Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos via Equação Integral de Fredholm em Teoria de Domínios

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos via Equação Integral de Fredholm em Teoria de Domínios"

Transcrição

1 Problema de Valor de Contorno com Dois Pontos via Equação Integral de Fredholm em Teoria de Domínios Antonio Espósito Junior Instituto Politécnico da UERJ, , Nova Friburgo, RJ Juarez Assumpção Muylaert UERJ - Departamento de Modelagem Computacional Campus Instituto Politécnico , Nova Friburgo, RJ 1 Introdução Neste artigo, damos continuidade ao programa iniciado por Edalat e Pattinson em [EP4b, EP4a, EP6] onde os autores aplicam Teoria de Domínios para estudar problemas de valor inicial e o método de Euler. Além de aplicarmos suas técnicas, as trazemos mais perto ainda da Teoria de Domínios pois lançamos mão das medições de Martin como relatadas em [Mar] para medir a compleidade dos algoritmos envolvidos na solução de problemas de valor de contorno com dois pontos através da equação de Fredholm. As técnicas apresentadas servem como uma alternativa, ou complemento, para a Análise Funcional Clássica quando utilizada como ferramenta matemática da Análise Numérica. A grande diferença entre Teoria de Domínios e Análise Funcional, dentro deste conteto, reside no fato da noção de convergência pertencer aos próprios espaços enquanto que isso geralmente não ocorre classicamente. Como conseqüência, o estudo de convergência é feito a partir de uma medição do espaço de funções intervalares contínuas à la Scott que, diferentemente da matemática clássica, independe da norma. Desta forma, podemos adaptar as mesmas técnicas a vários problemas diferentes como relatado em [EJ3, EJM4b, EJM5, EJM4a]. A equação integral de Fredholm pode estar relacionada com certos tipos de equações diferenciais e suas condições de contorno. Esses problemas de valores de contorno são de uma classe grande de problemas importantes em Matemática Aplicada como na investigação de fenômenos de caráter difusivo. Considere o problema de valores de contorno em fronteira com dois pontos da forma f () = v(,y),f() = f(1) = que pode ser escrito na forma de uma equação integral f() = k(,y)v(y,f(y))dy onde { y( 1),y k(,y) = (y 1),y > Considerando a equação integral como um operador integral que a cada função contínua f sobre o intervalo [,1] produz uma outra função baseado na propriedade da contração, seu processo iterativo converge, implicando na eistência e unicidade de solução. Definindo em Teoria de Domínios um funcional integral intervalar que mapeia o espaço de funções contínuas de Scott intervalar de variável real, com a ordem parcial ponto a ponto para função, produzimos uma solução aproimada com o grau de acurácia pretendido. Em particular, as aproimações das soluções encontradas na Análise Intervalar como cota inferior e cota superior são, respectivamente, as funções semi-contínua inferiormente e semi-contínua superiormente que compõem uma função contínua de Scott intervalar. Munindo, em Teoria de Domínios, o espaço de funções contínuas de Scott intervalar de

2 uma medição que estabelece a ordem de informação, isto é, o quão boa uma aproimação é em relação a solução, temos o estudo da convergência, de forma mais simples, através do cálculo da derivada informática do funcional integral intervalar em seu ponto fio. Este artigo está dividido da seguinte maneira. Na próima seção, encontram-se alguns dos conceitos e resultados fundamentais da Teoria de Domínios. Em seguida, temos a seção que apresenta a modelagem da solução da equação integral como ponto fio do seu operador associado em Teoria de Domínios. Na seção seguinte, temos o estudo da convergência em Teoria de Domínios através do cálculo da derivada informática do operador intervalar associado a equação integral. Finalmente, concluímos o trabalho. 2 Domínios de Scott e Medições: alguns conceitos e resultados fundamentais As nossas referências para Teoria de Domínios é [AJ94] e para medições [Mar]. Um conjunto P parcialmente ordenado é chamado de poset do inglês partially ordered set. Escreve-se P para o poset (P, ), onde é uma relação binária. O menor elemento de um poset (P, ) é um elemento P tal que para todo P. Um elemento P é maimal se para todo y P, y = y. O conjunto dos elementos maimais de um poset é representado por map. Seja um poset (P, ). Um ponto a em P é uma aproimação de um ponto, escreve-se a, se, e somente se, para todo subconjunto direcionado D P que tem supremo, D implica em eistir d D tal que a d. No caso disso ocorrer para a =, chamamos a de isolado. Um subconjunto A de um poset P é aberto de Scott se A é um conjunto superior: A e y y A, e para todo conjunto direcionado D P que possui supremo, D A D A A coleção de todos os conjuntos abertos de Scott do poset P é chamada de topologia de Scott, denotada por P. Um poset P é dito direcionado completo se todo subconjunto direcionado de P tem supremo. Os posets com essa propriedade são chamados de domínios ou dcpo s do inglês directed complete posets. Sejam X e Y domínios. Uma função f : X Y é contínua de Scott, se para todo conjunto direcionado D em X, (f[d]) eiste e é igual a f( D), ou seja, o supremo do conjunto imagem de D eiste e é igual à imagem do supremo do conjunto D. Um domínio de Scott é um dcpo contínuo com menor elemento tal que cada par de elementos cotado superiormente tem supremo. A medição sobre um domínio X é uma função contínua de Scott µ : X [, ) sobre os reais não-negativos na sua ordem reversa que dá forma definitiva a noção de conteúdo de informação para os elementos de X. Se r, então µ() µ(r) é uma medida de quão próimo está de r. Já µ() é a medida da incerteza contida em. Em Martin [Mar], encontramos µ X para indicar quando a medida induz a topologia de Scott em todo X, de modo que o conjunto {µ ǫ () X e ǫ > } forma uma base para a topologia µ sobre X, onde µ ǫ = {y X y e µ() µ(y) < ǫ}. As propriedades de medida mais úteis em aplicações são as seguintes: Proposição 1. ([Mar]) Se D é um domínio com medida µ X, X D, então: 1. Para todo D e y X D, y e µ() = µ(y) = y; 2. Para todo D, µ() = ma D; 3. Para todo X e qualquer seqüência ( n ) em D com n, se µ( n ) µ() então (n ) = e esse supremo converge na topologia de Scott. Nota-se que { D µ() = } ma(d). Isso significa que um elemento com nenhuma incerteza é maimal na ordem de informação. Uma separação sobre um poset P é uma auto função s : P P com s() para todo P. Seu conjunto de pontos fios é fi(s) = { P : s() = } A relação f entre conjuntos X e Y, escrita f : X Y, é dita função parcial quando para todo X eiste no máimo um único y Y

