Uma Introdução à Teoria dos Jogos

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1 Uma Introdução à Teoria dos Jogos Humberto José Bortolossi 1 Gilmar Garbugio 2 Brígida Alexandre Sartini 3 1 Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense 2 Departamento de Matemática Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia 3 Departamento de Ciências Exatas e Tecnológicas Universidade Estadual de Santa Cruz ERMAC 2005 Universidade Federal do Espírito Santo 25 a 28 de outubro de 2005 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 1

2 Dia 1 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 2

3 Teoria dos jogos: descrição informal Criada para se modelar fenômenos que podem ser observados quando dois ou mais agentes de decisão interagem entre si. Aplicações em eleições, leilões, balança de poder, evolução genética, etc. Mas sua teoria matemática é interessante por si própria. Teoria econômica teoria combinatória dos jogos. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 3

4 Um pouco de história : James Waldegrave (solução em estratégia mista para o jogo Le Her). 1838: Augustin Cournot (modelo do duopólio). H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 4

5 Um pouco de história : John von Neumann e Oscar Morgenstern (The Theory of Games and Economic Behaviour). H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 5

6 Um pouco de história : John Nash (existência de um equilíbrio de estratégias mistas para jogos não-cooperativos, teoria de barganha). H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 6

7 Um pouco de história : John Nash, John Harsanyi e Reinhard Selten (prêmio Nobel de economia) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 7

8 O que é um jogo? JOGO FINITO NA FORMA ESTRATÉGICA Existe um conjunto finito de jogadores: G = {g 1,..., g n }. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 8

9 O que é um jogo? JOGO FINITO NA FORMA ESTRATÉGICA Existe um conjunto finito de jogadores: G = {g 1,..., g n }. Cada jogador g i G possui um conjunto finito de estratégias puras: S i = {s i1, s i2,..., s imi }. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 9

10 O que é um jogo? JOGO FINITO NA FORMA ESTRATÉGICA Existe um conjunto finito de jogadores: G = {g 1,..., g n }. Cada jogador g i G possui um conjunto finito de estratégias puras: S i = {s i1, s i2,..., s imi }. O produto cartesiano S = n i=1 S i = S 1 S 2 S n, é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seus elementos de perfis de estratégia pura. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 10

11 O que é um jogo? JOGO FINITO NA FORMA ESTRATÉGICA Existe um conjunto finito de jogadores: G = {g 1,..., g n }. Cada jogador g i G possui um conjunto finito de estratégias puras: S i = {s i1, s i2,..., s imi }. O produto cartesiano S = n i=1 S i = S 1 S 2 S n, é denominado espaço de estratégia pura do jogo e seus elementos de perfis de estratégia pura. Para cada jogador g i G, existe uma função utilidade u i : S R que associa o ganho (payoff) u i (s) do jogador g i a cada perfil de estratégia pura s S. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 11

12 Exemplo: o dilema do prisioneiro G={Al,Bob} H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 12

13 Exemplo: o dilema do prisioneiro G={Al,Bob}, S Al ={confessar,negar}, S Bob ={confessar,negar} H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 13

14 Exemplo: o dilema do prisioneiro G={Al,Bob}, S Al ={confessar,negar}, S Bob ={confessar,negar}, S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 14

15 Exemplo: o dilema do prisioneiro G={Al,Bob}, S Al ={confessar,negar}, S Bob ={confessar,negar}, S={(confessar,confessar),(confessar,negar),(negar,confessar),(negar,negar)}. Função utilidade de Al u Al : S R u Al (confessar,confessar)= 5, u Al (negar,confessar)= 10, u Al (confessar,negar)=0, u Al (negar,negar)= 1, Função utilidade de Bob u Bob : S R u Bob (confessar,confessar)= 5, u Bob (negar,confessar)=0, u Bob (confessar,negar)= 10, u Bob (negar,negar)= 1 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 15

16 Exemplo: o dilema do prisioneiro MATRIZ DE PAYOFFS confessar Bob negar Al confessar ( 5, 5) (0, 10) negar ( 10, 0) ( 1, 1) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 16

17 Exemplo: a batalha dos sexos G={homem,mulher}, S homem ={futebol,cinema}, S mulher ={futebol,cinema}, S={(futebol,futebol),(futebol,cinema),(cinema,futebol),(cinema,cinema)}. MATRIZ DE PAYOFFS futebol Mulher cinema Homem futebol (10, 5) (0, 0) cinema (0, 0) (5, 10) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 17

