Taxa de atração para equações de reação-difusão com difusão grande localizada

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA Taxa de atração para equações de reação-difusão com difusão grande localizada Leonardo Pires Orientadora: Profa. Dra. Karina Schiabel Silva Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da UFSCar como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Matemática. São Carlos - SP MARÇO DE 3

2 Ficha catalográfica elaborada pelo DePT da Biblioteca Comunitária da UFSCar P667ta Pires, Leonardo. Taxa de atração para equações de reação-difusão com difusão grande localizada / Leonardo Pires. -- São Carlos : UFSCar, 3. f. Dissertação (Mestrado) -- Universidade Federal de São Carlos, 3.. Equações diferenciais parciais.. Equações de reação e difusão (Matemática). 3. Sistemas dinâmicos não-lineares. 4. Atratores (Matemática). I. Título. CDD: ( a )

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5 Agradecimentos À Profa. Dra. Karina Schiabel Silva pela orientação neste trabalho e por toda ajuda a mim dedicada desde a graduação. Ao Prof. Dr. Alexandre Nolasco de Carvalho pela contribuição neste trabalho. Aos meus amigos, em especial ao Rodrigo Samprogna, pelas horas de estudo. Suporte Fapesp Processo: / iii

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7 Resumo Neste trabalho estudamos a dinâmica assintótica não linear de problemas parabólicos semilineares do tipo reação-difusão considerando que o coeficiente de difusão torna-se grande em uma sub-região que é interior ao domínio físico. Obtemos, sob determinadas hipóteses, que a família de atratores se comporta continuamente com relação a uma taxa de atração. v

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9 Abstract In this work we study the nonlinear asymptotical dynamics of a semilinear reactiondiffusion equation of parabolic type, when the diffusion coefficient becomes very large in a subregion which is interior to the physical domain. We obtain, under suitable assumptions, that the family of attractors behave continuously with respect to a rate of attraction. vii

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11 Sumário Agradecimentos Resumo Abstract iii v vii Introdução Preliminares 5. Espaços de Sobolev Semigrupos Operadores setoriais, potências fracionárias e problema de Cauchy parabólico. 3.4 Atratores globais para semigrupos não lineares Continuidade de atratores e taxa de atração Convergência compacta Equações de reação-difusão 3. Introdução Propriedades e existência de atratores Problema elíptico com condição de Neumann homogênea Continuidade dos operadores resolventes Continuidade do espectro, dos semigrupos lineares, não lineares e taxa de atração 6 3 Continuidade dos atratores Continuidade dos conjuntos de equilíbrio Continuidade dos semigrupos para linearização Continuidade das variedades instáveis ix

12 Sumário 3.4 Continuidade dos atratores e taxa de atração A Dimensão de Hausdorff e fractal de atratores 95 Referências Bibliográficas x

13 Introdução Nos modelos de condução de calor em materiais compostos o coeficiente de difusão comporta-se de modo bastante irregular, fazendo, por exemplo, com que o calor seja conduzido mais rapidamente em algumas regiões e mais lentamente em outras. Analisar tal estado singular para prever o seu comportamento ao longo do tempo é uma das razões da análise assintótica das equações diferenciais. Neste trabalho iremos considerar problemas de reação-difusão semilineares para os quais o coeficiente de difusão torna-se muito grande em um subconjunto que está no interior do domínio físico da equação diferencial e mostrar como sua dinâmica assintótica (atrator) se comporta continuamente com respeito à variação da difusão. Formalmente, sejam um domínio limitado e suave de R n, um parâmetro positivo, m um inteiro positivo e = m i=,i um subconjunto suave no interior de, onde,i são sub-domínios suaves de com,i, j = /, para i j. Denotemos = \ e notemos que =. Assumimos que os coeficientes de difusão são funções suaves em, satisfazendo < m p (x) M, para todo x e <. Também assumimos que a difusão é grande em quando, mais precisamente, p (x) p (x), uniformemente em com p C (,(, ))., uniformemente em subconjuntos compactos de Com esta terminologia, consideramos a seguinte família de equações parabólicas ut div(p (x) u ) + λu = f (u ) p (x) u n = u () = u, em em ()

14 Introdução (, ], >, λ >, f C (R). Uma vez que difusibilidade grande implica uma rápida redistribuição das não homogeneidades espaciais, é natural esperar que para valores pequenos de, a solução do problema () seja aproximadamente (espacialmente) constante em. Por esta razão, suponhamos por um momento que u convirja, em algum sentido, para uma função u = u(t,x) que assume o valor constante u (t) sobre. Como mostrado em [], o problema limite de (), quando, toma a forma u t (t) div(p (x) u) + λu = f (u), em u,i := u,i, em,i, i =,...,m u,i + p (x) u,i,i n dσ + λu,i = f (u,i ), p (x) u n =, u() = u. em i =,...,m () Quando o parâmetro, a difusão p torna-se muito grande em, que é interior ao domínio, e seu limite em é uma EDO. É importante observar que o problema () é uma perturbação singular do problema () onde o coeficiente de difusão é feito grande em sub-regiões do domínio. O problema em questão foi considerado em trabalhos anteriores, dentre os quais destacamos [] e [5]. Com algumas hipóteses sobre a não-linearidade f, os problemas () e () possuem soluções globalmente definidas e possuem atratores globais nos espaços de fase H () e H () := {u H () : u = em }, respectivamente. O estudo do comportamento da família de atratores associada foi iniciado em [], onde os autores obtiveram sua semicontinuidade superior em =. A semicontinuidade inferior foi estabelecida em [5], e em [7] com condições de fronteira não-lineares. Recentemente foi considerado em [4] um problema de reação-difusão com variação no coeficiente de difusão, ressaltando a uniformidade (em ) da convergência dos atratores, bem como algumas taxas para tal convergência. A diferença p p foi tomada como parâmetro, sem, entretanto, assumir que a difusão torna-se muito grande em uma sub-região interior ao domínio físico. Nosso objetivo é estender alguns resultados de taxa de convergência obtidos em [4] para o caso específico de problemas com difusão grande localizada. Consideramos {T (t); t }, [, ], os semigrupos não lineares associados aos pro-

15 Introdução blemas () e () e A seus atratores globais. Sem nos preocuparmos com os detalhes, apresentamos as seguir os principais resultados obtidos neste trabalho. (i) Sejam θ (, ) e {u } [, ] uma família com u X, [, ]. Então existem constantes positivas C e L tais que T (t)u T (t)u H Ce Lt t θ [ u u H +( p p L ( ) +J ) θ ], t, (3) onde J e está relacionado com a decomposição de H () em função do subespaço H (). (ii) Suponha que o conjunto E = {u,,...,u,k } dos pontos de equilíbrio de () seja constituído de pontos de equilíbrios hiperbólicos (portanto existe um número finito deles). Então existe (, ] tal que o conjunto E dos pontos de equilíbrio de () é tal que E = {u,,...,u,k }, (, ], e u,i u,i, i =,...,k. (iii) Os atratores globais dos semigrupos não lineares associados aos problemas () e () são k dados por A = W u (u,i ), onde W u (u ) denota a variedade instável de u. Além disso, i= para cada vizinhança B(u,δ) de u, se u B(u,δ), então existem γ,m > independentes de, tais que dist(t (t)u,w u (u )) Me γt (4) durante o tempo em que a órbita T (t)u permanece em B(u,δ). (iv) A família {A } é contínua em = e tal continuidade pode ser estimada por dist H (A,A ) + dist H (A,A ) C [[( p ] p L ( ) + J ) γ + Z ] θ γ+l, onde C,γ e L são constantes positivas, θ (, ), dist H denota a semidistância de Hausdorff e Z está relacionado com a decomposição de L () em função do subespaço L () = {u L (); u é constante q.s. em,i }. (v) Estamos em uma situação particular de [5], assim A é homeomorfo a um subconjunto de R p para algum p apropriado, mais ainda, A pode ser projetado injetivamente em 3

