O número de transições de uma estrutura de jogo concorrente é

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1 4 Lógicas para Jogos Dentre as diversas lógicas existentes para raciocinar sobre jogos, escolhemos apresentar as seguintes lógicas: Alternating-time Temporal Logic ATL AHK02 e sua variante Counterfactual Alternating-time Temporal Logic CATL vdhjw05 que são interpretadas sobre modelos de jogos nãocooperativos, especificamente jogo extensivo; e Coalitional Game Logic CGL ÅWvdH06 que é interpretada sobre modelos cooperativos, especificamente jogos de coalizão sem utilidades transferíveis. Escolhemos essas lógicas por acreditarmos que elas são as mais representativas para modelar cada tipo de interação, ou seja, os modelos nãocooperativos e os cooperativos. 4.1 Alternating-temporal logic ATL Alternating-time Temporal Logic ATL AHK02 é uma lógica interpretada sobre estruturas de jogos concorrentes que podem ser vistos como sistemas abertos, onde um sistema aberto é um sistema que interage com seu ambiente e o seu comportamento depende do estado do sistema assim como do ambiente. Os jogadores representam tanto os componentes individuais como também o ambiente do sistema aberto. As transições dos estados são definidas através das escolhas das ações dos jogadores, uma para cada jogador. A lógica ATL estende a lógica CTL permitindo que os operadores temporais sejam parametrizados por um subconjunto dos jogadores. Abaixo apresentamos a linguagem não-lógica, a sintaxe e semântica de ATL. Definição 4.1 Uma linguagem não-lógica de ATL é um par n, Π, onde n é um número natural maior do que 0, que representa o número de jogadores, e Π é um conjunto de letras proposicionais. Identificamos os jogadores com os números 1,..., n. Definição 4.2 Seja n, Π uma linguagem não-lógica de ATL, p Π e I {1, 2,..., n} um conjunto de jogadores. A linguagem lógica de ATL é gerada pela seguinte BNF: Φ ::= p Φ Φ Φ I XΦ I GΦ I ΦU Φ

2 Capítulo 4. Lógicas para Jogos 80 O operador I é um quantificador de caminho que é parametrizado pelo conjunto de jogadores I. X Next, G Globally, e U Until são operadores temporais similares a CTL. Os operadores, e F são definidos através dos operadores de ATL de forma semelhante aos operadores de CTL. Definição 4.3 Seja n, Π uma linguagem não-lógica de ATL. Uma estrutura de jogo concorrente é definida por C = Q, Q o, π, a, δ, onde: Um conjunto finito não-vazio Q de estados. Um conjunto Q o de estados iniciais. Para cada estado q Q, associa-se um conjunto πq Π de proposições verdadeiras no estado q. A função π é chamada de função de rótulos. Para cada jogador i {1,..., n} e cada estado q Q, associa-se um número natural a i q 1 de ações disponíveis 1,..., a i q no estado q para o jogador i. Para cada estado q Q, um perfil de ações para o estado q é uma n-upla a 1,..., a n tal que 1 a i a i q para cada jogador i. Dado um estado q Q, escrevemos Aq para o conjunto {1,..., a 1 q}... {1,..., a n q} de perfis de ações. A função A é chamada de função de ação. Para cada estado q Q e cada n-upla de ações a 1,..., a n Aq, associa-se um estado δq, a 1,..., a n Q que resulta quando cada jogador i {1,..., n} no estado q escolhe a ação a i. A função δ é chamada de função de transição O número de transições de uma estrutura de jogo concorrente é q Q a 1q... a n q, i.e., o número de perfis de ações da função A. Note que este número não é limitado a n 2 como em estruturas de Kripke, onde n é o número de estados da estrutura de Kripke. Note que uma estrutura de jogo concorrente pode ser transformada em um jogo extensivo com informação quase perfeita da mesma forma que uma estrutura de Kripke é transformada em uma árvore infinita. Um caminho de C é uma seqüência infinita λ = q 0, q 1, q 2,... de estados tal que para todo k 0, existe uma n-upla de ações a Aq, onde q k+1 = δq k, a. Referenciamos um caminho começando em um estado q como um q-caminho. Denotamos λ k e λ 0,k como o estado q k do caminho λ, o prefixo q 0, q 1,..., q k de λ, respectivamente. Para apresentar a semântica de ATL, a noção de estratégia e outcomes de estratégias são definidos abaixo.

