EAE 5706: Microeconomia II: Teoria dos Jogos

Transcrição

1 EAE 5706: Microeconomia II: Teoria dos Jogos Aula 1: Introdução Marcos Y. Nakaguma 07/08/ Introdução A teoria dos jogos consiste no estudo de situações envolvendo interação estratégica entre múltiplos agentes racionais. Emcontrastecomateoriadadecisão queestudacomoos indivíduos realizam escolhas em contexto não-estratégico a teoria dos jogos é, por vezes, denominada"multi-person decision theory". Formalmente, interações estratégicas são aquelas em que o payo dos indivíduos depende não somente das suas próprias decisões, mas também das decisões dos demais agentes. 2 Introdução Lembre-se que no estudo dos mercados competitivos, assumimos que osconsumidoreseas rmassãotomadoresdepreços,deformaque seus payo s podem ser representados da seguinte maneira: v i (q i ;p) e π j (q j ;p), onde os preços de mercado, p, agregam informação sobre todas as decisões de consumo e produção dos agentes. Observe que, neste caso, o payo de cada indivíduo não depende diretamente das decisões dos demais agentes. Assim, podemos analisar os problemas de cada consumidor e rma separadamente. 3

2 Teoria dos Jogos Considere uma situação em que duas pessoas estão considerando comprar um telefone celular para conversarem entre si. Notequeautilidadedecadaindivíduodependenãosomentedasua própria escolha, mas também da decisão do outro indivíduo: v i (q i,q j ;p) Neste caso, dizemos que existe a chamada"externalidade de redes". Estaéumasituaçãoemqueainteraçãoentreosindivíduosé estratégica. Em particular, observe que ambos os agentes gostariam de coordenar as suas ações. 4 Teoria dos Jogos Considere agora uma situação em que um número pequeno de rmas devedecidiroquantoproduzirdeumbem. Olucrodecada rmadependenãosomentedasuaprópriadecisãode produção, mas também das decisões das demais rmas: π i (q i,q i ) Neste caso, a interação entre os agentes também possui um elemento estratégico. 5 Teoria dos Jogos Emambososcasos,adecisãoótimadecadaagentedependedo comportamento esperado do outro agente(problema recusivo). Como analisar tais situações? Existe alguma noção de equilíbrio que pode ser aplicada a esses casos? Neste curso, estudaremos diversos conceitos e métodos que nos permitirão realizar predições sobre os resultados de situações envolvendo interação estratégica. 6

3 Programa Serão discutidos os seguintes tópicos: 1. Elementos Básicos dos Jogos Não-Coorperativos 2. Jogos Simultâneos 3. Jogos Sequenciais 4. Poder de Mercado 5. Jogos Repetidos 7 Referências As aulas serão baseadas no seguinte livro-texto: I Mas-Colell, A., M. Whinston e J. Green "Microeconomic Theory", Oxford University Press. Os seguintes livros também são recomendado: I Gibbons, Robert. "Game Theory for Applied Economists", Princeton University Press, I Jehle, G. e P. Reny "Advanced Microeconomic Theory", Prentice Hall. I Myerson, R. B "Game Theory: Analysis of Con ict", Harvard University Press. I Osborn,J.eA.Rubinstein "ACourseinGameTheory",MIT Press. I Tadelis, S "Game Theory", Princeton University Press. 8 Material e Apoio NotasdeAula(aserempostadosnoMoodle) Listas de Exercícios( semanais) Plantão de Dúvidas Atendimento(segundas e quartas após as aulas) 9

4 Avaliação A avaliação desta disciplina será composta de três provas e diversas listas de exercícios. A nota nal será calculada da seguinte maneira: NF=30%P1+30%P2+30%P3+10%Listas As provas serão realizadas no horário das aulas nas seguintes datas: P1: 18/09(segunda-feira) P2: 23/10(segunda-feira) P3: 29/11(quarta-feira) A realização de prova substitutiva somente será autorizada mediante apresentação de atestado médico. A substitutiva será realizada no naldosemestreecobrirátodaamatériadocurso. 10 Sistema de Avaliação e Frequência Asprovasserãobaseadasnomaterialdiscutidoemaulaenaslistasde exercícios. Oalunodeveesperarumaaltacorrelaçãoentreasuadedicaçãoao cursoeasuanota nal. 11 Parte I: Teoria dos Jogos 12

