Jogos em Forma Normal

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1 Jogos em Forma Normal Prof. Leandro Chaves Rêgo Programa de Pós-Graduação em Estatística - UFPE Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção - UFPE Recife, 26 de Agosto de 2014

2 Jogos em Forma Normal Definição Teoria dos jogos pode ser pensada como um problema de decisão que envolve mais de um agente. Inicialmente, estaremos interessados em estudar jogos estáticos, ou seja, jogos em que os agentes se movem simultaneamente e uma única vez. Estes jogos são conhecidos na literatura como jogos em formal normal ou estratégica. Todo jogo em forma normal tem as seguintes componentes Existe um conjunto de agentes ou jogadores N. Cada jogador i pode escolher ações de um conjunto de estratégias (puras) ou ações C i. O resultado do jogo é definido pelo perfil de estratégias que consiste de todas as estratégias escolhidas pelos jogadores individuais. Matematicamente, o conjunto de perfis de estratégias é dado por C = i N C i.

3 Jogos em Forma Normal Definição Jogadores têm preferência sobre os possíveis resultados do jogo. Note que jogadores não têm preferência sobre suas ações, pois em um jogo meu pagamento pode depender das ações dos demais jogadores. Portanto, o que importa para os jogadores são os resultados do jogo, ou os perfis de estratégias, não suas próprias estratégias. Claro que suas ações fazem parte do perfil de estratégia e portanto influenciam no resultado do jogo, mas para cada ação podem existir vários resultados possíveis. Recorde que podemos representar preferências sobre resultados através de uma função de utilidade. Matematicamente, preferências sobre resultados são definidas por um conjunto de funções utilidades sendo uma para cada jogador, u i : C IR,i N.

4 Jogos em Forma Normal 2 Jogadores Quando temos dois jogadores, toda esta informação pode ser expressa convenientemente em uma matriz como a mostrada a seguir: E C E 1,1 0,0 C 0,0 1,1 Nesta matriz o jogador 1 escolhe uma das linha E ou C, e jogador 2 escolhe uma das colunas E ou C. Cada célula da matriz tem um par de números onde a primeira componente representa a utilidade do jogador 1 e a segunda componente representa a utilidade do jogador 2.

5 Jogos em Forma Normal Suposições Note que o fator tempo não está presente em um jogo em forma normal. A idéia é que cada jogador escolhe sua estratégia uma vez por todas e que os jogadores escolhem suas estratégias simultaneamente, no sentido de que eles não possuem informação a respeito das escolhas dos outros jogadores antes das suas escolhas. Apesar disto, uma estratégia pode envolver escolhas que acontecem ao passar do tempo. Por exemplo, uma estratégia pode depender de resultados de acontecimentos do futuro, por exemplo, se a cotação do dólar baixar de R$1,50, passarei férias no exterior, caso contrário, passarei férias no Brasil. O fato que o tempo não está no modelo significa que quando analisamos a situação como um jogo em forma normal, desconsideramos as complicações que podem surgir quando permitimos que um jogador mude de estratégia quando os eventos ocorrem. Também assumimos que os jogadores fazem sua escolha de modo independente, ou seja, os jogadores não podem escolher estratégias que dependem das escolhas dos outros jogadores.

6 Exemplos Batalha dos Sexos Suponha que um casal está decidindo em que local a família vai passear no próximo domingo. Existem duas opções: passar o dia no shopping center, ou passar o dia na praia. Suponha que o marido (jogador 1) prefere ir a praia e a esposa (jogador 2) prefere ir ao shopping. Mas ambos ganham alguma utilidade em ir juntos ao mesmo local. Irem para locais diferentes tem utilidade zero para ambos. A matriz de pagamentos desse jogo é a seguinte: S P S 1,2 0,0 P 0,0 2,1 O interessante neste jogo é que jogadores têm um incentivo a escolherem juntos ao invés de um contra o outro, pois ambos se dão melhor se eles escolhem a mesma ação. O próximo exemplo ocorre exatamente o oposto, a soma das utilidades de cada resultado do jogo para os jogadores é igual a zero (ou a uma constante).

7 Exemplos Jogos de Soma-Zero Em jogos de soma-zero qualquer ganho de uma das partes provoca uma perda de igual utilidade para os outros jogadores. Pense, por exemplo, em como dividir uma pizza. O tamanho da pizza não se altera, precisamos apenas saber como distribuir a pizza entre os jogadores. O jogo de soma-zero mais simples é conhecido como combinando centavos. Este jogo contém dois agentes, onde o agente 1 ganha um real do agente 2 se ambos escolherem a mesma ação, e perde um real em caso contrário: H T H 1,-1-1,1 T -1,1 1,-1

8 Exemplos Medindo Forças Suponha que temos dois jovens dirigindo para casa em uma rua estreita com seus carros em direções opostas. Nenhum deles quer sair do caminho, quem sair do caminho é considerado fraco e perde seu orgulho, enquanto o outro ganha fama de forte. Porém, se ambos não saem do caminho, eles se acidentam gravemente. Se ambos saem do caminho, nenhum deles fica feliz ou infeliz. F S F -20,-20 10,-5 S -5,10 0,0

9 Exemplos Dilema do Prisioneiro Este jogo provavelmente é o mais famoso de todos. A estória é que dois prisioneiros são interrogados. Se ambos cooperarem no julgamento, eles saem cada um com um ano de prisão. Se ambos delatarem um ao outro, eles pegam cada um 3 anos de cadeia. Se um cooperar e o outro delatar, então aquele que cooperar vai a prisão por 5 anos, e o delator sai livre. D C D -3,-3 0,-5 C -5,0-1,-1 Note que o melhor resultado se os jogadores decidirem juntos é (C,C), é o que têm a maior soma de utilidades. O resultado (D,D) é o pior possível se considerarmos a soma das utilidades de ambos jogadores, e é pior do que o resultado (C, C) para ambos os jogadores. Então claramente, (D, D) parece ser um péssimo resultado.

10 Dilema do Prisioneiro Aplicações Alguns exemplos práticos onde o Dilema do Prisioneiro pode surgir são os seguintes: Corrida Armamentista. Dois países entram em uma corrida armamentista. Ambos gostariam de gastar seu dinheiro com o sistema de saúde (C), por exemplo, mas se um deles gasta dinheiro com o sistema de saúde (C), e o outro gasta dinheiro em armas (D), o primeiro país será invadido. Escudo Anti-Míssil. Os EUA (País 1) podem tanto construir um sistema de defesa anti-míssil (D) como não construir tal sistema (C). Rússia (País 2) pode tanto construir mais mísseis (D) como não construir mais mísseis (C). Se os EUA não construirem o sistema anti-míssil, e a Russia não construir mais mísseis, então ambos países estão razoavelmente bem. Se a Rússia construir mais mísseis e os EUA não tiverem o sistema anti-míssil, então os EUA se sentirão muito inseguros. Se os EUA construírem um escudo anti-míssil, e a Rússia não construir mísseis, então os EUA estão felizes, mas a Rússia se sente insegura. Se os EUA construírem o sistema anti-míssil e a Rússia construir mais mísseis, então eles estão com o mesmo grau de insegurança que no caso (C,C), mas eles estão piores pois têm menos recursos para investir em outras áreas.

