Perguntas. UFRJ Teoria dos Jogos e das Organizações Professor Alexandre B. Cunha Lista 1.2

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1 UFRJ Teoria dos Jogos e das Organizações Professor Alexandre B. Cunha Lista 1. Perguntas (1 Considere um mercado no qual existe um duopólio. As rmas produzem um bem homogêneo. A demanda de mercado é descrita por Q D 600 p e o custo total da rma i é dado por C i (q i 50q i. Suponha que as rmas escolham os preços de forma simultânea. (a Identi que todos os elementos constituintes do jogo descrito acima. (b De na equilíbrio de Nash para o jogo em questão. (c Identi que um equilíbrio de Nash para esse jogo. (d Prove que o equilíbrio que você apresentou no item anterior é único. (e Compute os preços, quantidades e lucros no equilíbrio de Nash. ( Considere o mercado descrito no exercício (1. Suponha que as rmas escolham as quantidades produzidas de forma simultânea. Refaça os itens (a, (b, (c, (d e (e do exercício (1. (3 Considere um mercado no qual existe um duopólio. As rmas produzem bens diferenciados. As demandas de são descritas por q D p 1 + p e q D p 1 p e as funções de custo total C i (q i q i. Suponha que as rmas escolham os preços de forma simultânea. Refaça os itens (a, (b, (c, (d e (e do exercício (1. (4 Considere o mercado descrito no exercício (3. Suponha que as rmas escolham as quantidades produzidas de forma simultânea. (a Ache o equilíbrio de Nash. (b Ache os valores de equilíbrio dos preços e dos lucros. (c Compare preços, quantidades e lucros de equilíbrio com os do exercício (3. (5 Exercício 1.4 (página 49 de Gibbons. (6 Exercício 1.6 (página 49 de Gibbons. (7 Exercício 1.8 (página 50 de Gibbons. 1

2 Gabarito Sintético (1a Os jogadores são as rmas 1 e. Os conjuntos de estratégias são dados por S 1 S R +. As funções de payo são os lucros 1 e, os quais são dados por 8 < 0 se p 1 > p 600 p 1 (p 1 ; p 1 (p : 1 50 se p 1 p (600 p 1 (p 1 50 se p 1 < p e 8 < (p 1 ; p : (600 p (p 50 se p 1 > p 600 p (p 50 se p 1 p 0 se p 1 < p. (Você deveria explicitar a hipótese de que se as rmas cobram preços iguais, então elas vendem a mesma quantidade. (1b Um equilíbrio de Nash é um vetor (p 1; p tal que p 1 resolve o problema e p resolve o problema max 1 (p 1 ; p p 1 R + max p R + (p 1; p. (1c O vetor (50; 50 é um equilíbrio de Nash. Observe que (i 1 (50; 50 0, (ii 1 (p 1 ; 50 < 0 se p 1 < 50 e (iii 1 (p 1 ; 50 0 se p 1 > 50. Logo, p 1 50 é uma escolha ótima para rma 1 quando p 50. Raciocínio similar estabelece que p 50 é uma escolha ótima para rma quando p (1d É su ciente mostrar que (i não há equilíbrio de Nash com p 1 < 50 ou p < 50 e (ii não há equilíbrio de Nash com p 1 > 50 ou p > 50. Considere o item (i. Como as rmas são idênticas, basta mostrar que não há equilíbrio de Nash com p < 50. (1 Se essa igualdade se veri ca, então a escolha ótima da rma 1 pertencerá ao conjunto (p ; 1. Porém, se (p 1 ; p satisfaz (1 e p 1 > p, então (p 1 ; p < 0. Porém, (p 1 ; 50 0 para todo p 1. Logo, (1 não pode ocorrer em um equilíbrio de Nash. Com relação ao item (ii, basta mostrar que não há equilíbrio de Nash tal que p > 50. ( Se essa igualdade se veri ca, então a escolha ótima da rma 1 pertencerá ao conjunto (50; p. Porém, (p 1 ; p 0 em tal contexto. Claramente, a rma então terá um incentivo para estabelecer um preço no intervalo (50; p 1 de forma a ter um lucro positivo. Logo, ( não pode se veri car em um equilíbrio de Nash. (1e p 1 p 50; q 1 q 75; 1 0

