Notas de aula Fundamentos de Matemática I

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1 Notas de aula Fundamentos de Matemática I Prof Me Samuel Lima Picanço.. Números Naturais. Conjuntos Numéricos Os números naturais (N) são aqueles que aprendemos naturalmente. Uma criança não precisa frequentar escola para aprender a contar Desde pequena, quando indagada sobre sua idade, ela já mostra os dedinhos, mesmo que fale uma quantidade diferente daquela que está mostrando. Sendo assim, o conjunto dos números naturais é: N = {0,,2,3, } As operações básicas estão definidas em N mas com certas restrições. Por exemplo, quando você frequentava as séries inicias, a professora não passava "contas"do tipo 3 8. Sendo assim, surge a necessidade de um novo conjunto numérico para estas operações se tornem possíveis..2. Números Inteiros Os números inteiros (Z) são usados para contar quantidades inteiras, positivas e negativas. Durante o campeonato de futebol por exemplo, se o seu time não tiver uma defesa muito boa, provavelmente irá levar mais gols do que fez. O número que representa o saldo de gols nesse caso é um número negativo. O conjunto dos números inteiros é: Z = { 3, 2,,0,,2,3, } Note que todo número natural é também inteiro e podemos escrever que N Z (N está contido em Z). ASsim como em N, as operações definidas em Z têm certas restrições, como por exemplo, não está definido nesse o conjunto o número 2 por exemplo. Sendo assim, surge a necessidade de um novo conjunto numérico para que sejam possíveis tais operações:.3. Números Racionais Os números racionais (Q) são aqueles que podem ser escritos como o resultado de uma divisão entre inteiros, sendo que o divisor deve ser não nulo. Em outras palavras, definimos Q assim: { a } Q = b, a,b Z,b 0 A partir desta definição irei agora exemplificar os números racionais e você irá perceber que eles estão presentes o tempo todo em sua vida. Exemplos ) 2 é racional pois existem várias divisões cujo resultado é 2 2 = 4 2 = 6 3 = 8 9 = Com este exemplo fica evidente que todo número inteiro é também racional e podemos escrever Z Q. Agora nos resta averiguar os números racionais não inteiros: 2) 0,5 é racional pois existem várias divisões cujo resultado é 0,5. Basta você imaginar na situação em que um real deve ser dividido para duas crianças e cada uma delas irá ficar com cinquenta centavos (0,50). 0,5 = 2 = = 2 4 = 3), 25 é um número racional pois existem várias divisões cujo resultado é.25. A partir daqui vamos estabelecer uma maneira de escrever estes números no formato de uma divisão (fração) entre dois inteiros. Note que tanto 0,5 quanto,25 são números racionais que possuem representação decimal finita. Isso significa que vieram de uma divisão com resto zero. Como nossa base de numeração é a decimal, todas as divisões por 2, por 5, ou por qualquer número que é um produto dos fatores 2 e 5, é finita. Sendo assim, todas os números racionais com representação decimal finita podem ser representados por uma divisão por uma potência de dez. Uma potência de 0 é um número que,em sua composição só aparece o algarismo uma vez e o restante dele é formada por zeros.,25 = = é a fração irretudível que representa,25. Ela é obtida da simplificação de 25. Dividimos numerador e 4 00 denominador por 25 (nesse caso). Note que o numerador da fração é 25, ou se você preferir,,25 quando se "esconde"a vírgula. O denominador é formado por uma potência de dez (lembra?) e a quantidade de zeros corresponde à quantidade de casas decimais de,25, nesse caso, duas. Mas vamos agora entender por que eu posso usar esta

