Desenho de Mecanismo. Introdução

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1 Desenho de Mecanismo Introdução Até o momento estivemos tomando o arranjo institucional onde ocorrem as transações como um dado: o mercado. Note, porém, que mesmo nesse caso, permitíamos que algumas transações ocorressem dentro de outros arranjos institucionais, como é o caso do que ocorre no interior das firmas. Se de um lado, mercados operam de formas diversas, às vezes livres, às vezes altamente regulados, de outro complexidade do que ocorre dentro das firmas não pode ser subestimada, já que a organização da produção ocorre às vezes mediada por um sistema de preços, às vezes por formas mais diretas de negociação e outras simplesmente por um sistema de autoridade. A teoria de desenho de mecanismos permite um arcabouço teórico capaz de tratar de forma unificada e coerente todos esses temas. A teroia de desenho de mecanismos define instituição como jogos não cooperativos e compara essas instituições em termos dos resultados do equilíbrio desses jogos, permitindo ao cientista social analizar performance de cada arranjo institucional relativamente ao ótimo teórico. A teoria de desenho de mecanismos começa com Hurwicz (1960). De acordo com Hurwicz, um mecanismo é um sistema de comunicação em que os participantes trocam mensagens uns com os outros de forma a determinar uma escolha social. Essas mensagens podem comunicar informações privadas dos agentes, como por exemplo, a sua disposição a pagar por um bem público. O mecanismo age, então, como um computador central que compila e processa as mensagens dos agentes, agregando as informações disponíveis na economia e recomendando uma ação a partir do conjunto de informações recebidas de acordo com um conjunto pre-especificado de regras que mapeiam mensagens em escolhas. Inicialmente, a maior parte da investigação tinha por foco a complexi- 1

2 dade (medido pelos custos informacional e computacional dos mecanismos), desconsiderando os aspectos de incentivos. A teoria, porém, só tornou-se relevante na prática depois de mais um artigo de Hurwicz (1972) em que os incentivos dos participantes eram incorporados de forma tratável com a noção de compatibilidade em incentivos. Isto permitiu uma análise rigorosa do fato fundamental de as pessoas só revelarem as suas informações privadas quando lhes for conveniente. Em outras palavras, como os indivíduos otimizam conhecendo as regras que levam o conjunto de mensagens às escolhas sociais, só vão revelar as informações que lhes convier. Esta observação leva à noção de implementação (no sentido fraco) de resultados como um equilíbrio do jogo de mensagens, em que o mecanismo é o conjunto de regras governando o esse jogo de mensagens. Mecanismos podem, então ser comparados pela comparação dos equilíbrios induzidos por cada um desses jogos. Note a complexidade do problema de determinar o desenho instituicional ótimo. Temos que descobrir qual jogo de mensagens tem o melhor equilíbrio dentre todos os jogos de mensagens concebíveis. Um avanço fundamental ocorrido na década de 1970 para tornar o problema tratável foi a formulação do princípio da revelação; uma idéia simples que permite uma simplificação enorme do problema de desenho de mecanismo. Formulado inicialmente por Gibbard (1971) e em sua maior generalidade por Myerson (1986), o princípio estabelece que, em sua busca do melhor mecanismo possível, o pesquisador pode restringir-se aos chamados mecanismos reveladores diretos verdadeiros (ou compatíveis em incentivos). A estrutura matemática do problema de desenho de mecanismo reformulado pela aplicação do princípio da revelação é relativamente simples. De fato, o problema de otimização no espaço de mecanismos diretos reveladores é um problema matemático bem definido, 1 o 1 Naturalmente, os mecanismos usados na prática não costumam ser mecanismos reveladores diretos. O papel do cientista social é, então, o de traduzir o mecanismo direto de volta a instituições observadas na prática. Idéias igualmente simples como o princípio da 2

3 que permite que se resolva um problema que de outra forma não seria passível de solução prática: o problema de encontrar o desenho institucional ótimo. Ambiente Considere uma economia composta de I agentes. O problema desses agentes é o de escolher coletivamente um elemento x do conjunto de escolhas sociais possíveis, X. Cada indivíduo, h, tem uma estrutura de preferências sobre alternativas sociais x X, que é informação privada. Em termos concretos, vamos representar a informação privada do indivíduo h, por meio de seu tipo, θ h Θ h, que supomos conhecido pelo agente (pelo menos, em algum estágio do problema de escolha social), mas não pelos demais. Dado o tipo θ h do indivíduo h, suas preferências sobre escolhas sociais são representadas pela função utilidade de von-neumann Morgenstern, u h (., θ h ) : X R. 2 Seja R h = {u h (., θ h ); θ h Θ h } e Θ = Θ 1... Θ I. Note que estamos sendo restritivos no que concerne às preferências dos indivíduos ao supor que as preferências sobre alternativas sociais independem dos tipos dos demais indivíduos. É o que chamamos de ambiente de valores privados. Supomos ainda que o vetor θ Θ tem distribuição com densidade φ, que é de conhecimento comum. Também são de conhecimento comum as funções u h para todo h, mas não a realização específica de θ h. Na linguagem de jogos, por ser θ h informação privada, dizemos que se trata de ambiente de informação incompleta. Definição 1 Uma função de escolha social é uma função f : Θ 1... Θ I X que associa a cada perfil possível de tipos, θ = (θ 1,..., θ I ), uma escolha social, f(θ 1,..., θ I ) X. taxação (Guesnerie, 197?) provam-se úteis nessa tarefa. 2 Com algum abuso de notação, usamos h (θ h ) para representar o ordenamento das alternativas condicional ao tipo θ h. 3

