EAE 5706: Microeconomia II: Teoria dos Jogos

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1 EAE 5706: Microeconomia II: Teoria dos Jogos Aula 3: Jogos Simultâneos: Marcos Y. Nakaguma 14/08/ Revisão Na aula passada, vimos como representar os jogos nas formas extensiva e normal: e Γ E =fi,x,a,p(), α(),h,h(), ı(),ρ(),ug Γ N =fi,fs i g,fu i gg Vimosqueumaestratégiapuras i :H i!a,éumplanocontingente completoqueespeci cacomoumjogadoratuaemcadaumdosseus conjuntos de informação. O conjunto de estratégias puras disponíveis para um jogador i é dado por: S i = H2Hi C(H), ondec(h)éoconjuntodepossíveisaçõesnoconjuntode informação H. 2 Revisão De nimos também uma estratégia mista como uma função σ i :S i![0,1]queatribuiprobabilidade σ i (s i )0paracada estratégiapuras i 2S i,com si 2S i σ i (s i )=1. Porexemplo,sejaS i = fs 1i,...,s Mi goconjuntodeestratégiaspuras do jogador i, então o conjunto de estratégias mistas disponíveis para ele é dado pelo seguinte simplex: n (S i ) = (σ 1i,..., σ Mi )2R M : σ mi 0param=1,...,M e M m=1 σ mi =1 Ojogonaformanormal Γ N =[I,f (S i )g,fu i ()g]incluitanto estratégias puras quanto mistas. 3

2 Exemplos Econômicos Vamos ilustrar os conceitos apresentados anteriormente, aplicando-os ao caso de um modelo de competição imperfeita com as seguintes características: i. Duas rmas,1e2; ii. Demandademercado,Q(P),comQ: R +! R + ; iii. Demandainversa,P(Q),comP : R +! R + ; iv. Cada rmaproduzumaquantidadenão-negativa,q i ; v. Custodeprodução,c i (q i ),comc i (0)=0. Noteque,nestecaso,oconjuntodeaçõeséin nito,poisoespaçode possíveis quantidades e preços estão em um contínuo. 4 Exemplos Econômicos Exemplo 1: Modelo de Cournot I Nestecaso,cada rmaescolhesimultaneamenteumaquantidade,q 1 e q 2,eopreçodemercadoédeterminadoporP(q 1 +q 2 ). I Na forma normal, esse jogo é caracterizado pelos seguintes elementos: i. Conjuntodeestratégias: S i = R +,coms i =q i ; ii. Funçõesdepayo : u i (s i,s i )=s i P(s 1 +s 2 ) c(s i ). 5 Exemplos Econômicos Exemplo 2: Modelo de Bertrand I Nestecaso,cada rmasescolhesimultaneamenteumpreço,p 1 ep 2,e aquantidadedemercadoédeterminadaporq(minfp 1,p 2 g). I Na forma normal, esse jogo é caracterizado pelos seguintes elementos: i. Conjuntodeestratégias: S i = R +,coms i =p i ; ii. Funções de payo : 8 < u i (s i,s i )= : Q(s i )s i c(q(s i )) ses i <s i 1 2 Q(s i )s i c( 1 2 Q(s i)) ses i =s i 0 ses i >s i 6

3 Exemplos Econômicos Exemplo 3: Modelo de Stackelberg I Neste caso, as rmas escolhem sequencialmente as suas quantidades, demaneiraquea rma2observaaquantidadeescolhidada rma1. I Na forma normal, esse jogo é caracterizado pelos seguintes elementos: i. Conjunto de estratégias: S 1 = R +,coms 1 =q 1 ; S 2 =ffunçõesf : R +! R + g,coms 2 : R +! R + ii. Funções de payo : u 1 (s 1,s 2 )=s 1 P(s 1 +s 2 (s 1 )) c 1 (s 1 ) u 2 (s 1,s 2 )=s 2 (s 1 )P(s 1 +s 2 (s 1 )) c 1 (s 2 (s 1 )) 7 Jogos Simultâneos 8 Jogos Simultâneos Nesta seção, estudaremos os chamados jogos estáticos, em que os agentesatuamaomesmotempoeumaúnicavez. A análise desses jogos nos permitirá introduzir alguns conceitos básicos de teoria dos jogos, os quais serão gradualmente generalizados à medida que considerarmos jogos mais complexos. O nosso objetivo principal é realizar previsões sobre os resultados desses jogos. 9

