Sistemas de Proporções Matemáticas

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1 Página 1 de 13 Revista Eletrônica de Ciências São Carlos, domingo, 10 de agosto de Número 26, Abril de 2004 Artigo Sistemas de Proporções Matemáticas Henrique Ferraz Estudante de Arquitetura e Urbanismo da Escola de Engenharia de São Carlos - USP henriqueferraz_arqurb@yahoo.com.br A Proporção na Grécia Antiga A Matemática durante o processo de Continuidade Histórica A matemática é uma das ferramentas mais importantes do homem, pois, através dela, buscamos compreender o mundo e a nós mesmos. Todas as leis da Física só são possíveis graças ao entendimento do universo pela matemática. Nossa estrutura psicológica requer um conceito de ordenação e de harmonia: nós obtemos este conceito através da matemática, mais especificamente através dos sistemas de proporções matemáticas. Logo, podemos ter na matemática a linguagem humana mais abstrata e que utilizamos para entender a tudo que nos cerca.

2 Página 2 de 13 Os sistemas de proporções matemáticas são as principais ferramentas que o homem utiliza-se para a compreensão de tudo que lhe cerca. Na busca pela harmonia, nos deparamos com dois estados que, à primeira vista, parecem antagônicos, porém, especialmente dentro do universo das artes, complementam-se. O desejo pela beleza e ordem se misturam entre um instinto irracional tanto quanto um impulso intelectual. E é no meio artístico que podemos ver como eles se relacionam: o artista, através da sua habilidade (controlada pela razão) tenta exprimir seus sonhos no suporte de sua arte - a consciência que guia o inconciente, o lado humano controlando e trabalhando o lado irracional.

3 Página 3 de 13 É no universo das artes que podemos ver o ser humano em suas facetas racional e irracional atuando juntas. Outra questão que precisa ser explicitada já de início é a diferença entre razão e proporção. Basicamente, razão é uma divisão, o qüociente de dois números. Já um sistema proporcional consiste em relacionar duas razões dentro de uma igualdade, criando assim um elo entre elas. À esquerda, dois exemplos de razões. À direita, as mesmas razões se ligam pela igualdade, formando assim uma proporção. A Proporção na Grécia Antiga Até as civilizações clássicas (Grécia e Roma Antigas), a arquitetura, a arte e a filosofia sempre se vincularam à religião e conceitos de vida e morte. Inclusive, era muito comum nestes períodos haver o vínculo entre religião e política, ou seja, o conceito de civilização teocrática. Foi na Grécia Antiga, com suas cidades-estados e seus respectivos cidadãos livres, que o homem pode ter uma autonomia do pensamento, sem o compromisso prévio de acatar uma verdade oficial. Assim, é na Grécia que surge as origens dos pensamentos

4 Página 4 de 13 matemáticos como ciência teórica, que discutiremos a seguir. Podemos ver muitos valores religiosos dentro da cultura do Egito Antigo, assim como em várias outras civilizações que antecederam a Grécia Antiga. Pitágoras de Samos (582 a.c a.c.) é considerado o fundador da geometria teórica. Em seus pensamentos sobre a estrutura do universo, razões e proporções, ele elaborou uma teoria que vinculava a música, o espaço e os números. Em duas cordas, de mesmo material, sob mesma tensão e sendo a primeira o dobro do comprimento da segunda, quando tocadas, a corda mais curta irá emitir um tom uma oitava acima da corda mais longa, devido a sua freqüência ter o dobro do valor. Ou seja, a relação de 1:2 compreende a relação sonora de uma oitava. Se dividirmos a corda mais curta pela metade, obtendo a relação de 2:4, o tom será de duas oitavas acima da corda inicial. Por outro lado, a relação de 3:4 nos dá um tom uma quarta acima do tom inicial, e a relação de 2:3 apresenta um tom uma quinta acima. Desta maneira, Pitágoras elaborou relações entre sons, o tamanho das cordas e as razões de 1:2:3:4. Ainda sobre os pensamentos pitagóricos, podemos obter três tipos de proporções: A proporção geométrica se estabelece entre oitavas de um tom, ou seja, 1:2:4 (o tom, uma oitava acima e duas oitavas acima); A proporção aritmética, ao se apropriar da relação de 2:3:4, se estabelece ao trabalhar o som de uma oitava em uma quinta e uma quarta; Por fim, a proporção harmônica envolve a diferença dos valores das frações medianas, isto é, na relação de 6:8:12, 8 excede 6 em um terço da mesma maneira que 12 excede 8 também em um terço. A proporção harmônica pode ser considerada uma subversão da proporção aritmética, trabalhando o som de uma oitava em uma quarta e uma quinta.

5 Página 5 de 13 Pitágoras estudou o vínculo entre o som, o espaço e a matemática. Platão (427 a.c a.c.) elaborou o pensamento pitagórico, vinculando matemática e misticismo na tentativa de compreensão humana do universo. Citando seus pensamentos, "os números governam o mundo". Através de seu raciocínio, obteve os sólidos platônicos, volumes espaciais compostos por apenas uma única figura geométrica regular. Através do triângulo equilátero, Platão obteve o tetraedro, o octaedro e o icosaedro, de quatro, oito e vinte faces respectivamente; Com o quadrado, obteve o cubo (ou hexaedro) e suas seis faces idênticas; Finalmente, através do pentágono regular, Platão conseguiu um dodecaedro, com doze faces iguais.