5 Breve Histórico Os pioneiros da teoria dos jogos dedicaram-se ao estudo dos mercados imperfeitos. Cournot(1838) foi o primeiro a analisar o problema do oligopolista, propondo um conceito de solução semelhante ao do equilíbrio de Nash. Edgeworth, Bertrand e Stackelberg zeram outras contribuições importantes para a análise dos mercados imperfeitos. Em 1913, Zermelo demonstrou que o jogo de xadrez sempre possui umasolução,nosentidodeque,dadaumaposiçãoqualquerno tabuleiro, um dos jogadores sempre possui uma estratégia vencedora. Mais importante, Zermelo propôs uma técnica para resolver jogos sequenciais conhecida hoje como"backward induction". 13 Breve Histórico Em 1928, John von Neumann mostrou que jogos de soma-zero(jogos emqueumjogadorvencese,esomentese,ooutroperde)sempre possuem solução. O matemático Emile Borel tinha conjecturado em 1913 que tais jogos não admitiriam solução. Umavançoseminalnateoriadosjogossedeucomapublicaçãodo livro"theory of Games and Economic Behavior" em 1944 por von Neumann e Morgenstern, ambos do Instituto de Pesquisa Avançada de Princeton. von Neumann e Morgenstern estabeleceram as bases formais da teoria dos jogos e de suas aplicações à economia, além de realizarem contribuições importantes à teoria da decisão sob incerteza e à teoria dos jogos cooperativos. 14 Breve Histórico Em 1950, John Nash propôs um conceito de equilíbrio(ou solução) mais geral, que cou conhecido como equilíbrio de Nash. OconceitopropostoporNashpodeseraplicadoaqualquertipode jogo(soma-zero ou não), com um número qualquer de jogadores. Em 1994, John Nash recebeu o prêmio Nobel, juntamente com John Harsanyi e Reinhard Selten: 15

6 Breve Histórico Selten propôs um re namento do conceito de equilíbrio de Nash para jogos dinâmicos, nos quais as ações são realizadas sequencialmente no tempo. Harsanyi, por sua vez, estendeu o conceito de equillíbrio de Nash para jogos de informação incompleta, nos quais os jogadores não possuem conhecimento sobre as preferências(payo s) dos seus oponentes. Ateoriadosjogostemsidoumadasáreasdepesquisamaisativasem economia. Breve Histórico Informação Assimétrica 16 Breve Histórico Con ito e Cooperação 17 18

7 Breve Histórico Desenho de Mecanismo 19 Breve Histórico Teoria de Matching e Desenho de Mercados 20 Breve Histórico Teoria dos Contratos 21

8 Elementos Básicos de Jogos Não-Cooperativos 22 De nição de Jogo Umjogoéarepresentaçãoformaldeumasituaçãoemquediversos agentes interagem de maneira estratégica. A especi cação de um jogo requer a descrição dos seguintes aspectos: i. Jogadores: Quais são os agentes envolvidos no jogo? ii. Regras: Qual a sequência das jogadas? Que informação cada agente possuinomomentodasuaescolha? Oquecadaumpodefazer? iii. Resultados: Para cada possível combinação de ações, qual é o resultado do jogo? iv. Payo s: Quais são as preferências dos agentes sobre os possíveis resultados do jogo? 23 De nição de Jogo Exemplo 1: Jogo de Coordenação i. Jogadores: Dois jogadores, Mr. Thomas e Mr. Schelling. ii. Regras: Os dois jogadores estão separados e não podem se comunicar. Ambos gostariam de encontrar em algum lugar em Nova York. iii. Resultados: Caso consigam se encontrar, eles podem almoçar juntos; caso contrário, eles almoçarão sozinhos. iv. Payo s: Cadaumassociaumvalormonetáriode$100àcompanhiado outro. 24

9 De nição de Jogo Exemplo 2: "Matching Pennies" A i. Jogadores: Dois jogadores, denotados por 1 e 2. ii. Regras: Os dois jogadores escolhem, simultaneamente,"cara" ou "coroa". iii. Resultados/Payo s: Se as escolhas forem idênticas, o jogador 1 paga $1aojogador2. Casocontrário,ojogador2para$1aojogador1. 25 De nição de Jogo Exemplo 3: "Matching Pennies" B i. Jogadores: Dois jogadores, denotados por 1 e 2. ii. Regras: Primeiro, o jogador 1 escolhe"cara" ou"coroa". Esta decisão é observada pelo jogador 2 que, em seguida, escolhe"cara" ou"coroa". iii. Resultados/Payo s: Se as escolhas forem idênticas, o jogador 1 paga $1aojogador2. Casocontrário,ojogador2para$1aojogador1. De nição de Jogo 26 Vamosassumirqueafunçãodeutilidadedosagenteséuma von-neumann Morgernstern(vNM), i.e. o payo de cada agente possuia a forma de utilidade esperada. Formalmente,dadaumafunçãodedistribuiçãoF : R![0,1]que descreve os resultados de uma loteria L, de nimos a função de utilidade esperada como: Z U i (L)= u i (x)df(x), ondeu i (x)édenominadafunçãodeutilidadebernoulli(vide Paradoxo de St. Petersburgo). 27