4 10 Considere o jogo dilema dos prisioneiros representado abaixo: Prisioneiro 1 Prisioneiro 2 DC C DC -2,-2-10,-1 C -1,-10-5,-5 Observequeoresultado(C,C)éomaisplausível,pois"C"éa melhor estratégia de cada jogador para qualquer escolha de seu oponente. Uma estratégia como essa é denominada estratégia estritamente dominante. 11 De nição: Umaestratégias i 2S i éumaestritamentedominantepara ojogadori separatodos 0 i 6=s i,tem-seque: u i (s i,s i )>u i (s 0 i,s i ), paratodos i 2S i Intuitivamente, uma estratégia é estritamente dominante para um jogador se ela maximiza unicamente o seu payo para qualquer estratégia que os seus oponentes possam adotar. 12

5 Notequeoresultado(C,C)éPareto-dominadopor(NC,NC). Ambos os jogadores estariam melhor se pudessem se comprometer a não confessar. Observe que, neste caso, o comportamento auto-interessado não gera um resultado socialmente ótimo, pois as ações de cada agente geram uma externalidade negativa sobre o seu oponente. 13 É natural esperar que um jogador utilize a sua estratégia estritamente dominante, caso ela exista. Mas o que ocorre quando ela não existir? Jogador 1 Jogador 2 a b c A 5,5 0,10 3,4 B 3,0 2,2 4,5 Observe que, no jogo acima, não há estratégias estritamente dominantes. Porém, o jogador 2 obtém payo estritamente maior ao escolher b ao invés de a, independentemente da decisão do jogador 1. Neste caso, diz-se que a estratégia a é estritamente dominada por b. 14 De nição: Umaestratégias i 2S i éestritamentedominadaparaum jogadori seexistiroutraestratégias 0 i 2S i talque: u i (s 0 i,s i )>u i (s i,s i ), paratodos i 2S i. Nestecaso,dizemosqueaestratégias 0 i dominaestritamentes i. Note que podemos reescrever a de nição de dominância estrita da seguinteforma: umaestratégias i 2S i éestritamentedominantese eladominarestritamentetodaoutraestratégiaems i. 15

6 De nição: Umaestratégias i 2S i éfracamentedominadaparaum jogadori seexistiroutraestratégias 0 i 2S i talque: u i (si,s 0 i )u i (s i,s i ), paratodos i 2S i e u i (si,s 0 i )>u i (s i,s i ), parapelomenosums i 2S i Nestecaso,dizemosqueaestratégias 0 i dominafracamentes i. 16 Exemplo: Observe que, no jogo abaixo, o jogador 1 possui duas estratégias fracamente dominadas, U e M. Jogador 1 Jogador 2 L R U 5,1 4,0 M 6,0 3,1 D 6,4 4,4 Uma estratégia fracamente dominada não pode ser excluída somente com base no princípio da racionalidade dos agentes. Porexemplo,ojogador1podeescolherM setivercertezadequeo jogador 2 escolherá L. Caso contrário, M não será uma escolha racional para o jogador Eliminção Iterada das Estratégias Estritamente Dominadas A lógica da eliminação das estratégias estritamente dominadas pode ser aplicada iteradamente desde que se assuma que a racionalidade dos agentes é common knowledge. Exemplo: Considere, novamente, o seguinte jogo: Jogador 1 Jogador 2 a b c A 5,5 0,10 3,4 B 3,0 2,2 4,5 i. Seojogador2éracional,entãoelenuncaescolheráaestratégiaa,pois aéestritamentedominadaporb)eliminara. ii. Seojogador1éracionalesabequeojogador2éracional,entãoele nunca escolherá a estratégia A, pois A é estritamente dominada por B ) eliminar A. 18