2 Prof Me Samuel Lima Picanço regra. Nosso objetivo é escrever uma fração que representa,25 e, como não sabemos qual é esta fração, iremos chamá-la de x.,25 = x () Em () vamos transformar o lado esquerdo em um número inteiro. Para isto, basta analisar o número de casas decimais e multiplicar por uma potência de 0 cujo número de zeros corresponda ao número de casas. Aqui temos duas casas então devemos multiplicar por 00., 25( 00) = x( 00) (2) Lembre-se que, o que fazemos em um dos lados devemos fazer também no outro. 25 = 00x Como o 00 está multiplicando, vai para o outro membro dividindo. Sendo assim: x = Isto explica o que fizemos de forma direta lá atrás. Tente não decorar o jeito de fazer e sim entender o que está se passando. Faça você mesmo agora, escreva cada um dos seguintes números como uma divisão entre dois inteiros:,2; 0,62; 2,5; 0,025; 0,002 5),35 Aqui usamos o traço para indicar quem é o período. Nesse caso, o período é formado pelos algarismos 3 e 5.,35 = + 0,35 = = = Agora vem a pergunta? Por que, ou de onde veio, esta regra? Novamente irei usar x para representar a fração desconhecida. 0,333 = x (3) Agora, na equação 3, busquemos uma maneira de acabar com a parte infinita. Primeiro vamos analisar a quantidade de algarismos do período e percebemos que se multiplicarmos por 0, teremos duas equações em que os lados esquerdos terão a mesma parte infinita. 0,333 ( 0) = x( 0) (4) 3,333 = 0x (5) Agora fazemos (5) - (3), membro a membro e parte infinita do lado esquerdo irá se cancelar: 3,333 0,333 = 0x x (6) 3 = 9x O 9 que está multiplicando vai dividindo e pronto: Os próximos exemplos trazem as dízimas periódicas que são números racionais que possuem representação decimal infinita, porém periódica. Esses números são resultado da divisão em que o divisor tem algum fator diferente de 2 ou ) 0,333 é um número racional pois é o resultado de uma divisão entre dois inteiros. Nossa missão agora é determinar qual é a fração que representa esta dízima. Esta é uma dízima simples pois, após a vírgula, só aparece o período (algarismos que se repetem). Para as dízimas simples você poderá usar a seguinte regra: No numerador escreva o período (nesse exemplo o período é 3). No denominador escreva apenas algarismos 9, cuja quantidade vai ser igual à quantidade de algarismos do período. 0,333 = 3 período 9 quantidade de algarismos do período = 3 Note que é a forma simplificada da fração que gerou 3 a dízima 0,333. Dizemos que é sua fração geratriz. Observe ainda que, se a dízima for maior que, então nos será conveniente separar a parte inteira da parte decimal, como no exemplo a seguir: x = 3 9 = 3 E se a dízima não for simples? Dizemos que uma dízima não é simles (composta) se, do lado direito da vírgula, além do período, aparecer também algum algarismo que não se repete. Irei chamá-lo de intruso. 6) 0,2666 Nesse caso o intruso é formado pelo algarismo 2 e o período por 6. No numerador escreva o intruso seguido do período. Em seguida subtraia o intruso. No denominador continua valendo a regra do 9, porém, agora irá aparecer zero também. A quantidade de zeros é equivalente à quantidade de algarismos do intruso. 0,2666 = }{{} 26 intruso + período 2 intruso 0 }{{} quantidade de algarismos do período quantidade de algarismos do intruso = = = 4 5 é a forma mais simples da fração que representa 0, Dizemos que é sua fração geratriz. Mas novamente você pode se perguntar: de onde veio

3 Notas de aula da disciplina Fundamentos de Matemática I - PUC Goiás - Conjuntos Numéricos esta regra? Lá vai a explicação: Iremos usar x para representar a fração desconhecida. 0,2666 = x (7) Em (7) vamos tentar separar o intruso do período. Nesse exemplo, basta multiplicarmos por 0 pois o intruso é composto apenas por um algarismo. 0,2666 ( 0) = x( 0) 2,666 = 0x (8) Vamos agora separar a parte inteira da parte decimal ,666 = 0x A parte fracionária agora você já sabe como fica: = 0x 24 9 = 0x O 0 multiplicando vai dividindo e pronto: x = = 4 5 Faça você mesmo agora: escreva a fração geratriz de cada uma das dízimas periódicas: 0,2 ; 20,3 ; 0,23 ; 2,32 Os números racionais, como vimos, podem ser todos representados por uma fração de inteiros. Quais seriam então os números que não podem ser representados por uma divisão entre dois inteiros?.4. Números Irracionais Os números irracionais (I) são aqueles que não podem ser escritos por meio de uma divisão entre dois inteiros. Ao se expressar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado é um por exemplo, nos deparamos com um problema: O número que expressa a medida da diagonal desse quadrado não é racional. Podemos resolver o problema usando o famoso Teorema de Pitágoras e a diagonal será