16 Introdução um espaço de dimensão finita, sendo assim, podemos entendê-lo como um objeto de dimensão finita. Isto é, A é um atrator exponencial fractal. Organizamos este trabalho da seguinte forma: no Capítulo reunimos definições, estabelecemos notações e resultados preliminares que serão utilizados no decorrer dos demais capítulos. Definimos os espaços de Sobolev e fazemos um resumo sobre a teoria de semigrupos e atratores, em seguida obtemos condições para existência e unicidade de soluções globais para o problema de Cauchy parabólico e apresentamos as noções de continuidade de atratores, taxa de atração e de convergência compacta. Com o objetivo de uma leitura rápida, as demonstrações foram omitidas. O Capítulo é dedicado ao estudo de uma equação de reação-difusão com difusão grande localizada em uma região interior ao domínio físico da equação. Escrevemos o problema em um formato semilinear parabólico apropriado e demonstramos propriedades dos operadores. As principais propriedades são a setorialidade e a estrutura gradiente dos semigrupos não lineares associados. Na sequência estimamos a convergência compacta dos operadores resolventes, a continuidade dos semigrupos lineares e não lineares, obtendo assim a taxa de atração ( p p L ( ) +J ) +Z. Para tanto é necessário um estudo detalhado de determinados problemas elípticos. Reservamos o Capítulo 3 para tratarmos da continuidade dos conjuntos de equilíbrio e da continuidade dos atratores. Obtivemos que as variedades instáveis são dadas localmente como gráfico de uma aplicação Lipschitz, do que resulta a atração exponencial dos atratores. Utilizamos os resultados obtidos no capítulo anterior para estimar a continuidade dos atratores pela taxa de atração. No apêndice A apresentamos uma estimativa para a dimensão fractal dos atratores associados aos problemas () e () e garantimos que, sob certas condições, os atratores podem ser vistos como objetos de dimensão finita. 4

17 Capítulo Preliminares Neste capítulo reunimos definições, estabelecemos notações e resultados preliminares que serão utilizados nos capítulos seguintes. Começamos com os espaços de Sobolev e a teoria de semigrupos e atratores, obtemos condições para existência e unicidade de soluções globais para o problema de Cauchy parabólico e apresentamos a noção de continuidade de atratores. Concluímos com a convergência compacta, uma ferramenta básica para compararmos problemas definidos em espaços diferentes. As principais referências são [6, 9,,, ] e [3].. Espaços de Sobolev Definição... Sejam um subconjunto aberto de R n e p. Definimos o espaço de Sobolev W,p () por { W,p () = u L p (); g,...,g n L p () tais que u ϕ dx = x i Denotamos u x i = g i e W, () = H (). Se m, definimos W m,p () = { u L p (); α m, g α L p () tal que ud α ϕ dx = ( ) α 5 } g i ϕ dx, ϕ Cc (),i =,...,n. } g α ϕ dx, ϕ Cc (),

18 Preliminares onde α = (α,...,α n ) com α i N {}, i =,...,n, α = α α n e D α = Denotamos D α u = g α e W m, () = H m (). α ϕ α x α. n x n Consideramos W,p () munido da norma H () com o produto interno u,v H = u,v L + u W,p = u L p + n i= n i= u L x, i p u, v = uvdx + x i x i L n i= u v dx, x i x i o qual induz a norma ( u H = u L + n i= u x i L ) que é equivalente à norma de H (). Também consideramos W m,p () munido da norma e H m () com o produto interno u W m,p = D α u L p, α m u,v H m = D α u,d α v L, α m o qual induz a norma ( n u H m = i= u x i L ), que é equivalente à norma de H m (). Observação... Com as respectivas normas, W m,p é um espaço de Banach e H m é um espaço de Hilbert para m e p. Além disso, W m,p, m, é reflexivo para < p <. Note que D α u está unicamente definida quase sempre e coincide com a derivada usual caso u seja derivável e esta derivada esteja em L p (). As regras de derivação tais como derivação do produto, regra da cadeia e integração por partes possuem correspondentes versões para os espaços de Sobolev. Se é limitado, então C () W,p (). Reciprocamente, se u W,p () e g i = u C(), para todo i =,..,n, então u = ũ q.s., onde ũ C (). Se é de classe C, x i então a norma de W m,p, m, é equivalente à norma u L p + D α u L p e o espaço Cc (R n ) α =m 6

19 . Espaços de Sobolev restrito a é um subespaço denso em W,p () para p <. Para detalhes indicamos [6]. Estamos interessados nos teoremas de imersões de Sobolev, sobretudo quando p =. Tais imersões dependem da dimensão do espaço bem como de propriedades de regularidade de. Por exemplo, se n =, então W,p () L () continuamente, para p, mas, se n, tal resultado só vale para p > n. Teorema..3 (Rellich-Kondrachov). Suponhamos que R n seja aberto, limitado de classe C. Então temos as seguintes imersões compactas (i) W,p () L q, q [, p ), onde p > p n se p < n; (ii) W,p () L q, q [, ) se p = n; (iii) W,p () C( ), se p > n. Em particular W,p () L p () compactamente para todo p. Observação..4. Observamos que H () L () compactamente quando é limitado e suave. Além disso, u L + u L é uma norma equivalente à norma de H () e, se u H = em, então u é constante em cada componente conexa de. Denotamos, para p <, W,p () := C c () em W,p (). Em particular, H () = C c () em H () que munido da norma de H () é um espaço de Hilbert. Informalmente, as funções em H () são aquelas que se anulam em. Teorema..5. Suponha que R n seja aberto de classe C. Seja u W,p () C( ) com p <. Então as seguintes afirmações são equivalentes: (i) u = em. (ii) u W,p (). Lema..6 (Desigualdade de Poincaré). Suponha que p < e seja R n aberto e limitado. Existe uma constante C (dependendo de e p) tal que u L p C u L p, u W,p (). Em particular, u L p é uma norma em W,p (), equivalente à norma u W,p. Em H (), a n u v expressão dx é um produto interno que induz a norma u i= x i x L, que é equivalente i à norma u H. 7

