EAE 5706: Microeconomia II: Teoria dos Jogos

Transcrição

1 EAE 5706: Microeconomia II: Teoria dos Jogos Aula 9: Jogos Dinâmicos:, Crenças e Racionalidade Sequencial Marcos Y. Nakaguma 30/08/ Revisão Na aula passada, vimos que o princípio da racionalidade sequencial impõe que as estratégias dos jogadores devem especi car ações ótimas em todos os conjuntos de informação do jogo. Um re namento do conceito de equilíbrio de Nash que incorpora o princípio da racionalidade sequencial é o equilíbrio de Nash perfeito de subjogo. Vimos que o procedimento de backward induction pode ser utilizado paraidenti cartodososspnesdeumjogo. 2 Vamos agora de nir, formalmente, o conceito de equilíbrio de Nash Perfeito de Subjogo. Para tanto, precisamos de nir, primeiro, o conceito de subjogo. De nição: Umsubjogodeumjogonaformaextensiva Γ E éum subconjunto deste que possui as seguintes propriedades: i. Elecomeçaemumconjuntodeinformaçãoquecontémumúniconodo dedecisãoecontémtodososnodosdedecisãoqueosucedem; ii. Seumnododedecisãox pertenceaosubjogo,entãotodonodode decisãox 0 contidonomesmoconjuntodeinformaçãoquex também deve pertencer ao subjogo. Isto é, os conjuntos de informação não podem ser"quebrados". 3

2 Exemplo: Subjogos I O jogo abaixo possui dois subjogos: 4 I Aseguir,algunsexemplosdepartesdojogoquenãosãosubjogos: Uma característica importante de um subjogo é a de que ele constitui um jogo em si mesmo e pode ser analizado separadamente. 5 De nição: Umper ldeestratégias σ=(σ 1,..., σ I )emumjogona formaextensiva Γ E éumequilíbriodenashperfeitodesubjogoseele induzumequilíbriodenashemtodosubjogode Γ E. Dizemosqueoper ldeestratégias σinduzumequilíbriodenashem um subjogo qualquer se as ações especi cadas por σ constituem um equilíbrio de Nash do subjogo considerado. 6

3 Em jogos nitos na forma extensiva com informação(possivelmente) imperfeita, podemos aplicar o seguinte procedimento de backward induction generalizado: i. Comece identi cando os equilíbrios de Nash em cada um dos subjogos nais do jogo. ii. SelecioneumequilíbriodeNashparacadaumdessessubjogos naise deriveaformareduzidadojogo,ondeossubjogos naissão substituídos pelos payo s induzidos pelo equilíbrio selecionado. iii. Repitaospassosi eii atéquetodosasaçõessejamidenti cadas. O conjunto de ações determinado por este processo constitui um equilíbrio de Nash perfeito de subjogo. iv. Se houverem equilíbrios múltiplos em algum dos passos deste processo, é possível encontrar o conjunto de todos os equilíbrios perfeitos de subjogo repetindo o procedimento para cada possível combinação de equilíbrios que pode ocorrer nos subjogos deste jogo. 7 É possível mostrar que o processo de backward induction generalizado resultaemumspneeque,inversamente,todospnepodeser identi cado por backward induction. (Ver Proposição 9.B.3). Exemplo1: JogodeEntradacomEscolhadeNichodeMercado I Considere o seguinte jogo na forma extensiva: 8 I Procedendo por backward induction, considere primeiro o subjogo posterior à entrada da rma. I Note que existem dois equilíbrios de Nash em estratégias puras neste subjogo: i. (Large Niche, Small Niche); e ii. (Small Niche, Large Niche). 9

4 I Considere o equilíbrio(large Niche, Small Niche). Neste caso, o jogo reduzido é: I Assim,oSPNEédadopor: ((In,LargeNiche),(SmallNiche)). 10 I Considere agora o equilíbrio(small Niche, Large Niche). Neste caso, o jogo reduzido é: I Assim,oSPNEédadopor: ((Out,SmallNiche),(LargeNiche)). 11 Exemplo 2: The Centipede Game(Rosenthal, 1981) I Considere o seguinte jogo: I Osjogadoresiniciamcom1dólarcadaesealternamdecidindo"parar" ou"continuar", a começar pelo jogador 1. 12

