Teoria dos Jogos. Prof. Maurício Bugarin Eco/UnB. Aula 3 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin. Roteiro

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Linda Vilanova Guterres
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1 Teoria dos Jogos Prof. Maurício Bugarin Eco/UnB Roteiro Introdução: Por que pensar estrategicamente? Exemplos de situações nas quais pensar estrategicamente faz sentido Conceitos básicos de jogos Capítulo 1: Jogos estáticos com informação completa 1.1. A Forma Normal 1.. Solução por Dominância. Aplicações.1. Duopólio de Cournot.. Duopólio de Bertrand.3. Negociação com arbitragem 1

2 1.. Solução por Dominância Exemplo: O Dilema dos Prisioneiros c n 1 C 6, 6 0, 9 N 9, 0 1, 1 Equilíbrio: (C, c) 1.. Solução por Dominância Observação-Forma Matricial: Exemplo-Um jogo com três jogadores J J J , 0, 0 1,, 1, 4, 1, 1,, 1, 1 3, 3, 0,, 4 3, 0, 3 4,, J 1, 1, 1 1, 1, 0, 3, 3 1,, 1 0, 0, 0 1,, 1 0, 3, 3 1, 1,, 1, 1 4 4,, 3, 0, 3,, 4 3, 3, 0, 1, 1 1, 1,, 4, 1,, 1 0, 0, 0 J u 1 ( s) = s i s j j i i

3 1.. Solução por Dominância Observação-Forma Matricial: Exemplo-Um jogo com três jogadores J J J , 0, 0 1, 1, 1,, 1, 1, 1, 0, 0 3, 1, 1,, 3, 1, 1 4, 0, 0 J 1 1, 1, 1 0, 0, 1, 1, 3 0,, 0 1, 1, 1, 0, 1, 3, 1,, 0 3, 1, 1 4,, 1, 1, 3 0, 0, 4 1, 3, 1 0,, 1, 1, 3 0, 4, 0 1, 3, 1,, J u 1 ( s) = s i s j j i 1.. Solução por Dominância Exemplo- Duopólio de Cournot com um número finito de estratégias , 7 60, 80 4, , 60 64, 64 40, , 4 55, 40, Equilíbrio: (8, 8), obtido por Eliminação Iterativa de Estratégias Estritamente Dominadas: EIED 3

4 1.. Solução por Dominância Definição- Seja um jogo na forma normal e sejam s i, s iʹ S i duas estratégias de um agente i N (i) Suponha que a estratégia s i domina estritamente a es tratégia s iʹ. Então o jogador nunc a será do interesse do jogador i escolher a estratégia s iʹ, uma vez que, quais quer que sejam as estratégias dos demais jogadores, s i, a es tratégia s i resulta maior payoff que a estratégia s iʹ: u i (s i, s i )>u i (s iʹ, s i ), s i S i Mas então, por raci onalidade, a estratégia s iʹ pode ser eliminada do conjunto de estratégias do jogador i, gerando um jogo r eduzi do, mais simples com relação ao anterior (ii) Se, no jogo reduzido, for identificada alguma estratégi a estritamente dominada para al gum jogador, então pelo mesmo ar gumento essa estratégia pode ser excluída de seu conjunto de estratégias, obtendo-se assim um jogo ainda mais reduzido (iii) Esse processo pode ser repetido enquanto existirem es tratégias estritamente dominadas. Se, ao fi nal do processo, cada jogador i tiver seu conjunto de estratégias reduzido a um único elemento s i, então o perfil de estr atégias s=(s i ) i N é a solução do jogo por eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas (EIED) 1.. Solução por Dominância Proposição: Suponha que um jogo admite uma solução s=(s i ) i=1,...,n em estratégias dominantes. Então o processo de eliminação de estratégias estritamente dominadas leva a uma única solução do jogo, que é justamente s. Resolução: Trivial: Para cada jogador i, a estratégia s i domina todas as demais estratégias, portanto, qualquer que seja a ordem de aplicação do processo de EIED, o conjunto de estratégias de i será reduzido a {s i }. Diagrama de Venn I 4

5 1.. Solução por Dominância Diagrama de Venn I EIED Dominância Universo de todos os jogos (finitos) 1.. Solução por Dominância Recapitulação: Dois algoritmos para obtenção de soluções: Buscar estratégias dominantes: requer simples racionalidade dos jogadores Eliminar estratégias estritamente dominadas: Requer que a racionalidade seja conhecimento comum entre os jogadores Portanto, conceito mais exigente de racionalidade 5

6 1.. Solução por Dominância Exemplo- Duopólio de Cournot com um número finito de estratégias 1 A B C D a 1, 7 0, 3, 6 4, 8 b 4, 1, 3 7, 1 5, 0 c 3, 3, 5 4, 3 6, d, 7 1, 6 3, 7 7, 3 Equilíbrio: (c, B), obtido por Eliminação Iterativa de Estratégias Estritamente Dominadas: EIED Roteiro Introdução: Por que pensar estrategicamente? Exemplos de situações nas quais pensar estrategicamente faz sentido Conceitos básicos de jogos Capítulo 1: Jogos estáticos com informação completa 1.1. A Forma Normal 1.. Solução por Dominância. Aplicações.1. Duopólio de Cournot.. Duopólio de Bertrand.3. Negociação com arbitragem 6