20 Preliminares Denotamos por H () o espaço dual topológico de H (). Existe uma imersão canônica T : (L ()) H (), que é simplesmente a restrição a H () dos funcionais lineares contínuos ϕ em L (), ou seja, T ϕ,v H,H = ϕ,v (L ),L. Também, T ϕ H C ϕ (L ) para alguma constante C >, T é injetora (mas pode não ser sobrejetora) e a imagem de T é densa em H (). Assim, identificando L () com (L ()) e usando a imersão T, obtemos H () L () = (L ()) H (). Concluímos esta seção enunciando o Teorema de Lax-Milgram, o qual utilizaremos no próximo capítulo para obter propriedades de certos operadores e resolver problemas elípticos. Teorema..7. Suponha que a(u,v) seja uma forma bilinear contínua e coerciva em um espaço de Hilbert H. Então, para qualquer ϕ H, existe um único u H tal que a(u,v) = ϕ,v, v H. Além disso, se a é simétrica, u é caracterizado por u H a(u,u) ϕ,u = min v H { a(v,v) ϕ,v }.. Semigrupos No que segue X denotará um espaço de Banach e K o corpo dos números reais ou complexos. Consideramos L (X) o espaço dos operadores lineares limitados e X = L (X,K) o dual topológico de X, munidos das respectivas normas T L (X) = sup Tu X, u X u T L (X). Uma forma bilinear a(u,v) em um espaço de Hilbert H é contínua quando existe uma constante C > tal que a(u,v) u v e coerciva se existe uma constante α > tal que a(u,u) α u, u,v H. 8

21 . Semigrupos e u X = supre u,u, u X, u X u onde u,u denota o valor de u em u. Denotamos K (X) o subespaço fechado de L (X) constituído de operadores compactos. Definição... Seja X um espaço de Banach. Dizemos que uma família de operadores lineares limitados {T (t) : X X ; t [, )} é um semigrupo quando satisfaz as seguintes condições: (i) T () = I; (ii) T (t + s) = T (t)t (s), t,s [, ). Dizemos que o semigrupo é uniformemente contínuo quando: (iii) T (t) I L (X) t + ; e fortemente contínuo ou um C -semigrupo quando (iv) T (t)u u X t +, u X. Dizemos que uma família {T (t); t R} L (X) é um C -grupo quando satisfaz (i), (ii) acima e T (t)u u X t, u X. Definição... Seja {T (t);t } L (X) um C -semigrupo. Definimos seu gerador infinitesimal como o operador linear A : D(A) X X, onde D(A) = { T (t)u u } u X; lim existe t + t e T (t)u u Au = lim. t + t A seguir destacamos algumas propriedades dos C -semigrupos. Teorema..3. Seja {T (t),t } um C -semigrupo. Então existem constantes λ e M tais que T (t) L (X) Me λt, t. Denotamos A G(M,λ) quando A é gerador de um C -semigrupo satisfazendo T (t) L (X) Me λt. 9

22 Preliminares Teorema..4. Sejam {T (t),t } um C -semigrupo e A seu gerador infinitesimal. Então são válidas as seguintes propriedades: (i) Para todo u X, a aplicação t T (t)u é contínua para t. (ii) Para todo u X, t+h lim T (s)uds = T (t)u. h h t (iii) Para todo u X, t ( t T (s)uds D(A) e A ) T (s)uds = T (t)u u. (iv) A é densamente definido, fechado e, para todo u D(A), t T (t)u é continuamente diferenciável e dt (t)u dt = AT (t)u = T (t)au, t. (v) Para todo u D(A), T (t)u T (s)u = t s T (h)audh. (vi) D(A k ) é denso em X. Em particular, D(A k ) é denso em X, k N. k= Dado um operador linear A, denotaremos por ρ(a) e R(A) o conjunto resolvente e a imagem do operador A, respectivamente. Teorema..5 (Hille-Yosida). Seja A : D(A) X X um operador linear. São equivalentes: (i) A é o gerador infinitesimal de um C -semigrupo satisfazendo T (t) L (X) e λt, λ, t. (ii) A é um operador linear fechado, densamente definido, (λ, ) ρ(a), λ e (µ A) L (X) µ λ, µ > λ. Observação..6. Se µ C é tal que Reµ > λ, então µ ρ(a) e (µ A) u = e µt T (t)udt, u X.

23 . Semigrupos Definição..7. Dizemos que um C -semigrupo {T (t);t } é um C -semigrupo de contrações quando T (t) L (X), para todo t. onde Seja X um espaço de Banach. Denotamos a aplicação dualidade por F : X P(X ), F(u) = {u X ;Re u,u = u X, u X = u X }. Segue do Teorema de Hahn-Banach que F(u) /, para todo u X. Dizemos que um operador linear A : D(A) X X é dissipativo se, para cada u D(A), existe u F(u) tal que Re u,au. Temos A dissipativo, se e somente se, (µ A)u X µ u X, u D(A), µ >. Teorema..8 (Lumer-Phillips). Seja A um operador linear densamente definido. (i) Se A é o gerador infinitesimal de um C -semigrupo de contrações, então temos Re u,au para todo u F(u) e, para todo u D(A). Além disso, R(µ A) = X para todo µ >. Em particular, A é dissipativo. (ii) Se A é dissipativo e R(µ A) = X para algum µ >, então A é o gerador infinitesimal de um C -semigrupo de contrações. Corolário..9. Seja A um operador linear fechado e densamente definido. Se A e A são dissipativos, então A é o gerador infinitesimal de um C -semigrupo de contrações. Seja A : D(A) X X um operador linear. Denotamos sua imagem numérica por W(A) = { u,au ; u D(A), u X =,u X, u X =, u,u = }. Quando X é um espaço de Hilbert, temos W(A) = { Au,u X ; u D(A), u X = }. Teorema... Seja A : D(A) X X um operador linear fechado e densamente definido. Se µ C\W(A) então µ A é injetor, R(µ A) é fechado em X e (µ A)u X dist(µ,w(a)) u X, u D(A).

24 Preliminares Além disso, se Σ é um domínio em C\W(A) tal que ρ(a) Σ /, então Σ ρ(a) e (µ A) L (X) dist(µ,w(a)), µ Σ. No que segue denotaremos por {e At ;t } o C -semigrupo cujo gerador infinitesimal é A. Para uma perturbação de um C -semigrupo por um operador linear limitado, temos o seguinte resultado: Teorema... Seja {e At ;t } um C -semigrupo cujo gerador infinitesimal é A. Se B L (X), então A+B : D(A) X X é o gerador infinitesimal de um C -semigrupo {e (A+B)t ;t }. Se e At L (X) Me λt, para todo t, então e (A+B)t L (X) Me (λ+m B L (X))t, para todo t. Além disso, {e (A+B)t ;t } é solução da seguinte equação integral: t e (A+B)t u = e At u + e A(t s) Be (A+B)s uds, u X. Teorema... Sejam A,A k G(M,λ), k N. Então as seguintes afirmações são equivalentes: (i) Para quaisquer u X e µ C com Reµ > λ, (µ A k ) u k (µ A) u. (ii) Para quaisquer u X e t, e A kt u k e At u. Além disso, a convergência em (ii) é uniforme para t em intervalos limitados. Para (A k ) k N G(M,λ) e µ C com Reµ > λ definimos o operador linear S(µ)u = lim k (µ A k ) u. O próximo teorema assegura que a convergência de uma sequência de geradores infinitesimais A k G(M,λ) equivale à convergência dos C -semigrupos correspondentes. Observamos que como tais semigrupos e geradores estão definidos nos mesmos espaços base, a noção de convergência (pontual) é natural. Este teorema motiva a abordagem que faremos futuramente onde consideraremos operadores definidos em espaços distintos, quando evidentemente uma nova noção de convergência será necessária.