3 Capítulo 4. Lógicas para Jogos 81 Definição 4.4 Uma estratégia para um jogador i é uma função s i que mapeia cada seqüência finita de estados 1 de λ em um número natural tal que se o último estado de λ é q, então s i λ a i q. Para um conjunto de jogadores I, denotamos S I como o conjunto de estratégias para os jogadores em I. A noção de estratégia acima requer que o jogador tenha lembrança perfeita perfect recall de todos os estados que aconteceram anteriormente a um dado estado. Na verdade, para o propósito da lógica ATL o conceito de estratégia pode ser definido para lembrança imperfeita imperfect recall, i.e., uma função s i : Q N que mapeia cada estado em um número natural. Contudo, para a lógica ATL*, que é a lógica análoga a CTL* com os operadores parametrizados como em ATL, o mesmo não é verdadeiro. Definição 4.5 Sejam I um conjunto de jogadores, S I um conjunto de estratégias e q um estado. Definimos outcomes de S I a partir de q como sendo o conjunto Γq, S I de q-caminhos que os jogadores em I podem forçar quando eles usam as estratégias em S I. Assim, λ = q 0, q 1, q 2,... Γq, S I, se q = q 0 e para todo k 0, existe um perfil de ações a 1,..., a i,..., a n Aλ k tal que, para cada jogador i I, a i = s i λ 0,k e δλ k, a 1,..., a i,..., a n = λ k+1. Definição 4.6 Sejam C = Q, Q o, Π, π, a, δ uma estrutura concorrente de jogo com linguagem não-lógica n, Π, I um subconjunto de jogadores {1, 2,..., n} e q um estado em Q. A definição formal de satisfação = é definida como segue: C = q p p πq. C = q α NÃO C = q α. C = q α β SE C = q α, ENTÃO C = q β. C = q I Xα existe um conjunto S I de estratégias, uma para cada jogador i I, tal que em todos os caminhos λ Γq, S I vale que C = λ1 α. C = q I Gα existe um conjunto S I de estratégias, uma para cada jogador i I, tal que em todos os caminhos λ Γq, S I e para todo k 0 vale que C = λk α. C = q I αuβ existe um conjunto S I de estratégias, uma para cada jogador i I, tal que em todos os caminhos λ Γq, S I, existe um k 0 tal que C = λk β e para todo 0 j < k vale que C = λj α. 1 As seqüências finitas no contextos de jogos são os históricos não-terminais.

4 Capítulo 4. Lógicas para Jogos 82 O quantificador de caminhos I de ATL coincide com o quantificadores de caminhos E e A de CTL quando o conjunto I = {1,..., n} e I =, respectivamente. Desta forma, temos que [EX] e [AX] de CTL são os operadores {1,..., n} X e X, respectivamente. Exemplo 4.7 Considere um sistema com dois processos, 1 e 2. O processo 1 atribui valor a uma variável booleana A. Quando A = false, então 1 deixa o valor de A inalterado ou altera-o para true. Quando A = true o processo 1 deixa o valor de A inalterado. De forma semelhante, o processo 2 atribui valor a uma variável booleana B. Quando B = false, então 2 deixa o valor de B inalterado ou altera-o para true. Quando B = true, então 2 deixa o valor inalterado. Modelamos a composição síncrona destes dois processos pela seguinte estrutura de jogo concorrente S AB = Q, Q o, π, a, δ com linguagem não-lógica n, Π : n = 2. O jogador 1 representa o processo 1, e o jogador 2 o processo 2. Q = {q, q A, q B, q AB }. No estado q temos A = B = false, no estado q A temos A = true e B = false, e de forma semelhante os estados q B e q AB têm interpretações similares. Q o = {q}. Π = {A, B}. Os valores das variáveis a serem observadas. πq =, πq A = {A}, πq B = {B}, πq AB = {A, B}. a 1 q = a 1 q B = 2 e a 1 q A = a 1 q AB = 1. No estado q e q B, a ação 1 do jogador 1 deixa o valor de A inalterado, e a ação 2 altera o valor de A. No estado q A e q AB, o jogador 1 tem apenas uma ação, que deixa o valor de A inalterado. a 2 q = a 2 q A = 2 e a 2 q B = a 2 q AB = 1. Nos estados q e q A, a ação 1 do jogador 2 deixa o valor de B inalterado, e a ação 2 altera o valor de B. Nos estados q B e q AB, o jogador 2 tem apenas uma ação, que deixa o valor de B inalterado. O estado q tem 4 sucessores : δq, 1, 1 = q, δq, 1, 2 = q B, δq, 2, 1 = q A, δq, 2, 2 = q AB. O estado q A tem dois sucessores: δq A, 1, 1 = q A, δq A, 1, 2 = q AB. O estado q B tem dois sucessores: δq B, 1, 1 = q B, δq B, 2, 1 = q AB. O estado q AB tem apenas um sucessor: δq AB, 1, 1 = q AB.