18 Exemplo: o jogo sete/meio de Silvio Santos (NADA, NADA) (TUDO, NADA) (NADA, TUDO) (METADE, METADE) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 18

19 Solução de um jogo: dominância Dizemos que uma estratégia pura s ik S i do jogador g i G é estritamente dominada pela estratégia s ik S i se u i (s ik, s i ) > u i (s ik, s i ), para todo s i S i. A estratégia s ik S i é fracamente dominada pela estratégia s ik S i se u i (s ik, s i ) u i (s ik, s i ), para todo s i S i. Dominância estrita iterada nada mais é do que um processo onde se eliminam as estratégias que são estritamente dominadas. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 19

20 Dominância: exemplo g 2 s 21 s 22 s 23 s 24 s 11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4) g 1 s 12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1) s 13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1) s 14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 20

31 Dominância: o dilema do prisioneiro MATRIZ DE PAYOFFS confessar Bob negar Al confessar ( 5, 5) (0, 10) negar ( 10, 0) ( 1, 1) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 31

32 Dominância: o dilema do prisioneiro MATRIZ DE PAYOFFS confessar Bob negar Al confessar ( 5, 5) (0, 10) negar ( 10, 0) ( 1, 1) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 32

33 Dominância: a batalha dos sexos MATRIZ DE PAYOFFS futebol Mulher cinema Homem futebol (10, 5) (0, 0) cinema (0, 0) (5, 10) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 33

34 Dominância: a batalha dos sexos MATRIZ DE PAYOFFS futebol Mulher cinema Homem futebol (10, 5) (0, 0) cinema (0, 0) (5, 10) Este jogo não possui estratégias dominantes! H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 34

35 Dominância: mais um exemplo g 2 s 21 s 22 g 1 s 11 (+1, 1) ( 1, +1) s 12 ( 1, +1) (+1, 1) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 35

36 Dominância: mais um exemplo g 2 s 21 s 22 g 1 s 11 (+1, 1) ( 1, +1) s 12 ( 1, +1) (+1, 1) Este jogo também não possui estratégias dominantes! H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 36

37 Solução de um jogo: equilíbrio de Nash Uma solução estratégica ou equilíbrio de Nash de um jogo é um ponto onde cada jogador não tem incentivo de mudar sua estratégia se os demais jogadores não o fizerem. Mais precisamente, dizemos que um perfil de estratégia s = (s1,..., s (i 1), s i, s (i+1),..., s n) S é um equilíbrio de Nash se u i (si, s i ) u i(s iji, s i ) para todo i = 1,..., n e para todo j i m i 2. = 1,..., m i, com H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 37

38 Equilíbrio de Nash: o dilema do prisioneiro MATRIZ DE PAYOFFS confessar Bob negar Al confessar ( 5, 5) (0, 10) negar ( 10, 0) ( 1, 1) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 38

39 Equilíbrio de Nash: a batalha dos sexos MATRIZ DE PAYOFFS futebol Mulher cinema Homem futebol (10, 5) (0, 0) cinema (0, 0) (5, 10) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 39

40 Equilíbrio de Nash: outro exemplo g 2 s 21 s 22 s 23 s 24 s 11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4) g 1 s 12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1) s 13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1) s 14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 40

41 Equilíbrio de Nash NEM TODO JOGO POSSUI UM EQUILÍBRIO DE NASH EM ESTRATÉGIAS PURAS! g 2 s 21 s 22 g 1 s 11 (+1, 1) ( 1, +1) s 12 ( 1, +1) (+1, 1) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 41

42 Exercícios Hora de praticar! H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 42

44 Para aquecer... Verdadeiro ou falso? Se um jogo possui um único equilíbrio de Nash, então este equilíbrio sempre pode ser obtido por dominância estrita iterada. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 44

45 Resposta: falso! C z 1 z 2 z 3 x 1 ( 1, +1) (+1, 1) ( 1, +1) A x 2 (+1, 1) ( 1, +1) (+1, 1) x 3 ( 1, +1) (+1, 1) (+5, +5) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 45

46 Relembrando: soluções de um jogo DOMINÂNCIA Uma estratégia s 1 é estritamente dominada por outra estratégia s 2 se a escolha de s 2 produz ganhos maiores do que a escolha de s 1 independentemente das escolhas dos outros jogadores. EQUILÍBRIO DE NASH Uma solução estratégica ou equilíbrio de Nash de um jogo é um ponto onde cada jogador não tem incentivo de mudar sua estratégia se os demais jogadores não o fizerem. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 46