a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos medem. x 2 = Resolvendo-se a equação temos que: x 2 = 2 E aqui vemos que não existe número racional capaz de ser a solução desse problema. Hoje sabemos que esse número é o 2. Sendo assim, surgem os números que, assim como este último, não têm representação decimal finita. Diferentemente das dízimas periódicas, os números irracionais têm representação decimal infinita, porém não periódica. Podemos destacar como números irracionais todas as raízes de índice n não exatas. Além destas temos o π, o famoso número de Euler (e), dentre outros que você irá aprender ao longo do curso. Vale dizer que um número é racional ou irracional, ou seja, não pode ser ao mesmo tempo pertencente aos dois conjuntos..5. Números Reais O conjunto formado pela reunião dos elementos de Q e I é denominado conjunto dos números Reais (R). R = Q I O conjunto dos números reais é formado pelo números que você utiliza em seu dia a dia. Praticamente todos os números que você precisa para contar, medir, somar, dividir, no seu trabalho, são reais. Na disciplina de cálculo diferencial e integral serão os únicos números que você irá precisar. Os números reais podem ser representados por uma reta, chamada reta real, em que cada ponto está associado a um número. Fig. 2. Reta Real Vamos agora resolver alguns exercícios com operações básicas com os números reais. Fig.. Representação do cálculo da diagonal 3

4 Prof Me Samuel Lima Picanço.6. Exercícios Resolvidos.6.. Resolva as operações expressando a resposta na forma de fração a) 0,5+0,25 = É claro que somar estas quantidades não é algo nada difícil de se fazer, ainda mais se você associar cada uma delas a moedinhas de 50 e 25 centavos, respectivamente. Mas aqui iremos explorar as frações. 0,5 = = 2 e 0,25 = = 4 Nosso problema agora se resume em somar E vale ressaltar que para somar duas frações é necessário que os denominadores delas sejam iguais. O denominador de uma fração indica em quantas partes o todo foi dividido. Pense em duas pizzas de mesmo tamanho. Você só pode comparar ou somar fatias de uma pizza com a outra se os pedaços forem de mesmo tamanho. Para que isto ocorra é necessário que o ńumero de fatias seja o mesmo. Fig. 3. Representação das frações por pizzas Note que é evidente a diferença entre os tamanhos de cada fatia. Caso queiramos comparar ou somá-las, devemos antes fazer algum procedimento que nos permita deixá-las do mesmo tamanho. Tal procedimento será ilustrado a seguir, primeiro por meio do desenho. Fig. 4. Representação das pizzas com fatias de mesmo tamanho Observe que ter fatia em 2 na primeira pizza é o equivalente a ter duas fatias em 4. Agora que os denominadores são iguais, podemos simplesmente somar os numeradores: = 3 4 É claro que não iremos desenhar pizzas todas as vezes que quisermos somar duas ou mais frações, mesmo porque isso poderia ser trabalhoso demais para denominadores muito grandes. Então, qual será o procedimento? A ideia é deixar os denominadores iguais e para isto, vamos buscar o menor número que os divide ao mesmo tempo. Nesse exemplo foi o 4. Logo o novo denominador será 4. Mas se alteramos o denominador, obviamente deveremos alterar o numerador para obtermos frações equivalentes A pergunta é: qual número multiplicamos pelo antigo denominador para obter o 4? Esse mesmo número deverá ser multiplicado no numerador. Na primeira fração foi o 2 e na segunda o. Caso não consiga fazer de cabeça, divida o novo denominador pelo antigo. Use o resultado para multiplicar no numerador: = 3 4 b), ,25 Nesse exercício temos uma dízima periódica (composta por sinal). Vamos escrever as frações separadamente:,236 = +,236 = = + = = Esta é só a primeira fração. A próxima será mais simples de se obter: 3,25 = = 3 4 Agora nos resta somar as frações: O mínimo múltiplo comum entre 300 e 4 é o próprio Agora vamos dividir 300 por cada um dos antigos denominadores e multiplicar o resultado pelo respectivo numerador: = = =