11 Dilema do Prisioneiro Aplicações Mercado de Aviação. O mercado da aviação é um exemplo do dilema do prisioneiro na área empresarial. Como todo serviço, o problema com a passagem aérea é que, uma vez que o avião levanta vôo, cada assento não vendido é uma perda. Não é possível estocar a vaga para vendê-la depois. Além de deixar de ganhar com mais uma venda, as empresas aéreas ainda têm de arcar com o prejuízo de colocar o avião no ar, que não muda muito pela lotação. Portanto, a motivação para uma empresa baixar seus preços, principalmente em vôos difíceis de vender, é muito alta. Como a maioria das pessoas não faz distinção de companhias aéreas, desde que chegue a seu destino, a empresa com preços mais baixos tende a voar com a maior lotação possível, enquanto as concorrentes agonizam com os prejuízos. Essa dinâmica pode chegar ao extremo de empresas competindo por clientes enquanto sabidamente têm prejuízo em alguns vôos, simplesmente por ser pior para elas voarem vazias do que com um prejuízo diminuído.

12 Exemplos Duopólio de Cournot Este jogo tem um conjunto de estratégia infinito. Duas firmas escolhem o nível de produção q i e têm custos de produção c i (q i ). Os produtos não são diferenciáveis e a demanda de mercado determina um preço unitário de p(q 1 + q 2). Note que esta especificação assume que os produtos são substitutos perfeitos. Neste caso, temos N = {1, 2}, C 1 = C 2 = IR +, u 1(q 1,q 2) = q 1p(q 1 + q 2) c 1(q 1), e u 2(q 1,q 2) = q 2p(q 1 + q 2) c 2(q 2).

13 Exemplos Duopólio de Bertrand Este duopólio pode ser visto como em oposição ao duopólio de Cournot. Firmas continuam produzindo produtos que são substitutos perfeitos, mas agora elas determinam o preço. Consumidores compram da firma com menor preço, e se ambas cobrarem o mesmo preço elas dividem a demanda igualmente. Ambas firmas têm o mesmo custo unitário c > 0, são capazes de atender toda a demanda solicitada, e só produzem produtos que têm demanda. A demanda varia linearmente com o preço, ou seja, D = a b(min(p 1,p 2)), onde b > 0, e a bc > 0. Neste caso, temos N = {1, 2}, C 1 = C 2 = IR +, (p 1 c)(a bp 1) se p 1 < p 2, u 1(p 1,p 2) = (p 1 c) (a bp 1) se p 2 1 = p 2, 0 se p 1 > p 2, e 0 se p 1 < p 2, u 2(p 1,p 2) = (p 2 c) (a bp 2) se p 2 1 = p 2, (p 2 c)(a bp 2) se p 1 > p 2.

14 Racionalizabilidade e Dominância Experimento 7: Suponha que você é o jogador 1, ou seja tem que escolher uma das linhas da matriz abaixo. Qual a sua escolha? Justifique sua resposta. A B C D A 5,2 2,6 1,4 0,4 B 0,0 3,2 2,1 1,1 C 7,0 2,2 1,5 5,1 D 9,5 1,3 0,2 4,8 Como agentes jogam um jogo? Iremos encontrar soluções para alguns jogos partindo da suposição que agentes são racionais, isto é escolhem estratégias que maximizam suas utilidades esperadas, e que cada agente sabe que os outros agentes também são racionais.

15 Comportamento Racional Assuma que o agente i tem crenças descritas por uma distribuição de probabilidade µ i sobre as estratégias utilizadas pelos outros agentes do jogo. Se s é um perfil de estratégias de um jogo, denotaremos por s i todas as estratégias deste perfil exceto a estratégia do agente i. Definição 3.1 Uma estratégia s i é uma escolha racional para o agente i com crença µ i se s i argmax ti C i u i (t i,s i )µ i (s i ). s i C i Note, que dado que o agente i possui crença µ i, ele está diante de um problema de decisão sob incerteza, e para jogos consideraremos que agentes devem utilizar a regra MUE.

16 Estratégias Randomizada Definição 3.2 Dado qualquer conjunto enumerável B, seja (B) = {µ : (B, 2 B,µ) é um espaço de probabilidade}, isto é (B) é o conjunto de todas as medidas de probabilidade definidas na σ-álgebra 2 B. Se C i é o conjunto de estratégias puras para o agente i, σ i (C i ) é uma estratégia randomizada ou mista para o agente i. Denotaremos por [s i ] a estratégia randomizada que escolhe a estratégia pura s i com probabilidade 1.

17 Estratégias Dominadas Definição 3.3 Estratégia s i C i é estritamente dominada para o agente i se existe alguma estratégia randomizada σ i (C i ) tal que u i (s i,s i ) < d i C i σ i (d i )u i (d i, s i ), s i C i. Similarmente, uma estratégia s i C i é fracamente dominada para o agente i se existe alguma estratégia randomizada σ i (C i ) tal que u i (s i,s i ) d i C i σ i (d i )u i (d i,s i ), s i C i, e existe s i C i tal que a desigualdade é estrita. Em palavras, uma s i estratégia é estritamente dominada se existe uma outra estratégia (randomizada) que é sempre melhor que s i ; e s i é fracamente dominada se existe uma outra estratégia (randomizada) que nunca é pior que s i e em pelo menos uma situação é estritamente melhor que s i.

18 Estratégias Dominadas Proposição 3.4 Se o agente i é racional ele nunca jogará uma estratégia estritamente dominada.

19 Estratégias Dominadas Prova: Se uma estratégia s i C i é estritamente dominada por σ i (C i ), então u i (s i,s i ) < d i C i σ i (d i )u i (d i, s i ), s i C i. Logo, para qualquer crença µ i, temos µ i (s i )u i (s i,s i ) < µ i (s i ) σ i (d i )u i (d i,s i ). s i s i d i C i Trocando a ordem dos somatórios, temos: µ i (s i )u i (s i,s i ) < σ i (d i ) µ i (s i )u i (d i,s i ). s i d i C i s i Portanto, existe d i C i tal que µ i (s i )u i (s i,s i ) < µ i (s i )u i (d i,s i ). s i s i Então, s i não é uma escolha racional para o agente i.

20 Dominância Iterada Uma das coisas mais difíceis quando analisamos um jogo é determinar as crenças dos agentes. Muitos jogos podem ser simplificados assumindo racionalidade dos agentes e conhecimentos sobre racionalidade dos outros agentes. Por exemplo, considere o Dilema do Prisioneiro. Cooperar é uma estratégia dominada. Um agente racional portanto nunca cooperará. Portanto, isto resolve o jogo pois todos os agentes irão delatar. Note que um agente não precisa saber nada sobre o outro agente, a não ser que ele é racional. Este resultado é intrigante, pois ele é o pior resultado em termos da soma das utilidades dos jogadores e ambos melhorariam seu resultado se cooperassem. Este resultado mostra que às vezes é benéfico restringir as opções dos agentes. Por exemplo, no caso do sistema de defesa anti-mísseis ambos os países sairiam ganhando se assinassem acordos que proibissem a construção de escudo anti-mísseis e a construção de novos mísseis. Então ambos países só teriam uma opção de cooperar e ambos sairiam ganhando.