47 Melhor resposta A melhor resposta de um jogador com relação a um dado perfil de estratégia é o conjunto de todas as estratégias do jogador que maximizam o seu payoff supondo que os demais jogadores manterão as suas respectivas estratégias. Mais precisamente, a melhor resposta do jogador i a um perfil de estratégia s S é o conjunto: MR i (s) = {s i S i para todo s k S i tem-se u i (s k, s i ) u i (s i, s i )}. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 47

48 Melhor resposta: o dilema do prisioneiro confessar Bob negar Al confessar ( 5, 5) (0, 10) negar ( 10, 0) ( 1, 1) MR Al (confessar) = {confessar} MR Al (negar) = {confessar} MR Bob (confessar) = {confessar} MR Bob (negar) = {confessar} H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 48

49 Melhor resposta: o dilema do prisioneiro confessar Bob negar Al confessar ( 5, 5) (0, 10) negar ( 10, 0) ( 1, 1) MR Al (confessar) = {confessar} MR Al (negar) = {confessar} MR Bob (confessar) = {confessar} MR Bob (negar) = {confessar} H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 49

50 Melhor resposta: a batalha dos sexos futebol Mulher cinema Homem futebol (10, 5) (0, 0) cinema (0, 0) (5, 10) MR Homem (futebol) = {futebol} MR Homem (cinema) = {cinema} MR Mulher (futebol) = {futebol} MR Mulher (cinema) = {cinema} H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 50

51 Melhor resposta: a batalha dos sexos futebol Mulher cinema Homem futebol (10, 5) (0, 0) cinema (0, 0) (5, 10) MR Homem (futebol) = {futebol} MR Homem (cinema) = {cinema} MR Mulher (futebol) = {futebol} MR Mulher (cinema) = {cinema} H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 51

52 Melhor resposta: exemplo g 2 s 21 s 22 s 23 s 24 s 11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4) g 1 s 12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1) s 13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1) s 14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8) MR 1 (s 21 ) = {s 14 } MR 1 (s 22 ) = {s 12 } MR 1 (s 23 ) = {s 12 } MR 1 (s 24 ) = {s 13 } MR 2 (s 11 ) = {s 22 } MR 2 (s 12 ) = {s 22 } MR 2 (s 13 ) = {s 23 } MR 2 (s 14 ) = {s 24 } s = (s 1,..., s n) é equilíbrio de Nash MR i (s ) contém s i para todo i. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 52

53 Melhor resposta: exemplo g 2 s 21 s 22 s 23 s 24 s 11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4) g 1 s 12 (0, 0) (3, 2) (2, 1) (1, 1) s 13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1) s 14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8) MR 1 (s 21 ) = {s 14 } MR 1 (s 22 ) = {s 12 } MR 1 (s 23 ) = {s 12 } MR 1 (s 24 ) = {s 13 } MR 2 (s 11 ) = {s 22 } MR 2 (s 12 ) = {s 22 } MR 2 (s 13 ) = {s 23 } MR 2 (s 14 ) = {s 24 } s = (s 1,..., s n) é equilíbrio de Nash MR i (s ) contém s i para todo i. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 53

54 Melhor resposta: outro exemplo g 2 s 21 s 22 g 1 s 11 (+1, 1) ( 1, +1) s 12 ( 1, +1) (+1, 1) MR 1 (s 21 ) = {s 11 } MR 1 (s 22 ) = {s 12 } MR 2 (s 11 ) = {s 22 } MR 2 (s 12 ) = {s 21 } s = (s 1,..., s n) é equilíbrio de Nash MR i (s ) contém s i para todo i. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 54

55 Distribuições de probabilidades S = {A, B} B A B A 0 p 1, p 2 1, p 1 + p 2 = 1. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 55

56 Distribuições de probabilidades S = {A, B, C, D, E, F} F A F A E B E D D C C B 0 p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, p 6 1, p 1 + p 2 + p 3 + p 4 + p 5 + p 6 = 1. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 56

57 Média dos payoffs q 1 q 2 U V p 1 A (a, x) (b, y) p 2 B (c, z) (d, w) 0 p 1, p 2 1, p 1 + p 2 = 1. 0 q 1, q 2 1, q 1 + q 2 = 1. u 1 (p 1, p 2, q 1, q 2 ) = p 1 q 1 a + p 1 q 2 b + p 2 q 1 c + p 2 q 2 d, u 2 (p 1, p 2, q 1, q 2 ) = p 1 q 1 x + p 1 q 2 y + p 2 q 1 z + p 2 q 2 w. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 57