5 Notas de aula da disciplina Fundamentos de Matemática I - PUC Goiás - Conjuntos Numéricos c) (0,222 ) 2 0,025+,333 Este exemplo irei resolver de modo mais direto: ( ) Note que apareceu um termo a mais que é justamente o (parte inteira da última dízima). ( ) Para calcular potência de uma fração lembre-se de elevar o numerador e depois o denominador: Vamos simplifcar as frações possíveis antes de continuar: = Vamos recordar aqui um procedimento que você aprendeu nas séries inicias para determinar o mínimo múltiplo comum entre 2 ou mais números. Faremos a decomposição simultânea de 8, 40 e 3, em fatores primos. Do lado direito só podem aparecer números primos. Comece pelo menor e vá aumentando, conforme a divisão for acontecendo: Note que a divião por 2 não é mais possível. Vamos ao próximo primo, que é o 3, e depois, finalmente, ao 5. Agora os fatores que aparecem na decomposição devem ser multiplicados. Este será o novo denominador = = 3240 Divida este número por cada um dos antigos denominadores e multiplique o valor obtido pelo numerador: = Simplifique as expressões a seguir: = Expressões com números irracionais muitas vezes se tornam uma pedra no sapato dos estudantes na área de exatas. O procedimento é simples. Decomponha os radicandos (números que aparecem dentro da raiz). Em seguida separe os fatores que se repetem de acordo ao índice (número sobre escrito dentro da raiz). Nesse caso é = }{{} 2 f atores 54 = }{{} 2 f atores Os fatores que têm expoente igual ao índice podem ser cortados e escritos fora da raiz. Assim: Os fatores que ficaram dentro da raiz serão multiplicados Observe aqui que as raízes ficaram iguais. Assim como usamos a ideia das frutas, aqui também vale a analogia = 5 6 Portanto: = 5 6 5

6 Prof Me Samuel Lima Picanço 2. Intervalos Reais Um intervalo real nada mais é que um subjconjunto de R. Usamos a ideia de intervalo para representar um conjunto infinito. Dizemos que um conjunto é infinito se a quantidade de elementos dele não puder ser contada. Considerando a e b dois números reais quaisquer, um intervalo real terá uma das seguintes formas: [a,b] = {x R a x b} ]a,b[= {x R a < x < b} ]a,b] = {x R a < x b} [a,b[= {x R a x < b} ],a[= {x R x < a} ],a] = {x R x a} [a,+ [= {x R x a} ]a,+ [= {x R x > a} Aqui vale a observação que, apenas um símbolo. Podemos ainda representar estes intervalos geometricamente e isto será muito útil. Faremos isto conforme os exemplos exijam. Antes de continuarmos, observe a desigualdade 3 <. Ela é verdadeira e, você aprendeu que, numa equação, se multiplicarmos ambos os lados por algum valor, a igualdade não se altera. Com as inequações, se o valor multiplicado for negativo, veja o que acontece: 3 ( ) < ( ) 3 < o que é falso, obviamente Este erro pode ser corrigido se invertermos o sinal de desigual também. E faremos sempre! Ao multiplicar o (-) numa inequação, o sinal se inverte: 5x ( ) ( ) 5x = x 5 Vamos representar esta solução graficamente: Exemplos 6 ) Expresse o conjunto {x R 2x 3 < x + } em notação de intervalo: Devemos resolver uma inequação para representar o conjunto na forma de um intervalo: 2x 3 < x + Assim como numa equação de o grau, resolvemos a inequação isolando a variável: 2x x < + 3 = x < 4 Podemos representar a solução assim: ],4[ Este resultado significa que, qualquer valor de x menor que 4, torna verdadeira a afirmação 2x 3 < x+. 2) Determine o conjunto solução da seguinte inequação: 3x + 5 2x + 4 Novamente, isolando-se a variável, teremos: 3x 2x 4 5 5x Fig. 5. Solução Gráfica da Inequação 3) Estude o sinal da expressão 2x + 8 Estudar o sinal de uma expressão significa dizer quais valores de x torna aquela expressão positiva, negativa ou nula. É claro que posteriormente iremos desenvolver maneiras mais diretas para resolver esta questão,mas por enquanto, vamos usar um procedimento eficiente. Lembre-se que, na reta real, o zero está entre os números negativos e os positivos. Então, vamos primeiro descobrir qual valor de x anula a expressão. Faremos isto igualando a zero. 2x + 8 = 0 = 2x = 8 = x = 8 2 x = 4 Significa que em 4 a expressão muda de sinal. O que eu sugiro aqui é que você escolha dois números, um menor que 4 e outro maior que 4. Substitua-os na expressão e verifique o que acontece: Para x < 4 (x = 3) = = = 2 2 > 0 Como esta é uma expressão de grau, o sinal só se altera uma vez.