5 Capítulo 4. Lógicas para Jogos 83 1, 1 q 2, 1 2, 2 1, 2 1, 1 1, 1 1, 1 A A B B 1, 2 2, 1 q A q AB q B Figura 4.1: Estrutura de jogo concorrente do exemplo 4.7. Representamos esta estrutura na figura 4.1. A função δ é representada pelas setas que são rotuladas pela ações. Por exemplo, δq, 1, 1 = q é uma seta rotulada por 1, 1. Abaixo apresentamos algumas fórmulas com suas relações de satisfação para o exemplo 4.7. S AB = q {2} XB, pois o jogador 2 pode escolher a ação 2 para tornar B verdadeiro. S AB = q {2} XA = B, pois se o jogador 2 escolher a ação 1, então o jogador 1 pode escolher a ação 2 obtendo A B, mas, por outro lado, se o jogador 2 escolher a ação 2, então o jogador 1 pode escolher a ação 1 obtendo novamente A B. Somente recentemente uma axiomatização correta e completa foi apresentada para ATL GvD06, cuja complexidade para o problema da satisfatibilidade para uma fórmula α com um número finito de jogadores é EXP-completo. Por outro lado, a verificação de modelos é P-Completo, e pode ser feita em Om α, onde m é o número de transições e α é o número de operadores na fórmula α. O verificador de modelos Mocha AHM + 98 utiliza-se de OBDD para uma representação implícita da estrutura concorrente. Em AHK02 é demonstrado que se os jogadores possuem informação imperfeita, i.e., conhecem apenas alguns dos símbolos proposicionais Π, a verificação de modelos é indecidível. Em Sch04 este resultado é estudado de forma mais detalhada, e demonstra-se que de fato jogo com lembrança perfeita é indecidível, por outro lado jogo com lembrança imperfeita é decidível. Os detalhes podem ser encontrados nos referidos artigos.