5 I Quandoumjogadorescolhe"continuar",1dólaréretiradodoseu montante e 2 dólares são adicionados ao montante do seu rival. I Ojogoterminaquandoumdosjogadoresescolhe"parar"ou, alternativamente, quando ambos alcançam 100 dólares. I VamosmostrarqueoúnicoSPNEdestejogoétalqueambosos jogadoresescolhem"parar"sempreforasuavezdejogar,detalforma queopayo deequilíbriodosdoisjogadoresédeapenas1dólar. 13 I Observeque,noúltimosubjogo,adecisãoótimadojogador2éde "parar",poisnestecasooseupayo éde101aoinvésde100caso escolhesse"continuar". I Procedendo por backward induction, no penúltimo nodo de decisão, o jogador 1 antecipa o comportamento do jogador 2 e escolhe"parar", poisnestecasooseupayo éde99aoinvésde98casoescolhesse "continuar". I Continuando desta maneira, podemos mostrar que a decisão ótima é "parar"emtodososnodosdedecisãodojogo. Assim,opayo de equilíbrioéde1dólarparaambososjogadores. 14 Uma questão importante relacionada ao conceito de equilíbrio perfeito de subjogo está relacionada ao tema da racionalidade limitada: você deve continuar a atuar de forma sequencialmente mesmo após ver que o seu oponente não está atuando de forma racional? Rosenthal(1981) propôs o jogo da centopéia como o intuito de ilustrar uma situação em que a solução por backward induction é contra-intuitiva. McKelvey e Palfrey(1992) estudaram o jogo da centopéia em um experimento de laboratório e monstraram que, de fato, os jogadores (alunos de Caltech) não atuam de forma sequencialmente racional. 15

6 Em um estudo mais recente, Palacios-Huerta e Volij(2009) reproduziram o experimento com jogadores pro ssionais de xadrez. Contrariamente à evidência anterior, 69% dos participantes escolheram terminar o jogo imediatamente. Além disso, quando um grande-mestre estave entre os participantes, todos decidiram terminar o jogo imediatamente! Este resultado evidencia a importância da hipótese de conhecimento comum da racionalidade. 16 Exemplo 3: Barganha Bilateral Finita(Stahl, 1972) I Doisjogadoresbarganhamsobrecomodividirv dólaresemumjogo sequencial de T (ímpar) períodos. I Noprimeiroperíodo,ojogador1ofereceaojogador2aquantiade b 1 2[0,v];ojogador2podeaceitarourejeitarestaoferta. I Seeleaceitá-la,ojogoterminaeaofertaéimplementada;seele rejeitá-la, o jogo prossegue para o segundo período. 17 I Gra camente, temos a seguinte interação dinâmica: 18

7 I Nosegundoperíodo,ojogador2ofereceaojogador1aquantiadeb 2 2[0,v];ojogador1podeaceitarourejeitarestaoferta. Eassimpor diante... I OjogoprossegueatéoperíodoT,ondeojogador1fazaúltima oferta. Neste caso, ambos os jogadores recebem payo zero caso não alcancem um acordo. I Osjogadoresdescontamosperíodospelofator δ2(0,1),deformaque umdólarrecebidoemt gerapayo de δ t I Vamos mostrar que existe um único equilíbrio perfeito de subjogo. I Procedendo por backward induction, note que no período T o jogador 2prefere(fracamente)aceitarqualquerofertatalqueb T 0. I Assim,aúnicarespostaótimadojogador1nestesubjogoépropor b T =0. I Observe que os payo s descontados induzidos por essas estratégias são (δ T 1 v,0). 20 I ConsidereagoraoperíodoT 1,ondeojogador2éoproponente. I Notequenestecasoojogador1possuiincentivoparaaceitarqualquer propostab T 1 talque: δ T 2 b T 1 δ T 1 v ) b T 1 δv I Assim,aúnicarespostaótimadojogador2nestesubjogoépropor b T 1 = δv. I Observe que os payo s descontados induzidos por essas estratégias são (δ T 1 v, δ T 2 (v δv)). 21

