Microeconomia II. Cursos de Economia e de Matemática Aplicada à Economia e Gestão. AULA 1.1 Descrição de Jogos não-cooperativos (forma normal)

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1 Microeconomia II Cursos de Economia e de Matemática Aplicada à Economia e Gestão AULA 1.1 Descrição de Jogos não-cooperativos (forma normal) Isabel Mendes

2 1. Teoria dos Jogos: definição e contexto histórico DEFINIÇÃO: é a ciência da estratégia; pretende determinar matemática e logicamente as acções escolhidas pelos jogadores, de forma a que estes obtenham o melhor resultado possível para si próprios, quando estes resultados dependem das escolhas (estratégias) dos outros jogadores. O conceito de JOGO aplica-se sempre em qualquer situação (matemática, política, militar, económica, social, desportiva) em que haja interdependência entre os agentes, independentemente de existirem ou não conflitos de interesses Isabel Mendes/MICRO II 2

3 1. Teoria dos Jogos: definição e contexto histórico Exemplo de jogo de conflito de interesses: jogos de soma nula os interesses dos jogadores estão totalmente em conflito um só pode ganhar à custa do prejuízo do outro; Exemplo de jogo com pouco conflito de interesses: cartel todos os jogadores podem ganhar se se unirem Isabel Mendes/MICRO II 3

4 1. Teoria dos Jogos: definição e contexto histórico CONTEXTO HISTÓRICO: actualmente existe largo consenso quanto ao facto de se considerar que a moderna Teoria dos Jogos terá começado em 1944 com o trabalho dos matemáticos von Neumann e Morgenstern Theory of the Games and Economic Behavior; mais tarde ( ), John Nash definiu a metodologia conceptual e de análise que até hoje vigora. Todavia as ideias que subjazem à teoria dos jogos têm sido referidas ao longo da história, desde os tempos bíblicos e aplicadas aos mais variados contextos (sociais; militares; políticas; económicos; filosóficos;...); Algumas datas importantes: DC: referências no Talmude para discutir o problema do contrato do casamento; Isabel Mendes/MICRO II 4

5 1. Teoria dos Jogos: definição e contexto histórico CONTEXTO HISTÓRICO: Algumas datas importantes (continuação): 1713: James Waldegrave descreve a primeira solução de equilíbrio conhecida para um jogo de dois jogadores (Waldegrave solution), com base na análise de um jogo de cartas chamdo le Herr; 1838: Augustin Cournot discute o caso especial do duopólio (duopólio à Cournot) onde utiliza o conceito de equilíbrio que é uma versão restrita do conceito de equilíbrio de Nash; 1881: 1º teorema da Teoria dos Jogos publicado por Ernst Zermelo, definido com base no jogo de xadrez; Isabel Mendes/MICRO II 5

6 1. Teoria dos Jogos: definição e contexto histórico CONTEXTO HISTÓRICO: Algumas datas importantes (continuação): : Emile Boral é o autor da primeira formulação moderna da estratégia mista; 1944: John von Neumann e Oscar Mongenstern ; 1950: A.W. Tucker descreve pela primeira vez o Jogo do Dilema do Prisioneiro; : contribuições seminais de John Nash (equilíbrio de Nash) Isabel Mendes/MICRO II 6

7 1. Teoria dos Jogos: definição e contexto histórico CONTEXTO HISTÓRICO (conclusão): Algumas aplicações da Teoria dos Jogos (década de 50): 1954: ciência política teoria dos jogos usada para determinar o poder dos membros do Conselho de Segurança das Nações Unidas; :Rufus Isaacs aplicou a teoria para resolver jogos militares; 1955: a 1ª aplicação à filosofia: R.B. Braithwaite Theory of Games as a Tool for the Moral Philosopher Isabel Mendes/MICRO II 7

8 2. Definição de um JOGO: estaremos na presença de um JOGO quando existe uma situação em que os resultados de cada um dos participantes dependem das escolhas feitas por todos; Cada JOGO envolve os seguintes elementos (REGRAS DO JOGO): - Jogadores, em número finito; - Cada jogador dispõe de um conjunto de estratégias para jogar; - A cada estratégia está associado um resultado; - Os resultados têm uma utilidade diferente para cada jogador Pagamento; - Os jogadores são racionais escolherão as estratégias que dão melhor Pagamento Isabel Mendes/MICRO II 8