6 Capítulo 4. Lógicas para Jogos Counterfactual ATL A lógica Counterfactual ATL vdhjw05 é uma extensão da lógica ATL que possui operadores modais contra-factuais C i s i, α, que podem ser lidos como se fosse o caso do jogador i escolher a estratégia s i, então α valeria. Para exemplificar este operador, considere o exemplo se Napoleão tivesse ganho a guerra, então todos nós falaríamos francês. Com estes operadores é demonstrado como representar o conceito de equilíbrio de Nash. Basicamente o que se faz é adicionar a linguagem símbolos para representar as estratégias que serão interpretados pelas estratégias dos jogadores, i.e, um símbolo s i para uma estratégia para o jogador i será interpretado pela estratégia s i definição 4.4. Abaixo iremos apresentar as extensões necessárias. A linguagem não-lógica de ATL n, Π é estendida para n, Π, S, onde S = S i é um conjunto de símbolos de estratégias de todos os jogadores i {1,..., n}. Assim, a linguagem lógica de CATL é definida pela BNF abaixo Φ ::= p Φ Φ Φ C i s i, Φ I XΦ I GΦ I ΦU Φ Uma estrutura de CATL é uma extensão de uma estrutura de jogo concorrente C = Q, Q o, Π, π, a, δ definida por CA = Q, Q o, Π, π, a, δ, τ, onde τ é um mapeamento dos termos de estratégias em estratégias. Quando um jogador i decide por uma estratégia s i, ele altera a estrutura do jogo concorrente CA. Isto ocorre porque ele elimina algumas das possibilidades da estrutura. Para capturar isto, define-se uma estrutura CA s i a partir da estrutura CA removendo as transições que diferem das estratégia s i. Esta operação pode ser feita em Om, onde m é o número de transições de CA. ítem. A semântica de CATL é exatamente como ATL com a adição do seguinte CA = q C i s i, α CA τs i = q α A complexidade da verificação de modelos de CATL é igual a de ATL. Contudo, o problema da satisfatibilidade é desconhecido, assim como uma axiomatização correta e completa. Mostramos abaixo como os jogos estratégicos podem ser modelados nas estruturas de CATL, bem como o conceito de equilíbrio de Nash pode ser expresso em uma fórmula de CATL. Para tanto, devemos notar que um jogo estratégico Γ = N, A i, u i difere de uma estrutura de CATL por dois motivos: os jogos estratégicos dependem apenas das ações tomadas pelos jogadores e não pelo estado do sistema como em CATL; e os jogos estratégicos têm funções de utilidades.

7 Capítulo 4. Lógicas para Jogos 85 Seja U o conjunto de todas as utilidades que possam ser atribuídas por Γ. Para representarmos as utilidades o que se faz é utilizar uma proposição u i u para cada utilidade u U que será satisfeita em um estado q se, e somente se, i recebe ao menos u em q. Cada estado será a representação de um perfil de utilidades, e as relações de transições ocorrerão a partir de um estado q de acordo com os perfis de ações do jogo Γ. Abaixo formalizaremos a correspondência entre jogo estratégico e estrutura de CATL. Vale notar que iremos representar apenas parte da estrutura de CATL. Nós escrevemos Γ CA, q para denotar que o jogo Γ corresponde a CA, q, no sentido que: O conjunto de jogadores é o mesmo do jogo Γ. Para cada perfil de utilidades u 1,..., u n, temos um estado q u1,...,u n. Note que podemos ter menos estados do que perfis de ações, uma vez que podemos ter o mesmo perfil de utilidades para dois perfis de ações diferentes. Os perfis de ações a A do jogo Γ são executadas no estado q, i.e. Aq = A. Um termo s para cada perfil de ações a A do jogo Γ tal que τs = a. Para todo a Aq com q = δq, a, temos que u i u πq se, e somente se, u i a u. A figura 4.2 representa o jogo Batalha dos Sexos na sua forma matricial e na sua correspondência em estrutura de CATL. Note que só temos 3 estados, uma vez que no jogo só temos 3 perfis de utilidades diferentes. A interpretação da figura 4.2.b é semelhante a interpretação das figuras de ATL. u 2 0 S, S B, B B S B 2,1 0,0 S 0,0 1,2 u 1 0 q 0,0 B, S S, B u 2 2 u 2 1 u 2 1 u 2 0 u 2 0 u 1 2 u 1 1 u u q 1 1 1,2 q 1 0 u 1 0 2,1 a - Jogo Estratégico b - Estrutura de CATL Figura 4.2: Representações do jogo estratégico Batalha dos Sexos.