8 I ConsidereagoraoperíodoT 2,ondeojogador1éoproponente. I Notequenestecasoojogador2possuiincentivoparaaceitarqualquer propostab T 2 talque: δ T 3 b T 2 δ T 2 (v δv) ) b T 2 δ(v δv) I Assim,aúnicarespostaótimadojogador1nestesubjogoépropor b T 2 = δv δ 2 v. I Observe que os payo s descontados induzidos por essas estratégias são (δ T 3 (v (δv δ 2 v)), δ T 3 (δv δ 2 v)). 22 I ConsidereagoraoperíodoT 3,ondeojogador2éoproponente. I Notequenestecasoojogador1possuiincentivoparaaceitarqualquer propostab T 3 talque: δ T 4 b T 3 δ T 3 (v (δv δ 2 v)) ) b T 3 δ(v (δv δ 2 v)) I Assim,aúnicarespostaótimadojogador1nestesubjogoépropor b T 3 = δv δ 2 v+ δ 3 v. I Observe que os payo s descontados induzidos por essas estratégias são (δ T 4 (v (δv δ 2 v+ δ 3 v)), δ T 4 (δv δ 2 v+ δ 3 v)). 23 I Continuando desta maneira, obtemos que: b T 3 = δv δ 2 v+ δ 3 v b T 4 = δv δ 2 v+ δ 3 v δ 4 v. b 1 = δv δ 2 v+ δ 3 v δ 4 v+ δ 5 v...+δ T 1 v I Assim, temos que o único equilíbrio perfeito de subjogo envolve a seguinte sequência de ofertas: b T =0 e b T t = v t ( δ) τ = δ(1 ( δ)t ) v, parat=1,...,t 1 τ=1 1+δ Note que essas ofertas são aceitas em todos os subjogos. 24

9 I Assim,opayo deequilíbriodojogador1édadopor: π 1 =v b 1=v 1+δT 1+δ, enquantoqueopayo deequilíbriodojogador2é: π2 =b 1= δv 1 δt 1 1+δ I NotequequandoT!,temos: e π 1 = v 1+δ π 2 = δv 1+δ 25 (Extra) Exemplo 4: Torneios(Lazear e Rosen, 1981)(Ver Gibbons, 2.2.D) I Considere uma relação entre dois empregados e um empregador. I A produção gerada por cada trabalhado é determinada pela seguinte função: y i =e i + ε i, ondee i éoníveldeesforçoexercidopelotrabalhadoreε i éumtermo aleatóriocommédiazeroedistribuiçãof (ε). I Assume-se que embora a produção seja observável, o nível de esforço exercido por cada trabalhador é não observável. I Assim, o empregador pode condicionar o salário do trabalhador à produção observada, mas não ao nível de esforço exercido por ele. 26 (Extra) I LazeareRosen(1981)propuseramummodeloemqueoempregador induz os trabalhadores a exercerem esforço fazendo-os competir em um torneio. I Ao naldoperíodo,otrabalhadorcomamaiorproduçãorecebeum salárioigualaw H,enquantootrabalhadorcomamenorprodução recebew L. I Afunçãodeutilidadedosempregadosédadapor: u(w,e)=w g(e), ondeafunçãog()representaocustodoesfoço,comg 0 ()>0e g 00 ()>0.Afunçãolucrodoempregadoré: π(y 1,y 2,w H,w L )=y 1 +y 2 w H w L 27