25 .3 Operadores setoriais, potências fracionárias e problema de Cauchy parabólico Teorema..3 (Trotter-Kato). Seja (A k ) k N G(M,λ). Suponha que exista µ C com Reµ > λ satisfazendo (i) (µ A k ) u k S(µ )u, para todo u X e (ii) A imagem de S(µ ) é densa em X. Então existe um operador A G(M,λ) tal que S(µ ) = (µ A). Além disso, e A kt u k e At u, para todo u X, e a convergência é uniforme para t em subconjuntos limitados de [, )..3 Operadores setoriais, potências fracionárias e problema de Cauchy parabólico Definição.3.. Dizemos que o operador linear A é um operador setorial se A é fechado, densamente definido e existem constantes φ (, π ), M e λ R tais que Σ λ,φ = {µ C; arg(µ + λ) π φ, µ λ} é um subconjunto de ρ( A) e (µ + A) L (X) M µ + λ, µ Σ λ,φ. Figura.: Operador setorial 3

26 Preliminares Observação.3.. Σ λ,φ ρ( A) e (µ +A) L (X) M µ + λ, µ Σ λ,φ se, e somente se, Σ λ,φ = {µ C; φ arg(µ λ) π, µ λ} ρ(a) e (µ A) L (X) M µ λ, µ Σ λ,φ. Teorema.3.3. Seja A um operador linear setorial. Então A é o gerador infinitesimal de um C -semigrupo {e At ;t }, onde e At = e µt (µ + A) dµ, πi Γ λ onde Γ λ é a fronteira de Σ λ,υ \{µ C; µ + λ r} para algum r pequeno e υ (φ, π ), orientada no sentido da parte imaginária crescente. Além disso, a aplicação t e At se estende a uma aplicação analítica em uma região contendo o eixo real positivo e existem constantes K,K tais que e At L (X) Ke λt, Ae At L (X) K t e λt, t e de At dt = Ae At, t. Dizemos que um operador fechado A, com ρ(a) /, possui resolvente compacto se, para algum (e consequentemente todo) µ ρ(a), (µ A) K (X). Quando o C -semigrupo é gerado por um operador A tal que A é setorial, temos os seguintes resultados: Proposição.3.4. Se A é um operador linear setorial com resolvente compacto, então o semigrupo {e At ; t } é constituído de operadores compactos. Teorema.3.5. Sejam A um operador setorial e B um operador linear tais que: D(A) D(B) e Bu X Au X + K u X, u D(A), para algum > e alguma constante K. Então o operador A + B é setorial, D(A + B) = D(A) e {e (A+B)t ;t } é um C -semigrupo tal que t e (A+B)t se estende a um aplicação analítica em uma região contendo o eixo real positivo. Definição.3.6. Para um operador setorial A satisfazendo Re(σ(A)) = {Reµ; µ σ(a)} (, ), onde σ(a) = C\ρ(A) denota o espectro de A e para α >, definimos o operador potên- 4

27 .3 Operadores setoriais, potências fracionárias e problema de Cauchy parabólico cia fracionária associado a A por A = I e A α = t α e At dt, Γ(α) onde Γ é a função Gama e {e At ;t } é o C -semigrupo gerado por A. Temos A α L (X) injetor, logo D(A α ) = X e sendo assim, definimos A α = (A α ), para α >. São válidas as seguintes propriedades: Teorema.3.7. (i) A α é um operador linear fechado, densamente definido com D(A α ) = R(A α ). (ii) Se α > β, então D(A α ) D(A β ). (iii) Para α,β R e γ = max{α,β,α + β}, A α+β u = A α A β u, para todo u D(A γ ). (iv) Para todo u X, e At u D(A α ), α. (v) Para todo u D(A α ), e At A α u = A α e At u, α. (vi) A α e At L (X) e A α e At L (X) K α t α e δt, t, K α constante. (vii) Se < α <, então A α = senπα π µ α (µ + A) dµ. Definição.3.8. Seja A um operador linear satisfazendo Re(σ(A)) (, ). Definimos o espaço de potência fracionária associado a A por X α = D(A α ), munido da norma do gráfico u X α = A α u X. Entendemos X = X. Teorema.3.9. Seja A : D(A) X X um operador setorial satisfazendo Re(σ(A)) (, ). Então: (i) (X α, X α ), α, é um espaço de Banach. (ii) Se A tem resolvente compacto, então para α > β temos X α X β compactamente. Lema.3. (Desigualdade do Momento). Para quaisquer β < α < γ, se u D(A γ ), vale: A α u X C A γ α β γ β u X A β γ α γ β u X, onde C > é constante. 5

28 Preliminares Teorema.3.. Seja A : D(A) X X um operador setorial tal que para algum α R, σ( A) {µ C; Reµ = α} = /. Definimos o operador projeção espectral Q : X X, por Q = (µ + A) dµ, πi γ onde γ é uma curva fechada, retificável e simples que envolve σ(a) {µ C; Reµ > α} e Q = se esta interseção é vazia. Então Q é uma projeção contínua, Q = Q e Qe At = e At Q, para todo t. Se X + = Ker(Q) e X = R(Q), então e At X+ L (X + ), e At X L (X ) e existem constantes M e δ > tais que e At X+ L (X+ ) Me (α δ)t, t. Também, {e At X ; t } se estende a um C -grupo definindo e At X = e A( t) X, para t <, e e At X L (X ) Me (α+δ)t, t. Além disso, temos a decomposição X = X + X e, se X tem dimensão finita, então A X e e At X = e A X t possuem representação matricial com relação a qualquer base de X. Os elementos de X são autovetores ou autovetores generalizados de A. Seja A : D(A) X X um operador setorial satisfazendo Re(σ(A)) (, ). Consideramos X α com a norma do gráfico, f : U X com U aberto em R X α e o problema de Cauchy parabólico u t + Au = f (t,u), t > t u(t ) = u. (.) Definição.3.. Uma solução de (.) em [t,t ) é uma função u : [t,t ) X que é diferenciável em (t,t ) com u(t ) = u e tal que (t,u(t)) U e u(t) D(A) para t [t,t ), além disso t Au(t) é contínua e (.) está satisfeita. Se para cada (t,u ) U existe uma vizinhança V U de (t,u ) tal que, para quaisquer (t,u),(s,v) V f (t,u) f (s,v) X L( t s θ + u v X α ), onde θ e L são constantes positivas, dizemos que f é localmente Hölder contínua na variável t e localmente Lipchitz contínua na variável x. 6

