Lista 2 - Competição Estratégica - MFEE - EPGE/FGV - 3T2010 Monopólio e Oligopólio (Bierman & Fernandez, cap.2 - Cabral cap. 3)

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1 Lista - Competição Estratégica - MFEE - EPGE/FGV - T010 Monopólio e Oligopólio (Bierman & Fernandez, cap. - Cabral cap. ) Professora: Joísa Dutra Saraiva Monitora: Lavinia Hollanda 1. Duas empresas aéreas competem entre si na rota entre São Paulo e Rio de Janeiro. A cada dia elas devem decidir o número de passagens com desconto para ofertar aos clientes. O número de assentos da empresa 1 é S 1 e da empresa é S. O preço da tarifa com o desconto depende da oferta total de assentos de acordo com a equação P = 00 0:10:(S 1 + S ) O custo marginal de transportar um passageiro nessa rota é de 100 para a empresa 1 e de 50 para a empresa. Determine: (a) A função lucro de cada rma. 1 = (00 0; 1(S 1 + S )):S 1 100:S 1 = (00 0; 1(S 1 + S )):S 50:S (b) A função de reação (melhor resposta) para cada rma. (c) O Equilíbrio de Nash. S 1 = R 1 (S ) = 5(100 0; 1(S )) S = R (S 1 ) = 5(150 0; 1(S 1 )) (S1; S) = ( 500 ; 000 ) Segue que o preço será P (S) = 116; 67 e os lucros 1 = 777; 78 e = 44488; 80.. Seja uma indústria composta por duas rmas, 1 e, que competem em ambiente de Cournot. Essas rmas, por suposição, têm custo nulo e a curva de demanda, inversa, do mercado é dada por P (Q) = 100 Q onde Q = + q é o produto total da indústria. (a) Determine as funções de reação das rmas, o Equilíbrio de Nash do duopólio e o lucro de 1 e de. RESPOSTA: O problema de uma rma qualquer ( rma 1, por exemplo) é dado por: Com C(Q) = 0 por hipótese, temos: 1 = fp (Q): C(Q)g = (100 Q): = (100 q ): = 100 q 1

2 Assim, as funções de reação das rmas são: Em equilíbrio, temos: Com isso, temos que o EN é: (q ) = 100 q q ( ) = 100 (q ) = 50 = 100 (q 1; q ) = = 50 = 50 q para a rma 1 para a rma q = ; 100 A oferta da indústria, preço de mercado e os lucros das rmas serão, respectivamente: Q = 00 P (Q) = = = 10:000 9 (b) Suponha que as rmas compõem um cartel de forma a obter poder de mercado (capacidade de in uenciar o preço). Nesse caso qual seria o lucro de cada rma? Demonstre porque esta solução não é o Equilíbrio de Nash do modelo. Represente o jogo na forma normal (estratégica). RESPOSTA: Considere, nesse mesmo ambiente, o que seria a escolha ótima de um monopolista. O problema seria: Desse modo, temos que: q m m = fp (q m ):q m g = (100 q m )q m q m = Q = 50, onde q m é menor do que a oferta da indústria no caso de duopólio (item a), como esperado. O preço de monopólio será P (q m ) = 50 e o lucro do monopolista será m = P (q m ):q m = 500, ambos maiores do que no caso dos duopolistas em Cournot. Mais do que isso, podemos veri car que o lucro de monopólio é mais do que duas vezes maior que o lucro das rmas em competição de Cournot. m = 150 > i = 10:000 ; i = 1; 9 Emerge então uma questão natural: talvez devêssemos esperar que os duopolistas de Cournot se coordenassem e constituíssem um cartel de forma a aumentar o seu poder

