EAE 5706: Microeconomia II: Teoria dos Jogos

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1 EAE 5706: Microeconomia II: Teoria dos Jogos Aula 10: Jogos Dinâmicos: Marcos Y. Nakaguma 11/09/ Revisão Naaulapassada,de nimosumsistemadecrenças µemumjogo extensivo Γ E comoumconjuntodeprobabilidades µ(x)2[0,1]para cadanododedecisãox em Γ E talque: µ(x)=1 x2h Umper ldeestratégias σ=(σ 1,..., σ I )ésequencialmenteracional emumconjuntodeinformaçãoh dadoumsistemadecrenças µse: E[u i jh, µ, σ ι(h), σ ι(h) ]E[u i jh, µ,eσ ι(h), σ ι(h) ] paratodoeσ ι(h) 2 (S ι(h) ),onde ι(h)denotaojogadorquesemove no conjunto de informação H. 2 Revisão Umper ldeestratégiaseumsistemadecrenças(σ,µ)éumweak perfect Bayesian equilibrium(weak PBE) se(σ, µ) satisfaz as seguintes propriedades: i. Oper ldeestratégias σésequencialmenteracionaldadoosistemade crenças µ. ii. Osistemadecrenças µéderivado,semprequepossível,apartirdo per l de estratégias σ através da regra de Bayes, i.e. para qualquer conjuntodeinformaçãoh compr(hjσ)>0,temosque: µ(x)= Pr(xjσ) Pr(Hjσ) paratodox2h 3

2 Exemplo 2: Considere o seguinte jogo de entrada com joint venture: 4 O único weak PBE deste jogo é constituído pelo per l de estratégias: σ E1 =("proposejointventure","in") σ E2 =("accept") σ I =("accommodate") e pelo seguinte sistema de crenças: µ("middlenode")=1 5 Exemplo 3: Jogo de Entrada(Modi cado) I Considere a seguinte versão do jogo de entrada: I Observe que, neste caso, a rma incumbente está disposta a"lutar" casoa rmaentranteescolha"in 1 ".Vamosassumirque γ>0. 6

3 I Denoteaestratégiada rmaincumbentepor σ F 2[0,1]eaestratégia da rmaentrantepor(σ 0, σ 1, σ 2 )2[0,1] 3. I Suponha que o sistema de crenças da rma incumbente atribua probabilidade µ2[0,1]aoeventodequea rmaentranteutilizea estratégia"in 1 ". I Observe,primeiro,que σ 0 >0nuncapodefazerpartedeumequilíbrio, pois"in 2 "dominaestritamente"out". Portanto, σ 0 =0eoconjunto de informação da rma incumbente é alcançado com probabilidade 1. I Vamos, agora, analisar a estratégia ótima da rma incumbente. Dada a estratégiada rmarival, σ 1 e σ 2,eosistemadecrenças, µ,quandoa rma prefere escolher"lutar" ou"acomodar"? 7 I Notequedadaacrença µ,a rmaincumbenteprefere"lutar"com probabilidade positiva se, e somente se: µ( 1)+(1 µ)( 1)µ( 2)+(1 µ).1 $ $ 11 3µ ) µ 2 3 Portanto, existem três casos relevantes a serem analisados Primeiro,suponhaque µ> 2 3. F Neste caso, a rma incumbente deve escolher"lutar" com probabilidade 1, de forma que a melhor resposta da rma entrante (estratégiasequencialmenteracional)é"in 2 ". F Porém, para que as crenças sejam consistente com as estratégias da rma entrante, devemos ter que µ=0(contradição). F Portanto,nãoexisteumweakPBEcom µ>

4 2. Segundo,suponhaque µ< 2 3. F Neste caso, a rma incumbente deve escolher"acomodar" com probabilidade 1, de forma que a melhor resposta da rma entrante (estratégiasequencialmenteracional)é"in 1 ". F Porém, para que as crenças sejam consistente com as estratégias da rma entrante, devemos ter que µ=1(contradição). F Portanto,nãoexisteumweakPBEcom µ< Suponha,então,que µ= 2 3. F Neste caso, a rma incumbente está exatamente indiferente entre "lutar" e"acomodar". F Noteque,paraqueascrençassejamconsistentescomasestratégiasda rmaentrante,estadeveescolherentre"in 1 "e"in 2 "comprobs. σ 1 = 2 3 e σ 2= 1 3,respectivamente. F Assim,dadaaestratégiada rmaincumbente(σ F ),a rmaentrante deveestarindiferenteentre"in 1 "e"in 2 ". Portanto, σ F devesertal que: σ F ( 1)+(1 σ F ).3=σ F.γ+(1 σ F ).2 ) σ F = 1 2+γ 11 I Portanto,oúnicoweakPBEdestejogoécaracterizadopor: (σ 0, σ 1, σ 2 )=(0, 2 3,1 3 ), com: σ F = 1 2+γ, µ=