6 Página 6 de 13 Platão buscou nos sólidos regulares a explicação para a origem do universo. Abaixo e da esquerda para a direita, modelos de um tetraedro, um octaedro, um icosaedro, um cubo (ou hexaedro) e um dodecaedro. Euclides de Alexandria (365 a.c a.c.) também teve grande importância para a história da geometria. Ele elaborou a teoria da proporção áurea, onde dois números (X e Y, por exemplo) estão em proporção áurea se a razão entre o menor deles sobre o maior for igual ao maior sobre a soma dos dois (ou seja, X/Y = Y/X+Y). Esta proporção estabelece um coeficiente áureo, onde se pode analisar que, basicamente, tudo que se encontra na natureza está inscrito nesta proporção, seja o corpo humano, uma colméia de abelhas, uma estrela do mar, uma concha, etc. Acima, Euclides de Alexandria e seus raciocínios sobre o número áureo. O retângulo áureo

7 Página 7 de 13 pode se dividir em quadrados e retângulos menores (sempre áureos). Além disso, se traçarmos um quarto de circunferência em cada quadrado interno ao retângulo aúreo obteremos a espiral áurea. Abaixo, exemplos de aplicações da proporção áurea às construções. A Matemática Durante o Processo de Continuidade Histórica Após o período clássico, as bases matemáticas se mativeram e foram endossadas ou negadas, de acordo com os períodos históricos e suas respectivas conjunturas sociais, políticas, culturais, religiosas e econômicas. Antes de iniciarmos este capítulo, devemos nos atentar para mais um conceito que nos servirá de base para uma melhor compreensão destes períodos: a continuidade histórica. Durante a história da humanidade, as ideologias dominantes, em seus respectivos momentos, ora afirmavam antigos conceitos, ora negavam idéias passadas. Isto não quer dizer que, ao acatarem alguma antiga versão como verdade oficial, estava-se revivendo algum momento histórico: um novo contexto sempre traz modificações na idéia original, o que faz significativas mudanças de valores. O mesmo acontece quando temos a negação de certos princípios: ao negar um modelo, acabamos por criar um contra-modelo, de maneira que, se iniciarmos um processo investigativo, conseguiremos resgatar neste contra-modelo as bases do que foi negado. Assim podemos ver que nem tudo que se afirma é realmente o objeto afirmado, assim como nem tudo que se nega necessariamente é algo distante daquilo que foi recusado. A estética medieval (um período em que as idéias religiosas tinham grande peso) se apoiou nas bases do pensamento platônico como a estrutura de sua ideologia. Quadrados e triângulos equiláteros serviram de base para a construção de igrejas medievais, seja como elementos simples, seja como trama reticulada. Outra figura geométrica de grande importância neste período foi o triângulo pitagórico, o único triângulo retângulo que tem lados em progressão aritmética (3, 4 e 5 ou múltiplos destes valores). Podemos ver também nas igrejas góticas mais uma regra: a inscrição de quadrados menores nas diagonais de quadrados maiores.

8 Página 8 de 13 Acima, amostras de como a estética medieval utiliza-se de formas puras, como quadrados e triângulos equiláteros. Abaixo, igrejas góticas com seus quadrados inscritos em quadrados maiores (conhecido como Ad quadratum) é o que gera estes amplos espaços, onde a altura serve para colocar o homem na escala de filho de Deus em sua casa (passando uma sensação de que somos pequenos perante Deus).

9 Página 9 de 13 Durante o Renascimento, os cânones do pensamento neo-clássico tentaram reconciliar Pitágoras e Euclides a seu tempo: se o homem é uma criação divina, pode este mesmo homem produzir obras que remetam à harmonia divina? Pode o homem fazer o trabalho de Deus? Neste momento, houve muita importância para os conceitos de proporções harmônica e, principalmente, áurea.

10 Página 10 de 13 Acima, uma ilustração do cânone do Renascimento, Michelângelo Buonarroti ( ) que representa muito bem a nova relação do homem com Deus, enquanto criação do Criador. Abaixo, modelos de construções renascentistas, onde se pode observar as influências que as civilizações clássicas deixaram. Na verdade, por mais que se neguem ou se afirmem os conceitos em diversos momentos históricos, não podemos dizer que um sistema proporcional é correto e não os outros. No período medieval acreditava-se que a regra estava dada e tanto o homem, a natureza ou qualquer outro tema observado devia-se aplicar nesta regra. O Renascimento fez o caminho inverso: foi da observação da natureza e do homem que se buscou retirar as regras já existentes em sua constituição, buscando assim uma harmonia entre as partes e o todo.

11 Página 11 de 13 Acima, exemplos de desenhos medievais: a base dos desenhos surge de triângulos, pentragramas e outras figuras já pré-estabelecidas (por isto a imagem acaba ficando levemente deformada e plana). Abaixo, podemos ver ilustrações renascentistas: foi através da observação da natureza que surgiu o desenho em perspectiva.

12 Página 12 de 13 Não existe um sistema correto em meio a tantos outros. Para cada momento histórico uma situação gerou ideologias dominantes, mas como toda ideologia dominate, esta era apenas a visão da maioria. O que muda são apenas os contextos, enquanto as filosofias acabam por se complementar ao longo dos séculos, engrandecendo a história da humanidade. Para saber mais Livros Sítios WITTKOWER, Rudolf. Los fundamentos de la arquitectura en la edad del humanismo. Madrid, Alianza, A Física da Música Introdução aos sistemas proporcionais; História da matemática e da geometria; A proporção dentro da linguagem artística; Sítio do professor Luiz Netto sobre matemática e música; Pitágoras e sua contribuição à matemática; Pitágoras de Samos; Os sólidos platônicos; Platão e os sólidos platônicos; Os sólidos platônicos e a filosofia; Sólidos platônicos e outros poliedros;

13 Página 13 de 13 A proporção áurea e suas aplicações; O retângulo áureo; Música e beleza; Escalas musicais: quando a matemática rege a música; Sítio da TVE sobre arte e matemática; A Matemática e a Música. Revista Eletrônica de Ciências - Número 26 - Maio de 2004.