21 Dominância Iterada Considere novamente o jogo do Experimento 7 abaixo. A B C D A 5,2 2,6 1,4 0,4 B 0,0 3,2 2,1 1,1 C 7,0 2,2 1,5 5,1 D 9,5 1,3 0,2 4,8 Neste jogo, para o jogador 2, a estratégia A é estritamente dominada pela estratégia D, assim, a primeira coluna da matriz pode ser eliminada.

22 Dominância Iterada B C D A 2,6 1,4 0,4 B 3,2 2,1 1,1 C 2,2 1,5 5,1 D 1,3 0,2 4,8 Agora, nesta matriz reduzida, para o jogador 1, as estratégias A e D são estritamente dominadas pelas estratégias B e C, respectivamente. Portanto, as linhas 1 e 4 podem ser eliminadas.

23 Dominância Iterada B C D B 3,2 2,1 1,1 C 2,2 1,5 5,1 Além disso, a estratégia D do jogador 2 é estritamente dominada pelas estratégia B. Assim, a coluna 3 também pode ser eliminada. Obtemos então uma matriz reduzida 2 2.

24 Dominância Iterada B C B 3,2 2,1 C 2,2 1,5 Finalmente, a estratégia C do jogador 1 é estritamente dominada pela estratégia B e, na matriz 1 2 resultante, a estratégia C do jogador 2 é estritamente dominada pela estratégia B. Vemos então que o resultado do jogo é (3,2), isto é, o jogador 1 escolhe a estratégia B e o jogador 2 escolhe a estratégia B. Neste caso, temos que a técnica de eliminação de dominância estrita iterada fornece um único perfil de estratégia como solução do jogo. Contudo, na grande maioria dos jogos esta técnica não determina uma solução única.

25 Dominância Iterada Vale a pena discutir o nível de conhecimento que requeremos dos jogadores quando aplicamos esta técnica de eliminação de estratégias estritamente dominadas. Agente 1 tem que saber que o agente 2 é racional. Agente 2 tem que saber que o agente 1 sabe que o agente 2 é racional. Não é suficiente saber que o outro agente é racional, também é necessário saber que o outro agente sabe que o primeiro é racional. É necessário conhecimento de ordens ainda maiores. Eu posso saber que meu adversário é racional e que ele sabe que eu sou racional. Mas pode ser que ele não saiba que eu sei que ele sabe. Quanto maior for a ordem do conhecimento, mais o processo de eliminação de estratégias estritamente dominadas pode ser repetido. Se racionalidade for conhecimento comum podemos repetir este processo de eliminação de estratégias estritamente dominadas infinitamente. Assumiremos que racionalidade é conhecimento comum na maior parte deste curso.

26 Dominância Iterada Seja C i o conjunto de estratégias puras do jogador i e D i um subconjunto não-vazio de C i. Defina D = i N D i, um subconjunto do conjunto de perfis de estratégias do jogo e D i = j N {i} D j, ou seja, um subconjunto do conjunto dos perfis de estratégias puras dos adversários de i. Vamos definir por U i (D) o subconjunto de D i de estratégias que não são estritamente dominadas considerando que os demais jogadores escolhem estratégias em D i, ou seja, para todo i N U i (D) = {s i D i : σ i (D i ) tal que d i D i σ i (d i )u i (d i,s i ) > u i (s i,s i ), s i D i }.

27 Definição Formal A definição formal do algoritmo de eliminação das estratégias estritamente dominadas é a seguinte: Passo 1: Defina S 0 i = C i, i N. Passo k+1: Para k 1, defina S k i = U i (S k 1 ), i N. S k i é o conjunto de estratégias que não são estritamente dominadas quando você sabe que os outros agentes utilizam estratégias em S k 1 i.

28 Definição Formal A definição formal do algoritmo de eliminação das estratégias estritamente dominadas é a seguinte: Passo 1: Defina S 0 i = C i, i N. Passo k+1: Para k 1, defina S k i = U i (S k 1 ), i N. S k i é o conjunto de estratégias que não são estritamente dominadas quando você sabe que os outros agentes utilizam estratégias em S k 1 i.

29 Definição Formal Passo : Defina S i = k=0s k i. Note que se o conjunto de estratégias S i for finito para todo i, então o algoritmo deve parar após um número finito de iterações pois os conjuntos se tornam menores a cada iteração. No caso particular, de um jogo com dois jogadores que têm n e m ações disponíveis o processo iterativo deve parar após no máximo n+m 2 passos. Definição 3.5 Um jogo tem solução determinada por eliminação de estratégias estritamente dominadas se S contém um único perfil de estratégias.

30 Ordem de Eliminação 1 Apesar da maioria dos jogos não ter solução determinada por eliminação de estratégias estritamente dominadas, este processo nos leva a determinar que estratégias não deverão ser utilizadas caso a hipótese de conhecimento comum sobre racionalidade dos jogadores seja satisfeita. 2 Não especificamos a ordem na qual as estratégias devem ser eliminadas. Pode-se mostrar que a ordem de eliminação não importa. (Exercício) Intuição: Assuma que você não eliminou todas as estratégias dominadas em algum passo da iteração. Você a eliminará depois? Claro que sim, uma estratégia dominada permanecerá sendo dominada, o máximo que pode ter acontecido é que algumas outras estratégias dos outros agentes foram eliminadas, o que diminui as restrições na definição de estratégia dominada. O mesmo não é verdade para eliminação de estratégias fracamente dominadas.

31 Ordem de Eliminação L R T 1,1 0,0 M 1,1 2,1 B 0,0 2,1 Poderíamos eliminar primeiro T e depois L. Neste caso, temos que a solução daria utilidades (2,1) com certeza. Contudo, se eliminarmos primeiro B e depois R a solução daria resultado (1,1) com certeza. Portanto, eliminação de estratégias fracamente dominadas nem sempre resulta em resultados consistentes, logo é uma opção de solução menos atraente.

32 Observações 1 Com um conjunto de estratégias finitas o conjunto S é sempre não vazio por que após cada passo da iteração deve existir alguma estratégia dominante que restou. 2 Para o caso geral de um conjunto infinito de estratégias, não é obvio que o processo iterativo resultará em um conjunto não-vazio. Existem exemplos de sequências monotônicas de conjuntos cuja intersecção é vazia: S n = (0,( 1 2 )n ). A intersecção S de todos estes intervalos abertos é vazia. Uma maneira de garantir que temos um conjunto S não-vazio é assegurar que os conjuntos S k são fechados e limitados, e portanto compactos, assumindo um espaço de ações de dimensão finita. Geralmente, este é o caso se as funções utilidades forem contínuas nas estratégias dos agentes.

