Distribuição de Frequências

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1 Distribuição de Frequências Prof. Hemílio Fernandes Campos Coêlho Departamento de Estatística - Universidade Federal da Paraíba - UFPB

2 Distribuição de Frequências É uma série estatística utilizada para resumir toda a informação obtida, de modo a facilitar a análise. Ao se estudar uma variável, é desejável conhecer o comportamento da mesma, analisando a ocorrência de todos os possíveis resultados obtidos a partir do conhecimento das informações.

3 continuação Exemplo: Tabela: Idade dos alunos matriculados na disciplina Estatística I, no primeiro semestre de 2000 Idade N o de alunos Total 50 Fonte: Dados Hipotéticos

4 continuação Quando se estuda uma variável, o interesse maior reside em conhecer seu comportamento, analisando a ocorrência de seus possíveis resultados (realizações). As distribuições de frequências constituem-se um caso particular das séries estatísticas, no qual todos os elementos época, local e fato são xos, mas os dados referentes aos fenômeno são apresentados através de gradações. Em outras palavras, estamos interessados em conhecer a distribuição dos dados. A denição de alguns conceitos será importante para o uso de linguagem apropriada ao elaborarmos e analisarmos as distribuições de frequências.

5 Dados Brutos São os dados obtidos através de algum procedimento estatístico, que estão disponíveis logo após a coleta, mas que não estão numericamente organizados. Exemplo: Contou-se o número de erros de impressão da primeira página de um jornal durante 50 dias, obtendo-se os resultados abaixo: Como se pode observar no exemplo, os valores estão dispostos de forma desordenda e pouca informação se consegue obter inspecionando os dados.

6 Rol São os dados ordenados, de forma crescente ou decrescente. A vantagem de ordenar o conjunto de observações está em detectar de um modo mais amplo a variabilidade das mesmas. Note que dessa forma ca fácil de vericar os valores extremos (máximo e mínimo). Esse tipo de procedimento não é viável quando se tem um conjunto de dados muito grande, pois a análise se torna extremamente complicada. No exemplo anterior, dispondo os dados em ordem crescente, temos:

7 continuação Situação em que o rol começa a se tornar inviável de ser analisado:

8 Amplitude Total É a diferença entre o maior e o menor valor observado da variável em estudo. Ou seja, AT = X máx X mín, onde, X máx representa o valor máximo observado da variável, e X mín representa o valor mínimo observado da variável. No exemplo anterior, AT = 22 5 = 17.

9 Frequência Simples Relativa: É o número de vezes que o elemento aparece no conjunto de dados, ou o número de elementos pertencentes a uma classe ou categoria. Observe que k f i = f 1 + f f k = n, onde n é o número de observações do conjunto de dados e k é o número de valores ou níveis que X assume. Em outras palavras, a soma das frequências absolutas simples é sempre igual ao número de observações do conjunto de dados.

10 Distribuição de Frequências por Valores É o arranjo dos valores e suas respectivas frequências, ou seja, é uma tabela onde os valores da variável aparecem individualmente. Teremos uma tabela assim: Local do título da tabela de distribuição de frequências X i f i X 1 f 1 X 2 f 2 X 3 f 3.. X k Σ f k n Note que para cada X i existe uma frequência f i associada. Dessa forma, teremos que i = 1,..., k. Em outras palavras, dizemos que a tabela possui k linhas.

11 continuação Exemplo: Construir a distribuição de frequências por valores, utilizando os dados do exemplo anterior. Distribuição de frequências por valores para o conjunto de dados do número de erros de impressão na primeira página de um jornal durante 50 dias X i f i Σ 50 X representa a variável, n é o número de observações do conjunto de dados e k é o número de valores que X assume. A letra grega Σ é utilizada para representar a soma.

12 Distribuição de Frequências por Classes Classe de frequência, ou, simplesmente, classe, é cada um dos grupos de valores em que se subdivide a amplitude total do conjunto de valores observados da variável. Por exemplo, Distribuição de frequências por classes para o conjunto de dados do número de erros de impressão na primeira página de um jornal durante 50 dias Classe f i Σ 50

13 Número de Classes (c) Não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes. Em geral, utiliza-se um dos dois métodos a seguir: (a) c = 5, para n 25 e c = n, para n > 25, onde n é o número de observações. (b) Regra de Sturges: c = 1 + 3, 3 log 10 n, onde n é o número de observações. Exemplo: Considerando novamente o conjunto de dados dos exemplos anteriores, temos (a) n = 50 > 25, então, c = 50 = 7, 07 = 7 (aproximação por falta). (b) c = 1 + 3, 3 log = 1 + 3, 3 1, = = 7 (aproximação por excesso).

14 Amplitude das Classes (h) Deve-se, em geral, construir classes de mesma amplitude, a qual pode ser obtida através da expressão: h = AT c. Observação: h deve ser arredondado para o maior inteiro. No exemplo, h = 17 7 = 2, = 3. Neste caso, o número de classes pode não corresponder ao número calculado.

