2.(2,0pts) Quais das afirmações a seguir são verdadeiras, justificando sua resposta.

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1 Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Primeira Avaliação a Distância de Métodos Determinísticos 3/03/008 Resolução. (,0 pts) Em uma escola com alunos verificou-se que: a) O número de meninas que não usam óculos é o triplo do número de meninos que usam óculos. b) O número de meninos que não usam óculos é o quádruplo do numero de meninas que usam óculos. c) Entre os alunos que usam óculos, o número de meninas é o dobro do número de meninos. Determinar: i) O número de alunos dessa escola que usam óculos. ii) O número de meninas dessa escola que não usam óculos. iii) O número de meninos dessa escola. O conjunto universo é a escola e possui elementos. Os alunos são meninos e meninas, logo podemos representar este universo com o seguinte diagrama: Meninas x Meninos y O t s

2 Seja O o conjunto dos alunos que usam óculos, então x é o número de meninas que não usam óculos. t é o número de meninas que usam óculos. y é o número de meninos que não usam óculos. s é o número de meninos que usam óculos. Com esta notação, das hipóteses a, b e c obtemos as equações: x + y + t + s = x = 3s y = 4t t = s Substituindo a quarta equação na terceira, obtemos y = 4(s) = 8s. Da primeira igualdade, 3s + 8s + s + s = 4s = s = 8. Logo, x = 4, y = 64 e t = 6. Podemos, agora, completar o diagrama identificando a quantidade de elementos em cada subconjunto da escola. Meninas Meninos x =4 y = 64 Respostas: i) 4 ii) 4 iii) 7. t=6 s=8 O.(,0pts) Quais das afirmações a seguir são verdadeiras, justificando sua resposta. 7 7 I. < II = III. Se y > 0, então y = y IV. 49 = ± 7. V. ( + 3) + ( 3) Z I. Verdadeira, pois = < = 0, II. Falsa, pois = =

3 III. Verdadeira, pois y = y = y se y > 0. IV. Falso. Veja, 49 = 7. Observação: É comum ouvirmos a resposta mais ou menos dois ao perguntarmos qual é a raiz quadrada de quatro? Essa resposta é errada. A raiz quadrada de quatro é dois. Uma das razões para esse erro é a confusão causada pelo uso da palavra raiz em circunstâncias diferentes. Veja a afirmação as raízes da equação x = 4 são e -. Agora sim, a resposta está adequada, pois () = ( ) = 4. V. Verdadeira. Apesar da presença dos radicais, ao efetuarmos as operações obtemos: ( + 3) + ( 3) = = 0 Z. 3.(Anpad)(,0 pt) Comprou se um lote de arroz de três qualidades: o primeiro veio em sacas de 60kg; o segundo, em sacas de 48Kg; e o terceiro em sacas de 7kg. Desejando embalá-los em sacas, menores, sem misturar qualidades e sem sofrer qualquer perda, então o maior peso possível para essas é... Para resolver a questão devemos achar o maior divisor comum (m.d.c) entre 48, 60 e 7. Primeiro vamos achar o m.d.c entre 60 e 48, quociente Resto 0 Então o m.d.c(60, 48) =. Como é um divisor de 7, temos que o máximo divisor comum entre 48, 60 e 7 é. Portanto o maior peso possível para as sacas de arroz é kg. 4.(Anpad)(,0 pt) Três cavalos correm em uma pista circular e passam ao mesmo tempo sobre uma linha. Os cavalos mantêm uma velocidade constante, sendo que o primeiro realiza uma volta em 30 segundos; o segundo em 36 segundos; e terceiro em 48 segundos. Logo, pode-se afirmar que os três cavalos passarão novamente juntos sobre esta linha em...minutos.

4 Para resolver a questão devemos achar o mínimo múltiplo comum (m.m.c) entre 30,36 e 48. Calculando o m.m.c: Assim, o m.m.c(30,36,48) = 4 x3 x5 = 6x9x5 = 70. Como a pergunta quer saber em quantos minutos os cavalos passarão juntos, devemos dividir 70 por 60 e obtemos. Logo, pode-se afirmar que os três cavalos passarão novamente juntos sobre esta linha em minutos. 5. (,0pts) a) Resolva, em R, a equação x 3 = 3x +. b) Resolva, em R, a inequação x x +. a) Aqui será utilizada a seguinte propriedade: a = b a = ± b,válida para quaisquer que sejam os números reais a e b. Então, x 3 = 3x + x 3 = 3x + ou x 3 = 3x Re solvendo a primeira equação, temos : x 6x 8 x 3 = 3x + x 3x = + 3 = 4 5x = 8 x =. 5 Re solvendo a segunda equação, temos : x + 6x 4 x 3 = 3x x + 3x = + 3 = 7x = 4 x = Logo o conjunto solução é S =,. 5 7

5 b) x x + O primeiro passo é estudar o sinal de x, calculando sua raiz, x = 0 x = x =. Estudando o sin al obtemos : x > 0 x < e x < 0 x >. Da definição de módulo vem : x x +, se x ou x x, se x >. Resolvendo a primeira inequação para x : x x + x x 3x x. 3 Assim, o conjunto solução desta inequação é S = (-, ] (-, 0,333] = (-, 0,333]. Resolvendo a segunda inequação para x > : x x x 3 x 3. Assim, o conjunto solução desta inequação é S = (, ) [3, ) = [3, ). Logo, o conjunto solução da inequação x x + é dado por S = S S, ou seja S = x R / x ou x (,0 pts) Represente graficamente os conjuntos U = V = {( x, y) R ;0 x } ( x, y) R ; x { } e Para representar graficamente U, levamos em conta a variaçãoda abcissa x e o fato que naõ há restrição à variação da ordenada y. Para a representação gráfica de V, levamos em conta a variaçãoda ordenada y e o fato que naõ há restrição à variação da abcissa x.

6 Conjunto U y 0 x Conjunto V y - x

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