33 Racionalizabilidade Na maioria das situações estratégicas, não é o caso que um jogador pode deduzir as estratégias que os outros jogadores usam. Como todos os jogadores tentam maximizar sua utilidade esperada e isto é conhecimento comum, o melhor que um jogador pode esperar fazer é deduzir um conjunto de estratégias plausíveis para os outros jogadores. Aqui, assumimos que uma estratégia plausível é uma melhor resposta para alguma crença plausível que um jogador pode ter a respeito do perfil de estratégias sendo jogado. Esta é a intuição que o conceito de solução de racionalizabilidade tenta capturar. Podemos pensar neste conceito como sendo o que caracteriza que os jogadores agem otimamente dado suas crenças.

34 Melhor Resposta Formalmente, seja C i o conjunto de estratégias puras para o jogador i; C = i N C i é, portanto, o conjunto de perfis de estratégias puras. Suponha que cada jogador i é racional e é conhecimento comum que ele escolhe uma estratégia de um subconjunto D i de C i. Seja D i = j i D i e B(D i ) = {argmax si C i para algum π (D i )}; d i D i π(d i )u i (s i,d i ) : isto é, B(D i ) consiste das estratégias em C i que são melhores respostas para alguma crença que o jogador i pudesse ter sobre as estratégias que os outros jogadores estão usando.

35 Estratégias Racionalizáveis O conjunto S = i N S i de estratégias racionalizáveis correlacionadas é caracterizado pelas duas seguintes propriedades: (a) para todo i N, S i B(S i ) e (b) S é o maior conjunto que satisfaz condição (a), no sentido que, para todo conjunto de perfis de estratégia D que satisfaz (a), temos que D S. Uma estratégia s i S i é chamada de uma estratégia racionalizável correlacionada para o jogador i.

36 Não-Correlacionadas Freqüentemente assume-se que os jogadores escolhem suas estratégias de maneira independente uns dos outros e que isto é conhecimento comum entre os jogadores. Se nós assumimos essa hipótese, nós temos um conceito de solução um pouco mais forte (pelo menos, no caso em que N 3), que chama-se racionalizabilidade não-correlacionada. Formalmente, suponha que cada jogador é racional e é conhecimento comum que ele escolhe uma estratégia do subconjunto D i de C i. Seja D i = j i D i e O(D i ) = {argmax si C i π j (d j )u i (s i,d i ) : para π j (D j )}; d i j N {i} isto é, O(D i ) consiste das estratégias em C i que são melhores respostas para alguma crença que o jogador i pudesse ter sobre as estratégias que os outros jogadores estão usando, assumindo que é conhecimento comum que jogadores escolhem suas ações independentemente.

37 Não-Correlacionadas O conjunto S u = i N S u i de estratégias racionalizáveis não-correlacionadas é caracterizado pelas duas seguintes propriedades: (a) para todo i N, S u i O(S u i) e (b) S u é o maior conjunto que satisfaz condição (a), no sentido que, para qualquer conjunto de perfis de estratégias D que satisfaz (a), temos que D S u. Uma estratégia s u i S u i é chamada de uma estratégia racionalizável não-correlacionada para o jogador i.

38 Construção Pode-se construir S através do seguinte processo de iteração. Passo 1: Defina C 0 i = C i, i N. Passo k+1: Para k 1, defina Ci k = B(C k 1 i ), i N. Ci k é o conjunto de estratégias que são melhores respostas para alguma crença do jogador i quando i sabe que os outros agentes utilizam estratégias em C k 1 i e podem correlacionar as estratégias. Passo : Defina S i = k=1c k i.

39 Construção Como o conjunto de estratégias C i é finito para todo i, então o algoritmo deve parar após um número finito de iterações pois os conjuntos Ci k s se tornam menores a cada iteração. Seja j o primeiro passo no qual não há mais nenhuma eliminação de estratégias no algoritmo. Portanto, Si = C j i. Vamos mostrar que o conjunto S = i N S i é realmente o conjunto de estratégias racionalizáveis correlacionadas do jogo. Como B(Ci k ) k 0 é uma sequência não crescente de conjuntos, temos que S i = C j i = k=1c k i = k=1b(c k 1 i ) = B(C j i ) = B(S i). Portanto, a condição (a) da definição é satisfeita. Vamos verificar a condição (b).

40 Construção Suponha, por contradição, que exista outro D C tal que D i B(D i ) para todo i N e D S. Como a sequência C k é não crescente, defina como k o primeiro passo no qual para algum jogador j N uma estratégia s j D j B(D j ) não pertença à C k 1 j. Por definição do algoritmo, temos que s j / B(C k 2 j ). Como D j C k 2 j, temos que B(D j ) B(C k 2 j ), uma contradição. Portanto, S é o conjunto de estratégias racionalizáveis correlacionadas do jogo e S i = B(S i ) para todo jogador i. O conjunto de estratégias racionalizáveis não-correlacionadas S u pode ser construído de forma similar (claro, substituindo B( ) por O( )). Como O(D i ) B(D i ), é fácil ver que S u S.

41 Exemplo O seguinte exemplo ilustra as diferenças entre os três conceitos: eliminação de estratégias estritamente dominadas, estratégias racionalizáveis correlacionadas e não-correlacionadas. Considere o seguinte jogo com três jogadores. O jogador a possui três estratégias puras a 1,a 2,a 3, enquanto os jogadores b e c possuem duas estratégias puras cada um b 1,b 2 e c 1,c 2, respectivamente. Vamos agora definir quais estratégias pertencem aos conjuntos U i (C), B(C i ) e O(C i ). Temos que para j {1, 2,3}, a j U a(c) se, e somente se, não existe p a (C a) tal que u a(a j,s a) < 3 p a(a i )u a(a i,s a), para todo s a C b C c, i=1 ou seja, a j U a(c) se, e somente se, não existir nenhuma estratégia mista p a que tenha utilidade esperada estritamente melhor que a j para o jogador a dado qualquer par de estratégias puras utilizado pelos jogadores b e c.

42 Exemplo Por outro lado, temos que para j {1, 2, 3}, a j B(C a) = B(C b C c) se, e somente se, existir p a (C a) = (C b C c) tal que 2 i=1 k=1 2 p a(b i,c k )u a(a j,b i,c k ) 2 i=1 k=1 2 p a(b i,c k )u a(a l,b i,c k ), para todo l {1, 2,3}, ou seja, a j B(C a) se, e somente se, a j for uma melhor resposta para alguma crença que o jogador a tenha a respeito de como os jogadores b e c podem jogar o jogo admitindo a possibilidade de que b e c correlacionem suas estratégias de acordo com a distribuição p a.

43 Exemplo Finalmente, temos que para j {1,2, 3}, a j O(C a) = O(C b C c) se, e somente se, existirem p b (C b ) e p c (C c) tais que 2 i=1 k=1 2 p b (b i )p c(c k )u a(a j,b i,c k ) 2 i=1 k=1 2 p b (b i )p c(c k )u a(a l,b i,c k ), para todo l {1, 2,3}, ou seja, a j O(C a) se, e somente se, a j for uma melhor resposta para alguma crença que o jogador a tenha a respeito de como os jogadores b e c podem jogar o jogo admitindo que os jogadores b e c escolham suas estratégias independentemente de acordo com as distribuições p b e p c, respectivamente.