3 de determinação do preço de mercado. Nesse acordo, cada rma produziria a metade da quantidade de monopólio,tal que a oferta da indústria seja aquela de monopólio, o preço seja o mesmo de monopólio e o lucro da INDÚSTRIA seria o lucro de monopólio, 500. Como cada rma produziu a mesma quantidade, elas dividiriam o lucro da indústria igualmente. Como ambas as rmas estão melhor se coordenando em cartel do que competindo em Cournot, podemos imaginar num primeiro momento que essa arranjo de fato seria a estratégia ótima a ser adotada pelas rmas. No entanto, é necessário analisar se o cartel é um equilíbrio, no sentido de, uma vez que ele seja constituído, nenhum dos jogadores ( rmas) tenha incentivos para desviar do compromisso de produzir exatamente a quantidade acordada, 5. Considere então uma situação em que o cartel foi constituído e que as rmas concordaram sobre o plano de produção acima descrito. Vejamos o caso da rma 1 (o caso da rma decorre por analogia de imediato). Há duas conjecturas que a rma 1 pode fazer sobre o comportamento da rma, quais sejam: (i) a rma vai cumprir o acordo e (ii) a rma não vai cumprir o acordo. No caso (ii) a melhor resposta que a rma 1 pode dar é não cumprir o acordo também e se estabelecer uma competição de Cournot, com os payouts dados pelos valores acima descritos. Esse resultado está representado no jogo abaixo. Vejamos qual é problema da rma 1 quando ela conjectura que a rma vai cumprir o acordo feito na constituição do cartel. Nessa hipótese de o cartel ter sido constituído e respeitá-lo, o problema de otimização da rma é escolher a sua oferta de forma a imizar o seu lucro, dado que a rma está cumprindo o acordo e produzindo q = 5. Ou seja, como era de se esperar, a rma 1 vai incorporar no seu processo de decisão a informação de que a outra rma estaria respeitando o acordo. Isto é, o seu problema seria: 1 s:t:q = 5 = 1 = fp (Q): jq = 5g = 1 = f(100 q ) : jq = 5g = 1 = f(100 5) : g ) 75 = 0 ) = 75 > 5 Concluímos portanto que seria ótimo para rma 1 não cumprir o acordo e produzir uma quantidade maior do que aquela estabelecida no cartel. Essa otimalidade ca clara quando notamos que a oferta da indústria será Q = = 15 e o preço 15 P (Q) = 100 = 75 de onde segue que o lucro da rma 1 seria = : = 1406; 5 > 150

4 Note que o lucro da rma 1 seria superior ao lucro de cartel, o que nos permite concluir que a rma teria incentivos a não respeitar o acordo com a rma e produzir uma quantidade maior do que aquela acordada. Já o lucro da rma seria = 75 :5 = 97; 5 < 1111; 11 auferindo ganhos menores do que aqueles que ela teria se engajasse em uma competição com a rma 1. Podemos desenvolver um raciocínio análogo para a rma e gerar, por simetria, resultados semelhantes. Segue que na forma normal esse jogo seria exatamente um Dilema dos Prisioneiros, como abaixo descrito: Firma Cartel Compete Firma 1 Cartel 150,150 97,1406 Compete 1406, ,1111 onde o único equilíbrio de Nash é competir em Cournot. Podemos ver que o payo associado ao cartel é estritamente maior do que o ganho de equilíbrio para ambas as rmas, de modo que o equilíbrio não é e ciente. No entanto o acordo não é crível na medida em que nenhuma das rmas tem incentivos a jogar nenhuma estratégia que não aquela(s) que compõem o equilíbrio de Nash do jogo: o equilíbrio de Nash é um resultado (estrategicamente) estável.. Suponha rmas competindo em um ambiente de Cournot em um mercado cuja demanda, inversa, é dada por P (Q) = a Q; onde Q = + q + q e a função custo das rmas é tal que C i (q i ) = cq i ; i = 1; ; que é de conhecimento comum de todos os jogadores. (a) Determine o Equilíbrio de Nash do modelo, e, a partir daí, os lucros das rmas. q i = 1 (a c); i = 1; ; 4 Q = (a c) 4 P (Q) = a + c 4 i = 1 (a c) 16 Se houver dúvida com relação às contas, veja o exercício 5. (b) Suponha que as três rmas constituem um cartel nesse mercado. Nesse caso determine a oferta de cada rma e os seus respectivos lucros nesse ambiente. 4