7 Notas de aula da disciplina Fundamentos de Matemática I - PUC Goiás - Conjuntos Numéricos Concluímos que se x < 4 a expressão é positiva e caso contrário, a expressão é negativa. Podemos escrever: Se x < 4, 2x + 8 > 0 Se x = 4, 2x + 8 = 0 Se x > 4, 2x + 8 < 0 Podemos representar (e nos será muito útil) a expressão graficamente: Fig. 6. Solução Gráfica do Estudo do Sinal 4) Estude o sinal da expressão x 2 + 2x 8 Esta é uma expressão de 2 o grau e iremos resolver este problema usando a fatoração de polinômios trabalhada em aulas anteriores: x 2 + 2x 8 não é um trinômio quadrado perfeito (verifique você mesmo). Outra forma de fatorar esta expressão é buscar dois números cujo produto é -8 e a soma é 2. Depois de fazer algum exercício mental você pode verificar que os números procurados são 4 e -2. Então podemos escrever: x 2 + 2x 8 = (x + 4)(x 2) Agora podemos estudar o sinal da expressão trabalhando com o produto do lado direito da igualdade acima. Vamos chamar os fatores de A e B respectivamente: (x + 4) (x 2) }{{}}{{} A B Estudando o sinal de A (usando a mesma ideia do exemplo anterior) temos: x + 4 = 0 = x = 4 É notório que A > 0 se x > 4 e A < 0 se x < 4. Analogamente: x 2 = 0 = x = 2 Daí temos que B > 0 se x > 2 e B < 0 se x < 2. Vamos representar estas informações graficamente: Note que Fig. 8. Solução Gráfica do Estudo do Produto das Expressões é importante respeitar a relação de ordem dos reais, ou sejam, números menores escritos à esquerda. Agora iremos multiplicar a expressão A pela expressão B, usando a representação gráfica. Observe que na terceira reta (a que representa A B) os sinais foram obtidos fazendo-se a multiplicação dos sinais das retas anteriores. Podemos escrever então que: x 2 + 2x 8 > 0 se x < 4 ou se x > 2 x 2 + 2x 8 < 0 se 4 < x < 2 (x está entre - 4 e 2) x 2 + 2x 8 = 0 se x = 4 ou se x = 2 5) Estude o sinal da expressão x 2 x + 2 Aqui, novamente, iremos transformar a expressão em um produto de fatores mais simples. Até agora você viu apenas duas possibilidades para um trinômio de grau 2. Ou ele é quadrado perfeito ou é da forma x 2 + Sx + P, sendo S a soma de dois números cujo produto é P. Nesse exemplo, vamos colocar inicialmente o - em evidência: (x 2 + x 2) Sendo assim, a expressão dentro dos parênteses pode ser fatorada mais facilmente pois o número que multiplica x 2 é. Devemos buscar agora dois números cujo produto seja -2 e a soma seja. Os números são 2 e -. Então: (x 2 + x 2) = [(x )(x + 2)] O sinal de menos antes dos colchetes significa que - multiplica a expressão. Podemos usar a distributividade no fator x e a expressão se torna: ( x + )(x + 2) Assim como no exemplo anterior, vamos chamar os fatores de A e B: ( x + ) (x + 2) }{{}}{{} A B Estudaremos agora o sinal de A. x + = 0 = x = Fig. 7. Solução Gráfica do Estudo do Sinal de Cada Expressão Lembre-se de fazer "testes"em A com valores menores e maiores que. Descobrimos que, quando 7

8 Prof Me Samuel Lima Picanço x <, A > 0 e quando x >, A < 0 Estudando o sinal de B: x + 2 = 0 = x = 2 Ao escolher valores em B, menores e maiores que 2, descobrimos que quando x < 2, B < 0 e quando x > 2, B > 0. Vamos representar o estudo do sinal de cada expressão graficamente e em seguida fazer o produto dos sinais das expressões: Exemplo ) Determine a solução da inequação x > Nesta desigualdade, estamos interessados em valores de x que possuem tamanho maior que. Vamos representar isso graficamente: Fig. 0. Representação para x > Fig. 9. Solução Gráfica do Estudo do Produto das Expressões Analisando a solução gráfica, podemos escrever: x 2 x + 2 > 0 quando 2 < x < x 2 x + 2 < 0 quando x < 2 ou x > x 2 x + 2 = 0 quando x = 2 ou x = Lembre-se que o segredo para que você fique bom nisso é exercitar. Não meça esforços para praticar o que estudou. 