44 Racionalibilidade e Dominância Mostraremos a seguir que o conjunto de estratégias racionalizáveis correlacionadas é exatamente igual ao conjunto de estratégias que sobrevivem ao processo de eliminação iterada de estratégias estritamente dominadas. Considere a seguinte definição: Definição 3.6 Considere um jogo em forma normal com conjunto de perfis de estratégia dado por C = i N C i. Uma estratégia s i do jogador i em um jogo em forma normal nunca é uma melhor resposta se s i / B(C i ). Lema 3.7 Uma estratégia para um jogador em um jogo de forma normal finito (isto é, no qual N e C são finitos) nunca é uma melhor resposta se, e somente se, ela for estritamente dominada. Prova: Omitida. Ver Lema 60.1 em Osborne e Rubinstein.

45 Racionalibilidade e Dominância Teorema 3.8 Para qualquer jogo em forma normal finito (N,(C i ) i N,(u i ) i N ), temos que S = S. Prova: Consequência imediata do Lema 3.7 e dos algoritmos para encontrar S = S.

46 Exemplos Considere uma situação onde duas pessoas tem que dividir R$6,00 entre si. Eles usam o seguinte procedimento. Cada pessoa escolhe uma quantidade inteira e não-negativa de reais no máximo igual a R$6,00. Se a soma for no máximo R$6,00, então cada pessoa receberá a quantidade que escolheu. Se a soma exceder R$6,00 e eles tiverem escolhido o mesmo número então eles dividirão os R$6,00 igualmente. Se a soma exceder R$6,00 e eles tiverem escolhido valores diferentes, o que escolheu o menor valor recebe a quantidade que escolheu enquanto o outro recebe o restante. Quais as estratégias racionalizáveis dos jogadores? Responda a mesma pergunta se mudarmos a regra do jogo no último caso e tivermos que neste caso o jogador que escolher o maior número (ao invés do menor) recebe a quantidade que escolheu enquanto o outro recebe a diferença.

47 Dominância Fraca Poderíamos tentar utilizar um outro conceito de solução usando a noção de dominância fraca. Poderíamos olhar para o maior conjunto D = i N D i tal que para todo jogador i, D i é o conjunto de todas as estratégias que não são fracamente dominadas quando sabe-se que os outros jogadores escolhem estratégias em D i. Porém existem jogos onde este conjunto D é vazio conforme o exemplo a seguir. x 2 y 2 x 1 1,1 1,0 y 1 1,0 0,1 Se y 1 / D 1, então segue que y 2 / D 2. Mas neste caso, temos que y 1 não pode ser excluído. Se y 1 D 1, então y 2 D 2. Mas neste caso, temos que y 1 pode ser excluído. Portanto, este não é um bom conceito de solução.

48 Equilíbrio de Nash Eliminação de estratégias estritamente dominadas é um conceito de solução atrativo porque somente assume que os jogadores são racionais e que é conhecimento comum que todo jogador é racional (mesmo assim isto pode ser uma suposição muito forte já que estamos assumindo que ser racional é utilizar a regra de decisão MUE). É essencialmente um conceito construtivo - a idéia é restringir suposições sobre as estratégias escolhidas por outros jogadores eliminando estratégias uma a uma. Para uma grande classe de jogos, este conceito reduz significativamente o conjunto de estratégias. Contudo, apenas uma pequena classe de problemas pode ser resolvida desta maneira. Vamos introduzir agora o conceito de solução mais famoso em Teoria dos Jogos: equilíbrio de Nash. Mostraremos adiante que todo jogo finito tem pelo menos um equilíbrio de Nash e que o conjunto de equilíbrios de Nash é um subconjunto das estratégias racionalizáveis não-correlacionadas, e, portanto, um subconjunto das estratégias que sobrevivem ao processo iterativo de eliminação de estratégias dominadas. Neste sentido, equilíbrio de Nash faz predições mais fortes que os conceitos anteriores.

49 Definições Definição 4.1 Um perfil de estratégias σ é um equilíbrio de Nash em estratégias de G se, e somente se, u i (σ) u i (σ i,τ i ) para todo jogador i e toda estratégia τ i (C i ). Definição 4.2 Um equilíbrio de Nash σ é dito ser puro se para todo jogador i, σ i dá probabilidade 1 a uma única estratégia em C i. Em palavras, um perfil de estratégia é um equilíbrio de Nash se mesmo que um jogador saiba as estratégias que estão sendo usadas pelos demais, ele não tem incentivo a mudar sua estratégia porque sua estratégia é uma melhor resposta as estratégias dos demais jogadores.

50 Estratégia mista Em um jogo em forma normal finito ou enumerável, se σ i é uma estratégia randomizada para jogador i, uma estratégia pura s i C i pertence ao suporte de σ i se σ i (s i ) > 0. O próximo teorema mostra que se σ é um equilíbrio de Nash, então para todo jogador i, todas as estratégias puras no suporte de σ i tem a mesma utilidade esperada para o jogador i dado que os demais jogadores jogam σ i. Teorema 4.3 Se σ é um equilíbrio de Nash de um jogo em forma normal finito ou enumerável, então para todo jogador i, para quaisquer pares de estratégias puras s i, t i no suporte de σ i, temos u i (s i,σ i ) = u i (t i,σ i ). Portanto, u i (σ) = u i (s i,σ i ) para qualquer estratégia pura s i no suporte de σ i. Prova: Suponha por contradição que exista s i, t i no suporte de σ i tal que u i (s i,σ i ) > u i (t i,σ i ). Considere a seguinte estratégia randomizada τ i tal que τ i (c i ) = σ i (c i ) para todo c i C i {s i,t i }, e τ(s i ) = σ i (s i )+σ i (t i ). Então, temos que u i (τ i,σ i ) u i (σ) = σ i (t i )(u i (s i,σ i ) u i (t i,σ i )) > 0, uma contradição pois σ é um equilíbrio de Nash.

51 Jogos com um Único Equilíbrio de Nash Dilema do Prisioneiro. D C D -3,-3 0,-5 C -5,0-1,-1 Este jogo tem apenas um único equilíbrio de Nash onde os jogadores escolhem D com probabilidade 1. É fácil checar que pelo menos um jogador tem incentivo a mudar de qualquer outro perfil de estratégias. Por exemplo, ambos os jogadores escolherem C com probabilidade 1 não pode ser um equilíbrio de Nash, pois ambos jogadores ganhariam se mudassem para estratégia que escolhe D com probabilidade 1.

52 Equilíbrio e Dominância Antes de analisarmos o próximo exemplo consideremos a seguinte Proposição. Proposição 4.4 Se σ é um equilíbrio de Nash de um jogo em forma normal finito ou enumerável, então para todo jogador i, se s i pertence ao suporte de σ i, s i sobrevive ao processo iterativo de eliminação de estratégias estritamente dominadas. Prova: Suponha, por contradição que existam s i pertencentes ao suporte de σ tais que s i não sobrevive ao processo iterativo de eliminação de estratégias estritamente dominadas. Seja k o menor inteiro no qual existe um s i no suporte de σ tal que s i Si k, mas s i / S k+1 i, ou seja, existe τ i com suporte em Si k tal que u i (s i,d i ) < u i (τ i,d i ) para todo d i S i. k Como todas estratégias no suporte de σ i estão em S i, k temos que u i (s i,σ i ) = σ i (d i )u i (s i, d i ) < σ i (d i )u i (τ i,d i ) = u i (τ i,σ i ). d i S k i d i S k i Então, pelo Teorema 4.3, u i (σ) < u i (τ i,σ i ), uma contradição pois σ é um equilíbrio de Nash.