10 (Extra) I Asequênciadeeventoséaseguinte: 1. Oempregadorestabeleceossaláriosw L ew H. 2. Ostrabalhadoresobservamossaláriosescolhidos,w L ew H,edecidem simultaneamentequantoesforçoexercer,e 1 ee Oschoquesaleatórios, ε 1 e ε 2,sãorealizadosesaláriossãopagosaos trabalhadores. 28 (Extra) I Vamos caracterizar o equilíbrio perfeito de subjogo deste jogo. I Procedendo por backward induction, temos que, dados os níveis de esforço dos trabalhadores, os salários são determinados da seguinte maneira: i. Sey i (e i )y j (e j ),entãow i =w H ; ii. Sey i (e i )<y j (e j ),entãow i =w L. 29 (Extra) I Notequeaprobabilidadedotrabalhadori vencerotorneioédadapor: Pr y i (e i )y j (e j ) = Pr ε i e j + ε j e i = Pr ε i e j + ε j e i jε j f ε j dεj ε j = [1 F(e j + ε j e i )]f ε j dεj ε j I Assim,dadoumacombinaçãodeesforços(e 1,e 2 ),autilidadeesperada dotrabalhadori édadapor: w H ε j [1 F(e j + ε j e i )]f ε j dεj =(w H w L ) 1 +w L 1 ε j [1 F(e j + ε j e i )]f ε j dεj ε j [1 F(e j + ε j e i )]f ε j dεj g(e i ) +w L g(e i ) 30

11 (Extra) I Os trabalhadores escolhem simultaneamente os seus níveis de esforço (e 1,e 2 ). Umpardeestratégias(e 1,e 2 )constituiumequilíbriodenash dojogosimultâneose,esomentese,paratodoi,e i resolve: max (w e H w L ) 1 i ε j [1 F(e j + ε j e i )]f ε j dεj +w L g(e i ) I Acondiçãodeprimeiraordemassociadaaesseproblemaédadapor: (w H w L ) f(e j + ε j e i )f ε j dεj =g 0 (e i ), ε j i.e. a utilidade marginal do esforço deve ser igual ao seu custo marginal. (Extra) 31 I Assim,emumequilíbriosimétrico,i.e. e 1 =e 2 =e,temos: (w H w L ) f (ε) 2 dε=g 0 (e i ) ε I Alémdisso,assumindoque εn(0, σ 2 ),segueque: 1 (w H w L ) ε2σ p π dε=g0 (e ) () Portanto,quantomaioroprêmioparaovencedor,(w H w L ),maioro esforço exercido pelos trabalhadores e, por outro lado, quanto maior a variância dos choques de produtividade, menor o esforço exercido. 32 (Extra) I Procedendo por backward induction, o empregador antecipa que as decisõesdeesforçodosagentesserãotomadasdeacordocom(). I Alémdisso,eleescolhew L ew H deformaamaximizarasuautilidade esperada sujeito à condição de participação dos trabalhadores: max w L,w H E(y 1 +y 2 w L w H )=2e w L w H sujeito a 1 2 w H+ 1 2 w L g(e )u, onde u representa o valor da"outside option" dos trabalhadores. 33

12 (Extra) I Nopontodeótimo,acondiçãodeparticipaçãodevesersatisfeitacom igualdade, de forma que podemos re-expressar o problema acima como: max e 2e 2g(e ) 2u Logooníveldeesforçoótimoqueoempregadorgostariadeinduziros trabalhadores a exercer deve satisfaz a seguinte condição: g 0 (e )=1 I Notequeossaláriosqueimplementamoesforçoótimoe,aomesmo tempo, satisfazem a condição de participação dos agentes são tais que: (wh wl ) 1 2σ p π dε=1 e ε 1 2 w H +1 2 w L g(e )=u 34 Crenças e Racionalidade Sequencial Crenças e Racionalidade Sequencial Existem alguns casos em que o conceito de equilíbrio perfeito de subjogo não será su ciente para capturar o princípio de racionalidade sequencial. Este é o caso dos jogos não possuem subjogo próprio. 35 Exemplo1: JogocomDuasFormasdeEntrada I Considere o seguinte jogo na forma extensiva: Observequea rmaincumbentenãoécapazdeobservaraestratégia utilizada pela rma entrante caso ela decida entrar no mercado. 36

