Os elementos de um poliedro são as faces, os vértices e as arestas. As faces de um poliedro são polígonos.

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1 Ficha formativa para o 10.º ano - Poliedros Poliedros são sólidos geométricos cujas faces são superfícies planas. Os elementos de um poliedro são as faces, os vértices e as arestas. As faces de um poliedro são polígonos. Ângulos internos de um polígono regular Vamos deduzir uma expressão que nos dê a amplitude de cada um dos ângulos internos de um polígono regular. Para isso analisemos alguns casos. Triângulo equilátero Se considerarmos as bissectrizes de cada um dos ângulos internos do triângulo, elas encontram-se num ponto a que se chama incentro. 360 : 3 = 120 é a amplitude dos ângulos AIO, AIE e EIO

2 = 60 = IÂO + AÔI Como IÂO = AÔI = 30 cada um dos ângulos internos do triângulo tem de amplitude 60. Quadrado 360 : 4 = 90 é a amplitude de cada um dos ângulos formados pelas diagonais do quadrado = 90 = IÂO + AÔI Como IÂO = AÔI = 45 cada um dos ângulos internos do quadrado mede 90. Pentágono 360 : 5 = = 108 é soma das amplitudes dos outros dois ângulos de cada triângulo. Como estes ângulos são iguais (o triângulo é isósceles), a amplitude de cada ângulo interno do pentágono é 108. No caso geral de um polígono de n lados, temos: 360 : n : n Portanto, a amplitude de cada um dos ângulos internos é Um poliedro diz-se regular se as faces são todas geometricamente iguais e em cada vértice o número e a disposição dos polígonos regulares são iguais.

3 São 5 os poliedros regulares: Planificação Cubo Octaedro Dodecaedro

4 Icosaedro Estes 5 sólidos também são chamados sólidos platónicos, em homenagem ao filósofo grego Platão (400 a.c.). Os gregos associavam aos poliedros regulares elementos da Natureza. Poliedro Cubo Octaedro Icosaedro Dodecaedro Elemento da Natureza Fogo Terra Ar Água Universo Porque é que só existem 5 poliedros regulares? Num poliedro, o número mínimo de faces que se unem num vértice são 3. Se num vértice juntarmos: 3 triângulos equiláteros, a soma das amplitudes dos ângulos que rodeiam cada vértice é 3x60 = triângulos equiláteros, a soma das amplitudes dos ângulos que rodeiam cada vértice é 4x60 = 240 Octaedro 5 triângulos equiláteros, a soma das amplitudes dos ângulos que rodeiam cada vértice é 5x60 = 300 Icosaedro 6 triângulos equiláteros, a soma das amplitudes dos ângulos que rodeiam cada vértice é 6x60 = 360. Neste caso não poderíamos construir um sólido mas sim uma superfície plana. 3 quadrados, a soma das amplitudes dos ângulos que rodeiam cada vértice é 3x90 = 270 Cubo

5 4 quadrados, a soma das amplitudes dos ângulos que rodeiam cada vértice é 4x90 = Neste caso também não poderíamos construir um sólido mas sim uma superfície plana. 3 pentágonos, a soma das amplitudes dos ângulos que rodeiam cada vértice é 3x108 = 324 Dodecaedro Não é possível construir mais poliedros regulares. Arestas, faces e vértices 1) regular tem 4 faces (triângulos equiláteros). 4 triângulos têm: 4x3 = 12 vértices 4x3 = 12 arestas Mas em cada vértice do tetraedro "encontram-se"3 triângulos, logo o tetraedro tem 12:3 = 4 vértices. Numa aresta do tetraedro "encontram-se" 2 triângulos, assim o tetraedro tem 12:2 = 6 arestas. Seguindo um raciocínio análogo, complete: 2) Um cubo tem faces que são quadrados. Cada quadrado tem vértices e arestas. Logo quadrados têm vértices e arestas. Mas em cada vértice do cubo "encontram-se" quadrados, logo o cubo tem = vértices. E numa aresta "encontram-se" quadrados, assim o cubo tem = arestas. 3) No caso do octaedro, temos:

6 triângulos Como em cada vértice do octaedro "se encontram" vértices, logo ele tem vértices. Numa aresta do octaedro "encontram-se" arestas, portanto o octaedro tem arestas. 4) No caso do dodecaedro, temos: pentágonos Como em cada vértice do dodecaedro "se encontram" vértices, logo ele tem vértices. Numa aresta do dodecaedro "encontram-se" arestas, portanto o dodecaedro tem arestas. 5) No caso do icosaedro, temos: triângulos Como em cada vértice do icosaedro "se encontram" vértices, logo ele tem vértices. Numa aresta do icosaedro "encontram-se" arestas, portanto o icosaedro tem arestas.

7 Complete o quadro seguinte: Poliedros Regulares Nº de Faces F Nº de Vértices V Nº de Arestas A F + V A + 2 Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro Comparando as duas últimas colunas, podemos ver que em qualquer destes poliedros F + V = A + 2. Esta relação é conhecida como regra de Euler: "Num poliedro o número de faces mais o número de vértices é igual ao número de arestas mais dois". Chama-se centro de um poliedro regular ao ponto equidistante dos vértices, das faces e das arestas. Chama-se dual de um poliedro regular ao poliedro cujas arestas se obtêm unindo os centros das faces consecutivas do poliedro dado. Podemos concluir que o número de vértices de um poliedro é igual ao número de faces do poliedro dual. Complete o quadro: Poliedro Dual Cubo Dodecaedro Utilize o endereço para ver poliedros duais.

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