53 Exemplo L M R U 2,2 1,1 4,0 D 1,2 4,1 3,5 Neste jogo o único equilíbrio de Nash é ([U],[L]). É fácil ver que ([U],[L]) é um equilíbrio de Nash, pois ambos jogadores perderiam se mudassem de estratégia. Para verificar que este equilíbrio é único note que este perfil é o único que sobrevive ao processo de eliminação de estratégias estritamente dominadas. Logo, o resultado segue da Proposição 4.4.

54 Combinando Centavos. H T H 1,-1-1,1 T -1,1 1,-1 Neste jogo o único equilíbrio de Nash tem ambos os jogadores escolhendo cada uma de suas estratégias puras com igual probabilidade. Neste equilíbrio, a utilidade esperada de ambos os agentes é igual a zero.

55 Trabalho em Dupla. Considere uma situação em que duas pessoas tem que realizar um trabalho e cada uma delas pode colocar um esforço x i [0,1] para o qual ela terá um custo de c(x i ). O resultado do projeto vale f(x 1, x 2) e a dupla divide este valor igualmente independente do esforço que cada pessoa teve. Encontre o equilíbrio de Nash nas seguinte situações: (a) f(x 1,x 2) = 4x 1x 2 e c(x i ) = x 2 i, para i = 1, 2. (b) f(x 1,x 2) = 3x 1x 2 e c(x i ) = x i, para i = 1, 2. Em cada um dos casos, existe um outro par de esforços (x 1,x 2) que dá a ambos jogadores um melhor resultado do que o resultado obtido no equilíbrio de Nash?

56 Jogos com Múltiplos Equilíbrios de Nash Exemplo 4.5 Considere o seguinte jogo de coordenação. E C E 1,1 0,0 C 0,0 1,1 Este jogo tem três equilíbrios de Nash - ([E],[E]), ([C],[C]), e (1/2[E]+1/2[C],1/2[E]+1/2[C]).

57 Medindo Forças. F S F -20,-20 10,-5 S -5,10 0,0 Este jogo tem três equilíbrios de Nash - ([F],[S]), ([S],[F]), e (2/5[F]+3/5[S],2/5[F]+3/5[S]).

58 Jogo de Votos Exemplo 4.6 Três jogadores escolhem simultaneamente uma de três alternativas A, B ou C. Se a maioria escolher uma alternativa, esta será a vencedora. Se os votos se dividirem em 1-1-1, assumimos que a alternativa A será escolhida. Suponha que as preferências sejam representadas por: u 1(A) = 3, u 1(B) = 2, u 1(C) = 1, u 2(A) = 1, u 2(B) = 3, u 2(C) = 2, u 3(A) = 2, u 3(B) = 1, e u 3(C) = 3. Este jogo têm vários equilíbrios de Nash, entre os quais podemos citar: ([A],[A],[A]), ([B],[B],[B]), ([C],[C],[C]).

59 Pontos Focais O conceito de equilíbrio de Nash não nos permite determinar que equilíbrio será jogado em uma particular realização do jogo se este possui múltiplos equilíbrios. No Exemplo 4.5 não existe nenhuma maneira de determinar qual dos equilíbrios ([E],[E]) ou ([C],[C]) é melhor, pois ambos resultam em utilidade 1 para os jogadores. Por outro lado, o equilíbrio (1/2[E]+1/2[C],1/2[E]+1/2[C]) resultado em uma utilidade esperada de 1/2 para os jogadores. Para alguns jogos é possível é possível que exista algum equilíbrio de Nash que se destaque em relação aos demais, estes equilíbrios são chamados de pontos focais. Por exemplo, o fato que brasileiros dirigem do lado direito da rua poderia ser utilizado para determinar o ponto focal do próximo exemplo:

60 Pontos Focais Exemplo 4.7 João e José dirigem em dois carros numa pista de duas faixas em direções opostas. Eles podem dirigir tanto do lado esquerdo como do direito, mas se eles não coordenarem suas ações eles podem causar um acidente de trânsito. Este jogo pode ser descrito pela seguinte matriz: D E D 1,1 0,0 E 0,0 1,1 Esperamos que ambos escolham ([D],[D]) que é a norma socialmente aceita neste jogo.

61 Batalha dos Sexos. Considere novamente o jogo da batalha dos sexos. S P S 1,2 0,0 P 0,0 2,1 ([S],[S]) e ([P],[P]) são equilíbrios de Nash deste jogo. Este jogo é interessante, pois os jogadores não são indiferentes entre qual equilíbrio implementar. Jogador 1 prefere ([P],[P]) e o jogador 2 prefere ([S],[S]).

62 Experimentos Experimento 8: Suponha que você é o jogador 1 na batalha dos sexos. Qual será a sua escolha? Experimento 9: Suponha novamente que você é o jogador 1 na batalha dos sexos. Jogador 2 escolhe uma ação primeiro. Você não pode observar a escolha do jogador 2 antes de escolher sua própria ação. Qual será a sua escolha? Experimento 10: Suponha novamente que você é o jogador 1 na batalha dos sexos. Antes do jogo começar, o jogador 2 tem uma oportunidade de fazer um anuncio. Seu anuncio é Jogarei S. Você não pode fazer um anúncio antes do jogo. Qual será a sua ação?

63 Conversa Fiada Este tipo de comunicação é conhecido como conversa fiada pois este anuncio não muda em nada a análise. Note que, simplesmente expandindo o espaço de estratégias para o jogador 2. Ao invés das estratégias S e P, jogador 2 agora tem 4 estratégias: Ss, Sp, Pp, Ps, onde estratégia Sp significa que jogador 2 escolhe S e anuncia que iria jogar p. Claramente, as estratégias Ss e Sp têm a mesma utilidade esperada quando jogada contra qualquer estratégia do jogador 1. Portanto, o jogo continua tendo o mesmo conjunto de equilíbrios de Nash que antes. Contudo, o anúncio pode criar um ponto focal no jogo.

64 Risco Dominante Considere o seguinte jogo. A B A 9,9-15,8 B 8,-15 7,7

65 Risco Dominante Este jogo tem dois equilíbrios de Nash em estratégias puras: ([A],[A]) and ([B],[B]). Ao contrário dos jogos anteriores, o equilíbrio ([A],[A]) é melhor para ambos os jogadores. Podemos então ser tentados a pensar que este equilíbrio é mais jogado na prática. Contudo, muitas pessoas tipicamente escolhem estratégia B na maioria dos experimentos. Escolher A parece ser muito arriscado. Assuma que você não sabe muito sobre o outro jogador e acha que é igualmente provável que ele escolherá uma de sua estratégias puras que fazem parte de um equilíbrio de Nash. Então, escolher A lhe dá uma utilidade esperada de -3 enquanto escolher B lhe dá 7,5. Portanto, A é risco dominada por B.