4 Definição 2 Uma função de escolha social f : Θ 1... Θ I X é eficiente ex-post (ou Paretiana) se não existir nenhum perfil de tipos θ = (θ 1,..., θ I ) tal que exista uma escolha x X com u h (x, θ h ) u h (f(θ 1,..., θ I ), θ h ) h e u h (x, θ h ) > u h (f(θ 1,..., θ I ), θ h ) para algum h. Exemplo 1 Um ambiente social abstrato. Suponha X = {x, y, z} e I = 2. Suponha ainda Θ 1 = { θ1 } e Θ2 = {θ 2, θ 2}. Representando o ordenamento das alternativas sociais correspondente às preferências dos dois agentes de cima para baixo, temos 1 ( θ 1 ) 2 (θ 2) 1 (θ 2) x z y y y x z x z Suponha que os agentes desejam implementar a solução eficiente ex-post f( θ 1, θ 2) = y e f( θ 1, θ 2) = x. Neste caso, o indivíduo 2 precisa revelar honestamente suas preferências. Porém, suponha θ 2 = θ 2. Se 2 falar a verdade a escolha social será x enquanto se mentir será y. Como y 1 (θ 2)x, o agente 2 estará melhor se mentir. Compare isso com a função que é também eficiente ex-post. f( θ 1, θ 2) = y e f( θ 1, θ 2) = y, Exemplo 2 Uma economia de trocas pura. Considere uma economia de trocas pura com L bens e I consumidores com conjunto de consumo R L +. Cada indivíduo tem dotação inicial w h = (w1, h..., wl h ) 0. O conjunto de alternativas sociais é { X = (x 1,..., x I ); x h R L + h e h x h l h w h l, l = 1,..., L. } 4

5 Seja R E o conjunto de relações de preferências racionais em X e suponha que o conjunto de preferências possíveis para cada agente seja um subconjunto R h de R E. Consideremos o caso em que só há dois consumidores. O consumidor 1 só tem um tipo possível com preferências 1 ( θ 1 ), enquanto o outro consumidor tem qualquer preferência 2 (θ 2 ). O gráfico mostra que o úncio equilíbrio competitivo a partir de w quando as preferências são ( 1 ( θ 1 ), 2 (θ 2 )) não é implementável. Exemplo 3 Construção de uma Ponte. Considere uma ponte cujo custo é c > 0. A decisão sobre a construção ou não da ponte e seu financiamendo será feita pelos agentes, h = 1,..., I. O conjunto de alternativas é { } X = (k, t 1,..., t I ); k {0, 1}, t h R h e h t h ck A notação é k = 0 se a ponte não é construída e k = 1 se ela é construída. t h é a contribuição do indivíduo h para a construção da ponte. A utilidade do inidvíduo h que realiza o tipo θ h (, ) é u h (x, θ h ) = θ h k t h. Uma função de escolha social f(θ) = (k(θ), t 1 (θ),..., t I (θ)) X é eficiente ex-post se e 1 se k(θ) = 0 se h θ h c h θ h < c t h (θ) = ck(θ). h Exemplo 4 Alocação de um único bem indivisível entre I indivíduos. O conjunto de alternativas factíveis é { X = (k 1,..., k I, t 1,..., t I ); k h {0, 1}, h k h = 1, t h R, h. t h 0 }. 5

6 Suponha ainda que u h (x, θ h ) = θ h k h + m h + t h, e Θ h = [θ h, θ h ] R. Uma função de escolha social f(θ) = (k 1 (θ),..., k I (θ), t 1 (θ),..., t I (θ)) é eficiente ex-post nesse ambiente se sempre aloca o bem para o agente que mais valoriza o bem e se não há disperdício de numerário, i.e., para todo θ = (θ 1,..., θ I ) Θ 1... Θ I, k h (θ)(θ h max{θ 1,..., θ I }) = 0 h e t h = 0. h Nesse ambiente, dois tipos de casos são tipicamente examinados. Primeiro é o caso de comércio bilateral em que I = 2 e um potencial vendedor, que possui o objeto atribui-lhe um valor θ h [θ h, θ h ] e um potencial comprador atribui-lhe valor θ h [θ h, θ h ]. O segundo caso é o ambiente de leilões, em que I > 2 e o vendedor, não atribui qualquer valor ou atribui um valor publicamente conhecido ao objeto. A questão fundamental que se coloca a partir dos exemplos anteriores é que função de escolha social pode ser implementada quando os tipos dos agentes são informação privada. Primeiro uma definição de mecanismo. Definição 3 Uma mecanismo Γ = (S 1,..., S I, g(.)) é definido por uma coleção de I conjuntos de estratégias (S 1,..., S I ) e uma função-resultados g : S 1... S I X. Usando a definição de mecanismo acima podemos ser precisos com relação ao que queremos dizer com implementar uma função de escolha social. 6