5 RESPOSTA: Tome a oferta do monopolista Q = q m = 1 (a c) e suponha que, por simetria, cada rma se comprometa a produzir 1 do que o monopolista ofertaria, ou seja: O preço seria o preço de monopólio q ci = 1 (a c); i = 1; ; 6 P m = a Q = a + c e o lucro de cada rma seria 1 do lucro de monopólio ci = 1 1 (a c) = (a c) ; i = 1; ; como era de se esperar, maior do que o lucro em competição de Cournot. (c) Suponha agora que as rmas 1 e constituem um cartel e passam a competir como tal com a rma. Determine as ofertas das rmas e seus lucros nesse ambiente. O que você conclui com esse resultado? RESPOSTA: Nesse caso há ifrmas, o conluio é proposto, uma das rmas não aceita participar do cartel mas as outras, ainda assim, constituem o cartel e decidem competir com essa rma - e isso tudo é de conhecimento comum. Como vimos anteriormente, a oferta de duopólio é 1 (a c) Se cada uma das rmas que compõem o cartel (por exemplo, as rmas 1 e ), por simetria, se compromete a ofertar metade da oferta do duopólio, então Logo a oferta da indústria será e o preço será = q = 1 (a c) 6 Q = 1 6 (a c) (a c) + 1 (a c) = (a c) P (Q) = 1 (a + c) Segue que o lucro das rmas que compuseram o cartel será dado por 1 = = 1 (a c):1 6 (a c) = 1 (a c) 18 e o lucro da rma, que não participou do cartel será = 1 (a c) 9 5

6 Concluimos portanto com esse resultado que a rma que não participou do cartel está não só melhor do que as outras duas, mas melhor também do que estaria em competição de Cournot ou em cartel, caso esse fosse crível. Já as rmas do cartel estariam em uma situação pior do que se competissem em Cournot. Logo o arranjo não é crível e, portanto, não seria possível sustentá-lo como um equilíbrio - as rmas teriam incentivos a desviar. 4. Considere um duopólio de Cournot com procura dada por Q = 500 A primeira empresa tem um custo marginal constante e igual a 8. A segunda empresa tem um custo marginal igual a 6 e capacidade limitada a 5 unidades. Calcule os valores de equilíbrio. 50P RESPOSTA: Esse exercício tem como principal diferença a existência de uma restrição de capacidade para a rma. Primeiramente devemos veri car se essa restrição está ativa. Note que em equilíbrio de Nash-Cournot teremos ( = 0; q = 100) de maneira que, na ausência de restrição de capacidade, apenas a rma estaria no mercado, caracterizando um monopólio. No entanto sabemos que q 5, o que nos informa que a função de reação dessa rma ca truncada pela sua capacidade de produção. O equilíbrio implicará que a empresa funcionará no limite superior de sua capacidade e que 1 reagirá à esse fato, (q = 5; = f(q = 5)) Ou seja, o problema da rma 1 será o problema de tal que em equilíbrio temos 1 jq = 5 (q 1 = 7; 5; q = 5) Segue que a oferta da indústria será Q = 6; 5 e o preço P = 8; 75, de onde concluímos que os lucros serão 1 = 8; 1 e = 68; 75: 5. Suponha um oligopólio de Cournot com n rmas. Denotamos q i como a quantidade ofertada pela rma i e Q = + q + ::: + q n como a oferta de mercado. P é o preço de equilíbrio do mercado, onde a curva de demanda, inversa, é dada por P (Q) = a Q (supondo que Q < a quando P = 0). Assume-se que o custo total da i-ésima rma para produzir uma quantidade q i é de C i (q i ) = cq i, onde é fácil ver que não há custo xo e que o custo marginal é constante e idêntico para todas as rmas (supomos também que c < a. Pense no porquê.). De acordo com Cournot, suponha que as rmas escolhem suas quantidades simultaneamente. (a) Qual é o Equilíbrio de Nash do modelo? i = P (Q):q i c:q i = (a Q) :q i c:q i = (a q ::: q i ::: q n ) :q i c:q! i nx = a q j :q i c:q i j=1 6

7 Temos então a seguinte CPO: A função de reação do jogador i será: a q i nx q i (q i ) = 1 " j=1;;j6=i (a c) q j c = 0 nx j=1;;j6=i Note i(q i j < 0; 8j 6= i (a função de reação, como usual em Cournot, tem inclinação negativa). Nesse ambiente, com bens homogêneos e tecnologias similares (função custo), a implicação imediata de um equilíbrio simétrico é que, em equilíbrio, = q = ::: = np q i = ::: = q n, de modo que q j = (n 1)q i : Assim, a expressao acima ca: j=1;;j6=i a q i nx Então, em equilíbrio temos: j=1;;j6=i q j # q j c = a ( + (n 1)) q i c = 0 q i = a c (n + 1) > 0 (paraa > c) O EN desse jogo é, portanto, cada rma produzir a do produto serão, respectivamente: (b) Qual é o lucro de cada rma? c (n+1) n (a c) Q = (n + 1) P (Q) = a Q = a + nc n + 1. A oferta da indústria e o preço RESPOSTA: Segue que o lucro da i-ésima rma em equilíbrio será i = P (Q):q i c:q i = (P (Q) c) :q i a + nc a c = c : n + 1 (n + 1) = (a c) (n + 1) (c) O que ocorre quando n, o número de rmas, tende ao in nito? E quando n = 1? RESPOSTA: Se n! 1, então podemos veri car que a oferta da indústria e o preço serão, respectivamente: Q = (a c) P (Q) = c 7