29 .4 Atratores globais para semigrupos não lineares Lema.3.3. Se f é localmente Hölder contínua na variável t e localmente Lipchitz contínua na variável x, então u é solução de (.) se, e somente se, t u(t) = e A(t t) u + e A(t s) f (s,u(s))ds. t Teorema.3.4. Sejam A um operador setorial, α <, U aberto em R X α e f : U X localmente Hölder contínua na variável t e localmente Lipchitz contínua na variável x. Então, para cada (t,u ) U, existe uma única solução u : [t,t ) X α definida em um intervalo [t,t ). Além disso, se u é maximal e para todo B U limitado, f (B) X é limitada, então ou T = ou existe uma sequência t k k T de tal maneira que (t k,u(t k )) k U. Corolário.3.5. Sob as mesmas hipóteses do Teorema.3.4, se U = (τ, ) X α e também f (t,u) X k(t)( + u X α ) para todo (t,u) U, onde k(t) é contínua em (τ, ), então, para t > τ e u X α, a única solução de (.) passando por (t,u ) existe para todo t t. Observação.3.6. Se f é independente de t e globalmente Lipschitz, limitada, continuamente f (u) X diferenciável e, para u solução de (.), é limitada, então u é globalmente definida. + u X α.4 Atratores globais para semigrupos não lineares Sejam X um espaço de Banach e A : D(A) X X um operador setorial com resolvente compacto tal que Re(σ(A)) (, ). Temos o seguinte: Lema.4.. Existe uma constante δ > tal que e At L (X α,x β ) Mtα β e δt, β > α. (.) Para α (,) fixado, consideramos o problema de Cauchy parabólico u t + Au = f (u) u() = u X α, (.3) onde f : X α X é globalmente Lipschitz, limitada e Fréchet continuamente diferenciável. Conforme a Observação.3.6, o problema (.3) possui uma solução definida para todo t. 7

30 Preliminares Tal solução é dada por t u(t) := u(t,u ) = e At u + e A(t s) f (u(s))ds, onde {e At,t } é o semigrupo analítico gerado por A. Definimos, para u X α e t, o operador T (t) : X α X α pela relação T (t)u = u(t,u ), isto é, t T (t)u = e At u + e A(t s) f (u(s,u ))ds, t. (.4) Deste modo, {T (t);t } L (X α ) é uma família de operadores (não lineares), satisfazendo: (i) T () = I; (ii) T (t + s) = T (t)t (s), t,s [, ); (iii) a aplicação (t,u ) [, ) X α T (t)u X α é contínua. Definição.4.. Seja X um espaço de Banach. Uma família de operadores (não lineares) {T (t);t } L (X) satisfazendo (i), (ii) e (iii) acima é denominada um semigrupo não linear. Neste caso, diremos apenas que {T (t);t } é um semigrupo. Definição.4.3. Sejam {T (t);t } L (X α ) um semigrupo e u X α. Definimos (i) γ + (u ) = {T (t)u ; t } a órbita positiva por u ; (ii) uma órbita negativa por u como sendo uma aplicação contínua ϕ : (,] X α tal que ϕ() = u e para todo s, T (t)ϕ(s) = ϕ(t + s), para todo t [, s]; (iii) uma órbita completa por u como sendo uma aplicação contínua ϕ : R X α tal que ϕ() = u e para todo s R, T (t)ϕ(s) = ϕ(t + s), para todo t. A existência de uma órbita negativa ou completa por u está condicionada a X α e a certas restrições sobre u, além disso, se tal órbita negativa ou completa existe, ela pode não ser única. Denotamos H(t,u ) = {u X α ; existe uma órbita negativa ϕ por u tal que ϕ( t) = u}; e para E X α, T (t)e = {T (t)u; u E} e H(t,E) = {u X α ; u E, existe uma órbita negativa ϕ por u tal que ϕ( t) = u}. 8

31 .4 Atratores globais para semigrupos não lineares Assim definimos, quando possível (iv) γ (u ) = H(t,u ) a órbita negativa por u ; t (v) γ(u ) = γ + (u ) γ (u ) a órbita completa por u ; (vi) γ + (E) = u E (vii) γ (E) = (viii) γ(e) = u E u E γ + (u ) a órbita positiva por E; γ (u ) a órbita negativa por E; γ(u ) a órbita completa por E; (ix) ω(e) = T (t)e o conjunto ω-limite de E; s t s (x) α(e) = H(t,E) o conjunto α-limite de E. s t s Até o fim desta seção consideramos {T (t);t } o semigrupo associado a (.3), ou seja, o semigrupo dado por (.4). Lema.4.4. Seja E X α. Temos (i) u ω(e) se, e somente se, existem sequências (t k ) k [, ) e (u k ) k E com t k e T (t k )u k t k u. (ii) u α(e) se, e somente se, existem sequências (t k ) k [, ) e (u k ) k E com t k tais que, para cada k N existe ϕ k : (,] X α uma órbita negativa por u k e ϕ k ( t k ) k u. (iii) se E é limitado, então γ + (E) é limitada e T (t)γ + (E) é compacto, para todo t. Definição.4.5. Dizemos que um subconjunto E X α é invariante sob o semigrupo {T (t);t } quando T (t)e = E, para todo t. Lema.4.6. Um subconjunto E X α é invariante sob {T (t);t } se, e somente se, para cada u E existe uma órbita completa γ(u ) por u e γ(u ) E. Definição.4.7. Sejam A,B X α. Definimos a semidistância de Hausdorff de A até B por dist H (A,B) = sup inf u v X v B α. u A 9

32 Preliminares Observamos que a semidistância de Hausdorff não é simétrica e A B dist H (A,B) =. Definição.4.8. Sejam E e F subconjuntos de X α. Dizemos que E atrai F sob o semigrupo {T (t);t } se lim t dist H (T (t)f,e) =. Lema.4.9. Para todo u X α, ω(u ) = ω({u }) é não vazio, conexo, compacto, invariante e atrai {u } sob {T (t);t }. Em geral, se E X α é limitado e conexo, então ω(e) é não vazio, conexo, compacto, invariante e atrai E sob {T (t);t }. Lema.4.. Suponha que u X α seja tal que existe uma órbita negativa ϕ : (,] X α por u tal que ϕ((,]) é compacto. Então α ϕ (u ) = {v X α ; (t k ) k [, ) com t k e ϕ( t k ) t k v} (.5) é não vazio, conexo, compacto e invariante sob {T (t);t }. Em geral, se E X α é limitado e γ (E) é não vazio e compacto, então α(e) é não vazio, compacto e invariante sob {T (t);t }. Definição.4.. Dizemos que um subconjunto não vazio A X α é um atrator global para o semigrupo {T (t);t } se A é compacto, invariante e atrai subconjuntos limitados de X α sob {T (t);t }. Observação.4.. Se E é um subconjunto limitado de X α e invariante sob o semigrupo {T (t);t }, então E A, ou seja, um atrator global para {T (t);t } é um conjunto maximal limitado invariante para {T (t);t }, logo único. Também caracterizamos A = {u X α ; existe uma solução global limitada por u}. Lema.4.3. Para todo subconjunto limitado E X α, existem N > e τ > tais que sup t τ sup v T (t)e v X α N. (.6) Além disso, sup sup E X α v ω(e) E limitado v X α N. (.7) Teorema.4.4. Sejam N como em (.6) e B N = {u X α ; u X α N}. Então ω(b N ) é um atrator global para {T (t);t }.