3 tal que f() = y. Fazendo a restrição da função contínua f : D D para o conjunto I(f) = { D : f()} se produz uma separação com medida µ f. Teorema 2.1. ([Mar]) Seja D um domínio com a medida µ D e s : D D é a separação parcial. Se para qualquer seqüência ( n ) em dom(s) (conjunto dos pontos de definição de s) temos µ s( n ) = lim n µ s( n), então n sn () fi(s) para qualquer dom(s). E mais, fi(s) = dom(s) ma(d) se, e somente se, µ s() < µ() para todo dom(s) com µ() >. A utilização da derivada informática permite dar sentido à idéia de taa de variação com respeito a medida. Definição 2.2. Seja f : X X uma função sobre o domínio X com µ X. Se f : X X é uma função parcial e q X\K(X), então d f d µ (q) = lim q µ f () - µ f (q) µ() - µ(q) é chamada a derivada informática de f no ponto q em relação a medida µ, onde K(X) é o conjunto dos pontos isolados de X. Representa-se a derivada informática, também, por f µ (q), df µ (q) e algumas vezes como df(q). Para modelar a idéia do cálculo da ordem de convergência para a Teoria de Domínios estendida com a noção de medida, consideram-se as sequências ( n ) como um algoritmo numérico que converge para seu supremo q na topologia µ sobre o domínio X, e troca-se n q por µ( n ) µ(q) na definição do cálculo de convergência na análise numérica clássica. Proposição 2. ([Mar]) Seja X um domínio com a medida µ X e s : X X uma função parcial que mapeia em dom(s). Se s é contínua na topologia µ para o ponto fio q e < ds µ (q) < 1, então para todo < ε < 1 ds µ (q), eiste uma aproimação a q tal que para todo dom(s), ε log( µ() µ(q) ) a q e n log(ds µ (q) + ε) então s n () q e µ(s n ()) µ(q) < ε desde que q e n 1. Nós vamos trabalhar ao longo desse artigo com funções de valores intervalares. Essas funções produzem valores no domínio intervalaráê={[a,b] a,b R,a b} {R} onde a ordem é dada pela inclusão reversa, a relação de aproimação é caracterizada por [a,b] [c,d] se, e somente, se a < c e d < b e a medição é a função µ :ÁÊ [, ) definida por µ([a,b]) = b a. Para um intervalo compacto [a, b] denotamos o domínio de intervalos contidos em [a,b] por I[a, b]. Funções de valores intervalares podem ser obtidas pela etensão de funções contínuas f : [a,b] R para o domínio intervalar, produzindo ˆf : I[a,b] ÁÊ, X [ inf f(), sup f()] X X onde X representa um intervalo compacto X R. Qualquer função contínua f : [a, b] ÁÊpode ser definida por uma função superior e uma função inferior, respectivamente f + : [a,b] R e f : [a,b] R, com f f + ponto a ponto. Escrevemos f = [f,f + ] se f() = [f (),f + ()] para todo X. Maiores informações podem ser obtidas em [Esc97]. Definimos a integral de f por b [ a f()d = b a f ()d, ] b a f+ ()d. ema 2.3. Sejam f e g funções contínuas de valores intervalares de variável real [a, b]. Se g() f() então b a g()d b a f()d. Considerando a equação de operador da forma f() = p(f)() onde o operador p pode incluir derivadas e integrais da função f(), vamos supor que p está definido para uma classe M de funções reais contínuas f com domínio comum [a,b] e que p : M M. Seja o operador intervalar P : D D contínuo de Scott sobre a classe D do modelo computacional de M, com a imersão topológica I : M D definida por I(f) = λ.[f(),f()]. O seguinte teorema, cuja versão em Análise Intervalar é fornecido em [Moo66, Moo79], fornece uma base para procedimentos computacionais visando reconhecer a eistência de solução e de convergência do algoritmo iterativo para resolver a equação de operador.

4 Teorema 2.4. Seja P contínua de Scott. Se f P(f ) então a seqüência definida por f n+1 = P(f n ),n =,1,2, no sub-domínio f possui as sequintes propriedades: 1. f n f n+1,n =,1,2, ; 2. Para qualquer [a, b], o limite f() = n= f n() eiste como um intervalo f n () f(),n =,1,2, ; 3. Qualquer solução de f() = p(f)() que está em f também está em f n para todo n e em f também, isto é, se f() f () para [a,b] então f() f n () para todo n e [a,b]. 4. Se eiste um número real c tal que c 1 para o qual f f implica µ(p(f) cµ(f) onde µ é a medição sobre D, então f() = p(f)() possui uma única solução f() em f dada por f() = n= f n(). 3 O Problema Considere o problema de valor de contorno com dois pontos da seguinte forma: f () = v(,f()),f() = f(1) = (1) A dupla integração de (1) nos fornece f() = c 1 + c 2 + y v(z,f(z))dzdy. Da condição f() = temos c 1 =. Obtemos da condição f(1) = que c 2 = (1 z)v(z, f(z))dz. Podemos agora reescrever o problema da seguinte forma: f() = + (1 y)v(y,f(y))dy ( y)v(y,f(y))dy o Analisando o núcleo das integrais podemos reescrever a equação acima da seguinte forma: onde f() = K(,y) = K(, y)v(y, f(y))dy, { y( 1),y (y 1),y > Essa equação integral é equivalente à equação (1) e incorpora as condições de contorno. Consideremos a equação integral como um operador integral da forma f() = p(f)() que para cada função contínua f sobre o intervalo [, 1] produz uma outra função p(f). Então, uma solução f de (1) é epressa como um ponto fio do operador integral p. Se p possui a propriedade de p(f) pertencer ao espaço métrico M de todas as funções contínuas f sobre o intervalo [,1] com valores em [c,d] e se eiste um c < 1 tal que para todo f 1,f 2 M p(f 1 ) p(f 2 ) < c f 1 f 2 temos as condições que implicam na eistência e unicidade do ponto fio de f. Além do mais, se f 1 M, a seqüência f n+1 = p(f n ) de funções em M convergem para a função f de (1). Intepretando este resultado temos que (1) terá uma única solução que é o limite da seqüência de funções definida por: f () = f n+1 () = K(,y)v(y,f(y))dy para n =,1,2,... Vamos definir em Teoria de Domínios o operador intervalar para o conjunto de funções contínuas para o domínio D([,1]) definido por {f [,1] ÁÊ f é contínua de Scott} com a imersão topológica I : C([, 1]) D([,1]) definida por I(f) = λ.[f(),f()]. Qualquer função intervalar f : X [,1] ÁÊédada por uma função superior e uma função inferior. Escreveremos f = [f,f + ] se f() = [f (),f + ()] para todo X. A etensão canônica do integrando do problema (1) para uma função intervalar ĝ : [,1] [,1] ÁÊ ÁÊédefinida por ĝ(,y,z) = [inf g(,y,z),sup g(,y,z)] z Z z Z Notemos que [[,1] [,1] ÁÊ ÁÊ], o conjunto das funções contínuas de Scott com a ordem ponto a ponto, é um domínio contínuo de Scott. Frequentemente, identificamos a função com sua etensão canônica se está clara sua conotação dentro do conteto. Sendo g(,y,f(y)) = K(,y)v(y,f(y)) definida na equação integral, podemos reescrevê-la por { gi (,y,f(y)),y g(,y,f(y)) = g S (,y,f(y)),y >