3. Valor Absoluto O valor absoluto ou módulo de um número real é o tamanho desse número. Cada número da reta real tem uma distância até o zero e desingaremos de módulo esta distância. Usaremos para representar o módulo. Exemplo 2 = 2 pois o "tamanho"do 2 é duas unidades. 2 = 2 pois o "tamanho"do -2 é duas unidades Você já deve ter ouvido dizer que o módulo de um número nunca é negativo, ou que o módulo de um número é o número sem o sinal. Mas o verdadeiro sentido disso é: para medir alguma coisa não usamos valores negativos. 3.. Definição: Se x é um número real, então: { x se x 0 x = x se x < 0 8 Note que os extremos do intervalo não fazem parte do conjunto, por isso o representamos com uma "bolinha"vazia. Os números que têm tamanho maior que são esses da região hachurada da figura 0. Sendo assim: x > = x < ou x > 2) Qual é a solução para a inequação x + 3 4? Enquanto você não tiver confiança de fazer mais rapidamente, use o seguinte artifício: x + 3 = A E agora o problema se resume em resolver a inequação: A 4 Estamos interessados agora em saber quais são os números que possuem tamanho menor ou igual a 4. Pensando como no exemplo anterior podemos concluir que esses números são todos aqueles compreendidos entre -4 e 4. (Na dúvida, represente graficamente!) Portanto, A está compreendido entre -4 e 4 e iremos representar assim: 4 A 4 Mas queremos resolver a inequação na variável x. Lembre-se que A = x + 3, portanto: 4 x Esta é uma inequação simultânea e podemos resolvêla isolando a variável. Logo 4 3 x x Tente representar graficamente esta solução!

9 Notas de aula da disciplina Fundamentos de Matemática I - PUC Goiás - Conjuntos Numéricos 3) Determine a solução para a equação x + 2 = 2. 5) Determine o conjunto solução da equação x 2 + 6x + 9 = 6 Olhando para a equação interpretamos o seguinte: estamos interessados em saber quais os números cujo tamanho é 2. Sendo assim, os números que possuem tamanho 2 são o próprio 2 e o -2. x + 2 = 2 ou x + 2 = 2 Resolvendo cada uma das equações temos: x = 0 ou x = 4 Portanto, a solução para a equação é o conjunto S = { 4,0} Para o próximo exemplo, usaremos uma informação importante sobre o módulo de um número real. x 2 = x Posteriormente iremos demonstrar esta igualdade. 4) Qual é a solução da equação x 2 4x + 4 = 0? Resolução: Você já deve estar pensando que, como esta é uma equação de 2 o, para resolvê-la deveremos usar a famosa Fórmula de Bhaskara. Sim, esta é uma equação de 2 o grau porém iremos usar outro método de resolução. Observe que o lado esquerdo da igualdade é um trinômio quadrado perfeito: x 2 4x + 4 = (x 2) 2 Então a equação pode ser reescrita como: (x 2) 2 = 0 Para eliminar o expoente 2 do primeiro membro iremos usar a operação inversa (radiciação) em ambos os lados: (x 2) 2 = 0 Usando a ideia de que x 2 = x : (x 2) = 0 Estamos agora interessados em saber quais os números cujo tamanho é zero. O único número real cujo tamanho é zero é o próprio zero. x 2 = 0 = x = 2 Portanto a solução da equação é o conjunto unitário S = {2} Novamente o lado esquerdo da equação de 2 o é formado por um trinômio quadrado perfeito. Vamos escrever sua forma fatorada: (x + 3) 2 = 6 Escrevendo a raiz quadrada dos dois lados: (x + 3) 2 = 6 Usando a informação x 2 = x : (x + 3) = 4 Agora vem a pergunta: quais são os números cujo módulo é 4? A resposta é: -4 e 4. x + 3 = 4 ou x + 3 = 4 Resolvendo cada uma das equações: x = 4 3 ou x = 4 3 x = ou x = 7 A solução da equação então será o conjunto S = { 7,} Talvez você não tenha percebido mas o que fizemos nos exemplos 4 e 5 foi resolver uma equação de 2 o grau por um processo bem diferente do que você está acostumado. Vamos resolver mais alguns exemplos assim: 