10 Arepresentaçãoformaldeumjogonasuaformaextensivasedá através de uma árvore decisória("game tree"). Exemplo 1: Forma Extensiva do Jogo"Matching Pennies" B 28 Exemplo 2: Forma Extensiva do Jogo da Velha("Tick-Tack-Toe") 29 Exemplo 3: Considere uma versão do jogo"matching pennies" em que a"natureza" escolhe aleatoriamente, com igual probabilidade, qual jogador irá escolher primeiro: 30

11 Nos exemplos anteriores, assumimos que, no momento em que realizam as suas decisões, os agentes são capazes de observar as escolhas prévias de seus oponentes. Esses jogos são denominados jogos de informação perfeita. Vamos utilizar o conceito de conjunto de informação para representar situações em que as ações dos demais jogadores não são observadas. 31 Exemplo: Forma Extensiva do Jogo"Matching Pennies" A Nomomentodasuaescolha,ojogador2nãosabeemqualdosnodos decisóriosseencontra,dadoqueaescolhadojogador1nãoé observada. 32 Oselementosdeumconjuntodeinformaçãosãoosnodosdedecisão de um determinado jogador. Intuitivamente, um jogador não é capaz de distinguir entre os nodos dedecisão,h2h,pertencentesaummesmoconjuntodeinformação H. 33

12 Acoleçãodetodososconjuntosdeinformaçãodeumjogadorprovê uma descrição de todas as"circunstâncias distinguíveis" em que ele podeviraatuarnojogo. Em qualquer nodo decisório pertencente a um dado conjunto de informação, o jogador deve possuir o mesmo conjunto de ações disponíveis. De nição: Um jogo é de informação perfeita se todos os conjuntos de informação possuirem um único nodo de decisão. Caso contrário, o jogo é de informação imperfeita. 34 Vamos impor que os conjuntos de informação respeitam a hipótese de "perfect recall", i.e. um jogador nunca pode esquecer-se de informações previamente obtidas, incluindo as suas próprias jogadas. Exemplo 1: Hipótese de"perfect Recall" Inválida 35 Exemplo 2: Hipótese de"perfect Recall" Inválida 36

13 37 Formalmente, um jogo na forma extensiva é caracterizado pelos seguintes elementos: 1. Umconjunto nitodejogadores,i =f0,1,...,ig. 2. Um conjunto nito de possíveis ações, A. 3. Umconjunto nitodenodos,x. 4. Umafunçãop:X!X[ especi candoumúniconodo imediatamente predecessor para cada x 2 X. I Osnodosimediatamentesucessoresdex sãode nidoscomo: s(x)= fy 2X :p(y)=xg. I OconjuntodenodosterminaisédadoporT =fx2x :s(x)= g. 38 (Cont.) 5. Umafunção α :Xnfx 0 g!aespeci cando,paracadanodox,a açãoquelevadep(x)parax. I Afunção α()étalquesex 0,x 00 2s(x),comx 0 6=x 00,então α(x 0 )6= α(x 00 ),i.e. apartirdeumnodoqualquer,umadeterminada açãolevaaumúnicosucessor. I Oconjuntodeaçõespossíveisemumdeterminadonodox édadopor c(x)=fa2a:a=α(x 0 )paraalgumx 0 2s(x)g 39

14 (Cont.) 6. Umacoleçãodeconjuntosdeinformação,H,eumafunção H :XnT!Hespeci cando,paracadanododedecisãox,um conjuntodeinformaçãoh(x)2h. I OsconjuntosdeinformaçãoemHformamumapartiçãodeX. I AfunçãoH()étalqueseH(x)=H(x 0 ),entãoc(x)=c(x 0 ),i.e. todos os nodos pertencentes ao mesmo conjunto de informação possuem o mesmo conjunto de ações possíveis. I AsaçõesdisponíveisemumconjuntodeinformaçãoH sãodadaspor C(H)=fa2A:a2c(x)parax2Hg. 40 (Cont.) 7. Umafunção ı :H!I especi candoojogador(possivelmentea natureza)aagiremcadaumdosnodosdeumdadoconjuntode informação. 8. Um distribuição de probabilidade ρ(h) designando probabilidades às ações possíveis em um conjunto de informação onde a natureza atua. 9. Umconjuntodefunçõespayo u=fu 1 (),...,u I ()gespeci cando as utilidades dos jogadores em cada um dos possíveis nodos terminais, i.e. cadau i :T! RéumafunçãoutilidadeBernoulli. 41 Assim, formalmente um jogo na forma extensiva é de nido por: Γ E =fx,a,i,p(), α(),h,h(), ı(),ρ(), u {z } Forma do Jogo {z} Payo s g 42