5 onde g I (,y,f(y)) = y( 1)v(y,f(y)) e g S (,y,f(y)) = (y 1)v(y,f(y)). Em Teoria de Domínios temos a etensão canônica de g definida por: { gi (,y,z),y g(,y,z) = g S (,y,z),y > onde g I (,y,z) = [inf z Z y( 1)v(y,z),sup z Z y( 1)v(y,z)] e g S (,y,z) = [inf z Z (y 1)v(y,z),sup z Z (y 1)v(y,z)]. Agora, então, definimos o operador intervalar para uma função contínua arbitrária u : [,1] [,1] ÁÊ ÁÊemais tarde focamos sobre o caso especial quando u é a etensão canônica de uma função clássica. Definição 3.1. Seja u : [,1] [,1] ÁÊ ÁÊcontínua. Define-se o operador intervalar P u : D([,1]) D([,1]) para f = [f +,f ] por P u (f)() = [ u (,y,f(y))dy + u (,y,f(y))dy, u+ (,y,f(y))dy + u+ (,y,f(y))dy] no caso das integrações serem definidas e P u (f)() =Êcaso contrário. Uma vez que u e f são contínuas de Scott, segue que λ(,y).u (,y,f(y)) e λ(,y).u + (,y,f(y)) são, respectivamente, semicontínua inferiormente e superiormente e também mensuráveis. Daí P u ser bem definida. ema 3.2. ([EP4b]) Se u : [,1] [,1] ÁÊ ÁÊécontínua de Scott então P u também o é. Em Teoria de Domínios inciamos as aproimações da solução do problema (1) com a função que contém a menor quantidade de informação, denotada aqui por f. Associado a ela, o conjunto superior f = {f D([,1]) f f}, denotado por D corresponde ao subdomínio de D([,1]) no qual as soluções são aproimadas e f é o menor elemento. Seja f tal que o valor de contorno pertença a f () e f ÁÊ ÁÊ (1). Supondo que P u (f ) é definida para f e tomando, em particular, a etensão canônica de v em (1) para a função intervalar v : [,1] v(,y ) = [inf y Y v(,y),sup y Y v(,y)] temos u ± I (,y,f (y)) = y( 1)v (y,f (y)) u ± S (,y,f (y)) = (y 1)v (y,f (y)) Seja o intervalo B = [B,B] ÁÊtal que B v(y,f (y)) para todo y [,1]. Então, B v (y,f (y)) v + (y,f (y)) B. Segue daí que: [ y( 1)Bdy + (y 1)Bdy, y( 1)Bdy + (y 1)Bdy] P u (f )() Calculando, temos 2 ( 1)B P u(f )() para todo [,1]. Se f () 2 (1 )B para todo [, 1], então pela transitividade temos f P u (f ). Nessas condições, a seqüência definida por f n+1 = P u (f n ) para n = 1,2,... possui as seguintes propriedades: 1. f n f n+1 para n = 1,2,...; 2. Para todo [, 1], eiste f() = Æf n () tal que f n () f() para n = 1,2,...; 3. qualquer solução de (1) que se encontra em f também é encontrada em f n para todo n Æ, bem como em f de acordo com o Teorema 2.4. Segue daí um processo de construção da solução do problema (1), lembrando que f é o menor elemento de D. O teorema a seguir pode ser visto como a alternativa em Teoria de Domínios para o Teorema do Ponto Fio de Banach, cuja demonstração pode ser encontrada em [EP4b]. Teorema 3.3. Supondo f n+1 = P u (f n ) temos que f = n Æf n satisfaz P u (f) = f. A relação entre a solução da equação integral em Teoria de Domínios e o problema (1) é dada pelo seguinte lema: ema 3.4. ([EP4b]) Suponha que f = [f,f + ] D([,1]) satisfaz P u (f) = f e que f = f +. Então f = f + resolve (1). Com isso, a seqüência de funções intervalares definida pelo operador intervalar P u sobre o sub-domínio D converge para uma função real contínua. Portanto, para obter a solução clássica do problema (1) em Teoria de Domínios

6 é necessário encontrar o ponto fio de P u que corresponde a sua imersão topológica em D([, 1]), ou seja, uma função intervalar com medida nula. Considerando o domínio D([, 1]) definimos a seguinte medição µ : D([,1] [, ) : µ(f) = sup{f + () f () domf} para f = [f,f + ] D([,1]). Construimos um ponto fio de P u com medida nula impondo a seguinte condição de ipschitz sobre v: eiste > tal que < 8 < 1 e v(,y 1 ) v(,y 2 ) y 1 y 2 para todo (,y) [,1] [,1]. Assumindo a condição de ipschitz, temos a seguinte estimativa que garante ao menor ponto fio de P u a medida nula. ema 3.5. Suponha f f. Então, µ(p u (f)) 8 µ(f). Demonstração. Usando a condição de ipschitz, calculamos (abaio, sup [,1] é abreviado por S): µ(p u (f)) = S[ y(1 )(v+ (y,f(y)) v (y,f(y))dy+ (1 )(v+ (y,f(y)) v (y,f(y))dy] = S[ y(1 )(sup z [f,f + ] v(y,z) inf z [f,f + ] v(y,z)dy)+ (1 )(sup z [f,f + ] v(y,z) inf z [f,f + ] v(y,z)dy] = S[ y(1 )(v(y,f+ (y)) v(y,f (y))dy+ (1 )(v(y,f+ (y)) v(y,f (y))dy] S[ y(1 ) f+ (y)) f (y) dy+ (1 ) f+ (y) f (y) dy] S[ y( 1)µ(f)dy+ (y 1)µ(f)dy] = µ(f)s[ ] = 8 µ(f) Portanto, µ(p u (f)) 8 µ(f). Segue daí que eiste < c < 1 tal que 8 < c < 1 e µ(p u (f)) cµ(f). Essa estimativa nos permite mostrar que o menor ponto fio de P u possui medida zero, isto é, é a solução do problema (1). Proposição 3. ([EP4b]) Seja f n+1 = P u (f n ) para n Æ. Então µ(f n ) c n µ(f ). Em particular, f = n Æf n satisfaz P u (f) = f e µ(f) =. Pela estimativa anterior, temos µ(p u (g)) 8 µ(g). Daí dpu dµ (f) = lim g f µ(pu(g)) µ(g) lim g f 8 = 8. Portanto, µp u(g)) µ(f) 8 (µ(g) µ(f)). Interpretando esta fórmula, temos que o operador intervalar P u oferece uma redução da incerteza a cada aplicação. A condição adicional 8 < 1 nos permite calcular a estimativa para o número de iterações a serem feitas antes de atingir a precisão ǫ > : n log ǫ µ(g) log( 8 +ǫ) 4 Eemplo Dado o problema de valores de contorno em fronteira com dois pontos f () = 2f() + 1,f() = f(1) = vejamos a computação das quatro primeiras aproimações de sua solução. Passando para a forma de uma equação integral temos: f() = y( 1)(2f(y) + 1)dy + (y 1)(2f(y) + 1)dy Tomando a etensão canônica v(,y ) = [inf y Y 2y + 1,sup y Y 2y + 1] Obtemos o funcional intervalar P v (f)() = [ y( 1)v+ (y,f(y))dy + (y 1)v+ (y,f(y))dy, y( 1)v (y,f(y))dy + (y 1)v (y,f(y))dy] Seja f () = [ 1,1] a aproimação inicial tal que f () e f (1). ogo, v(,f ()) = [ 1,3]. Então 2 ( 1)[ 1,3] P v(f )() para [,1]. Como [ 3 8, 1 8 ] [3 2 ( 1), 1 2 ( 1)] para [,1] segue que f P v (f ). Segue daí que a solução pertence ao sub-domínio D = {f : [,1] ÁÊ f f}. Temos as seguintes aproimações: f 1 = [ , ] v(,f 1 ()) = [ , ] f 2 = [ , ] v(,f 2 ()) = [ , ] f 3 = [ , ]