66 Dominância Conjunta Um outro critério de seleção de equilíbrios é escolher os equilíbrios nos quais não existe outro equilíbrio onde todos os jogadores recebem um pagamento esperado pelo menos igual a este equilíbrio e pelo menos um dos jogadores esteja estritamente melhor. Segundo este critério os jogadores no jogo da seção anterior deveriam escolher o equilíbrio ([A],[A]). Para um outro exemplo considere o seguinte jogo: A B A 1,3 2,3 B 1,1 2,1 Neste jogo, os 4 perfis de estratégias puras são equilíbrios de Nash. Segundo o critério de dominância conjunta, o equilíbrio selecionado seria o par ([A],[B]).

67 Modelo de Cournot com Duas Empresas Definição Este jogo tem um conjunto de estratégia infinito. Duas firmas escolhem o nível de produção q i e têm custos de produção c i (q i ). Os produtos não são diferenciáveis e a demanda de mercado determina um preço unitário de p(q 1 + q 2). Note que esta especificação assume que os produtos são substitutos perfeitos. Neste caso, temos N = {1, 2}, C 1 = C 2 = IR +, u 1(q 1,q 2) = q 1p(q 1 + q 2) c 1(q 1), e u 2(q 1,q 2) = q 2p(q 1 + q 2) c 2(q 2). Vamos considerar o caso em que c i (q i ) = cq i, para i = 1, 2, e p(q 1 + q 2) = a b(q 1 + q 2), onde a,b e c são constantes positivas. Deste modo, tem-se u 1(q 1,q 2) = (a c)q 1 b(q q 1q 2), e u 2(q 1,q 2) = (a c)q 2 b(q 1q 2 + q 2 2).

68 Modelo de Cournot com Duas Empresas Então, para um dado nível q 2 de produção da empresa 2, a empresa 1 deseja maximizar u 1(q 1,q 2). Derivando u 1(q 1,q 2) em relação a q 1 e igualando a zero, temos: a c bq2 q 1 =. (1) 2b Esta função é conhecida como função melhor resposta da empresa 1 e determina para cada nível de produção da empresa 2, a quantidade ótima a ser produzida pela empresa 1. Similarmente, para um dado nível q 1 de produção da empresa 1, a empresa 2 deseja maximizar u 2(q 1,q 2). Derivando u 2(q 1,q 2) em relação a q 2 e igualando a zero, temos: q 2 = a c bq1. (2) 2b Esta é a função melhor resposta da empresa 2. Como em um equilíbrio de Nash, ambas as empresas tem que estar jogando uma melhor resposta dado a estratégia da outra. O equilíbrio de Nash deste jogo é encontrado, resolvendo-se o sistema de equações formado pelas duas últimas equações. Desta forma, obtém-se a solução: q 1 = q 2 = a c 3b.

69 Modelo de Cournot com n Empresas Vamos agora considerar o caso em que n empresas produzem produtos que são substitutos perfeitos, que a empresa i possui custo de produção c i (q i ) = cq i, para i = 1, 2,...,n, e a demanda de mercado determina um preço unitário de p(q 1,q 2,...,q n) = a b n i=1 q i. Neste caso, temos N = {1, 2,...,n}, C i = IR +, u i (q 1,q 2,...,q n) = (a c)q i bq n i i=1 q j, para i = 1,2,...,n. Obtendo a função melhor resposta para a empresa i através da derivada de u i (q 1,q 2,...,q n) em relação a q i, temos: q i = a c b n 2b j=1,j i q j. (3) Considerando as n funções melhores respostas das n empresas, podemos encontrar o(s) equilíbrio(s) de Nash resolvendo um sistema de n equações e n incógnitas. Contudo, como neste exemplo, as empresas tem custos idênticos e produzem produtos que são substitutos perfeitos, é razoável assumir que dividirão o mercado igualmente entre si. Então, n j=1,j i q j = (n 1)qi. Substituindo na equação anterior, temos: q i = a c (n+1)b. (4)

70 Modelo de Cournot com n Empresas Então, no equilíbrio, temos: e p(q 1,q 2,...,q n) = a n(a c) n+1 u i (q 1,q 2,...,q n) = (a c)2 (n+1)b n (a c)2 (n+1) 2 b. Logo, quando n tende ao infinito, temos que o preço de mercado decai para o valor do custo unitário do produto e que a utilidade das empresas decrescem para zero no equilíbrio.

71 Duopólio de Bertrand sem Restrição de Capacidade Definição Este duopólio pode ser visto como em oposição ao duopólio de Cournot. Firmas continuam produzindo produtos que são substitutos perfeitos, mas agora elas determinam o preço. Consumidores compram da firma com menor preço, e se ambas cobrarem o mesmo preço elas dividem a demanda igualmente. Ambas firmas têm o mesmo custo unitário c > 0, são capazes de atender toda a demanda solicitada, e só produzem produtos que têm demanda. A demanda varia linearmente com o preço, ou seja, D = a b(min(p 1,p 2)), onde b > 0, e a bc > 0. Neste caso, temos N = {1, 2}, C 1 = C 2 = IR +, (p 1 c)(a bp 1) se p 1 < p 2, u 1(p 1,p 2) = (p 1 c) (a bp 1) se p 2 1 = p 2, 0 se p 1 > p 2, e 0 se p 1 < p 2, u 2(p 1,p 2) = (p 2 c) (a bp 2) se p 2 1 = p 2, (p 2 c)(a bp 2) se p 1 > p 2.

72 Duopólio de Bertrand sem Restrição de Capacidade Encontrando o Equilíbrio Primeiro note que nenhuma empresa tem incentivo a cobrar pelos produtos um preço abaixo de seu custo unitário, pois estaria em uma melhor situação em produzir nada. Agora suponha que uma das empresas escolha um preço p > c, então uma melhor resposta para a outra empresa seria cobrar um preço p tal que p > p > c. Mas sabendo que a segunda empresa iria cobrar p > c, a primeiro por sua vez iria querer cobrar um preço p tal que p > p > c. Desse modo, o único par de preços que consiste de melhores respostas para ambas as empresas consiste de p 1 = p 2 = c. Deste modo, no equilíbrio temos que as empresas tem lucro zero. Vamos agora analisar o modelo de Bertrand relaxando algumas de suas hipóteses. Em particular, vamos analisar o que ocorre se as empresas possuírem restrição de capacidade e não puderem atender toda a demanda.

73 Duopólio de Bertrand com Restrição de Capacidade Definição Suponha no cenário do Duopólio de Bertrand que as empresas só conseguem atender a uma demanda d < a bc. Neste caso, temos N = {1, 2}, C 1 = C 2 = IR +, (p i c) min(a bp i,d) se p i < p j, (p u i (p 1,p 2) = i c) min( (a bp i ),d) se p 2 i = p j, 0 se p i > p j e a bp j d, (p i c)(a bp i d) se p i > p j e a bp j > d, para i = 1, 2. O primeiro e o segundo caso foram modificados para levar em conta que a capacidade de produção das empresas é igual a d. No terceiro caso, temos que a empresa i cobra um preço maior que a empresa j, que cobra um preço p j para cuja demanda a bp j, a empresa j é capaz de atender. Logo, a empresa i não produz nada e obtém lucro zero. No último caso, apesar da empresa i também cobrar um preço maior, ela atende a demanda residual que a empresa j não conseguiu atender.