7 Definição 4 O mecanismo Γ = (S 1,..., S I, g(.)) implementa (no sentido fraco) a função de escolha social f(.) se existe um perfil de estratégias de equilíbrio (s 1(.),..., s I (.)) go jogo induzido por Γ tal que g (s 1(θ 1 ),..., s I (θ I)) = f(θ 1,..., θ I ) para todo (θ 1,..., θ I ) Θ. Exemplo 5 Leilão de Primeiro Preço. Considere no ambiente de leilões o caso de somente dois compradores ambos com valoração θ h extraída de uma distribuição uniforme [0, 1], e a seguinte função de escolha social, f(θ) = (k 0 (θ), k 1 (θ), k 2 (θ), t 0 (θ), t 1 (θ), t 2 (θ)), em que e k 0 (θ) = 0 θ, 1 se θ 1 θ 2 k 1 (θ) =, 0 se θ 1 < θ 2 1 se θ 1 < θ 2 k 2 (θ) =, 0 se θ 1 θ 2 t h (θ) = θ h k h (θ) h = 1, 2., t 0 (θ) = (t 1 (θ) + t 2 (θ)). Note que essa função de escolha social é eficiente ex-post. Ela é implementável? Suponha que o indivíduo 2 esteja adotando a estratégia se sempre falar a verdade, então o problema do indivíduo 1 é que, dada a distribuição de θ 2, é o que tem por solução ˆθ 1 = θ 1 /2. max ˆθ 1 (θ 1 ˆθ 1 ) Pr(θ 2 ˆθ 1 ), max ˆθ 1 (θ 1 ˆθ 1 )ˆθ 1, 7

8 Note que fomos vagos com relação ao conceito de equilíbrio a ser usado. Fizemo-lo propositadamente, já que é crucial na análise de implementação o conceito específico de equilíbrio a ser usado. Ao longo da nossa discussão, receberão ênfase os conceitos de equilíbrio em estratégias domiantes e o conceito de equilíbrio Nash-Bayesiano. Exemplo 6 Leilão de Primeiro Preço (geral). O conjunto de estratégias é S h = [0, ). Se b = (b 1, b 2,..., b I ) S defina b (1) max h b h, e H(b) { h; b h = b (1)}. O conjunto de alternativas é { X = ((k 1, P 1 ),..., (k I, P I )); k h {0, 1}, } k h 1, P h R. h A utilidade do agente é dada por u h (x, θ h ) = θ h k h P h. O mecanismo do leilão de primeiro preço é definido por g : R+ I X, g(b) = ((k 1 (θ), P 1 (θ)),..., (k I (θ), P I (θ))) tal que 3 k h (b) = 0 se h min H(b), k min H(b) (b) = 1, P h (b) = k h (b)b h se 1 h I. Seja φ a densidade de θ. Se Γ é um mecanismo, ũ h (s, θ h ) = u h (g(s), θ h ). O Jogo G = (I, S, {ũ h } h, Θ, φ) é um jogo Bayesiano de informação incompleta. e Um equilíbrio Nash-Bayesiano de G é (s 1(.),..., s I (.)) com s h : Θ h S h s (θ h ) arg max x S h E [ ũ h (x, s h(θ h ), θ h ) θ h ]. 3 A regra de desempate corresponde a dar o objeto ao indivíduo com menor índice. 8

9 A dificuldade de responder a pergunta que nos propusemos a responder, i.e., quais as funções de bem estar implementáveis, é que podemos considerar uma infinidade de mecanismos distintos. Nos exemplos acima consideramos mecanismos diretos, em que se pergunta aos indivíduos diretamente quais os seus tipos. Definição 5 Um mecanismo Γ = (S 1,..., S I, g(.)) é dito um mecanismo revelador direto se S h = Θ h para todo h e g(θ) = f(θ) para todo θ Θ 1... Θ I. Podemos porém pensar em outras formas indiretas de implementação, como no leilão de primeiro preço. Uma outra definição importante para que possamos estabelecer o prinicípio da revelação mais adiante é a seguinte. Definição 6 A função de escolha social f(.) é compatível em incentivos se o mecanimos de revelação direta Γ = (Θ 1,..., Θ I, f(.)) tem um equilíbrio em que s h (θ h) = θ h para todo θ h Θ h e todo h = 1,..., I, i.e., se falar a verdade for um equilíbrio de Γ = (Θ 1,..., Θ I, f(.)). 9