7 Do fato de = 2 ser a constante de ipschitz v(,y) = 2y + 1. Temos que dpv(f) dµ 1 4 como estimativa de taa de convergência e para uma aproimação com precisão ǫ =.1 temos a seguinte estivmatica para o número de iterações: log(.1 2 ) n log( ) 5 Conclusões Neste artigo atacamos um problema de valor de contorno com dois pontos via equação integral formulado no âmbito da Teoria de Domínios de Scott. Foi feita a inclusão do cálculo da taa de convergência no processo de aproimações sucessivas para obtenção da solução do problema, algo que ainda não tinha sido feito, mesmo no trabalho original de Edalat e Pattinson [EP4b]. A eemplo do que foi feito em [EP4b], podemos através da seqüência de partições do intervalo [, 1] e sua utilização na representação de funções intervalares do problema em funções passo, obter um algoritmo para o cálculo das integrais das etremidades dos intervalos que convergem para a solução. Posteriormente, esse algoritmo deve ser comparado com outros métodos iterativos não intervalares. Agradecimentos Antônio Espósito Jr agradece a Universidade Federal Fluminense pela licença para cursar o doutorado na UERJ. Referências [AJ94] S. Abramsky and A. Jung. Domain theory. In S. Abramsky, D. M. Gabbay, and T. S. E. Maibaum, editors, Handbook of ogic in Computer Science, volume 3, pages Clarendon Press, [EJ3] Antônio Espósito Jr. Cálculo numérico via teoria dos domínios - uma aplicação da derivada informática. Instituto Politécnico - Universidade do Estado do Rio de Janeiro, dissertação de Mestrado, 23. [EJM4a] A. Espósito Jr and J. A. Muylaert. Método intervalar em teoria de domínios para equação integral. Anais IX Encontro de Modelagem Computacional, 1, 24. [EJM4b] A. Espósito Jr and J. A. Muylaert. Modelando métodos numéricos com domínios potência. Anais VII Encontro de Modelagem Computacional, 1:5 55, 24. [EJM5] [EP4a] [EP4b] [EP6] [Esc97] [Mar] A. Espósito Jr and J. A. Muylaert. Estudo da convergência do operador de picard em teoria de domínios. Anais VIII Encontro de Modelagem Computacional, 1, 25. Abbas Edalat and Dirk Pattinson. A domain theoretic account of euler s method for solving initial value problems. In PARA, volume 3732 of ecture Notes in Computer Science, pages Springer, 24. Abbas Edalat and Dirk Pattinson. A domain theoretic account of picard s theorem. In ICAP, volume 3142 of ecture Notes in Computer Science, pages Springer, 24. Abbas Edalat and Dirk Pattinson. Domain theoretic solutions of initial value problems for unbounded vector fields. Electr. Notes Theor. Comput. Sci., 155: , 26. M. H. Escardó. PCF etended with real numbers: a domain-theoretic approach to higher-order eact real number computation. PhD thesis, Imperial College of Science, Technology and Medicine, Keye Martin. Foundation for Computation. PhD thesis, Tulane University, 2. [Moo66] R. E. Moore. Interval Analysis. Prentice-Hall, INC. - N. J., [Moo79] R. E. Moore. Methods and Applications of Interval Analysis. Siam, Philadelphia, 1979.

9. Derivadas de ordem superior

9. Derivadas de ordem superior 9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de

Leia mais

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS

CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS 15 CÁLCULO DE ZEROS DE FUNÇÕES REAIS Um dos problemas que ocorrem mais frequentemente em trabalhos científicos é calcular as raízes de equações da forma: f() = 0. A função f() pode ser um polinômio em

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2008/1

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2008/1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 008/ . CONCEITO DE FUNÇÃO As funções são as melhores ferramentas para descrever

Leia mais

O Teorema da Função Inversa e da Função Implícita

O Teorema da Função Inversa e da Função Implícita Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit O Teorema da Função Inversa

Leia mais

APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II APOSTILA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II z t t C C α y β y Colaboradores para elaboração da apostila: Elisandra Bär de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuchi Siple, Marnei Luis Mandler, Rogério

Leia mais

Exp e Log. Roberto Imbuzeiro Oliveira. 21 de Fevereiro de 2014. 1 O que vamos ver 1. 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2

Exp e Log. Roberto Imbuzeiro Oliveira. 21 de Fevereiro de 2014. 1 O que vamos ver 1. 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2 Funções contínuas, equações diferenciais ordinárias, Exp e Log Roberto Imbuzeiro Oliveira 21 de Fevereiro de 214 Conteúdo 1 O que vamos ver 1 2 Fatos preliminares sobre espaços métricos 2 3 Existência

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) I Representação dos números, aritmética de ponto flutuante e erros em máquinas

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 2005/2 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO B 00/ SUMÁRIO. LIMITES E CONTINUIDADE..... NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE..... FUNÇÃO CONTÍNUA NUM

Leia mais

< 0, conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f (x) Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação

< 0, conclui-se, de acordo com o teorema 1, que existem zeros de f (x) Pode-se também chegar às mesmas conclusões partindo da equação . Isolar os zeros da função f ( )= 9 +. Resolução: Pode-se construir uma tabela de valores para f ( ) e analisar os sinais: 0 f ( ) + + + + + Como f ( ) f ( ) < 0, f ( 0 ) f ( ) < 0 e f ( ) f ( ) < 0,

Leia mais

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Terminologia e Definições Básicas No curso de cálculo você aprendeu que, dada uma função y f ( ), a derivada f '( ) d é também, ela mesma, uma função de e

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I 1) Considerações gerais sobre os conjuntos numéricos. Ao iniciar o estudo de qualquer tipo de matemática não podemos provar tudo. Cada vez que introduzimos um novo conceito precisamos defini-lo em termos

Leia mais

1. Método Simplex. Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel Engenharia de Produção. Pesquisa Operacional II Profa. Dra. Lílian Kátia de Oliveira

1. Método Simplex. Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel Engenharia de Produção. Pesquisa Operacional II Profa. Dra. Lílian Kátia de Oliveira Faculdade de Engenharia Eng. Celso Daniel Engenharia de Produção. Método Simple.. Solução eata para os modelos de Programação Linear O modelo de Programação Linear (PL) reduz um sistema real a um conjunto

Leia mais

FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES

FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES FUNÇÕES E SUAS PROPRIEDADES Í N D I C E Funções Definição... Gráficos (Resumo): Domínio e Imagem... 5 Tipos de Funções... 7 Função Linear... 8 Função Linear Afim... 9 Coeficiente Angular e Linear... Função

Leia mais

uma classe de sistemas elipticos envolvendo o operador p-laplaciano em dominio nao limitado

uma classe de sistemas elipticos envolvendo o operador p-laplaciano em dominio nao limitado Seminário Brasileiro de Análise - SBA Instituto de Matemática e Estatatística - USP Edição N 0 68 Novembro 2008 uma classe de sistemas elipticos envolvendo o operador p-laplaciano em dominio nao limitado

Leia mais

Capítulo 2. Álgebra e imagens binárias. 2.1 Subconjuntos versus funções binárias

Capítulo 2. Álgebra e imagens binárias. 2.1 Subconjuntos versus funções binárias Capítulo 2 Álgebra e imagens binárias Em Análise de Imagens, os objetos mais simples que manipulamos são as imagens binárias. Estas imagens são representadas matematicamente por subconjuntos ou, de maneira

Leia mais

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x)

3. Limites. = quando x está muito próximo de 0: a) Vejamos o que ocorre com a função f ( x) . Limites Ao trabalhar com uma função nossa primeira preocupação deve ser o seu domínio (condição de eistência) afinal só faz sentido utilizá-la nos pontos onde esteja definida e sua epressão matemática

Leia mais

TÓPICO 2 APROXIMAÇÕES DA IDENTIDADE

TÓPICO 2 APROXIMAÇÕES DA IDENTIDADE TÓPICO 2 APROXIMAÇÕES DA IDENTIDADE EMANUEL CARNEIRO 1. O operador de convolução Sejam f e g funções mensuráveis em. A convolução de f e g é a função f g definida por f g(x) = f(y) g(x y) dy. De modo geral,

Leia mais

Como aparecem os erros? Quais os seus efeitos? Como controlar esses efeitos?

