Teoria dos Jogos Jogos na Forma Normal Com Informação Completa. Maurício Bugarin Fernando Meneguin Adriana Portugal

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1 1 Teoria dos Jogos Jogos na Forma Normal Com Informação Completa Maurício Bugarin Fernando Meneguin Adriana Portugal Brasília / UnB Lembrando: Ø Jogos estáticos: todos os jogadores jogam ao mesmo tempo Ø Com informação completa: todos sabem exatamente as consequências de cada jogada (completa) para cada jogador 2 Definição Um jogo na forma normal (ou estratégica) é dado por: J = N, S & & (, u & & ( 1

2 3 Definição J = N, S & & (, u & & ( N é um conjunto de agentes, chamados de jogadores Para cada i N, S & é o conjunto de estratégias (ações, decisões) que podem ser escolhidas pelo jogador i A coleção s = s,, ( de uma estratégia para cada jogador é chamada de um perfil de estratégias Para cada i N, u & : S, R, ( descreve a consequência para o jogador i das estratégias escolhidas por todos os jogadores 4 Definição O valor u & s é chamado consequência, resultado ou payoff do jogo para o agente i, associado ao perfil de estratégias s Quando N é um conjunto finito com n elementos, é comum se usar a notação: N={1, 2,..., n}, J=(n; S 1,..., S n ; u 1,..., u n ) e s=(s 1,..., s n ) 2

3 Dilema dos Prisioneiros Dilema dos prisioneiros: Dois bandidos assaltam uma residência e, ao saírem, são vistos por um pedestre que fornece informação para colocá-los na cadeia, apesar de não conseguir reconhecê-los direito porque estava escuro O delegado prende cada bandido em um cela distinta e diz a cada um, separadamente, que ambos foram identificados e que agora terão a oportunidade de assumir o delito Se ambos confessarem participação no assalto, cada assaltante ficará preso por 6 meses Se apenas um deles confessar, este será liberado por ter contribuído com o esclarecimento do delito enquanto o outro ficará preso por 9 meses Se ambos ficarem calados, não poderão ser incriminados pela invasão da propriedade por falta de provas, ficando cada um apenas um mês na cadeia 5 Trata-se de um jogo com n=2 jogadores, cada um com duas estratégias possíveis: Confessar ou não confessar: S 1 ={C, N}, S 2 ={c, n} Dilema dos Prisioneiros 6 As consequências são: u 1 (C, n)= 0, u 1 (C, c)= 6, u 1 (N, n)= 1, u 1 (N, c)= 9 u 2 (C, n)= 9, u 2 (C, c)= 6, u 2 (N, n)= 1, u 2 (N, c)= 0 3

4 Duopólio de Cournot: duas firmas 1 e 2 decidem simultaneamente quanto produzir de um mesmo produto x - x 1 (firma 1) e x 2 (firma 2) O bem x não é produzido por nenhuma outra firma na economia, ou seja, as firmas 1 e 2 são as únicas a possuir a tecnologia de produção desse bem A demanda (inversa) de mercado pelo bem x é dada pela equação p=30 x em que p é o preço de mercado quando a quantidade total produzida é x=x 1 +x 2 As duas firmas dispõem da mesma tecnologia de produção, descrita pelo custo total c(x i )=6x i, i=1,2. 7 Duopólio de Cournot Trata-se de um jogo com n=2 jogadores, conjuntos de estratégias respectivos S 1 =S 2 =[0, 30] e payoffs dados por u i (i=1,2): 8 Duopólio de Cournot u i (x 1, x 2 ) = [30 (x 1 +x 2 )]x i - 6x i = [24 (x 1 +x 2 )]x i, se x 1 +x 2 30 u i (x 1, x 2 ) = 6x i se x 1 +x 2 >30 Por exemplo, se x 1 =6 e x 2 =8, então: u 1 (x 1, x 2 )=60 e u 2 (x 1, x 2 )=80 4

5 Vamos considerar agora o Duopólio de Cournot com um número finito de estratégias Isto é, o conjunto de estratégias de cada jogador é finito, dado por S 1 = {6, 8, 11} = S 2 Então o jogo pode ser representado na forma normal conforme a seguir: 9 Duopólio de Cournot Três jogadores J 1, J 2, J 3 devem escolher um número par entre 0 e 4 O retorno para cada jogador será o número escolhido menos a metade da soma das escolhas dos outros jogadores A forma normal respectiva é: Representação de um jogo com 3 jogadores 10 5

6 11 Solução - Dominância Maneiras de resolução do jogo Primeiro critério: solução por dominância Conforme definido anteriormente, s = s & & ( é uma seleção de estratégias s & para cada jogador i N Assim, encontrar uma solução para um jogo na forma normal consiste em determinar um perfil de estratégias s que corresponda a uma forma natural de se jogar o jogo Jogo dos irmãos - dois irmãos têm as seguintes opções: assistir televisão, jogar videogame ou jogar futebol Assistir televisão sozinho gera uma unidade de utilidade para um irmão; mas se assistirem juntos vão brigar e ambos terão utilidade 0 Jogar videogame produz duas unidades de utilidade para cada jogador Finalmente, jogar futebol gera três unidades de utilidade se jogam sozinhos e quatro se jogam juntos Jogo dos irmãos na forma normal: 12 Solução - Dominância 6