6) Determine o conjunto solução da equação x 2 + 6x 7 = 0 Resolução: Esta equação de 2 o está no formato que você acostumou a ver. Note que o trinômio não é quadrado perfeito. Ele pode ser fatorado como soma e produto, como vimos anteriormente,mas aqui iremos usar um procedimento chamado de "completar os quadrados". O objetivo dele é completar o trinômio para que ele se torne um quadrado perfeito. Preste muita atenção no que será feito porque aparentemente você achará difícil, mas verá com a prática que não é: Primeiro passo: verifique se o número que multplica o x 2 é. Se não for, divida a equação inteira por ele. Nesse caso já é. Segundo passo: pegue o termo que multiplica o x e divida-o por 2(só o módulo). Nesse exemplo é o = 3 Terceiro passo: pegue o resultado da divisão do passo anterior e eleve ao quadrado. 3 2 = 9 9

10 Prof Me Samuel Lima Picanço Se o termo independente fosse 9, então o trinômio seria quadrado perfeito. Como não é, vamos para o próximo passo. Quarto passo: acrescente ao termo independente uma quantidade que o torne igual ao resultado obtido no terceiro passo. Nesse caso devemos acrescentar ao -7 um número que faça o resultado ser 9. Esse número é 6. Só que,numa equação, o que você acrescentar de um lado, deve também acrescentar no outro. x 2 + 6x = 6 Agora organizando o lado esquerdo: x 2 + 6x + 9 = 6 Note que a equação agora se tornou idêntica à do exemplo 5 e irei deixar para você resolvê-la. Tente resolver o exemplo também fatorando o trinômio como soma e produto. 7) Qual é o conjunto solução da equação 0x 2 9x + 2 = 0? Resolução: Note que aqui o termo que multiplica o x 2 não é. Nesse caso, vamos dividir e equção toda por 0. 0x 2 9x = 0 0 O lado direito continuará zero e o lado esquerdo ficará: x x = 0 O próximo passo agora é dividir o termo que multiplica x por = = 9 20 Observe que agora devemos elevar este termo ao quadrado ( ) 9 2 = Agora a pergunta é: qual deverá ser o número acrescentando a 2 8 para que o resultado seja 0 400?? = 8 400? = O mínimo múltiplo comum entre 400 e 0 é o 400.? = ? = 400 Descobrimos que devemos acrescentar em ambos os lados 400. x 2 9 ( 2 0 x ) = Lembre-se que = Logo a equação torna-se: 400 x x = 400 O primeiro membro desta última equação é um trinômio quadrado perfeito e sua forma fatorada é (verifique): ( x 9 ) 2 = Vamos calcular agora a raiz quadrada em ambos os lados: ( x 9 ) 2 = Não se esqueça que x 2 = x : ( x 9 ) = Quais são os números cujo tamanho vale 20? Esses números são 20 e 20. Logo: x 9 20 = 20 ou x 9 20 = 20 x = ou x = x = 0 20 ou x = 8 20 Simplificando as frações: x = 2 ou x = 2 5 { A solução da equação é o conjunto S = 2, 2 } 5 8) Qual é o conjunto solução da equação x 2 + 2x + 2 = 0? Resolução: Vamos resolver a equação completando os quadrados, como fizemos anteriormente. Primeiro observe que o número que multiplica x 2 é. Só nos resta agora dividir o termo que multiplica x por 2 e em seguida elevar o resultado ao quadrado. 2 2 = = 2 = 0

11 Notas de aula da disciplina Fundamentos de Matemática I - PUC Goiás - Conjuntos Numéricos Significa que devemos acrescentar algum número no lado esquerdo para que o termo independente (2) se torne. Esse número é o -. x 2 + 2x + 2 = Agora, o primeiro membro da equação pode ser escrito de forma fatorada, já que é um trinômio quadrado perfeito. x 2 + 2x + = = (x + ) 2 = O procedimento agora é análogo ao que fizemos anteriormente. Calculamos a raiz quadrada em ambos os lados (x + ) 2 = Note que do lado direito desta igualdade aparece uma quantidade inexistente no conjunto dos números reais. Como estudamos somente os números reais (pelo menos nesta disciplina), dizemos que a equação não tem solução: S = { } Os últimos exemplos que resolvemos foi uma aperitivo para o que vamos estudar agora. 