Como aparecem os erros? Quais os seus efeitos? Como controlar esses efeitos? &DStWXOR±5HSUHVHQWDomRGH1~PHURVH(UURV,QWURGXomR Como aparecem os erros? Quais os seus efeitos? Como controlar esses efeitos? 7LSRVGH(UURV Erros inerentes à matematização do fenómeno físico: os sistemas

Leia mais

O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/48

O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos. > Princípios de Contagem e Enumeração Computacional 0/48 Conteúdo 1 Princípios de Contagem e Enumeração Computacional Permutações com Repetições Combinações com Repetições O Problema do Troco Principio da Casa dos Pombos > Princípios de Contagem e Enumeração

Leia mais

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES

Só Matemática O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br FUNÇÕES FUNÇÕES O conceito de função é um dos mais importantes em toda a matemática. O conceito básico de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles, que faça

Leia mais

Universidade Federal do Rio de Janeiro. As Fronteiras de Shilov e de Bishop

Universidade Federal do Rio de Janeiro. As Fronteiras de Shilov e de Bishop Universidade Federal do Rio de Janeiro Rafael Monteiro dos Santos As Fronteiras de Shilov e de Bishop Rio de Janeiro 2008 Rafael Monteiro dos Santos As Fronteiras de Shilov e de Bishop Dissertação de Mestrado

Leia mais

(b) (1,0 ponto) Reciprocamente, mostre que, se um número x R possui representação infinita em toda base β, então x é irracional.

(b) (1,0 ponto) Reciprocamente, mostre que, se um número x R possui representação infinita em toda base β, então x é irracional. Sociedade Brasileira de Matemática Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional MA11 Números e Funções Reais Avaliação 3 - GABARITO 06 de julho de 013 1. (1,5 pontos) Determine se as afirmações

Leia mais

Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto

Erros. Número Aproximado. Erros Absolutos erelativos. Erro Absoluto Erros Nenhum resultado obtido através de cálculos eletrônicos ou métodos numéricos tem valor se não tivermos conhecimento e controle sobre os possíveis erros envolvidos no processo. A análise dos resultados

Leia mais

1 Propriedades das Funções Contínuas 2

1 Propriedades das Funções Contínuas 2 Propriedades das Funções Contínuas Prof. Doherty Andrade 2005 Sumário 1 Propriedades das Funções Contínuas 2 2 Continuidade 2 3 Propriedades 3 4 Continuidade Uniforme 9 5 Exercício 10 1 1 PROPRIEDADES

Leia mais

NIVELAMENTO MATEMÁTICA 2012

NIVELAMENTO MATEMÁTICA 2012 NIVELAMENTO MATEMÁTICA 202 Monitor: Alexandre Rodrigues Loures Monitor: Alexandre Rodrigues Loures SUMÁRIO. LOGARITMOS... 3.. Mudança de base... 3.2. Propriedades dos logaritmos... 4 2. DERIVADAS... 4

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA

Leia mais

1. Extremos de uma função

1. Extremos de uma função Máximo e Mínimo de Funções de Várias Variáveis 1. Extremos de uma função Def: Máximo Absoluto, mínimo absoluto Seja f : D R R função (i) Dizemos que f assume um máximo absoluto (ou simplesmente um máximo)

Leia mais

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS MATEMÁTICA 2 PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ

UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS MATEMÁTICA 2 PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ UNIVERSIDADE SEVERINO SOMBRA UNIDADE MARICÁ CURSO DE ADMINISTRAÇÃO DE EMPRESAS 1 MATEMÁTICA PROF. ILYDIO PEREIRA DE SÁ ESTUDO DAS DERIVADAS (CONCEITO E APLICAÇÕES) No presente capítulo, estudaremos as

Leia mais

Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas

Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas 2 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 2: Transformação de Matrizes e Resolução de Sistemas Sumário 1 Transformação de Matrizes.............. 3 1.1

Leia mais

Análise Funcional. José Ferreira Alves. Março de 2002. Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Departamento de Matemática Pura

Análise Funcional. José Ferreira Alves. Março de 2002. Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Departamento de Matemática Pura Análise Funcional José Ferreira Alves Março de 2002 Faculdade de Ciências da Universidade do Porto Departamento de Matemática Pura ii Introdução Estas notas foram elaboradas para a disciplina de Complementos

Leia mais

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y).

Definição. A expressão M(x,y) dx + N(x,y)dy é chamada de diferencial exata se existe uma função f(x,y) tal que f x (x,y)=m(x,y) e f y (x,y)=n(x,y). PUCRS FACULDADE DE ATEÁTICA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PROF. LUIZ EDUARDO OURIQUE EQUAÇÔES EXATAS E FATOR INTEGRANTE Definição. A diferencial de uma função de duas variáveis f(x,) é definida por df = f x (x,)dx

Leia mais

11. Problemas de Otimização

11. Problemas de Otimização 11. Problemas de Otimização Nesta seção veremos vários eemplos de problemas cujas soluções eigem a determinação de valores máimos e/ou mínimos absolutos das funções que os representam. São chamados de

Leia mais

Propriedades das Funções Deriváveis. Prof. Doherty Andrade

Propriedades das Funções Deriváveis. Prof. Doherty Andrade Propriedades das Funções Deriváveis Prof Doerty Andrade 2005 Sumário Funções Deriváveis 2 Introdução 2 2 Propriedades 3 3 Teste da derivada segunda para máimos e mínimos 7 2 Formas indeterminadas 8 2 Introdução

Leia mais

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br

A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina10.com.br A seguir, uma demonstração do livro. Para adquirir a versão completa em papel, acesse: www.pagina0.com.br Funções Reais CÁLCULO VOLUME ZERO - Neste capítulo, estudaremos as protagonistas do longa metragem

Leia mais

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia e não têm a intenção de substituir o livro-texto, nem qualquer outra bibliografia. Introdução O Cálculo Numérico

Leia mais

Somatórias e produtórias

Somatórias e produtórias Capítulo 8 Somatórias e produtórias 8. Introdução Muitas quantidades importantes em matemática são definidas como a soma de uma quantidade variável de parcelas também variáveis, por exemplo a soma + +

Leia mais

Limites e continuidade

Limites e continuidade Capítulo 3 Limites e continuidade 3.1 Limite no ponto Considere a função f() = 1 1, D f =[0, 1[ ]1, + ). Observe que esta função não é definida em =1. Contudo, fazendo suficientemente próimo de 1 (mas

Leia mais

I N T E G R A L. Prof. ADRIANO CATTAI. Apostila 03: Funções de Várias Variáveis (Atualizada em 13 de novembro de 2013)