15 Limites de Classes (LI : Limite Inferior e LS: Limite Superior) Podemos expressar os limites das classes de várias formas: 1. LI LS: considera valores entre LI e LS, incluindo LI e LS. Exemplo: LI LS: considera valores entre LI e LS, incluindo LI e excluindo LS. Exemplo: LI LS: considera valores entre LI e LS, excluindo LI e incluindo LS. Exemplo: LI LS: não determina claramente se LI e LS devem ser considerados ou não. Exemplo: Utilizaremos a forma 2!

16 Ponto Médio da Classe (x i ) É a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe. Ou seja, x medio = LI + LS. 2 Exemplo: x medio = = 22 2 = 11.

17 Tipos de Frequências Uma tabela de frequências pode representar e caracterizar um dos tipos de frequências ilustrados na gura abaixo:

18 Frequências Simples (a) Frequência Simples Absoluta (f i ): é o número de repetições de um valor individual ou de uma classe de valores da variável. Neste caso, assuma que k será o número de classes existentes. Temos que k f i = f f k = n. (b) Frequência Simples Relativa (fr i ): representa a proporção de observações de um valor individual ou de uma classe, em relação ao número total de observações. Ou seja, fr i = f i. n Neste caso, temos que k fr i = fr fr k = 1.

19 Roteiro para a Elaboração de uma Distribuição de Frequências por Classes Um roteiro para construção de tabelas de frequências pode ser descrito pelos seguintes passos: 1. Construção do Rol; 2. Determinação da Amplitude Total (AT ); 3. Determinação do Número de Classes (c); 4. Determinação da Amplitude das Classes (h); 5. Determinação dos limites das classes (LI e LS); 6. Construção da tabela de frequências, utilizando um ou mais tipos de frequências. São utilizadas tipicamente a frequência simples absoluta, a frequência simples relativa, a frequência acumulada abaixo de absoluta e a frequência acumulada abaixo de relativa.

20 Grácos Para tornarmos possível uma representação gráca, estabelecemos uma correspondência entre os termos da série e determinada gura geométrica, de tal modo que cada elemento da série seja representado por uma gura proporcional. A representação gráca de um fenômeno deve obedecer aos seguintes requisitos primordiais: 1. Simplicidade: indispensável devido à necessidade de levar a uma rápida apreensão do sentido geral do fenômeno apresentado a m de não nos perdermos na observação de minúcias de importância secundária. 2. Clareza: o gráco deve possibilitar uma correta interpretação dos valores representativos do fenômeno em estudo. 3. Veracidade: indispensável qualquer comentário, posto que, se não representa uma realidade, o gráco perde sua nalidade.

21 continuação Quanto ao critério da forma, os grácos podem ser classicados em: 1. Diagramas: São grácos geométricos dispostos em duas dimensões. É o tipo de gráco mais utilizado na representação de séries estatísticas e se apresentam através de uma grande variedade de tipos. 2. Cartogramas: São ilustrações relativas a cartas geográcas. Largamente utilizados em geograa, história, demograa e epidemiologia. 3. Estereogramas: Representam volumes e são apresentados em três dimensões. Observação: Trataremos, neste curso, apenas dos diagramas, por serem os grácos mais utilizados.

22 Principais Tipos de Diagramas

23 Grácos em Barras Têm a nalidade de comparar grandezas por meio de retênglulos de igual largura e alturas proporcionais às respectivas grandezas. Neste tipo de gráco, os retângulos são dispostos horizontalmente, como barras. Cada barra representa a intensidade ou frequência de uma categoria ou atributo. Os espaços existentes entre as barras devem ser iguais. Exemplo:

24 Grácos em Colunas Prestam-se à mesma nalidade que os grácos em barras, sendo preferíveis a estes últimos quando as legendas das categorias forem curtas.

25 Grácos em Linhas São frequentemente utilizados na representação de séries de tempo. As linhas são mais ecientes neste tipo de gráco porque permitem a detecção de utuações ou mudanças intensas nas séries e também possibilitam a representação de várias séries no mesmo gráco. Para construir um gráco em linhas, basta marcar os pontos correspondentes às grandezas e uní-los através de segmentos de reta.

26 Grácos em Setores São utilizados para representar valores absolutos ou porcentagens complementares. São úteis quando se deseja comparar cada valor da série com o total. A construção de um gráco de setores parte do fato que o número total de graus de um arco de circunferência é 360. Assim, o total de valores corresponderá a 360. Cada uma das parcelas componentes do total de valores poderá, então, ser expressa em graus, e a correspondência se fará através de uma regra de três simples. Ou seja, os ângulos correspondentes a cada componente da série são obtidos através de regra de três simples. Por exemplo, para a componente Automóvel de Passeio, temos x de onde obtemos que x = = = Repetindo o processo, obtemos os ângulos correspondentes às outras componentes da série.