9 3. Formalização de um Jogo com os elementos (N, S, P): Onde: { 12,,...n } N = É o conjunto de jogadores, sendo n finito; { } S= S S... S s s i 1 2 n i É o espaço de estratrégias do jogo, com S i = conjunto de estratégias do jogador i; S Designa uma estratégia s do jogador i; ( s,s,...,s ) = É um vector que designa o perfil de estratégias escolhidas 1 2 n por todos os jogadores, tal que s S Este vector também é designado por com: - s i = estratégia do jogador i; s ( ) i i s = s,s - i = perfil de estratégias dos outros n -1 jogadores diferentes de i; Isabel Mendes/MICRO II 9 i i

10 3. Formalização de um Jogo com os elementos (N, S, P) (continuação): P(s) { P(s),P(s),...,P(s) } = É o vector das funções de pagamento 1 2 n de todos os jogadores. Os pagamentos podem ser apresentados na forma contínua ou na forma discreta: Isabel Mendes/MICRO II 10

11 3. Formalização de um Jogo com os elementos (N, S, P) (continuaçao): Forma contínua: é o caso, por exemplo, do Oligopólio à Cournot, onde os jogadores são empresas, as estratégias são as quantidades a produzir e vender, o objectivo é maximizar o lucro, e os pagamentos são as funções de lucro, que dependem das quantidades e/ou preço: π π ( ) ( ) ( ) ( ) q,q = qp q,q CT(q) q,q = q p q,q CT(q ) Forma discreta: os pagamentos são valores Isabel Mendes/MICRO II 11

12 4. Classificação dos jogos quanto à forma de jogar A solução dos jogos pode ser obtida com ou sem conflito: Resolução sem conflito concluio entre os jogadores e solução obtida por comum acordo JOGOS COOPERATIVOS (Ex: cartel - será dado no capítulo da concorrência oligopolística); Resolução com conflito cada jogador joga isoladamente, escolhendo a sua melhor estratégia, e pondo-se na pele dos seus adversários, tentando adivinhar o que eles irão jogar interdependência estratégica JOGOS Não-COOPERATIVOS. Há dois tipos distintos de interdependência estratégica ou de JOGOS Não-COOPERATIVOS: a simultânea e a sequencial JOGOS SIMULTÂNEOS E JOGOS SEQUENCIAIS Isabel Mendes/MICRO II 12

13 4. Classificação dos jogos quanto à forma de jogar (continuação) JOGOS SIMULTÂNEOS: os jogadores jogam em simultâneo, exactamente no mesmo momento e não sabem o que os adversários irão efectivamente jogar, ou seja não conseguem determinar as acções efectivas dos adversários; no entanto todos os jogadores conhecem as estratégias uns dos outros. JOGOS SEQUENCIAIS: os jogadores jogam sequencialmente, cada um tendo em consideração as acções do jogador anterior Isabel Mendes/MICRO II 13

14 5. Formas de representação dos jogos: forma normal e forma de árvore JOGOS SIMULTÂNEOS: são tradicionalmente apresentados na forma normal, ou seja, os jogadores, estratégias e pagamentos, são representados numa matriz. É com este formato que habitualmente se estudam os equilíbrios em jogos simultâneos. JOGOS SEQUENCIAIS: são tradicionalmente apresentados através de uma árvore, que permite mostrar as jogadas e os pagamentos em sequência. É com este formato que habitualmente se estudam os equilíbrios em jogos sequenciais. É, no entanto, possível representar um jogo simultâneo numa árvore e um jogo sequencial numa matriz (aula prática) Isabel Mendes/MICRO II 14

15 5. Formas de representação dos jogos: forma normal e forma de árvore (continuação) JOGOS NÃOCOOPERATIVOS, SIMULTÂNEOS, NA FORMA NORMAL: As linhas e as colunas da matriz representam as estratégias de cada jogador; Os elementos (α i,j, β i,j ) da matriz representam o par de pagamentos α e β obtidos pelos dois jogadores pelo cruzamento da estratégia i em linha, com a estratégia j em coluna Isabel Mendes/MICRO II 15

16 5. Formas de representação dos jogos: forma normal e forma de árvore (continuação) JOGOS NÃOCOOPERATIVOS, SIMULTÂNEOS, NA FORMA NORMAL (continuação): EXEMPLO DE UMA MATRIZ DE PAGAMENTOS (aula prática): JOG B b1 b2 JOG A a1 α 11,β 11 α 12,β 12 a2 α 21,β 21 α 22,β Isabel Mendes/MICRO II 16

17 5. Formas de representação dos jogos: forma normal e forma de árvore (continuação) JOGOS NÃOCOOPERATIVOS SEQUENCIAIS EM FORMA DE ÁRVORE (continuação): EXEMPLO DE UMA ÁRVORE (aula prática): JOG B b1 (α11,β11) JOG A a1 a2 JOG B b2 b1 (α12,β12) (α21,β21) b2 (α22,β22) Isabel Mendes/MICRO II 17