7 Eliminção Iterada das Estratégias Estritamente Dominadas iii. Seojogador2sabequeojogador1éracionalesabequeojogador1 sabequeeleéracional,entãoojogador2nuncaescolheráaestratégia b,poisbéestritamentedominadaporc )eliminarb. iv. Assim, através do processo de eliminação iterada das estratégias estritamente dominadas, obtemos que a solução do jogo é(b, c). Note que cada iteração adicional requer que o conhecimento dos jogadores sobre a racionalidade de seus oponentes se aprofunde um nível a mais. Eliminção Iterada das Estratégias Estritamente Dominadas De nição: Um jogo é pode ser resolvido por dominância estrita ("strict-dominance solvable") se o processo de eliminação iterada das estratégias estritamente dominadas resultar em um único per l de estratégias. 19 Uma importante propriedade do processo de eliminação das estratégias estritamente dominadas é que a ordem das eliminações não altera o conjunto de estratégias que permanecem no nal. Essapropriedadenãoéválidaparaocasodaeliminaçãodas estratégias fracamente dominadas. Neste caso, a ordem das eliminações é relevante e pode alterar o resultado. Eliminção Iterada das Estratégias Estritamente Dominadas Exemplo: Considere, novamente, o seguinte jogo: 20 Jogador 1 Jogador 2 L R U 5,1 4,0 M 6,0 3,1 D 6,4 4,4 I SecomeçarmoseliminandoasestratégiasU em dojogador1, obtemoscomoresultado(d,r)ou(d,l). I Se começarmos eliminando a estratégia U do jogador 1, obtemos como resultado(d,r). I Se começarmos eliminando a estratégia M do jogador 1, obtemos como resultado(d,l). 21

8 Os conceitos de estratégias dominantes e dominadas podem ser generalizadas para o caso das estratégias mistas. De nição: Umaestratégia σ i 2 (S i )éestritamentedominadapara umjogadori seexistiroutraestratégia σ 0 i 2 (S i )talque: u i (σ 0 i, σ i )>u i (σ i, σ i ), paratodo σ i 2 Π j6=i (S j ). Nestecaso,dizemosqueaestratégia σ 0 i dominaestritamente σ i. Umaestratégia σ i 2 (S i )éestritamentedominanteparaumjogador i seeladominarestritamentequalqueroutraestratégiaem (S i ). 22 Como operacionalizar o teste para identi car as estratégias estritamentedominadasnojogo Γ N =[I, (S i ),fu i ()g]? I Dade niçãoanterior,segueque σ i 2 (S i )éestritamentedominada se: u i (σ 0 i, σ i)>u i (σ i, σ i ), paratodo σ i ou seja: u i (σ 0 i, σ i) u i (σ i, σ i )>0, paratodo σ i I Note que podemos re-escrever a expressão acima como: u i (σ 0 i, σ i) u i (σ i, σ i )= es i 2S i Pr(es i )[u i (σ 0 i,es i) u i (σ i,es i )]>0, ondepr(es i )= σ k (es k ). k6=i 23 I Observequeaexpressãoacimaépositivaparatodo σ i se,esomente se: u i (σ 0 i,s i) u i (σ i,s i )>0, paratodos i I Assim, temos que: se,esomentese: u i (σ 0 i, σ i)>u i (σ i, σ i ), paratodo σ i u i (σ 0 i,s i)>u i (σ i,s i ), paratodos i 24

9 Da discussão anterior, segue, como caso particular, o seguinte teste para veri car se uma estratégia pura é estritamente dominada. Proposição: Umaestratégiapuras i 2S i éestritamentedominada paraumjogadori seexistiroutraestratégia σ 0 i 2 (S i )talque: u i (σ 0 i,s i )>u i (s i,s i ), paratodos i 2S i. Destaforma,paratestarseumaestratégiapuras i éestritamente dominadaemumjogo Γ N =[I, (S i ),fu i ()g],bastaconsiderarmos per sdeestratégiaspurass i 2S i paraosdemaisjogadores. 25 Exemplo: Notequeexistemcasosemqueumaestratégiapuras i pode ser dominada apenas por uma estratégia mista: Jogador 1 Jogador 2 L R U 10,1 0,4 M 4,2 4,3 D 0,5 10,2 I Nenhuma das três estratégias puras do jogador 1 é estritamente dominada por outra estratégia pura. I Porém, a estratégia M é estritamente dominada por uma estratégia mistaqueatribuiprobabilidade 1 2 àestratégiau e 1 2 àestratégiad. 26 I Na verdade, existe um continuum de estratégias mistas que dominam M: 27