13 Crenças e Racionalidade Sequencial I Note que existem dois equilíbrios de Nash em estratégias puras neste jogo,(out, ght)e(in 1,accommodate). I Porém, como discutimos anteriormente, o equilíbrio(out, ght) não é razoável, pois o incumbente sempre prefere acomodar caso a entrada ocorra. I Observequeocritériodeperfeiçãodesubjogonãoéútilnestecaso, poisoúnicosubjogoéoprópriojogoe,portanto,oconjuntode equilíbrios de Nash é igual ao conjunto de equilíbrios perfeitos de subjogo. I Como poderíamos eliminar este equilíbrio pouco razoável neste caso? 37 Crenças e Racionalidade Sequencial Nesta seção, introduzimos o conceito de weak perfect Bayesian equilibrium que estende o princípio da racionalidade sequencial adicionando formalmente a ideia de crenças. De nição: Umsistemadecrenças µemumjogoextensivo Γ E consisteemumconjuntodeprobabilidades µ(x)2[0,1]paracada nododedecisãox em Γ E talque: µ(x)=1 x2h para todo conjunto de informação H. Intuitivamente, um sistema de crenças especi ca a probabilidade que umjogadoratribuiaoeventodeencontrar-seemumcertonodode decisão, x, dentre todos aqueles pertencentes a um mesmo conjunto de informação, H. 38 Crenças e Racionalidade Sequencial Noteque µ(x)=1paratodox talqueh(x)=fxg,i.e. ascrenças são degeneradas em conjuntos de informação que contém um único elemento. Seja E[u i jh, µ, σ i, σ i ]autilidadeesperadadojogadori apartirdo conjuntodeinformaçãoh,dadoumsistemadecrenças µeoper l deestratégias σ i e σ i. De nição: Umper ldeestratégias σ=(σ 1,..., σ I )ésequencialmente racionalemumconjuntodeinformaçãoh dadoumsistemade crenças µ se: E[u i jh, µ, σ ι(h), σ ι(h) ]E[u i jh, µ,eσ ι(h), σ ι(h) ] paratodoeσ ι(h) 2 (S ι(h) ),onde ι(h)denotaojogadorqueatuano conjunto de informação H. 39

14 Crenças e Racionalidade Sequencial Umper ldeestratégias σ=(σ 1,..., σ I )quesatisfazacondição acima para todo conjunto de informação H é denominado sequencialmente racional dado um sistema de crenças µ. Intuitivamente, um per l de estratégias σ é sequencialmente racional senenhumjogadorpossuirincentivoparaalterarasuaestratégia σ i emqualquerumdeseusconjuntosdeinformação,dadooseusistema decrenças µeasestratégiasdosdemaisjogadores σ i. Com base nos conceitos apresentados acima, podemos de nir um weak perfect Bayesian equilibrium. 40 Este conceito de solução requere que, em equilíbrio: i. As estratégias sejam sequencialmente racionais dadas as crenças dos jogadores; e ii. As crenças sejam consistentes com as estratégias dos jogadores, i.e. sempre que possível, as crenças devem ser derivadas a partir das estratégiaspormeiodaregradebayes. Assim,dadox2H,devemos ter que: Pr(xjσ) µ(x)=pr(xjh, σ)= x 0 2H Pr(x 0 jσ), onde x 0 2H Pr(x 0 jσ)>0. De nição: Umper ldeestratégiaseumsistemadecrenças(σ,µ)é um weak perfect Bayesian equilibrium(weak PBE) se(σ, µ) satisfaz as seguintes propriedades: i. Oper ldeestratégias σésequencialmenteracionaldadoosistemade crenças µ. ii. Osistemadecrenças µéderivado,semprequepossível,apartirdo per l de estratégias σ através da regra de Bayes, i.e. para qualquer conjuntodeinformaçãoh compr(hjσ)>0,temosque: 41 µ(x)= Pr(xjσ) Pr(Hjσ) paratodox2h Observe que a caracterização de um weak PBE requer a especi cação tantodeumper ldeestratégias, σ,quantodeumsistemade crenças, µ. 42