7 Se o jogador 2 escolher tv, a melhor escolha do jogador 1 é escolher F. Se 2 escolher vg, a melhor escolha de 1 ainda é escolher F. Finalmente, se 2 escolher f, a melhor escolha de 1 continua sendo F Assim, a estratégia F é a melhor escolha que 1 pode fazer, qualquer que seja a escolha de 2. Dizemos que F é uma estratégia dominante para o jogador 1 Analogamente, f é uma estratégia dominante para o jogador 2. Assim, a maneira óbvia de se jogar o jogo dos irmãos é (F, f), resultando nos payoffs (4, 4) 13 Solução - Dominância Solução do dilema dos prisioneiros 14 Solução - Dominância Assim, a solução desse jogo, por estratégias dominantes, é (C, c), que gera os payoffs ( 6, 6) Observe que existe uma consequência do jogo que domina, do ponto de vista de Pareto, a consequência obtida em equilíbrio: ( 1, 1) Assim, temos um exemplo no qual o comportamento estratégico dos jogadores leva a um equilíbrio dominado do ponto de vista de Pareto, ou seja, ineficiência ocorre em equilíbrio 7

8 Solução por eliminação iterativa das estratégias dominadas EIED Seja um jogo na forma normal e sejam s i, s i ÎS i duas estratégias de um agente iîn (i) Suponha que a estratégia s i domina estritamente a estratégia s i. Então o jogador nunca será do interesse do jogador i escolher a estratégia s i, uma vez que, quaisquer que sejam as estratégias dos demais jogadores, s -i, a estratégia s i resulta maior payoff que a estratégia s i : 15 Solução - EIED u i (s i, s i )>u i (s i, s i ), " s i ÎS i Mas então, por racionalidade, a estratégia s i pode ser eliminada do conjunto de estratégias do jogador i, gerando um jogo reduzido, mais simples com relação ao anterior (ii) Se, no jogo reduzido, for identificada alguma estratégia estritamente dominada para algum jogador, então pelo mesmo argumento essa estratégia pode ser excluída de seu conjunto de estratégias, obtendo-se assim um jogo ainda mais reduzido 16 Solução - EIED (iii) Esse processo pode ser repetido enquanto existirem estratégias estritamente dominadas. Se, ao final do processo, cada jogador i tiver seu conjunto de estratégias reduzido a um único elemento si, então o perfil de estratégias s=(si)iîn é a solução do jogo por eliminação iterativa de estratégias estritamente dominadas (EIED) 8

9 17 Solução - EIED O conceito de estratégia dominante é muito forte, será útil em jogos muito particulares A batalha dos sexos e o duopólio de Cournot, por exemplo, não possuem nenhuma estratégia dominante Mas, com EIED, no Duopólio de Cournot com número finito de estratégias: 18 Solução - EIED A estratégia 8 domina estritamente a estratégia 11 para ambos os jogadores No jogo reduzido, a estratégia 8 é dominante para ambos os jogadores. Assim, pode-se prever que os jogadores escolherão (8, 8) resultando nos payoffs (64, 64) 9

10 19 Solução - EIED Qual a solução do seguinte jogo? A estratégia I domina estritamente a estratégia III a estratégia C domina estritamente a estratégia D IV é uma estratégia dominante; logo I e II podem ser excluídas Finalmente, C domina E. Assim, a solução obtida por EIED é (IV, C), com consequências respectivas (3, 5) Diagrama de Venn 20 Solução por dominância e EIED EIED Dominância Universo de todos os jogos (finitos) 10

11 21 Equilíbrio de Nash - Definição: Equilíbrio de Nash Observações: i. Suponha que um jogo J é solúvel por estratégias dominantes e seja s a solução correspondente. Então s é o único equilíbrio de Nash do jogo. Ou seja, o conceito de EN reduz-se ao conceito de solução por estratégias dominantes quando uma tal solução existe. 22 Equilíbrio de Nash ii. O conceito de equilíbrio de Nash parece ser uma condição necessária para definirmos uma maneira natural de se jogar : se existe uma estratégia que dá maior utilidade a um jogador, dadas as estratégias dos outros, não faz sentido ele não jogá-la, em equilíbrio 11

12 23 Diagrama de Venn: Equilíbrio de Nash Exemplo: Jogo do banana (chicken game) Dois jovens começam a dirigir os carros dos pais, um em direção ao outro, para impressionar o grupo Se os carros colidem, payoff de 100 para cada um Se um dos dois desvia (D) e o outro se mantém na mesma direção (M), o que desviou passa por covarde, mas recebe uma utilidade mínima de 10 unidades, pois evitou o acidente. Aquele que se manteve no curso adquire a reputação de corajoso, o que lhe vale 50 unidades de utilidade Finalmente, se os dois desviarem, ambos são covardes e burros por não conseguirem prever o desvio do outro. Nesse último caso, cada jogador deriva 0 unidades de utilidade. 24 Equilíbrio de Nash 12

13 25 Forma normal do jogo: Equilíbrio de Nash Qual é o EN? MR 1 (2:d) = M MR 2 (1:M) = d (M,d) é EN MR 1 (2:m) = D MR 2 (1:D) = m (m,d) é EN 26 Duopólio de Cournot. Qual é o EN? Equilíbrio de Nash MR 1 (2:6) = 8 MR 2 (1:8) = 8 MR 1 (2:8) = 8 (8,8) é EN 13

14 27 Batalha dos sexos. Qual é o EN? Equilíbrio de Nash MR H (M:f) = f MR M (H:f) = f (f,f) é EN MR H (M:b) = b MR M (H:b) = b (b,b) é EN Pode haver mais de um equilíbrio de Nash! 14