7 Exemplo- Batalha dos Sexos a b 1 A 3, 1, 1 B 0, 0, 3 Não é solúvel por dominância! Busquemos alguma característica dos equilíbrios anteriores que pode ser replicada neste jogo. Exemplo- Duopólio de Cournot com um número finito de estratégias , 7 60, 80 4, , 60 64, 64 40, , 4 55, 40, Perfil (8, 8) é o único que tem essa característica de não arrependimento: Nenhum jogador se arrepende de sua jogada, dada a escolha do outro jogador. 7

8 Definição- Equilíbrio de Nash Seja ( N, ( S i ) ( u ) ) J =, i N i i N um jogo na forma normal. ( ) N Um perfil de estratégi as s = s i i é chamado um equilíbrio de N ash (EN) se para cada jogador i=1,¼, n, dadas as escolhas dos outros jogadores, o melhor que i pode fazer é escolher : s i ( s ) u ( sʹ s ) i N, sʹ S, u, i i i i i i ( ) s i Observação: Outras interpretações do conceito de equilíbrio de Nash: (i) Previsão sugerida que é estrategicamente estável: Joguem assim! (ii) Expectativas racionais. (iii) Myerson: Why not? Exemplo: O Dilema dos Prisioneiros c n 1 C 6, 6 0, 9 N 9, 0 1, 1 8

9 1.A. A Forma Normal ou Estratégica Observação-Forma Matricial: Exemplo- Jogo de coordenação: O Jogo dos Irmãos tv vg f TV 0, 0 1, 1, 3 1 VG, 1,, 3 F 3, 1 3, 4, 4 Exemplo-Um jogo com três jogadores J J J , 0, 0 1,, 1, 4, 1, 1,, 1, 1 3, 3, 0,, 4 3, 0, 3 4,, J 1, 1, 1 1, 1, 0, 3, 3 1,, 1 0, 0, 0 1,, 1 0, 3, 3 1, 1,, 1, 1 4 4,, 3, 0, 3,, 4 3, 3, 0, 1, 1 1, 1,, 4, 1,, 1 0, 0, 0 J

10 Exemplo- Batalha dos Sexos a b 1 A 3, 1, 1 B 0, 0, 3 Exemplo- Jogo do Banana d m 1 D 0, 0 10, 50 M 50, , 100 Chicken, Hawk-Dove 10

11 Relação entre solução por dominância e equilíbrio de Nash: Proposição 1: Suponha que cada jogador i num jogo J=(n; S 1,, S n ; u 1,, u n ) estratégia estritamente dominante s i. Então s=( s i ) i=1,...,n é o único equilíbrio de Nash do jogo. Resolução: Mostremos em primeiro lugar que s é um equilíbrio de Nash. possui uma Suponha, por contradição, que s não é um equilíbrio de Nash. Então, existem um jogador i e uma estratégia s iʹ S i disponível para o jogador i, tais que: u i (s iʹ, s i ) > u i (s i, s i ) (i) Mas então, necessariamente, s iʹ s i. Como s i é um a estratégia estritamente dominante, u i (s i, s i ) > u i (s iʹ, s i ) (ii) Mas (i) e (ii) são incompatíveis. Portanto, s é um equilíbrio de Nash do jogo. Relação entre solução por dominância e equilíbrio de Nash: Proposição 1: Suponha que cada jogador i num jogo J=(n; S 1,, S n ; u 1,, u n ) possui uma estratégia estritamente dominante s i. Então s=( s i ) i=1,...,n é o único equilíbrio de Nash do jogo. Resolução: Mostremos em primeiro lugar que s é um equilíbrio de Nash. Mostremos agora que não existe outro equilíbrio de Nash nesse jogo. Suponha, por contradição, que existe um EN do jogo sʹ=(s iʹ) i=1,...,n distinto de s. Então existem um jogador i e uma estratégia s iʹ S i, disponível para o jogador i, s iʹ s i, tais que: u i (s iʹ, sʹ i ) u i (s i, sʹ i ) (i) No entanto, como s i é uma estratégia estritamente dominante do jogador i, u i (s i, sʹ i ) > u i (s iʹ, sʹ i ) (ii) Novamente, as condições (i) e (ii) levam a uma contradição, o que garante a unicidade do equilíbrio de Nash s. 11

12 Relação entre solução por dominância e equilíbrio de Nash: Proposição : Seja J=(n; S 1,..., S n ; u 1,..., u n ) um jogo na forma normal em que cada jogador possui um número finito de estratégias, ou seja, S i é um conj unto finito para todo i=1,,n. Suponha que o processo de eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas (EIED) leva a uma solução s * =(s 1*,, s n* ). Então, s * é o único equilíbrio de Nash do jogo. Resolução: Exercício. Diagrama devenn II 1.. Solução por Dominância Diagrama de Venn I EIED EN Dominância Universo de todos os jogos (finitos) 1

13 Exemplo- Batalha dos Sexos M a b H A 3, 1, 1 B 0, 0, 3 Schelling (Nobel, 005): A idéia de ponto focal. - Sociedade machista - Focal arbitrator Roteiro Introdução: Por que pensar estrategicamente? Exemplos de situações nas quais pensar estrategicamente faz sentido Conceitos básicos de jogos Capítulo 1: Jogos estáticos com informação completa 1.1. A Forma Normal 1.. Solução por Dominância. Aplicações.1. Duopólio de Cournot.. Duopólio de Bertrand.3. Negociação com arbitragem 13

14 . Aplicações.1. Duopólio de Cournot n=: duopolistas Demanda inversa: P=A X se X A P=0 se X>A X=x 1 +x C 1 (x 1 )=cx 1 C (x )=cx E se monopólio? E se concorrência perfeita? 14

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