8 Capítulo 4. Lógicas para Jogos 86 Abaixo iremos apresentar as fórmulas BR 1 e BR 2 que representam que as estratégias para s 1 e s 2, respectivamente, são ótimas. Daí, a representação de equilíbrio de Nash é dada pela conjunção destas duas fórmulas. A fórmula BR 1 s 1, s 2 pode ser lida como: se fosse o caso do jogador 2 escolher a estratégia s 2, então a utilidade u que pode ser obtida pelo jogador 1 é obtida com a estratégia s 1. A leitura de BR 2 s 1, s 2 é semelhante. BR 1 s 1, s 2 ::= C 2 s 2, {1} Xu 1 u C 1 s 1, Xu 1 u u U BR 2 s 1, s 2 ::= C 1 s 1, {2} Xu 2 u C 2 s 2, Xu 2 u u U EN ::= BR 1 s 1, s 2 BR 2 s 1, s 2 A proposição abaixo pode ser encontrada em vdhjw05. Proposição 4.8 Sejam Γ um jogo estratégico, s um perfil de estratégias para Γ, CA, q uma estrutura de CATL correspondente ao jogo Γ, ENs a fórmula de equilíbrio de Nash como definido acima para o perfil de estratégias s. s é um equilíbrio de Nash em Γ CA = q ENs A fórmula de equilíbrio de Nash para o jogo Batalha dos Sexos é apresentada a seguir. {1} Xu 1 0 C 1 s 1, Xu 1 0 C 2 s 2, {1} Xu 1 1 C 1 s 1, Xu 1 1 ENs 1, s 2 ::= {1} Xu 1 2 C 1 s 1, Xu 1 2 {2} Xu 2 0 C 2 s 2, Xu 2 0 C 1 s 1, {2} Xu 2 1 C 2 s 2, Xu 2 1 {2} Xu 2 2 C 2 s 2, Xu 2 2 A fórmula para equilíbrio de Nash tende a ser enorme, principalmente, devido a utilização de proposições para representar as utilidades do jogo. Para simplificar considere um jogo com dois jogadores que possuem n ações cada, daí é fácil verificar que o número de proposições para representar as utilidades é limitado superiormente a 2n 2, enquanto que o tamanho da fórmula é limitado a 8n 3 1. Utilizando uma abordagem simbólica como OBDD, tal como a do verificador de modelos MOCHA, teríamos que o número de estados é limitado

9 Capítulo 4. Lógicas para Jogos 87 superiormente a 2 2n2. É difícil ver como na prática esta abordagem seria bem sucedida mesmo para exemplos pequenos com n = 10, onde a complexidade no pior caso seria de Provavelmente por este motivo, verificadores de modelos, tal como o MOCHA, não são empregados na prática para encontrar o conjunto de equilíbrio de Nash. 4.2 Coalitional Game Logic CGL A lógica Coalitional Game Logic CGL ÅWvdH06 é uma lógica para raciocinar sobre jogos de coalizão sem utilidades transferíveis. A linguagem de CGL contém operadores para representar as relações de preferências dos jogadores, bem como operadores para expressar a cooperação entre os jogadores. Abaixo apresentamos a linguagem não-lógica, a sintaxe e semântica de CGL. Definição 4.9 Uma linguagem não-lógica de CGL é definido por n, X, onde n é um número natural maior do que 0, que representa o número de jogadores, e X é um conjunto de símbolos para as conseqüências. Os jogadores são identificados pelos números 1, 2,..., n. A linguagem lógica de CGL é definida em duas partes: uma linguagem de conseqüências como definido abaixo na gramática Φ o, que expressa as propriedades das conseqüências. Por exemplo, a fórmula w 1 significa que a conseqüência não é w 1 ; e uma linguagem de cooperação como definido abaixo na gramática Φ c, que expressa as propriedades das relações de preferências dos jogadores sobre as conseqüências e, também, as propriedades das possíveis cooperações entre as coalizões. A fórmula w 1 i w 2 significa que o jogador i prefere w 1 sobre w 2 ou ele é indiferente, enquanto que a fórmula I α significa que a coalizão I pode escolher uma conseqüência tal que α vale. Definição 4.10 Sejam n, X uma linguagem não-lógica de CGL, w, w X, i n e I {1, 2,..., n} um conjunto de jogadores. A linguagem lógica de CGL é gerada pela seguinte BNF: Φ o ::= w Φ o Φ o Φ o Φ c ::= w i w I Φ o Φ c Φ c Φ c Os operadores, e i são definidos de forma usual. As fórmulas de CGL são interpretados sobre jogos de coalizão sem utilidades transferíveis Γ = N, X, v, i como definido na seção 2.7. Na