33 .4 Atratores globais para semigrupos não lineares Consideramos a equação u t + Au = f (u). (.8) Definição.4.5. Dizemos que uma função constante u(t) = u X α, para todo t R, é uma solução de equilíbrio ou estacionária de (.8) quando Au f (u ) =. Definição.4.6. Dizemos que uma solução de equilíbrio u de (.8) é hiperbólica se σ(a f (u )) é disjunto do eixo imaginário. Note que Au f (u) = T (t)u = u, onde {T (t);t } é o semigrupo dado por (.4). Denotamos E = {u X α ; Au f (u) = } = {u X α ; T (t)u = u}. Lema.4.7. Suponha que todos as soluções de equilíbrio de (.8) sejam hiperbólicas. Então E é um conjunto finito, e assim cada solução de equilíbrio é isolada. Definição.4.8. Dizemos que o semigrupo {T (t);t } é gradiente se existe uma função (de Lyapunov) V : X α R satisfazendo: (i) V é contínua; (ii) a aplicação t [, ) V (T (t)u) R é não crescente para todo u X α ; (iii) u X α, u E V (T (t)u) = V (u), t. No que segue supomos que {T (t);t } dado por (.4) é gradiente e E é constituído de soluções hiperbólicas. Lema.4.9. Para todo u X α, ω(u ) = {u } para algum u E. Consequentemente T (t)u t u. Lema.4.. Suponha que u X α seja tal que existe uma órbita negativa ϕ por u com ϕ((,]) compacto. Então existe u E tal que α ϕ (u ) = {u } onde α ϕ é como em (.5). Consequentemente, ϕ(t) t u. Definição.4.. Seja u E, definimos (i) a variedade instável de u como

34 W u (u ) = {u X α ; u(t,u ) está definido para todo t e u(t,u ) t u }; (ii) a variedade estável de u como W s (u ) = {u X α ; u(t,u ) t u }. Preliminares Lema.4.. Seja E um subconjunto relativamente compacto e invariante de X α sob {T (t);t }. Se u E, então existem u +,u E tais que u W u (u + ) W s (u ). Teorema.4.3. Seja A o atrator de {T (t);t }. Então A = u E W u (u )..5 Continuidade de atratores e taxa de atração Na seção anterior tratamos de semigrupos não lineares dados pela fórmula da variação das constantes. Nesta seção faremos uma abordagem mais geral, na qual os semigrupos independem de um problema semilinear parabólico. Continuaremos denotando X α como um espaço de Banach onde estão definidos os semigrupos. Definição.5.. Seja {U } [,] uma família de subconjuntos de X α. Dizemos que {U } [,] é (i) semicontínua superiormente em = se dist H (U,U ) = sup dist(u,u ) ; u U (ii) semicontínua inferiormente em = se dist H (U,U ) = sup dist(u,u ) ; u U (iii) contínua em = se é semicontínua inferior e superiormente em =. Lema.5.. Seja {U } [,] uma família de subconjuntos de X α. (i) Se toda sequência (u k ) k N, com u k U k e k k, possui uma subsequência com limite pertencendo a U, então {U } [,] é semicontínua superiormente em =. (ii) Se U é compacto e para todo u U, existe uma sequência (u k ) k N com u k U k, k N, k k e u k k u, então {U } [,] é semicontínua inferiormente em =.

35 .5 Continuidade de atratores e taxa de atração Proposição.5.3. Seja {T (t);t } [,] uma família de semigrupos (não lineares) em X α tais que, para cada [,], o semigrupo {T (t);t } possua um atrator global A. Assuma que o conjunto A seja compacto e que, para u u, vale T (t)u T (t)u X α, [,] para todo t. Então a família de atratores {A } [,] é semicontínua superiormente em =. Teorema.5.4. Seja {T (t);t } [,] uma família de semigrupos em X α tais que, para cada [,], o semigrupo {T (t);t } possua um atrator global A. Suponhamos que (i) E = {u,,...,u,k } para todo [,] e u,i u,i X α ; (ii) Existe δ > tal que {W u (u,i ) B X α (u,i,δ)} (,] é semicontínua inferiormente em ; (iii) T (t)u T (t)u X α para todo t ; (iv) A = k i= W u (u,i ), uniformemente para u em subconjuntos compactos de X α, Então {A } [,] é semicontínua inferiormente em = e existe (,] tal que para todo k (, ], A = W u (u,i ). i= A seguir definiremos o conceito de semigrupo gradiente-like, que generaliza o conceito de semigrupo gradiente. A vantagem de considerarmos semigrupos gradiente-like é que os mesmos são estáveis sob perturbações e, em geral, verificar a definição de gradiente-like é mais simples do que exibir uma função de Lyapunov para um determinado semigrupo. Definição.5.5. Sejam {T (t); t } um semigrupo com um número finito de soluções estacionárias E = {v,...,v k } e δ = min i, j k i j v i v j X α >. Sejam < δ,u E e (, ). Uma -cadeia de u para u é um subconjunto {v l,...v l p } E, p k, juntamente com um subconjunto {v,...v p } X α e constantes s,t,...,s p,t p tais que < s i < t i, para i =,..., p, tais que v i v l i X α <, para i =,..., p +, v l k+ = v = u, dist(t (s i )v i,e ) > e T (t i )v i v i+ X α <, i =,.., p. Diremos que u E é recorrente por cadeias, se existe > e uma -cadeia de u para u para cada (, ). 3

36 Preliminares Figura.: -cadeias Definição.5.6. Seja {T (t); t } um semigrupo com um número finito de soluções estacionárias E = {v,...,v k } e suponha que ele possui um atrator global A. Dizemos que {T (t); t } é um semigrupo gradiente-like se as seguintes condições são satisfeitas: (i) Dada uma solução global ϕ : R X α em A, existem i, j {,...,k}, tais que lim ϕ(t) t vi X α = e lim ϕ(t) v j X α = ; t (ii) E = {v,...,v k } não contém nenhum ponto recorrente por cadeia. Observação.5.7. Todo semigrupo gradiente é gradiente-like e uma perturbação de um semigrupo gradiente é um semigrupo gradiente-like. Definição.5.8. Dizemos que um semigrupo {T (t); t } é assintoticamente compacto se para cada fechado, limitado e não vazio B X α com T (t)b B, existe um conjunto compacto K = K(B) B que atrai B. Teorema.5.9. Suponha que as seguintes condições sejam válidas: (i) O semigrupo {T (t); t } é gradiente-like e assintoticamente compacto com órbitas limitadas de conjuntos limitados e E = {u,...,u k }; (ii) E = {u,...,u k } atrai pontos de X α ; 4