I N T E G R A L. Prof. ADRIANO CATTAI. Apostila 03: Funções de Várias Variáveis (Atualizada em 13 de novembro de 2013) I N T E G R A L ac C Á L C U L O Prof. ADRIANO CATTAI 03 Apostila 03: Funções de Várias Variáveis (Atualizada em 13 de novembro de 2013) NOME: DATA: / / Não há ciência que fale das harmonias da natureza

Leia mais

Um Exemplo de Topologia Não Metrizável

Um Exemplo de Topologia Não Metrizável Universidade Federal de São Carlos Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia Departamento de Matemática Um Exemplo de Topologia Não Metrizável Autor: Tamyris Marconi Orientadora: Profa. Dra. Cláudia Buttarello

Leia mais

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros

Conjuntos numéricos. Notasdeaula. Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming. Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Notasdeaula Fonte: Leithold 1 e Cálculo A - Flemming Dr. Régis Quadros Conjuntos numéricos Os primeiros conjuntos numéricos conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros positivos

Leia mais

CDI-II. Trabalho. Teorema Fundamental do Cálculo

CDI-II. Trabalho. Teorema Fundamental do Cálculo Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires CDI-II Trabalho. Teorema Fundamental do Cálculo 1 Trabalho. Potencial Escalar Uma das noções mais importantes

Leia mais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS GRUPO Educação adistância Caderno de Estudos EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Prof. Ruy Piehowiak Editora UNIASSELVI 2012 NEAD Copyright Editora UNIASSELVI 2012 Elaboração: Prof. Ruy Piehowiak Revisão, Diagramação

Leia mais

Erros. Cálculo Numérico

Erros. Cálculo Numérico Cálculo Numérico Erros Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br MATIAL ADAPTADO DOS SLIDES DA DISCIPLINA CÁLCULO NUMÉRICO DA UFCG - www.dsc.ufcg.edu.br/~cnum/ Erros - Roteiro Eistência Tipos

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto

Material Teórico - Módulo de Divisibilidade. MDC e MMC - Parte 1. Sexto Ano. Prof. Angelo Papa Neto Material Teórico - Módulo de Divisibilidade MDC e MMC - Parte 1 Sexto Ano Prof. Angelo Papa Neto 1 Máximo divisor comum Nesta aula, definiremos e estudaremos métodos para calcular o máximo divisor comum

Leia mais

4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0.

4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0. 4. Em cada caso use a definição para calcular f 0 (). (a) f () = 3, R (b) f () =/, 6= 0 (c) f () =/, > 0. 4.2 Mostre que a função f () = /3, R, não é diferenciável em =0. 4.3 Considere a função f : R R

Leia mais

ENCONTRO RPM-UNIVERSIDADE DE MATO GROSSO DO SUL Roteiro de aulas do mini-curso: A Escavadeira de Cantor Novembro de 2013 Mário Jorge Dias Carneiro

ENCONTRO RPM-UNIVERSIDADE DE MATO GROSSO DO SUL Roteiro de aulas do mini-curso: A Escavadeira de Cantor Novembro de 2013 Mário Jorge Dias Carneiro ENCONTRO RPM-UNIVERSIDADE DE MATO GROSSO DO SUL Roteiro de aulas do mini-curso: A Escavadeira de Cantor Novembro de 203 Mário Jorge Dias Carneiro Introdução O que é um número real? A resposta formal e

Leia mais

COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS. 1.0 Representação

COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS. 1.0 Representação COMPUTAÇÕES NUMÉRICAS.0 Representação O sistema de numeração decimal é o mais usado pelo homem nos dias de hoje. O número 0 tem papel fundamental, é chamado de base do sistema. Os símbolos 0,,, 3, 4, 5,

Leia mais

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO

CURSO ONLINE RACIOCÍNIO LÓGICO AULA QUINZE: Matrizes & Determinantes (Parte II) Olá, amigos! Pedimos desculpas por não ter sido possível apresentarmos esta aula na semana passada. Motivos de força maior nos impediram de fazê-lo, mas

Leia mais

Capítulo 5: Transformações Lineares

Capítulo 5: Transformações Lineares 5 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 5: Transformações Lineares Sumário 1 O que são as Transformações Lineares?...... 124 2 Núcleo e Imagem....................

Leia mais

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE MATEMÁTICA I PROF MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV - GABARITO 1 wwwprofessorwaltertadeumatbr 1) Seja f uma função de N em N definida por f(n) 10 n Escreva

Leia mais

Chapter 2. 2.1 Noções Preliminares

Chapter 2. 2.1 Noções Preliminares Chapter 2 Seqüências de Números Reais Na Análise os conceitos e resultados mais importantes se referem a limites, direto ou indiretamente. Daí, num primeiro momento, estudaremos os limites de seqüências

Leia mais

2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL

2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL 18 2. MÓDULO DE UM NÚMERO REAL como segue: Dado R, definimos o módulo (ou valor absoluto) de, e indicamos por,, se 0 =, se < 0. Interpretação Geométrica O valor absoluto de um número é, na reta, a distância

Leia mais

NOTAS DE AULA. Cláudio Martins Mendes

NOTAS DE AULA. Cláudio Martins Mendes NOTAS DE AULA FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS - DIFERENCIAÇÃO Cláudio Martins Mendes Segundo Semestre de 2005 Sumário 1 Funções de Várias Variáveis - Diferenciabilidade 2 1.1 Noções Topológicas no R n.............................

Leia mais

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem:

computador-cálculo numérico perfeita. As fases na resolução de um problema real podem, de modo geral, ser colocadas na seguinte ordem: 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Matemática - CCE Cálculo Numérico - MAT 271 Prof.: Valéria Mattos da Rosa As notas de aula que se seguem são uma compilação dos textos relacionados na bibliografia

Leia mais

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE 2 FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE FUNÇÕES VETORIAIS DE UMA VARIÁVEL REAL.1 Funções Vetoriais de Uma Variável Real Vamos agora tratar de um caso particular de funções vetoriais F : Dom(f R n R m, que são as funções vetoriais de uma

Leia mais

Teorema de Green no Plano

Teorema de Green no Plano Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires Teorema de Green no Plano O teorema de Green permite relacionar o integral de linha ao longo de uma

Leia mais

ANÁLISE FUNCIONAL E APLICAÇÕES

ANÁLISE FUNCIONAL E APLICAÇÕES MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Alfenas - Unifal-MG Rua Gabriel Monteiro da Silva, 700 - Alfenas/MG - CEP 37130-000 Fone: (35) 3299-1000 - Fax: (35) 3299-1063 ANÁLISE FUNCIONAL E APLICAÇÕES

Leia mais

Fundamentos de Matemática

Fundamentos de Matemática Universidade Federal do Piauí Campus Ministro Reis Velloso Departamento de Matemática Fundamentos de Matemática por Cleyton Natanael Lopes de Carvalho Cunha Parnaiba, de 20 Sumário 1 Teoria Elementar dos

Leia mais

Definição 1.1. Uma função φ real definida sobre um intervalo aberto ]a, b[ de R, diz-se convexa se x, y ]a, b[, e0 γ 1,

Definição 1.1. Uma função φ real definida sobre um intervalo aberto ]a, b[ de R, diz-se convexa se x, y ]a, b[, e0 γ 1, ESPAÇOSDEFUNÇÕES INTEGRÁVEIS-L p 1. Funções convexas e desigualdades Definição 1.1. Uma função φ real definida sobre um intervalo aberto ]a, b[ de R, diz-se convexa se x, y ]a, b[, e0 γ 1, φ((1 γ)x + γy)

Leia mais

UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE PARA A EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA SEMILINEAR COM EXPOENTE CRÍTICO DE SOBOLEV

UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE PARA A EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA SEMILINEAR COM EXPOENTE CRÍTICO DE SOBOLEV UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE PARA A EXISTÊNCIA DE SOLUÇÃO PARA UM PROBLEMA SEMILINEAR COM EXPOENTE CRÍTICO DE SOBOLEV Alex Jenaro Becker, Mestrando, alexjenaro@gmail.com Bolsista CAPES/FAPERGS

Leia mais

Problemas de Máximo e Mínimos em Intervalos quaisquer

Problemas de Máximo e Mínimos em Intervalos quaisquer Capítulo 18 Problemas de Máimo e Mínimos em Intervalos quaisquer 18.1 Introdução No Cap. 15 estudamos o problema de determinar máimos e mínimos globais para funções contínuas definidas em intervalos fechados.