10 Capítulo 4. Lógicas para Jogos 88 definição da semântica de CGL estamos utilizando uma relação bijetora entre o conjunto de conseqüências X do jogo Γ e os símbolos X da linguagem nãológica de CGL, na qual uma conseqüência w do jogo Γ é representada por um símbolo w da linguagem não-lógica de CGL. O mesmo ocorre para os jogadores e o conjunto de coalizões. Definição 4.11 Sejam Γ = N, X, v, i um jogo de coalizão sem utilidades transferíveis e N, X uma linguagem não-lógica de CGL para Γ. A definição de satisfação em CGL é apresentada da seguinte forma 2 : 1. A definição de satisfação de uma fórmula α da linguagem definida pela gramática Φ o na conseqüência w do jogo Γ é como segue. Γ = w w w = w Γ = w α NÃO Γ = w α Γ = w α β SE Γ = w α ENTÃO Γ = w β 2. A definição de satisfação de uma fórmula α da linguagem definida pela gramática Φ c no jogo Γ é como segue. Γ = w i w w i w Γ = α NÃO Γ = α Γ = α β SE Γ = α ENTÃO Γ = β Γ = I α w vi tal que Γ = w α Uma axiomatização correta e completa de CGL é apresentada em ÅWvdH06. A verificação de modelos é P-Completo enquanto que a satisfatibilidade é NP-Completo, veja ÅWvdH06. Apesar do operador modal I de CGL parecer sintaticamente com o operador modal I de ATL seus significados são bem distintos, uma vez que CGL trata com jogos de coalizões e ATL com jogos extensivos. Uma questão interessante é saber se dado um jogo de coalizão existe uma mapeamento em jogos concorrentes tal que as verdades sobre um jogo de coalizão são preservadas via mapeamento nas verdades do jogo concorrente. Em ÅWvdH06 a lógica CL, que é um fragmento de ATL, e a lógica CGL são utilizadas para demonstrar que isto não é verdadeiro para qualquer jogo de coalizão. Abaixo é apresentado uma fórmula para caracterizar quando uma conseqüência w está no conceito de solução core. Para definirmos a fórmula abaixo 2 Estamos utilizando um abuso de notação na medida em que temos uma relação bijetora entre os símbolos para os jogadores/conseqüências e os jogadores/conseqüências no jogo.

11 Capítulo 4. Lógicas para Jogos 89 é necessário que o conjunto de conseqüências seja finito. Desta forma, não podemos por exemplo representar o conceito de core para jogos de coalizão com utilidades transferíveis, uma vez que o conjunto do mesmo é infinito. Corew ::= N w I N w X I w i Iw i w A fórmula abaixo então significa que o core é não-vazio. CNE ::= w X Corew A proposição abaixo pode ser encontrada em ÅWvdH06. Proposição 4.12 O core de Γ é não-vazio Γ = CNE. É fácil verificar que o tamanho da fórmula acima é limitado em O2 N X N. Assim, verificar a existência de core é O2 N X 2 N considerando que as operações I w e i são feitas em O1. Para exemplificarmos como esta fórmula se tornaria enorme mesmo em exemplos simples como o exemplo 2.31 que tem apenas 5 conseqüências e apenas 2 jogadores, a fórmula de Corew é apresentada abaixo. Assim, a fórmula CNE seria ainda cinco vezes o tamanho da fórmula abaixo!!! N w {1} w 1 w 1 1 w {1} w 2 w 2 1 w {1} w 3 w 3 1 w {1} w 4 w 4 1 w {1} w 5 w 5 1 w {2} w 1 w 1 2 w {2} w 2 w 2 2 w {2} w 3 w 3 2 w {2} w 4 w 4 2 w {2} w 5 w 5 2 w {1, 2} w 1 w 1 1 w w 1 2 w {1, 2} w 2 w 2 1 w w 2 2 w {1, 2} w 3 w 3 1 w w 3 2 w {1, 2} w 4 w 4 1 w w 4 2 w {1, 2} w 5 w 5 1 w w 5 2 w