Tópico 8 Funções de Duas ou Mais Variáveis Consulta Indicada: ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. Volume 2. Páginas 311 a 323.

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática Cálculo B (Informática) Turmas 18 e 138 Tópico 8 Funções de Duas ou Mais Variáveis Consulta Indicada: ANTON, H. Cálculo: Um novo horizonte. Volume. Páginas 311 a a34 1. Definições Função de Duas Variáveis Uma função real f de duas variáveis é uma relação que a cada par ordenado de números reais (x, associa um único número real f (x,. Função de Três Variáveis Uma função real f de três variáveis é uma relação que a cada terna ordenada de números reais (x, y, z) associa um único número real f (x, y, z). Função de n Variáveis Uma função real f de n variáveis é uma relação que a cada n-upla ordenada de números reais (x 1, x,...,x n ) associa um único número real f (x 1, x,..., x n ). Exemplos 1. Sendo f ( x, y ) = 3x y 1 determina: f (1, 4) = f (0, 9) = f (a, ab) =. determina f(,0,1) sendo f(x) = 3x y + z Tópico 8 - Página 1 de 6

2 . Domínio de Funções de Duas Variáveis O domínio de uma função de duas variáveis é, em geral, representado por uma relação binária. A representação do domínio pode ser dada lógica ou graficamente. Exemplo Determina e representa graficamente o domínio de cada função: Solução: a. g x, y ) = ln( x y ) a. f x, y ) = ln( x y ) ( b. f ( x, y ) = 3x y 1 ( está definida somente para x y > 0, ou seja, Dom ( f ) = {( x, y ) IR y < x }. Na representação gráfica do domínio usamos o fato de que a curva y < x da região onde teste fora da fronteira ( x, y ) = ( 0,1), então y > x. Para determinar a região onde y = x e verificar se y < x ou y < x. Assim sendo y = x separa a região onde y < x, podemos selecionar um ponto y > x no ponto-teste. Por exemplo, se 1< 0 não é uma relação verdadeira. Logo, este ponto não está na região onde y < x. A região correspondente ao domínio é aquela que não contém o ponto teste. y y = x Representação gráfica do domínio da f y < x y > x x b. Como f ( x, y ) = 3x y 1, devemos ter y 0. Assim, Dom ( f ) = {( x, y ) IR y 0} y Representação gráfica do domínio da f y 0 x Tópico 8 - Página de 6

3 Exercício Determine e represente graficamente o domínio das funções abaixo definidas: 1. f ( x, = ln( y x). f ( x, = x + y 4 3. f 4 x x, = y + 3 ( 3. Gráfico de Funções de Duas Variáveis A representação gráfica de funções reais de duas variáveis gera superfícies no IR 3. Em geral, essa representação pode se tornar bastante complexa sem o auxílio de uma ferramenta computacional. No entanto, há alguns casos que são importantes de serem lembrados: Equação Superfície Gerada Exemplo z ax + by + c = Plano. z = ax + by + c Parabolóide elíptico. Parabolóide hiperbólico. z = ax by + c Tópico 8 - Página 3 de 6

4 z = r x y Metade de uma superfície esférica de raio r. z = x + y Metade de uma superfície cônica. 4. Curvas de Nível Uma outra forma de se visualizar funções de duas variáveis é um método semelhante ao da representação de uma paisagem tridimensional por meio de um mapa topográfico bidimensional. Vamos supor que a superfície z = f ( x, seja interceptada por um plano z = k, e a curva de intersecção seja projetada no plano xoy. Essa curva tem equação f ( x, = k e é chamada de curva de nível (ou curva de contorno) da função f em k. z C k = {( x, y ) R / f ( x, y ) = k} 0 y x As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são gráficos no plano xoy de equações da forma f ( x, y ) = k. O conjunto de curvas de nível é chamado mapa de contorno. Todos os pontos ( x, y ) que estão na mesma curva de nível têm a mesma imagem z. No caso de f ( x, y ) representar uma grandeza física, as curvas de nível ganham particular importância, recebendo inclusive denominações específicas. Tópico 8 - Página 4 de 6

5 Se f ( x, é a temperatura no ponto ( x, y ) de uma chapa plana, as curvas f ( x, = k são chamadas de isotérmicas ou isotermas. Se f ( x, é a pressão de um gás de volume x e temperatura y, as curvas são chamadas de isobáricas ou isóbaras. Se f ( x, é o potencial (elétrico ou gravitacional) na região D do plano xoy então as curvas f ( x, y ) = k são chamadas equipotenciais. Exemplo Seja a função dada por z = x + y As curvas de nível para z = 0, z =1, z = e z = 4 são: z = 0 x + y = 0 (x = y = 0 ) z = 1 x + y = 1 (circunferência de centro C(0,0) e raio 1) z = x + y = (circunferência de centro C(0,0) e raio ) z = 4 x + y = 4 (circunferência de centro C(0,0) e raio ) Observação: As curvas de nível nunca se interceptam Gráfico da Função (Parabolóide Elíptico) Observação: As funções de três ou mais variáveis não podem ser representadas graficamente. Exercícios 1) Seja a função dada f(x, = x + y (duas variáveis). Encontra: a) f(1,) b) f(0,0) c) f(-3,-4) d) Dom f e) Im f ) Seja a função dada por f(x, = f ( x, y ) = x + y. Determina: a) f(0,0) b) f(-1,-1) c) f(1,) d) Dom f e) Im f Tópico 8 - Página 5 de 6

6 x 3) Seja a função dada por f(x, = f ( x, y ) = 3. Determina: y x a) f(1,0) b) f(3,-7) c) f(1,-1) d) Dom f e) a representação gráfica do Dom f 1 4) Seja f(x, = f ( x, y ) =. Determina: x y a) f(1,0) b) f(3,-7) c) f(1,-1) d) Dom f e) a representação gráfica do Dom f 5) Determina e representa graficamente os domínios das seguintes funções: 1 a) f ( x, y ) = x + y 1 b) f ( x, y ) = c) f(x,= ln (x - y + 1) d) x y + 1 ln x f ( x, = x 1 6) Esboça as curvas de nível das funções: a) z = y - x para z = 0, z =1 e z = b) z = y x para z = 0, z = e z =4 c) z = y ln x para z = 0, z =1 e z = 7) Seja a função dada por z = 4 x y a) Faz as curvas de nível para z = 0, z = 1 e z = b) Representa graficamente a função. Respostas 1) a) 5 b) 0 c) 5 d) ) a) 0 b) c) 5 d) IR e) [ 0, + ) IR e) [ 0, + ) 3) a) 3 b) 10 9 c) 3 d) {( x, IR / y x} 4) a) 1 b) 4 1 c) d) {( x, IR / y < x } 5) a) {( x, IR / y x + 1} b) {( x, IR / y x + 1} c) {( x, IR / y < x + 1} d) {( x, IR / x > 0e x 1} Exercícios Complementares Referência: Anton, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. Volume. Página Exercícios 30 1, 3, 5, , 11, 13, 15, 17, 19, 1, 3, 5, 31, 33, 35, 45, 49 (importante) 3 51, 5, 53, 54 As respostas encontram-se no final do livro, nas páginas A9 e A30. Tópico 8 - Página 6 de 6