5 ComrelaçãoàcomparaçãoentreosconceitosdeSPNEeweakPBE, vimosanteriormentequenemtodospneéumweakpbe. OexemploaseguirmostraquenemtodoweakPBEéumSPNE. 13 Exemplo4: SPNEeWeakPBE I Considere o seguinte jogo na forma extensiva com três jogadores: I NotequeoúnicoSPNEdestejogoé(t,u,r). 14 I Vamosmostrarque(b,u,`)fazpartedeumweakPBEencontrando um sistema de crenças que suporte este per l de estratégias como equilíbrio. I Observequeparaqueojogador3pre raescolher`,assuascrenças devem atribuir uma probabilidade su cientemente baixa para o nodo x 3u. I Suponha,então,que µ(x 3u )=0. Dadaestacrença,ojogador3prefere escolher ` e, consequentemente, a estratégia ótima para o jogador 2 é escolher u. I Assim,dadasasestratégiasacima,arespostaótimadojogador1éb. 15

6 I Notequeoconjuntodeinformaçãodojogador2nuncaéalcançadoem equilíbrio. Portanto, a regra de Bayes não se aplica neste caso, de formaque µ(x 3u )=0éconsistentecomade niçãodeequilíbrio. I OconceitodeweakPBEnãoimpõenenhumarestriçãosobreas crenças fora do equilibrium path. I Defato,noteque(u,`)nãoésequerumequilíbriodeNashnojogo simultâneoentre2e3. 16 Proposição: UmweakPBEnãoénecessariamenteumSPNE;eum SPNE não é necessariamente um weak PBE. 17 Exercício Considere o seguinte jogo na forma extensiva em que a Natureza escolhe θ comprobabilidade 3 4 e θ0 comprobabilidade 1 4 : Caracterize o conjunto de todos os weak Perfect Bayesina equilibria deste jogo. 18

7 Exercício Suponhaqueojogador2atribuaprobabilidade µ2[0,1]aoevento deestaratuandononododedecisãoesquerdodeseuconjuntode informação. Dadaumacrençaqualquer µ2[0,1]porpartedojogador2,é possível mostrar que: i. AestratégiaLésequencialmenteracionalse,sesomentese, µ 4 5 ; ii. A estratégia M é sequencialmente racional se, se somente se, 2 3 µ 4 5 ; iii. AestratégiaR ésequencialmenteracionalse,sesomentese, µ Suponhaqueojogador1escolha(P,P 0 ). I Neste caso, pelo requisito de consistência(regra de Bayes), a crença do jogador2deveser µ= 3 4. I Assim, a estratégia sequencialmente racional do jogador 2 é M. I Masseojogador2escolheM,entãoojogador1teráincentivopara desviardesuaestratégiaoriginaleescolhers nonododedecisão esquerdo(contradição). 20 Suponha,emseguida,queojogador1escolha(S,P 0 ). I Neste caso, pelo requisito de consistência(regra de Bayes), a crença do jogador2deveser µ=0. I Assim, a estratégia sequencialmente racional do jogador 2 é R. I Masseojogador2escolheR,entãoojogador1teráincentivopara desviardesuaestratégiaoriginaleescolherp nonododedecisão esquerdo(contradição). 21

8 Suponha,então,queojogador1escolha(P,S 0 ). I Neste caso, pelo requisito de consistência(regra de Bayes), a crença do jogador2deveser µ=1. I Assim, a estratégia sequencialmente racional do jogador 2 é L. I Notequeseojogador2escolheL,entãoaestratégiasequencialmente racionaldojogador1é,defato,(p,s 0 ). I Logo,((P,S 0 ),L),com µ=1,constituiumweakperfectbayesian equilibrium. 22 Finalmente,suponhaqueojogador1escolha(S,S 0 ). I Noteque,nestecaso,ocojuntodeinformaçãodojogador2nãoé alcançado no caminho de equilíbrio, de forma que as crenças do jogador2nãoprecisamserderivadaspormeiodaregradebayes. I Aestratégia(S,S 0 )éumamelhorrespostaàestratégialdojogador2 e,estaporsuavez,serásequencialmenteracionalse µ 4 5. I Logo,((S,S 0 ),L),com µ 4 5,constituiumoutroweakPerfect Bayesian equilibrium. 23 Exercício Umcasalestásepreparandoparaumjantar. Foicombinadoquea mulherpreparariaopratoprincipaleohomemtrariaumagarafade vinho. O cardápio do jantar é surpresa. A mulher pode escolher preparar um dos seguintes pratos: massa, carne, peixe e salada. O homem deve escolher trazer um vinho tinto ou branco, sabendo queovinhotintocombinamelhorcommassaecarneequeovinho branco combina melhor com peixe e salada. 24