3 (a 1 e ; S 1 S R + ; 1 (q 1 ; q (600 q 1 q q 1 50q 1 e (q 1 ; q (600 q 1 q q 50q (b Vetor (q1; q tal que qi resolve o problema max i (q i ; q q i R + i. (c e (d Calcule as curvas de reação das rmas e mostre que q 1 q 5503 é a única solução. (e q 1 q 5503; p 7003; (3a 1 e ; S 1 S R + ; 1 (p 1 ; p (1000 4p 1 + p (p 1 e (p 1 ; p ( p 1 p (p (3b Vetor (p 1; p tal que p i resolve o problema max i (p i ; p p i R + i. (3c e (3d Calcule as curvas de reação e mostre que (p 1; p (15097; é a única solução. (3e q , q ; 0, 51061; 3 (4a Escreva as funções de demanda do exercício (3 na forma matricial. Ou seja, q1 4 1 p Desta forma, q p1 p 4 1 p1 q p q q q 1000 p q1 q. q 1 q p Obtenha as curvas de reação. Você concluirá que (q 1; q (49867; (4b p , p ; 5, ; 8 (4c p 1 é maior em (4;... (5 O payo do jogador 1 é dado por 1 (q 1 ; :::; q n A sua curva de reação é descrita por a p X n q i c q 1. i1 q 1 a c P n i q i. (3 3

4 Utilize o fato de que os jogadores são idênticos para concluir que q i q em equilíbrio. Desta forma, q a c (n 1q q a c n + 1. Observe que a última igualdade especi ca as estratégias no equilíbrio de Nash. Adicionalmente, n (Q ; P n + 1 (a a + nc c;. n + 1 Logo, lim n!1 q 0, lim Q a c e lim P c. n!1 n!1 Desta forma, Q e P convergem para os valores que seriam observados em um mercado perfeitamente competitivo. (6 Sem perda de generalidade assuma que c 1 < c. O ponto central em tal contexto é que a rma com custo mais elevado pode ser expulsa do mercado. Para referência futura, vamos computar o equilíbrio para o caso em que a rma 1 é monopolista. Em tal contexto, q1 m a c 1 e P m a + c 1. (4 Suponha agora que c > a + c 1. Em tal contexto, se a rma 1 vender q1 m, então P P m. Não é difícil concluir que a melhor resposta para a rma será produzir zero (pois c > P m. Desta, o equilíbrio de Nash será (q1; q (q1 m ; 0. O preço de equilíbrio será igual a P m. Considere o caso em que 0 < c 1 < c < a. Observe que c < a c < P m. Logo, a rma 1 poderá operar. As curvas de reação serão dadas por q 1 (a c 1 q e q (a c q 1. Assim sendo, (q 1; q 1 3 (a c 1 + c ; a + c 1 c. (7 Dicas : (i assuma que o payo de um jogador é igual a 1 quando ele ganha a eleição e zero quando ele perde; não assuma que o payo é igual a fração dos votos obtidos e (ii trabalhe com a linha reta ao analisar a resolução abaixo. Considere inicialmente o caso em n. Se x 1, então 1 perderá a eleição se x 1 não for igual a 1 e haverá um empate se x 1 for igual a 1. Podemos então concluir que (x 1; x (1; 1 é um equilíbrio de Nash. (Detalhe: o argumento deste parágrafo tem os elementos necessários para estabelecer a unicidade! 4

5 Considere agora o caso em n 3. O vetor (x 1; x ; x 3 (14; 14; 34 é um equilíbrio de Nash (observe que 3 ganha eleição e uma mudança unilateral de estratégia por parte do jogador 1 não o fará ganhar eleição. A processo de obtenção desse equilíbrio é detalhado abaixo. Como os nomes são irrelevantes, não há perda de generalidade em assumir que x 1 x x 3. Observe que não há equilíbrio de Nash com x 1 x x 3. Logo, qualquer equilíbrio deve satisfazer x 1 < x x 3 ou x 1 x < x 3. Observe que podemos restringir a análise ao caso em que x 1 x < x 3. Tentaremos construir um equilíbrio simples no qual 3 ganha a eleição e os perdedores adotam a mesma plataforma. Suponha que x tenha 50% dos votos e os os outros dois tenham 5% cada. Para que isto ocorra, é necessário que x 1 x 14 e x Adicionalmente, 1 não tem como obter uma vitória mudando unilateralmente a sua plataforma. O mesmo vale para. Vale ressaltar que a obtenção desse equilíbrio envolveu alguma dose de tentativa & erro. Por m, vale ressaltar que esta questão também tem implicações para diferenciação de produtos. 5