27 continuação Exemplo: Considere os dados da Tabela apresentação na seção??.

28 Introdução ao estudo da correlação Existem situações nas quais há interesse em estudar o comportamento conjunto de uma ou mais variáveis; Em muitos casos, a explicação de um fenômeno de interesse pode estar associado a outros fatores (variáveis) que contribuem de algum modo para a ocorrência deste fenômeno. O comportamento conjunto de duas variáveis quantitativas pode ser observado por meio de um tipo de gráco, chamado gráco de dispersão.

29 Gráco de Dispersão

30 continuação Para desenhar um diagrama de dispersão, é necessário sempre fazer o eixo cartesiano para identicar os pontos das variáveis quantitativas consideradas: Representa-se primeiramente uma das variáveis no eixo das abscissas (variável X) e a outra variável no eixo das ordenadas (variável Y) Os valores das variáveis são marcados sob os respectivos eixos e então marca-se um ponto para cada par de valores.

31 Exemplo Quadro 1: Comprimento (em cm) e peso (em kg) de cães N o Comprimento Peso N o Comprimento Peso Fonte: ARAÚJO e HOSSNE (1977)

32 continuação Figura 1: Comprimento (em cm) e peso (em kg) de cães

33 Correlação O objetivo do estudo da correlação é a determinação do grau de relacionamento entre duas variáveis emparelhadas. O termo correlação signica co-relacionamento, pois indica até que ponto os valores de uma variável estão relacionados com os da outra. Se os pontos observados das variáveis, digamos (X,Y ) representados num diagrama de dispersão parecem descrever um comportamento próximo a uma reta, dizemos que temos uma correlação linear.

34 Correlação Positiva e Correlação Negativa Uma vez que há uma relação entre X e Y, isto é, quando há um comportamento de Y em relação ao aumento de X no mesmo sentido, temos a existência de tipos de relações entre as variáveis. Dizemos que a correlação é positiva se a tendência é crescente, ou seja, valores pequenos de X fornecem valores pequenos de Y e vice-versa (ver gura (a) a seguir). A correlação é negativa se a tendência é decrescente (gura (b) a seguir) e é nula se nenhuma tendência é observada (gura (c) a seguir).

35 Exemplo Tabela 1: Consumo individual diário de proteínas de origem animal, em gramas, e coeciente de natalidade, em 14 países País Consumo Diário de Proteínas Coeciente de Natalidade Formosa Malásia Índia Japão Iugoslávia Grécia Itália Bulgária Alemanha Irlanda Dinamarca Austrália Estados Unidos Suécia Fonte: CASTRO (1961)

36 continuação Observações importantes: Uma correlação positiva não indica que aumentos sucessivos em uma variável causam aumentos sucessivos na outra. Para a correlação negativa podemos estabelecer analogamente a mesma observação. É mais correto falar sobre o comportamento das variáveis estatisticamente. Ou seja, é mais correto armar que há evidência estatística suciente para armar que uma variável pode inuenciar no aumento ou diminuição da outra variável. O que contribuirá para um poder de decisão maior dada a evidência será o cálculo de um coeciente, chamado coeciente de correlação.

37 continuação No exemplo, temos uma correlação negativa:

38 Coeciente de Correlação Linear Como dito anteriormente, o coeciente de correlação dará uma contribuição para a tomada de decisão sobre a relação entre duas variáveis de interesse. Mais especicamente, o coeciente de correlação fornece uma medida do grau e do sinal da correlação linear entre estas variáveis.

39 continuação Fórmula do coeciente de correlação: ( n r = n x 2 i n x i y i ( n n x i ) 2 x i ) ( n n n y 2 i y i ) ( n n y i ) 2

40 continuação Fórmula do coeciente de correlação: ( n r = n x 2 i n x i y i ( n n x i ) 2 x i ) ( n n n y 2 i y i ) ( n n y i ) 2

41 continuação Fórmula do coeciente de correlação: ( n r = n x 2 i n x i y i ( n n x i ) 2 x i ) ( n n n y 2 i y i ) ( n n y i ) 2

42 continuação Com alguma simplicação, temos que r = n x i y i n X Y ( n ) ( n ) x 2 i nx 2 y 2 i ny 2 = n x i y i n X Y (n 1)S 2 X (n 1)S 2 Y

43 Alguns exemplos Correlação Positiva Negativa x y x y

44 continuação

45 continuação Cálculos intermediários para obtenção do coeciente de correlação linear no caso de correlação positiva x y x 2 y 2 xy r = ( ) ( ) = 0.98

46 continuação Cálculos intermediários para obtenção do coeciente de correlação linear no caso de correlação negativa x y x 2 y 2 xy r = ( ) ( ) = 0.95

47 continuação Temos que 1 r 1 Se r = 1, dizemos que a correlação é perfeita negativa. Se r = 1, dizemos que a correlação é perfeita positiva.