4. Equações de 2 o Grau Uma equação de 2 o grau tem a forma ax 2 + bx + c = 0 sendo a,b,c R e a 0. A condição de a ser diferente de zero você vai entender já ja. Por enquanto, pense que é somente pelo fato de que, se a for zero, o termo de grau 2 "some" e a equação passa a ser de primeiro grau. Para resolver equações de grau 2 você poderá todas as vezes que quiser, usar o método de completar os quadrados, como visto anterioremente. Porém iremos desenvolver agora uma fórmula resolutiva, conhecida como Fórmula de Bhaskara. Ela se baseia na ideia estudada. Começaremos dividindo a equação por a: ax 2 + bx + c = 0( a) (9) x 2 + b a x + c a = 0 (0) Na equação 0, devemos agora dividir o termo que multiplica x por 2 e em seguida elevar o resultado ao quadrado. b a 2 = b a 2 = b 2a ( ) b 2 = b2 2a 4a 2 b 2 deve ser o termo independente. Para que isto ocorra, devemos somar alguma quantidade na equação. Para descobrir 4a que quantidade é esta, resolvemos o seguinte problema: Isolando a incógnita:? + c a = b2 4a 2? = b2 4a 2 c a Podemos melhorar o lado direito da igualdade reduzindo as frações ao mesmo denominador:? = b2 4a 2 4ac 4a 2 =? = b2 4ac 4a 2 A quantidade a ser somada em ambos os lados da equação então é b2 4ac 4a 2. Portanto, na equação(0) vamos acrescentar b2 4ac 4a 2 dos dois lados: x 2 + b ( ) c a x + a + b2 4ac 4a 2 = b2 4ac 4a 2 () Em (), Substindo este resultado: ( ) c a + b2 4ac 4a 2 = b2 4a 2 x 2 + b a x + b2 4a 2 = b2 4ac 4a 2 (2) O primeiro membro de (2) é um trinômio quadrado perfeito (verifique)! Sua forma fatorada é: ( x + b ) 2 2a A equação (2) torna-se: ( x + b ) 2 = b2 4ac 2a 4a 2 (3) Finalmente agora calculamos a raiz em ambos os lados da equação: ( x + b ) 2 b 2 4ac = 2a 4a 2 (4) Lembre-se que x 2 = x. x + b b 2a = 2 4ac 2a (5) Vamos chamar o número b 2 4ac de. Na equação (5), ao calcular o módulo do lado esquerdo, aparecerão dois números no lado direito. Um positivo e outro negativo. x + b 2a = ± 2a (6)

12 Prof Me Samuel Lima Picanço Ao isolar o x no primeiro membro, temos: ou x = b 2a ± 2a x = b ± 2a Note que o a aparece na fórmula dividindo uma expressão. Logo seu valor tem que ser diferente de zero. Muitas pessoas passam a vida inteira resolvendo equações de 2 o grau com esta fórmula e não sabem de onde ela veio. A partir de agora, pratique a resolucão de equações desse tipo com e sem a fórmula. Isso fará de você um excelente calculista! 5.4. Fatore o polinômio de 2 o dado: a) x 2 3x + 2 b) x 2 x 2 c) x 2 2x + d) x 2 6x + 9 e) 2x 2 3x + f) x 2 25 g) 3x 2 + x 2 i) 4x 2 9 j) 2x 2 5x 5.5. Resolva a inequação dada: 5.. Elimine o módulo: a) = b) = c) 2a 3a = d) a = 5. Exercícios Propostos a) x 2 3x + 2 > 0 b) x 2 5x c) x 2 3x > 0 d) x 2 9 < 0 e) x 2 x 2 0 f) 3x 2 x 0 g) 4x 2 4x < 0 h) 4x 2 4x Simplique as expressões: 5.2. Resolva as equações: a) x = 2 b) x + = 3 c) 2x = d) x 2 = e) 2x + 3 = Resolva as Inequações a) x b) 3x < 2 c) 2x < 3 d) 3x < 3 e) 2x 3 > 3 2 a) x2 x b) x3 8 x 2 4 c) 4x2 9 2x + 3 d) e) f) g) h) x x x 2 x x 2 9 x 3 x 5 x 5 x p x p i) (x + h)2 x 2 h j) x+h x h

13 Notas de aula da disciplina Fundamentos de Matemática I - PUC Goiás - Conjuntos Numéricos 5.7. Resolva as inequações: a) 2x x + < 0 b) x 3 x 0 c) x 2 3x + > 0 d) (2x )(x + 3) < 0 e) 3x 2 2 x 0 f) x(2x ) 0 g) (x 2)(x + 2) > 0 h) 2x x 3 > 5 i) x 2x 3 3 j) x 2 x < Referências [] IEZZI, Gelson e MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar, Vol.. São Paulo: Atual Editora, 2006 [2] DANTE, Luiz. Matemática, Vol. único. São Paulo: Editora Ática, [3] LIMA, Elon Lajes. A Matemática do Ensino Médio, vol. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, Samuel Lima Picanço, Pontifícia Universidade Católica de Goiás whatsapp: slpicanco202@gmail.com 3