74 Duopólio de Bertrand com Restrição de Capacidade Análise 1 Vamos agora analisar qual será o equilíbrio agora. Será que p 1 = p 2 = c ainda constitui um equilíbrio? Neste caso, vamos ver o que acontece se a empresa resolve aumentar o preço acima de c. Então, a utilidade da empresa estará dada pela expressão do quarto caso. Derivando (p 1 c)(a bp 1 d) em relação a p 1 e igualando zero, temos: p 1 = a d + bc 2b > c. Portanto, u 1(p 1,c) > 0 = u 1(c, c), o que implica que (c, c) não é um equilíbrio de Nash.

75 Duopólio de Bertrand com Restrição de Capacidade Análise 2 Vamos agora mostrar que nem sempre um equilíbrio existe neste caso. Para tanto, analisemos o caso particular em que a = 100, b = 1, c = 5 e d = 60. Já vimos que p1 = p2 = 5 não constitui um equilíbrio. Vamos ver o que acontece se p 1 = p 2 > 5. Temos que considerar dois casos: (a) p 2 40; (b) p 2 < 40. No caso (a), se a empresa 1 mudar de p 1 = p 2 para p 1 = p 2 ǫ, deixará de ter um lucro de (p 2 5) (100 p 2) e passará a ter um lucro maior de 2 (p 2 ǫ 5)(100 p 2). Portanto, o caso (a) não constitui um equilíbrio de Nash. No caso (b), se a empresa 1 mudar de p 1 = p 2 para p 1 = p 2 ǫ 1, deixará de ter um lucro de (p 2 5) (100 p 2) e passará a ter um lucro de 2 (p 2 ǫ 1 5)60 que é maior para valores de p 2 > 5. Logo, o caso (b) também não constitui um equilíbrio de Nash.

76 Duopólio de Bertrand com Restrição de Capacidade Análise 3 Agora vamos considerar o caso se existem equilíbrios nos seguintes casos: (a) p 1 > p 2 40, (b) p 1 > p 2 e p 2 < 40. No caso (a), a empresa 1 tem lucro zero e aumentaria seu lucro caso reduzisse seu preço para p 2. No caso (b), a empresa 2 pode aumentar seus lucros subindo seu preço para um valor igual a min(p 1,40) ǫ, pois ainda venderá toda sua capacidade de produção a um preço maior. Então, também não existe equilíbrio de Nash neste caso. Então, provamos que não existe equilíbrio de Nash em estratégias puras para este jogo. Pode-se provar que este jogo tem um equilíbrio em estratégias mistas, mas isto está fora do escopo deste curso.

77 Duopólio de Bertrand com Produtos Diferenciados Definição Suponha agora que as empresa não fabricam produtos idênticos. Neste caso, não necessariamente toda a demanda irá para a empresa com um menor preço, pois o preço agora é apenas uma das características que diferenciam os produtos das empresas e não a única como no caso anterior. Desta forma, a demanda de uma firma diminui com o aumento do preço do seu produto, mas cresce com o aumento do preço da concorrente. Suponha então que as empresas possuam custo unitário de fabricação c e apresentem funções de demanda igual a q 1 = a b 1p 1 + b 2p 2 e q 2 = a b 1p 2 + b 2p 1, onde a,b 1,b 2,c são constantes positivas. Note que neste caso, se uma empresa praticar um preço um pouco maior que a outra ela não perde toda a demanda, mas apenas tem uma diminuição na sua demanda. As funções utilidades das empresas são dadas por: u 1(p 1,p 2) = (p 1 c)(a b 1p 1 + b 2p 2) e u 2(p 1,p 2) = (p 2 c)(a b 1p 2 + b 2p 1).

78 Duopólio de Bertrand com Produtos Diferenciados Análise Derivando u 1 em relação a p 1 e igualando a zero temos: p 1 = a+b1c + b2p2 2b 1. Similarmente, derivando u 2 em relação a p 2 e igualando a zero temos: p 2 = a+b1c + b2p1 2b 1. Estas duas equações formam as funções melhores respostas das empresas. O equilíbrio de Nash é resolvido encontrando o resultado da solução do sistema de 2 equações e 2 incógnitas de onde obtém-se: p 1 = p 2 = a+b1c 2b 1 b 2.

79 Prova da Existência Agora provaremos que todo jogo em forma normal finito possui um equilíbrio de Nash em estratégias randomizadas. A demonstração que apresentaremos faz uso do Teorema do ponto fixo de Brouwer. Teorema 6.1 Se M é um subconjunto compacto e convexo de um espaço euclidiano de dimensão finita e F : M M é uma função contínua, então F possui um ponto fixo em M, isto é, existe x M tal que F(x ) = x.

80 Prova da Existência Provaremos a existência do equilíbrio de Nash em jogos finitos através de uma série de lemas. Para cada jogador i N e cada estratégia s C i seja zi s : (C i ) IR tal que z s i (σ) = u i ([s],σ i ) u i (σ), isto é, z s i mede o ganho ou perda do jogador i quando ele muda de estratégia σ i para [s]. Lema 6.2 σ é um equilíbrio de Nash se, e somente se, z s i (σ ) 0, i N e s C i.

81 Prova da Existência Prova: Assuma que σ é um equilíbrio de Nash, então u i (σ ) u i ([s],σ i) para todo i N e s C i. Conseqüentemente, zi s (σ ) 0. Por outro lado, se zi s (σ ) 0, i N e s C i, então u i ([s],σ i) u i (σ ), i N e s C i. Precisamos mostrar que para todo σ i, u i (σ i,σ i) u i (σ ). Pela linearidade da esperança, temos u i (σ i,σ i) = s Ci σ i (s)u i ([s],σ i) s Ci σ i (s)u i (σ ) = u i (σ ) s Ci σ i (s) = u i (σ )

82 Prova da Existência Corolário 6.3 Seja gi s (σ) = max(0,zi s ), então σ é um equilíbrio de Nash se, e somente, gi s (σ ) = 0, i N e s C i. Considere a seguinte aplicação F : i N (C i ) i N (C i ) tal que para todo i N e s C i : F i (σ)(s) = σ i(s)+gi s (σ) 1+ t C i gi t(σ). Lema 6.4 σ é um equilíbrio de Nash se, e somente se, F(σ ) = σ, isto é, se, e somente se, σ é um ponto fixo da aplicação F.

83 Prova da Existência Observe que, de fato, F( i N (C i )) i N (C i ), pois claramente F i (σ)(s) 0 e s σ i (s)+gi (σ) F i (σ)(s) = 1+ s C i s C t C i i gi t(σ) 1 1+ t C i gi t(σ)( σ i (s)+gi s (σ)) s C i 1 1+ t C i gi t(σ)(1+ gi s (σ)) = 1, s C i portanto, para todo i N e σ temos que F i (σ) (C i ).