências. Exercícios Uma pesquisa com um grupo de 50 senhoras na terceira idade verificou a existência ou não de hipertensão arterial em função da idade. Foram obtidas as seguintes idades para a resposta sim. Monte a tabela e o gráfico seguindo todos os passos aprendidos anteriormente. 67, 65, 68, 67, 74, 76, 77, 76, 75, 74, 76, 66, 65, 76, 68, 74, 73, 69, 66, 68, 67, 66, 65, 72, 71, 72, 67, 65, 71, 72, 76, 73, 74, 74,

19 Exercícios As notas obtidas por 50 alunos em uma classe foram: Monte a tabela e gráfico seguindo todos os passos visto até o momento, e depois responda. 1. Qual a amplitude amostral? 2. Qual a amplitude da distribuição? 3. Qual o número de classes da distribuição? 4. Qual o limite inferior da quarta classe? 5. Qual o limite superior da classe 2? 6. Qual a amplitude do segundo intervalo de classe? 19