9 Exercício Ocasaltrabalhaemummesmoescritórioe,aosairemno mdodia, ohomemobservaseamulhersedirecionaparaaesquerda,ondese localizamaslojasparapeixeemassa,ouparaadireita,ondese localizam as lojas para carne e salada. Ohomemobservaadireçãoparaaqualamulhercaminha,masnãoa lojaemqueelafazascompras. Note que esta informação é relevante, pois ela possibilita ao homem formar uma expectativa(crença) sobre o que a mulher irá preparar. A mulher e o homem possuem preferências distintas com relação ao cardápio do jantar, porém ambos gostariam que o vinho combinasse com a comida. 25 Exercício A representação na forma extensiva deste jogo é a seguinte: 26 Exercício Qual é o comportamento ótimo dos jogadores neste caso? O comportamento ótimo envolve a formação de uma crença racional, por parte do homem, sobre as escolhas realizadas pela mulher. Dadas essas crenças, tanto o homem quanto a mulher devem escolher as suas estratégias de forma a maximizar os seus payo s esperados. 27

10 Exercício Questão: Caracterize todos os equilíbrio perfeitos bayesianos em estratégias puras deste jogo. Especi camente, resolva as seguintes questões: a. Veri que se existe um equilíbrio em que a mulher escolhe"peixe". b. Veri que se existe um equilíbrio em que a mulher escolhe"massa". c. Veri que se existe um equilíbrio em que a mulher escolhe"carne". d. Veri que se existe um equilíbrio em que a mulher escolhe"salada". 28 Para cada uma das possíveis estratégias da mulher, procederemos de acordo com a seguinte lógica: 1. Assuma que a mulher realiza uma determinada escolha; 2. Determineascrençaseasescolhasótimasdohomem; 3. Veri que se a mulher possui incentivo para desviar, dada a escolha ótima do homem. Note que, neste jogo, o homem possui dois conjuntos de informação. Portanto, as suas crenças são caracterizadas pelos parâmetros p e q. 29 Primeiro, suponha que a mulher escolha"peixe". I Neste caso, o conjunto de informação esquerdo do homem pertence ao caminho de equilíbrio, enquanto que o direito está fora do caminho de equilíbrio. I Orequisitodequeascrençassejamconsistentescomasestratégiasno caminhodeequilíbrioimplicaquep=1. I Fora do caminho de equilíbrio, as crenças estão livres para assumir qualquervalorq2[0,1]. I Emprincípio,podemosimporqualquervalorparaq,masaideiaé escolher uma crença que nos ajude a sustentar"peixe" como estratégia de equilíbrio. 30

11 I Dadaacrençap=1,ohomemestácertodequejogaránonodo esquerdo do seu conjunto de informação esquerdo. Neste caso, o ótimo para ele é esconher"vinho branco". I Assim, em equilíbrio, o par crença-estratégia do homem no conjunto de informaçãoesquerdoédadopor(p=1,vinhobranco). 31 I Emseguida,devemosveri carse,dadaaestratégiadohomem,a mulher tem incentivo para desviar de"peixe". I De forma geral, esses incentivos dependerão das crenças do homem fora do caminho de equilíbrio. I Nestecaso,porém,acombinaçãodepeixeevinhobrancoresultano payo máximoparaamulher,deformaquetemoscertezadeque,para qualquer valor de q, ela não terá incentivo para desviar. 32 I Ainda assim, por completude, devemos especi car as crenças e as ações do homem no conjunto de informação direito. I Dadaumacrençaq,opayo esperadodohomemassociadoacada uma de suas estratégias é: E(VinhoTinto)=6.q+0.(1 q) e E(VinhoBranco)=2.q+3.(1 q) I Assim,ohomemprefereescolher"vinhotinto"se,esomentese: 6.q+0.(1 q)2.q+3.(1 q) ) q 3 7 Caso contrário, ele prefere escolher"vinho branco". 33

12 I Portanto, temos que um equilíbrio perfeito Bayesiano deste jogo é dado por: peixe, p=1,vinhobranco, q 3 7 q< 3 7, vinho tinto vinho branco 34 Proceda da mesma forma para encontrar o equilíbrio nos demais casos, i.e. "massa","carne" e"peixe". Mostre que os seguintes per s de estratégia e crenças também constituem um equilíbrio perfeito Bayesiano: massa, p=0,vinhotinto,q 37,vinhotinto salada, p 12,vinhotinto,q=0,vinhobranco Demonstre que não existe um equilíbrio perfeito Bayesiano em que a mulher escolhe"carne". 35