8 O lucro de equilíbrio será i = 0; 8i, que é o equilíbrio de competição perfeita. Já se n=1, temos que:, como ocorreria em um monopólio. (a c) Q = P (Q) = a + c (a c) i = 4 6. Três críticas frequentemente apontadas ao modelo de Cournot são que, na realidade, as empresas (i) não utilizam como variável estratégica a quantidade produzida, mas sim o preço; (ii) não tomam as suas decisões simultaneamente; (iii) desconhecem a função de custos das empresas rivais e, mais do que isso, desconhecem a noção de equilíbrio de Nash (isto é, as empresas não determinam o equilíbrio de Nash para escolher a sua estratégia). (a) Apresente argumentos que defendam o modelo de Cournot e o equilíbrio de Nash-Cournot como forma de estudar o comportamento de certos oligopólios. (b) Qual o tipo de situações em que estes argumentam se aplicam? RESPOSTA (a, b): Com relação ao ponto (i), mesmo que a variável estratégica de escolha seja o preço (depois de escolhida a capacidade de produção), então o equilíbrio será aquele previsto pelo modelo de Cournot (desde que a capacidade de produção da rma não seja muito elevada, por exemplo, para uma capacidade superior à demanda de mercado o argumento não é válido). Para a crítica (ii), note que não é necessário que as empresas tomem as suas decisões simultaneamente de uma forma literal. O que ocorre é que em jogos estáticos as escolhas das rmas são feitas sem que se saiba qual foi a estratégia adotada por cada uma das concorrentes. Já relativamente a (iii), temos dois pontos distintos, a saber,a noção de informação completa e a de equilíbrio de Nash. No primeiro caso, ainda que haja várias situações em que a função de lucro das rmas não seja de conhecimento comum, em diversos outros mercado é bastante razoável imaginar que as rmas têm uma noção razoável da situação das rivais, particularmente com relação à estrutura de custos, e nesse sentido o modelo de Cournot em informação completa é uma boa aproximação desse ambientes. Com relação à noção de equilíbrio de Nash, a idéia é que as rmas tomam suas decisões (simultâneas) a partir de um exercício de previsão (sobre as escolhas alheias) que tem como critério de consistência essa noção de equilíbrio. Ainda que em um primeiro momento possa parecer um critério especí co demais para ser incorporado no comportamento dos jogadores, o fato de que o ajustamento da produção das rmas ao comportamento alheio, via de regra, será um processo sucessivo dá a esse critério o respaldo necessário. 7. Considere o modelo de duopólio de Bertrand, onde duas rmas produzem bens diferenciados e têm o preço como variável de decisão. Assuma que os custos de produção de ambas as rmas 8

9 são nulos e tome as curvas de demanda pelos bens = a 1 b 1 p 1 + cp q = a b p + cp 1 onde (a i ; b i ) i=1; e c são constantes positivas. Determine: (a) As funções de reação das rmas. Interprete a sua inclinação. p 1 (p ) = a 1 + cp b 1 p (p 1 ) = a + cp 1 b i(p j j = c b i > 0. Diferente de Cournot, em Bertrand as funções de reação das rmas têm inclinação positiva, sugerindo que a melhor resposta de uma rma às variações no preço da concorrente é seguir na mesma direção da rival. NOTA: Dizemos que dois bens são substitutos estratégicos em quantidade se a rma j aumenta sua quantidade produzida q j quando a rma i reduz sua quantidade produzida q i. Analogamente, dois produtos são complementares estratégicos em preços se a rma j aumenta seu preço p j quando a rma i aumenta seu preço p i. Podemos determinar se os produtos são complentares ou substitutos estratégicos a partir da análise da derivada da curva de reação das empresas. Se Ri(a 0 j) > 0, então os bens são complementares estratégicos. Se Ri(a 0 j) < 0, então os bens são substitutos estratégicos. Portanto, analisando as derivadas das curvas de reação dos problemas de Cournot (quantidade) e Bertrand (preço), vemos que no primeiro as quantidades são substitutos estratégicos e no segundo preços são complementares estratégicos. (b) Os preços em equilíbrio de Nash-Bertrand. p B 1 = a 1b + a c 4b 1 b c p B = a b 1 + a 1 c 4b 1 b c (c) Suponha que as rmas decidam formar um cartel e imizar o lucro conjunto. Quais seriam os preços nesse caso? RESPOSTA: Em cartel o problema das rmas seria, de modo que os preços seriam: p 1; p 1 + p C 1 = a 1b + a c (b 1 b c ) p C = a b 1 + a 1 c (b 1 b c ) 9