37 .5 Continuidade de atratores e taxa de atração (iii) O semigrupo {T (t); t } satisfaz uma condição de Lipschitz da forma T (t)w T (t)w X α Ce Lt w w X α, (.9) para todo B X α limitado e w,w B, onde C,L são contantes positivas; (iv) Cada u i E verifica a propriedade: existem constantes positivas C,δ e ρ, tais que dist(t (t)u,w u loc (ui )) C e ρ t, (.) sempre que u pertence a uma δ -vizinhança de u i e a órbita por u permanece nesta vizinhança para t. Então o semigrupo {T (t); t } é exponencialmente limitado dissipativo. De fato, existe uma atrator global A que atrai exponencialmente da seguinte forma: existem γ > e K > tais que dist H (T (t)b,a ) Ke γt, t >, (.) para todo B X α limitado. Para semigrupos compactos, vale o seguinte resultado. Teorema.5.. Suponha que {T (t); t } seja um semigrupo gradiente-like compacto para t > t que satisfaça a seguinte condição de Lipschitz: dado qualquer v X, existe uma bola B v tal que γ + (B v ) é limitado e, para constantes positivas C e L, temos T (t)w T (t)w X C e L t w w X, t, (.) para todos w,w γ + (B v ). Suponha também que E = {u,...,u k } atraia pontos de X α e que cada u i E verifique a propriedade dist(t (t)u,w u loc (ui )) Ce ρ t, (.3) sempre que u pertence a uma δ -vizinhança de u i e a órbita por u permanece nesta vizinhança para t. Então o semigrupo {T (t); t } é exponencialmente limitado dissipativo. De fato, existe uma atrator global A que atrai exponencialmente da seguinte forma: existem γ > e 5

38 Preliminares K > tais que dist H (T (t)b,a ) Ke γt, t >, (.4) para todo B X α limitado. Definição.5.. Dizemos que a família de semigrupos {T (t);t } [,] é coletivamente assintoticamente compacta se, dada uma sequência ( k ) k [,] com k, uma sequência limitada (u k ) k X α e uma sequência (t k ) k [, ), temos {T k (t k )u k } k relativamente compacto em X α. Teorema.5.. Seja {T (t);t } [,] uma família de semigrupos coletivamente assintoticamente compactos definidos em X α. Suponha que : (i) Para cada [,], {T (t);t } possui um atrator global A ; (ii) E = {u,,...,u,k } atrai pontos de X α e se comportam semicontinuamente superior e inferiormente quado ; (iii) T (t)u T (t)u X α para todo t ; uniformemente para u em subconjuntos compactos de X α, (iv) Existem δ > e (,] tais que, se (, ], ϕ : R X α é uma solução global em A, e ϕ (t) u,i X α < δ, para todo t, ( ϕ (t) u,i X α < δ, para todo t ), então ϕ (t) u,i X α t ( ϕ (t) u,i X α t ); (v) {T (t);t } é gradiente-like. Então existe (,] tal que, para todo (, ], {T (t);t } [,] é um semigrupo gradiente-like. Consequentemente, A = k i= W u (u,i ), (, ]. Corolário.5.3. Assumindo as hipóteses dos Teoremas.5.9 e.5. para cada [,], temos que para todo conjunto limitado B X α, existem (,] e constantes positivas γ e K = K(B), independentes de, tais que dist H (T (t)u,a ) Ke γt, u B, [, ] e t. 6

39 .6 Convergência compacta Teorema.5.4. Seja {T (t);t } [,] uma família de semigrupos em X α tais que, para cada [,], o semigrupo {T (t);t } possua um atrator global A. Suponhamos que existam (,] e um subconjunto limitado U X α, tais que A U e, para todo subconjunto limitado B X α, existem γ > e K := K(B) >, tais que [, ] dist(t (t)b,a ) Ke γt, [, ] e t. (.5) Suponhamos também que existam constantes positivas C e L tais que T (t)u T (t)v X α Ce Lt ( u v X α + l()), u,v U, [, ] e t, onde l(). Então, dist(a,a ) + dist(a,a ) Cl() γ γ+k, para alguma constante C >. Observação.5.5. A função l() no Teorema.5.4 funciona como uma taxa de atração para os semigrupos que possuem o decaimento exponencial (.5), o importante aqui é que a continuidade dos atratores na métrica de Hausdorff pode ser estimada por tal taxa de atração..6 Convergência compacta Seja {X } [,] uma família de espaços de Banach e suponha que exista uma família de operadores {E } [,] L (X,X ), os quais chamamos de extensões, satisfazendo E u X u X, u X. Definição.6.. Dizemos que a família {u } (,], com u X para todo (,], E- converge para u X quando se u E u X por u E u.. Denotamos tal convergência Definição.6.. Dizemos que uma sequência (u k ) k N, com u k X k, k (,] e k k, é E-relativamente compacta se toda subsequência (u k ) (u k ) admite uma subsequência (u k ) Distancia de Hausdorff de A até B = dist H (A,B) + dist H (B,A). 7

40 Preliminares convergente para um elemento u X. Dizemos que a família {u } (,], com u X para todo (,] é E-relativamente compacta se cada sequência (u k ) k N {u } (,] com k k, é E-relativamente compacta. Definição.6.3. Dizemos que a família de operadores {B } (,] L (X) EE-converge para B L (X ) quando se B u E B u sempre que u E u. Denotamos tal convergência por B EE B. Definição.6.4. Dizemos que a família de operadores {B } (,] K (X) converge compactamente para B K (X ) quando se B EE B e para toda família {u }, com u X e u X =, a família {B u } (,] é E-relativamente compacta. Denotamos tal convergência por B CC B. Lema.6.5. Seja {B } (,] K (X) tal que B CC B K (X). Então são válidas as seguintes afirmações: (i) B L (X) C, para alguma constante C > independente de (,]. (ii) se Ker(I + B ) = {}, então existem > e M > tais que (I + B ) L (X) M, [, ]. A convergência compacta será uma ferramenta fundamental para estudar o comportamento dos operadores resolvente, associados a um problema de reação difusão que introduziremos no próximo capítulo. Na ocasião, o espaço X será um subespaço fechado de X e as extensões serão as aplicações identidades. Também nos depararemos com a situação onde os operadores são fechados, densamente definidos com resolvente compacto e portanto faremos a seguinte hipótese: (CC) Consideremos a família de operadores {A : D(A ) X X } [,] e suponhamos que A seja fechado, densamente definido, possua resolvente compacto, ρ(a ) e A A. CC No que segue suporemos que {A } [,] é uma família de operadores satisfazendo a hipótese (CC). 8

41 .6 Convergência compacta Teorema.6.6. Para cada µ ρ( A ), existe µ > tal que µ ρ( A ) para todo [, µ ] e sup (µ + A ) L (X ) <. [, µ ] Além disso, (µ + A ) converge compactamente para (µ + A ) quando. Teorema.6.7. Seja K um subconjunto compacto de ρ( A ). Então existe K (,] tal que K ρ( A ) para [, K ] e Além disso, para u X, temos sup (, K ] µ K sup (µ + A ) L (X ) <. sup (µ + A ) E u E (µ + A ) u L (X ). µ K O próximo resultado assegura que, para se aproximando de zero, o espectro de A aproxima-se do espectro de A. Note que como os operadores A possuem resolvente compacto e ρ(a ), os espectros σ( A ) consistem apenas de um número finito de autovalores isolados de multiplicidade finita. Teorema.6.8. São válidas as seguintes afirmações: (i) Se ( k ) k N (,] é uma sequência convergindo para zero, (µ k ) k N é uma sequência em C com µ k σ( A k ), para todo k N, e µ k k µ, então µ σ( A ). (ii) Para todo µ σ( A ), existem sequências ( k ) k N (,] convergindo para zero e (µ k ) k N em C com µ k σ( A k ), para todo k N, tais que µ k k µ. Seja µ σ( A ) e δ > tais que {z C; z µ δ} σ( A ) = {µ }. Consideramos a projeção espectral Q (µ ) : X X, dada por Q (µ ) = πi (z + A ) dz. z µ =δ Como K = {z C; z µ = δ} é compacto contido em ρ( A ), pelo Teorema.6.7, existe K tal que K ρ( A ), para todo (, K ], assim definimos a projeção espectral Q (µ ) : 9