Leia mais

Notas de Aula. Análise na Reta

Notas de Aula. Análise na Reta Notas de Aula (ainda em preparação!) Análise na Reta Higidio Portillo Oquendo http://www.ufpr.br/ higidio Última atualização: 22 de abril de 2015 1 Sumário 1 Preliminares 3 1.1 Conjuntos e Funções....................................

Leia mais

Modelagem de Índice Quantitativo para previsão de crash em bolsa de valores

Modelagem de Índice Quantitativo para previsão de crash em bolsa de valores Modelagem de Índice Quantitativo para previsão de crash em bolsa de valores I. Introdução Esse estudo tem como objetivo a construção de um índice para previsão de crashs nos índices de bolsa de valores.

Leia mais

X.0 Sucessões de números reais 1

X.0 Sucessões de números reais 1 «Tal como a tecnologia requer as tøcnicas da matemætica aplicada, tambøm a matemætica aplicada requer as teorias do nœcleo central da matemætica pura. Da l gica matemætica topologia algøbrica, da teoria

Leia mais

Método de Eliminação de Gauss. Eduardo Camponogara

Método de Eliminação de Gauss. Eduardo Camponogara Sistemas de Equações Lineares Método de Eliminação de Gauss Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação

Leia mais

UM ESTUDO DAS FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS APLICADAS À ECONOMIA

UM ESTUDO DAS FUNÇÕES DE 1º E 2º GRAUS APLICADAS À ECONOMIA ISSN 794 UM ESTUDO DAS FUNÇÕES DE º E º GRAUS APLICADAS À ECONOMIA Valeria Ap. Martins Ferreira, Viviane Carla Fortulan Mestre em Ciências pela Universidade de São Paulo- USP. Professora da Faculdade de

Leia mais

1 Descrição do Trabalho

1 Descrição do Trabalho Departamento de Informática - UFES 1 o Trabalho Computacional de Algoritmos Numéricos - 13/2 Métodos de Runge-Kutta e Diferenças Finitas Prof. Andréa Maria Pedrosa Valli Data de entrega: Dia 23 de janeiro

Leia mais

ESPAÇOS QUOCIENTES DANIEL SMANIA. [x] := {y X t.q. x y}.

ESPAÇOS QUOCIENTES DANIEL SMANIA. [x] := {y X t.q. x y}. ESPAÇOS QUOCIENTES DANIEL SMANIA 1. Relações de equivalência Seja uma relação de equivalência sobre um conjunto X, isto é, uma rel ção binária que satisfaz as seguintes propriedades i. (Prop. Reflexiva.)

Leia mais

APOSTILA 2015 MATEMÁTICA PROFESSOR: DENYS YOSHIDA MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 1

APOSTILA 2015 MATEMÁTICA PROFESSOR: DENYS YOSHIDA MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2015 1 APOSTILA 015 MATEMÁTICA PROFESSOR: DENYS YOSHIDA MATEMÁTICA 1º ANO DO ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 015 1 Sumário 1.Conjuntos...5 1.1 Representação de conjuntos...5 1. Operações com conjuntos...6 1. Propriedades

Leia mais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2011/1

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 2011/1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA PARA ADMINISTRAÇÃO E CIÊNCIAS CONTÁBEIS 0/ SUMÁRIO. FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL..... CONCEITO..... ZEROS DE UMA

Leia mais

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos

Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de etremos O Teorema de Taylor estabelece que sob certas condições) uma função pode ser aproimada na proimidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo

Leia mais

Princípio das casas de pombo

Princípio das casas de pombo Princípio das casas de pombo Márcia R. Cerioli IM e COPPE, UFRJ Renata de Freitas IME, UFF Petrucio Viana IME, UFF Maio de 2014 1 Introdução Neste texto, apresentamos e exemplificamos o Princípio das Casas

Leia mais

POLINÔMIOS SIMÉTRICOS Carlos A. Gomes, UFRN, Natal RN.

POLINÔMIOS SIMÉTRICOS Carlos A. Gomes, UFRN, Natal RN. POLINÔMIOS SIMÉTRICOS Carlos A. Gomes, UFRN, Natal RN. Nível Avançado Uma ferramenta bastante útil na resolução de problemas algébricos de fatoração, na resolução de sistemas de equações não lineares,

Leia mais

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear

Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte Campus: Mossoró Curso: Licenciatura Plena em Matemática Disciplina: Introdução à Álgebra Linear Prof.: Robson Pereira de Sousa

Leia mais

Experimento. Guia do professor. Qual é o cone com maior volume? Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia

Experimento. Guia do professor. Qual é o cone com maior volume? Secretaria de Educação a Distância. Ministério da Ciência e Tecnologia geometria e medidas Guia do professor Experimento Qual é o cone com maior volume? Objetivos da unidade 1. Dado um círculo de cartolina, investigar qual seria o cone com maior volume que se poderia montar;

Leia mais

CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES UTILIZANDO CÁLCULO DIFERENCIAL

CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES UTILIZANDO CÁLCULO DIFERENCIAL CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES UTILIZANDO CÁLCULO DIFERENCIAL FERREIRA, Eliézer Pires Universidade Estadual de Goiás - UnU Iporá eliezer_3d@hotmail.com SOUZA, Uender Barbosa de Universidade Estadual

Leia mais

Espaços não reversíveis

Espaços não reversíveis {Nome da seção} Notas de aula Espaços não reversíveis Fernando Lucatelli Nunes UnB-UC/UP 1 Se X e Y são espaços topológicos quaisquer, o gráfico de uma função f : X Y é o conjunto G( f )={(x, f (x)) :

Leia mais

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos

Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Métodos Numéricos e Estatísticos Parte I-Métodos Numéricos Lic. Eng. Biomédica e Bioengenharia-2009/2010 Para determinarmos um valor aproximado das raízes de uma equação não linear, convém notar inicialmente

Leia mais

Programação Não Linear Otimização Univariada E Multivariada Sem Restrições

Programação Não Linear Otimização Univariada E Multivariada Sem Restrições Programação Não Linear Otimização Univariada E Multivariada Sem Restrições A otimização é o processo de encontrar a melhor solução (ou solução ótima) para um prolema. Eiste um conjunto particular de prolemas

Leia mais

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV

EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV COLÉGIO PEDRO II - CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 1ª SÉRIE MATEMÁTICA I PROF. MARCOS EXERCÍCIOS DE REVISÃO PFV www.professorwaltertadeu.mat.br 1) Seja f uma função de N em N definida por f(n) = 10 n. Escreva