10 Uma vez determinado o conjunto de estratégias puras não dominadas de um jogador i, deve-se estabelecer quais estratégias mistas são não dominadas. Proposição: Seumaestratégiapuras i éestritamentedominadapara um jogador i, então toda estratégia mista que atribui probabilidade positiva a esta estratégia também é estritamente dominada. Observe, porém, que as estratégias mistas descritas na proposição acima não são as únicas que podem ser estritamente dominadas. Uma estratégia mista que atribui probabilidade positiva a estratégias puras não dominadas pode ser ela mesma dominada! (Construa um exemplo.) 28 Os dois resultados anteriores sugerem o seguinte procedimento: i. Primeiro, eliminar iterativamente todas as estratégias puras estritamente dominadas. ii. Segundo,sejamS u 1,...,S u I osconjuntosdasestratégiaspurasnão dominadas, eliminar as estratégias mistas estritamente dominadas pertencentesaosconjuntos (S u 1),..., (S u I). 29 : Aplicações 30

11 : Aplicações Exemplo 1: Modelo de Cournot Linear I Função demanda inversa: p(q)=a bq I Função custo: c(q i )=cq i I Funções payo : u i (q i,q i ) = [a b(q i +q i )]q i cq i = (a c)q i bq 2 i bq i q i I Vamos mostrar que este jogo pode ser resolvido através da eliminação iterada das estratégias estritamente dominadas. 31 : Aplicações I De naasfunçõesdereaçãooumelhorrespostar i :[0, )![0, ) comoaproduçãoótimada rmai dadooníveldeproduçãodasua rival. I Essas funções podem ser computadas através das condições de primeira ordem do problema de maximização de lucro das rmas: a c 2bq i bq i =0 ) r(q i )= a c 2b Note que r() é uma função estritamente decrescente, i.e. quanto maior a produção do concorrente, menos a rma deseja produzir. q i 2 I Oespaçodeestratégiasinicialdecada rmaés 0 i =[0, ),masnote que produzir uma quantidade"muito" elevada pode não ser ótimo para as rmas. : Aplicações I Defato,qualquerproduçãoacimader(0)= a c 2b < (nívelde produção de monopólio) é estritamente dominada, pois a menor quantidade produzida pelo seu concorrente é zero. 32 I Assim, eliminando as estratégias dominadas do conjunto de estratégias possíveis,obtemoss 1 i =[0,r(0)]. I Note que, como agora o concorrente nunca produz uma quantidade maiordoquer(0),entãoqualquerproduçãomenordoquer 2 (0)= r(r(0))= a c 4b >0éestritamentedominadaparaa rmai. I Assim, eliminando iteradamente as estratégias dominadas do conjunto deestratégiaspossíveis,obtemoss 2 i =[r 2 (0),r(0)]. 33

12 : Aplicações I Procedendo analogamente, sabemos que a concorrente nunca produzirá umaquantidademenordoquer 2 (0),deformaquequalquerprodução acimader 3 3(a c) (0)= 8b é estritamente dominada para a rma i. I Assim, eliminando iteradamente as estratégias dominadas do conjunto deestratégiaspossíveis,obtemoss 3 i =[r 2 (0),r 3 (0)].Eassimpor diante, ad in nitum... I Note que os limites inferiores desses intervalos formam uma sequência r 2n (0)enquantoqueoslimitessuperioresformamumasequência r 2n+1 (0),comn=1,2, : Aplicações I Em particular, temos que: r n (0)= a c b n k=1 1 k 2 éumasérieconvergente,deformaqueasequênciadeintervalossi n converge para um único ponto, i.e. lim n! rn (0)= a 3b c. I Portanto, o único per l de estratégias que sobrevive a eliminação iteradadasestratégiasestritamentedominadasé( a 3b c,a 3b c). 35