42 Preliminares X X, por Q (µ ) = πi (z + A ) dz. z µ =δ Definimos o auto-espaço generalizado associado a µ por W(µ, A ) = Q X. Observação.6.9. A projeção espectral Q (µ ), [, K ], é um operador compacto e o auto espaço W(µ, A ) é um subespaço de dimensão finita. Lema.6.. Para todo µ K, Q (µ) CC Q (µ). Teorema.6.. São válidas as seguintes afirmações: (i) Existe > tal que dimw(µ, A ) = dimw(µ, A ), para todo (, ], e µ K. (ii) Para todo u W(µ, A ), existe uma família {u } com u W(µ, A ), tal que u E u. (iii) Toda sequência (u k ) k N com u k W(µ, A k ), k k e u k Xk subsequência E-convergente para um elemento u W(µ, A ). Lema.6.. Seja {V } [,] L (X ) tal que V EE V. Então =, admite uma A V CC A V. compacto. No que segue, supomos que / σ(a +V ). Observamos que A +V possui resolvente Proposição.6.3. Seja {V } [,] L (X ) tal que V / σ(a +V ) e (A +V ) L (X ) < para todo [, ]. Além disso, EE V. Então existe > tal que (A +V ) CC (A +V ). 3

43 Capítulo Equações de reação-difusão Na modelagem de problemas físicos, quando lidamos com materiais que possuem propriedades físicas distintas em suas componentes, é frequente encontrarmos sistemas com comportamento diferente em certas regiões. Como consequência, as leis que constituem o sistema, embora obedeçam uma formulação geral, possuem diferenças significativas dependendo em qual região do sistema estamos trabalhando. Isto, por sua vez, implica que a equação diferencial que descreve o comportamento do sistema pode também possuir propriedades diferentes ao longo do sistema. Considerando que alguns dos parâmetros do problema em questão são variáveis, é também frequente a situação em que devemos estudar algum problema limite. Tal dinâmica, por exemplo, ocorre quando a difusão do calor é muito grande em certas partes do material e, neste caso, o problema limite pode ser considerado como um processo descrevendo a transição de solidificação do material. Nesta situação, levando em consideração que grande difusão proporciona uma rápida redistribuição das não homogeneidades espaciais do sistema, esperamos que em uma determinada região interior ao domínio físico da equação, a solução do problema tende a ser espacialmente homogênea e satisfaça uma EDO, enquanto que em outra região, também interior ao domínio do problema, tal solução satisfaça uma EDP. Neste trabalho consideraremos um problema de reação-difusão com difusão grande localizada e seu problema limite, e relacionaremos as dinâmicas de tais problemas relativamente a uma "taxa de atração". Tal abordagem foi, por exemplo, considerada em [4] para uma equação de reação-difusão com variação no coeficiente de difusão, sem a hipótese de a difusão ser grande em certas regiões. 3

44 Equações de reação-difusão. Introdução Consideramos o problema: ut (t,x) div(p (x) u (t,x)) + λu (t,x) = f (u (t,x)), x,t >, p (x) u n =, x, u (,x) = u (x), x, (.) para o qual assumimos as seguintes hipóteses: (, ] para >, λ > e a não linearidade f C (R) satisfaz certas condições de crescimento, dissipatividade e hiperbolicidade que vamos impor posteriormente; é um domínio suave e limitado em R n ; u n denota a derivada conormal de u, isto é, u n = u n, onde n é o vetor unitário normal interior a na fronteira ; m =,i é um aberto no interior de, onde,i são domínios suaves em tais que i=,i, j = / para i j, i, j =,...,m. Denotamos = \. Note que a fronteira =, com = /; os coeficientes de difusão p : (, ), (, ], são tais que (i) p C (); (ii) < m p (x) M, x ; (iii) p (x) p (x), uniformemente em com p C (,(, ))., uniformemente em subconjuntos compactos de Assumiremos por um momento que m =, ou seja, que seja conexo, e que as soluções u de (.) existam e convirjam, em algum sentido, para uma função u(t,x) que é espacialmente constante em, com u(t,x) = u (t) para todo x. Uma vez que difusibilidade grande implica uma rápida redistribuição das não homogeneidades espaciais, é natural esperar que para valores pequenos de, a solução do problema (.) seja aproximadamente espacialmente 3

45 . Introdução Figura.: Domínio constante em. Assim, quando, esperamos que em, u verifique u t (t,x) div(p (x) u(t,x)) + λu(t,x) = f (u(t,x)), x,t >, p (x) u n =, x. Integrando em a primeira equação em (.), supondo u constante em e usando a Primeira Identidade de Green, obtemos ut (t,x)dx + p (x) u n dσ + λu (t,x)dx = f (u (t,x))dx, onde dσ é a medida de superfície em e n é o vetor unitário normal interior a na fronteira. Fazendo e dividindo por, obtemos a equação diferencial ordinária u (t) + p (x) u n dσ + λu (t) = f (u (t)). Observamos que tal equação relaciona o fluxo total de calor de para através da fronteira com o calor total em. Também relaciona o valor de u com o valor de u em através da integral sobre. Desta forma, tendo em mente [4], o problema limite de (.) quando deve ser 33

46 Equações de reação-difusão u t (t,x) div(p (x) u(t,x)) + λu(t,x) = f (u(t,x)), x,t >, u,i (t,x) = u,i (t), x,i, i =,...,m, u,i (t) + p (x) u,i,i n dσ + λu,i (t) = f (u,i (t)), p (x) u =, x,t >, n u(,x) = u (x), x. i =,...,m, (.) A seguir, escreveremos (.) e (.) em um formato semilinear parabólico apropriado e concluiremos que tais problemas estão bem postos. Para tal, consideraremos, para cada (, ], o operador A : D(A ) L () L () definido por Denotamos L () = D(A ) = { u H (); div(p (x) u) L () e u n = em } ; A u = div(p (x) u) + λu, u D(A ). {u L (); u é constante q.s. em cada componente conexa de } ; H () = {u H (); u = em }, e definimos o operador A : D(A ) L () L () por D(A ) = { u H (); div(p (x) u) L ( ) e u n = em } ; ( m A u = ( div(p (x) u) + λu)χ + p (x) u ) i=,i,i n dσ + λu,i χ,i, para todo u D(A ). Mostraremos, na próxima seção, que para [, ], os operadores A são setoriais, autoadjuntos, positivos com resolventes compactos e ρ(a ). Logo, Re(σ(A )) (, ). Consideramos os espaços de potências fracionárias X = H () para (, ] e X = H () Quando necessário denotaremos X (). 34