15 Otermo"weak"sedeveaofatodeade niçãonãoimpõenenhuma restrição sobre as crenças em conjuntos de informação que ocorrem com probabilidade zero, i.e. fora do equilibrium path. Exemplo 1: Jogo com Duas Formas de Entrada I Considere novamente o seguinte jogo sequencial: I Lembre-sequeestejogopossuidoisSPNE,(out, ght)e(in 1, accommodate). 43 I Vamosmostrarqueoper ldeestratégias(out, ght)nãofazpartede nenhum weak PBE. I Notequeumsistemadecrençasnestejogopodeserdescritoporum únicovalor λ2[0,1]quedáaprobabilidadeda rmaincumbente encontrar-senonododedecisãoqueseguede"in 1 ". I Observequeaestratégiaótimada rmaincumbenteé "accommodate", visto que: λ.0+(1 λ).1λ.( 1)+(1 λ)( 1) paraqualquer λ2[0,1]. ) (1 λ) 1, 44 I Portanto, temos que somente"accommodate" é sequencialmente racional para qualquer sistema de crenças. I Consequentemente,somenteoper ldeestratégias(in 1,accommodate) podefazerpartedeumweakpbe. I Além disso, dado esse per l de estratégias, temos que, em equilíbrio, queosistemadecrençasdevesertalque λ=1. 45

16 A proposição a seguir provê a relação entre os conceitos de equilíbrio denasheweakpbe. Proposição: Umper ldeestratégias σéumequilíbriodenashse,e somente se, existe um sistema de crenças tal que: i. Oper ldeestratégias σésequencialmenteracionaldadoosistemade crenças µemtodoconjuntodeinformaçãoh talquepr(hjσ)>0. ii. Osistemadecrenças µéderivado,semprequepossível,apartirdo per l de estratégias σ através da regra de Bayes. 46 Observe que a única diferença entre as de nições de equilíbrio de NasheweakPBEéadeque,paraoequilíbriodeNash,a racionalidade sequencial é requerida apenas no equilibrium path. Corolário: TodoweakPBEéumequilíbriodeNash,masnemtodos equilíbriodenashéumweakpbe. 47 Exemplo 2: Jogo de Entrada com"joint Venture" I Considere o seguinte jogo na forma extensiva: 48

17 I A rmaincumbenteécapazdeobservarapenassea rmae1decidiu entrarnomercado,porémnãosabeseelacontaounãocoma assistênciada rmae2. I Amelhorrespostada rmaincumbenteé" ght"somentesea rma E1estásozinha. I Poroutrolado,a rmae1,quandosozinha,prefereentrarsomentese ela espera que a rma incumbente escolha"accommodate", enquanto que, quando assistida por E 2, ela sempre prefere entrar. 49 I ParaencontraroúnicoweakPBEdestejogo,observeque,emqualquer equilíbrio,a rmae2devesempreaceitarapropostadejointventure, pois isso lhe garante um payo estritamente positivo. I Mas,nestecaso,a rmae1devesemprefazerapropostadejoint ventureparae2. I Logo,concluímosqueoconjuntodeinformaçãoda rmai é alcançado, em equilíbrio, com probabilidade 1. I Alémdisso,osistemadecrençasdeveatribuirprobabilidade1aonodo dedecisãoquesegueoaceiteda rmae2. 50 I Dadas essas estratégias, a rma incumbente deve escolher acomodar a entradada rmae1. I Finalmente, dado que a rma incumbente escolhe acomodar, a rma E1deveentrarmesmoquea rmae2rejeiteapropostadejoint venture(ação fora do caminho de equilíbrio). I Assim,concluímosqueoúnicoweakPBEdestejogoéconstituídopelo seguinte per l de estratégias: σ E1 =("proposejointventure","in") e pelo seguinte sistema de crenças: σ E2 =("accept") σ I =("accommodate") µ("middlenode")=1 51