Leia mais

Introdução. Existem situações nas quais há interesse em estudar o comportamento conjunto de uma ou mais variáveis;

Introdução. Existem situações nas quais há interesse em estudar o comportamento conjunto de uma ou mais variáveis; UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Correlação e Regressão Luiz Medeiros de Araujo Lima Filho Departamento de Estatística Introdução Eistem situações nas quais há interesse em estudar o comportamento conjunto

Leia mais

LOCALIZAÇÃO DE PASSEIOS ALEATÓRIOS. N em d = 1,

LOCALIZAÇÃO DE PASSEIOS ALEATÓRIOS. N em d = 1, LOCALIAÇÃO DE PASSEIOS ALEATÓRIOS S. FRIEDLI Esse texto apresenta o uso de uma técnica desenvolvida durante um trabalho sobre passeios aleatórios feito durante a minha visita no Technion (Haifa, Israel)

Leia mais

28 de agosto de 2015. MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior

28 de agosto de 2015. MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior MAT140 - Cálculo I - Derivação Impĺıcita e Derivadas de Ordem Superior 28 de agosto de 2015 Derivação Impĺıcita Considere o seguinte conjunto R = {(x, y); y = 2x + 1} O conjunto R representa a reta definida

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA CURSO BIETÁPICO EM ENGENHARIA CIVIL º ciclo Regime Diurno/Nocturno Disciplina de COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA Ano lectivo de 7/8 - º Semestre Etremos

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA II

ANÁLISE MATEMÁTICA II ANÁLISE MATEMÁTICA II Acetatos de Ana Matos Noções Básicas de Funções em R n Topologia DMAT Noções Básicas sobre funções em n Introdução Vamos generalizar os conceitos de limite, continuidade e diferenciabilidade,

Leia mais

Cálculo Numérico Computacional Lista 09 integral aproximada

Cálculo Numérico Computacional Lista 09 integral aproximada ORIENTAÇÃO ORIENTAÇÃO 2 Cálculo Numérico Computacional Lista 09 integral aproximada tarcisio@member.ams.org T. Praciano-Pereira Dep. de Matemática alun@: Univ. Estadual Vale do Acaraú 3 de março de 2008

Leia mais

USO DE CORDAS PARALELAS PARA A RESOLUÇÃO GRÁFICA DE PROBLEMAS DE TANGÊNCIA EM CURVAS CÔNICAS: APLICAÇÃO EM GEOMETRIA DESCRITIVA

USO DE CORDAS PARALELAS PARA A RESOLUÇÃO GRÁFICA DE PROBLEMAS DE TANGÊNCIA EM CURVAS CÔNICAS: APLICAÇÃO EM GEOMETRIA DESCRITIVA Ano 2012 - V.16 N 0. 02 USO DE CORDAS PARALELAS PARA A RESOLUÇÃO GRÁFICA DE PROBLEMAS DE TANGÊNCIA EM CURVAS CÔNICAS: APLICAÇÃO EM GEOMETRIA DESCRITIVA Sérgio L. dos Santos 1 Anelise T. Hoffmann 2 Tânia

Leia mais

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 2. Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Divisibilidade II. Prof. Samuel Feitosa

Polos Olímpicos de Treinamento. Aula 2. Curso de Teoria dos Números - Nível 2. Divisibilidade II. Prof. Samuel Feitosa Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Teoria dos Números - Nível Prof. Samuel Feitosa Aula Divisibilidade II Definição 1. Dados dois inteiros a e b, com a 0, dizemos que a divide b ou que a é um divisor

Leia mais

Problemas de O-mização. Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html

Problemas de O-mização. Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html Problemas de O-mização Material online: h-p://www.im.ufal.br/professor/thales/calc1-2010_2.html Roteiro para resolver problemas de o-mização 1. Compreenda o problema a) O que é desconhecido? b) Quais as

Leia mais

Notas de aula número 1: Otimização *

Notas de aula número 1: Otimização * UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL UFRGS DEPARTAMENTO DE ECONOMIA CURSO DE CIÊNCIAS ECONÔMICAS DISCIPLINA: TEORIA MICROECONÔMICA II Primeiro Semestre/2001 Professor: Sabino da Silva Porto Júnior

Leia mais

SISTEMAS COM AMORTECIMENTO NÃO-PROPORCIONAL NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA

SISTEMAS COM AMORTECIMENTO NÃO-PROPORCIONAL NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA SISTEMAS COM AMORTECIMENTO NÃO-PROPORCIONAL NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA Zacarias Martin Chamberlain Pravia Professor - Faculdade de Engenharia e Arquitetura - Universidade de Passo Fundo/UFP zacarias@upf.br

Leia mais

FLAVIA MESCKO FERNANDES VELOCIDADE DE CONVERGÊNCIA DE MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO IRRESTRITA

FLAVIA MESCKO FERNANDES VELOCIDADE DE CONVERGÊNCIA DE MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO IRRESTRITA FLAVIA MESCKO FERNANDES VELOCIDADE DE CONVERGÊNCIA DE MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO IRRESTRITA CURITIBA DEZEMBRO, 2010 FLAVIA MESCKO FERNANDES VELOCIDADE DE CONVERGÊNCIA DE MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO IRRESTRITA Monografia

Leia mais

1 A Integral por Partes

1 A Integral por Partes Métodos de Integração Notas de aula relativas aos dias 14 e 16/01/2004 Já conhecemos as regras de derivação e o Teorema Fundamental do Cálculo. Este diz essencialmente que se f for uma função bem comportada,

Leia mais

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas

Resolução dos Exercícios sobre Derivadas Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas

Leia mais

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z

Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente

Leia mais

v m = = v(c) = s (c).

v m = = v(c) = s (c). Capítulo 17 Teorema do Valor Médio 17.1 Introdução Vimos no Cap. 16 como podemos utilizar a derivada para traçar gráficos de funções. Muito embora o apelo gráfico apresentado naquele capítulo relacionando

Leia mais

Códigos NMDS sob a Métrica Poset

Códigos NMDS sob a Métrica Poset Códigos NMDS sob a Métrica Poset Luiz Henrique de Almeida P. Couto, Allan de Oliveira Moura, Departamento de Matemática - Universidade Federal de Viçosa, MG 36570, Viçosa - MG E-mail: luiz.almeida@ufv.br

Leia mais

2. Função polinomial do 2 o grau

2. Função polinomial do 2 o grau 2. Função polinomial do 2 o grau Uma função f: IR IR que associa a cada IR o número y=f()=a 2 +b+c com a,b,c IR e a0 é denominada função polinomial do 2 o grau ou função quadrática. Forma fatorada: a(-r

Leia mais

Apostila de Matemática Aplicada. Volume 1 Edição 2004. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna

Apostila de Matemática Aplicada. Volume 1 Edição 2004. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Apostila de Matemática Aplicada Volume Edição 00 Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Capítulo - Revisão Neste capítulo será feita uma revisão através da resolução de alguns eercícios, dos principais tópicos já

Leia mais

1.5 O oscilador harmónico unidimensional

1.5 O oscilador harmónico unidimensional 1.5 O oscilador harmónico unidimensional A energia potencial do oscilador harmónico é da forma U = 2 2, (1.29) onde é a constante de elasticidade e a deformação da mola. Substituindo (1.29) em (1.24) obtemos

Leia mais