10 (d) Demonstre que os preços com a formação do cartel são maiores do que os preços de duopólio. RESPOSTA: Para mostrarmos isso, tome o caso da rma 1. Note então que p B 1 < p C 1 se, e somente se: a 1 b + a c 4b 1 b c < a 1b + a c (b 1 b c ) b 1 b c : (a 1 b + a c) < 4b 1 b c (a 1 b + a c) 4a 1 b 1 b 4a 1 b c + a b 1 b c a c < 4a 1 b 1 b + 4a b 1 b c a 1 b c a c a b 1 b c + a 1 b c + a c > 0 Isso de fato é verdade para (a 1 ; a ; b 1 ; b ; c) Duas empresas, 1 e, que produzem bens diferenciados mas substitutos, concorrem por meio de escolha de preço. Suas funções de demanda são = 0 p 1 + p q = 0 p + p 1 e os custos são nulos. Suponha que as duas rmas determinem seus preços simultaneamente e então descubra o equilíbrio de Nash do jogo. Para cada uma das empresas, determine a quantidade vendida e o lucro em equilíbrio. P 1 = P = 0 = q = 0 1 = = Nos exercícios 7 e 8 a competição via preço se dava entre rmas com produtos diferenciados. Considere agora concorrência via preço entre duas empresas produtoras de um mesmo produto. As empresas escolhem seus preços simultaneamente. Suponha que a quantidade que os consumidores demandam da empresa i, i f1; g, seja a p i = p j os consumidores demandam a empresas é dado por c e não há custo xo. p i se p i < p j e 0 se p i > p j. Caso p i de cada empresa. O custo marginal para as duas (a) Calcule o equilíbrio de Nash-Bertrand, para a = 10 e c =. Apresente os detalhes da resolução. No duopólio de Bertrand, cada rma escolhe o preço que imiza o seu lucro, dado o preço da outra rma. O lucro da rma i é dado por i = (p i c):q i (p i ; p j ), onde q i (p i ; p j ) é a demanda da rma i dados o seu preço e o preço da rma j. Ela está representada abaixo: q i (p i ; p j ) = a p i ; se p i < p j = a p i ; se p i = p j = 0; se p i > p j 10

11 Isso quer dizer que a rma i ca com toda a demanda do mercado se cobrar um preço menor do que a rma j, divide a demanda com a rma j se cobrar um preço igual e ca com demanda zero se cobrar um preço maior do que o da rma j (lembre que as rmas são idênticas e produzem um bem homogêneo). Repare que, se p i < c, a rma terá prejuízo - logo, teremos que ter p i c. Note também que, se p i > c, a rma j pode cobrar um preço in nitesimalmente menor do que p i (por exemplo, p j = p i " com "! 0) e roubar todo o mercado da rma i. A rma i, ciente disso, vai também querer cobrar um preço um pouco menor do que p j, e assim por diante. Logo, o único preço em que não haverá incentivo a desvio é p i = p j = c (pois se qualquer rma cobrar abaixo de c, terá prejuízo, o que não pode ocorrer, já que a rma é imizadora de lucro). Logo, o equilíbrio de Nash do jogo de Bertrand é p i = p j = c. No exercício, isso signi ca também que qi = qj = a c = 10 = 4. (b) Qual a relação entre o(s) preço(s) de equilíbrio obtido(s) no item anterior e o preço de equilíbrio em concorrência perfeita? RESPOSTA: Os preços de equilíbrio são idênticos ao caso de competição perfeita, ou seja, são dados pelo custo marginal. (c) Se as empresas pudessem optar por concorrer via preço ou concorrer via diferenciação de produto, qual delas escolheria? RESPOSTA: Escolheriam diferenciação de produto, pois isso proporcionaria lucro estritamente positivos. Tal a rmação é veri cada nos exercícios 7 e 8. 11