58 Exemplo: média dos payoffs 1/3 2/3 s 21 s 22 1/4 s 11 (+1, 1) ( 1, +1) 3/4 s 12 ( 1, +1) (+1, 1) u 1 ( 1 4, 3 4, 1 3, 2 3 ) = (+1) ( 1) ( 1) (+1) = +1 6, 2 u 2 ( 1 4, 3 4, 1 3, 2 3 ) = ( 1) (+1) (+1) ( 1) = H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 58

59 Exemplo: média dos payoffs 1/2 1/2 s 21 s 22 1/2 s 11 (+1, 1) ( 1, +1) 1/2 s 12 ( 1, +1) (+1, 1) u 1 ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ) = (+1) u 2 ( 1 2, 1 2, 1 2, 1 2 ) = ( 1) ( 1) ( 1) (+1) (+1) (+1) = 0, ( 1) = 0. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 59

60 Exemplo: média dos payoffs 1 0 s 21 s 22 1 s 11 (+1, 1) ( 1, +1) 0 s 12 ( 1, +1) (+1, 1) u 1 (1, 0, 1, 0) = (1)(1)(+1) + (1)(0)( 1) + (0)(1)( 1) + (0)(0)(+1) = +1, u 2 (1, 0, 1, 0) = (1)(1)( 1) + (1)(0)(+1) + (0)(1)(+1) + (0)(0)( 1) = 1. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 60

61 Média dos payoffs q U 1 q V p A (a, x) (b, y) 1 p B (c, z) (d, w) 0 p 1, 0 q 1. u 1 (p, q) = pqa + p(1 q)b + (1 p)qc + (1 p)(1 q)d = [ p (1 p) ] [ a b c d ] [ q (1 q) ] H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 61

62 Distribuições de probabilidades Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre um conjunto S = {A, B} de dois elementos? H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 62

63 Distribuições de probabilidades Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre um conjunto S = {A, B} de dois elementos? 2 = {(p 1, p 2 ) R 2 0 p 1, p 2 1 e p 1 + p 2 = 1}. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 63

64 Distribuições de probabilidades Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre um conjunto S = {A, B} de dois elementos? 2 = {(p 1, p 2 ) R 2 0 p 1, p 2 1 e p 1 + p 2 = 1}. p p 1 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 64

65 Distribuições de probabilidades Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre um conjunto S = {A, B, C} de três elementos? H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 65

66 Distribuições de probabilidades Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre um conjunto S = {A, B, C} de três elementos? 3 = {(p 1, p 2, p 3 ) R 3 0 p 1, p 2, p 3 1 e p 1 +p 2 +p 3 = 1}. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 66

67 Distribuições de probabilidades Quais são todas as distribuições de probabilidade sobre um conjunto S = {A, B, C} de três elementos? 3 = {(p 1, p 2, p 3 ) R 3 0 p 1, p 2, p 3 1 e p 1 +p 2 +p 3 = 1}. p p 2 1 p 1 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 67

68 Distribuições de probabilidades O conjunto de todas as distribuições de probabilidade sobre um conjunto de n elementos, n = { (p 1,..., p n ) R n 0 p 1,..., p n 1 e } n p 1 = 1, i=1 é convexo e compacto em R n. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 68

69 Equilíbrio de Nash em estratégias mistas Um equilíbrio de Nash em estratégias mistas de um jogo é um ponto onde cada jogador não tem incentivo de mudar sua escolha de distribuição de probabilidades se os demais jogadores não o fizerem. p = (p 1,..., p n ) é equilíbrio de Nash MR i (p ) contém p i para todo i. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 69

70 Exemplo: equilíbrio de Nash q 1 q s 21 s 22 p s 11 (+1, 1) ( 1, +1) 1 p s 12 ( 1, +1) (+1, 1) u 1 (p, q) = +4pq 2q 2p + 1 e u 2 (p, q) = 4pq + 2q + 2p 1. (p, q) = (1/2, 1/2) é um equilíbrio de Nash em estratégias mistas. u 1 (p, 1/2) = 0 0 = u 1 (1/2, 1/2), u 2 (1/2, q) = 0 0 = u 2 (1/2, 1/2). H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 70

71 Exemplo: equilíbrio de Nash Como calcular os equilíbrios de Nash em estratégias mistas? q 1 q s 21 s 22 p s 11 (+1, 1) ( 1, +1) 1 p s 12 ( 1, +1) (+1, 1) u 1 (p, q) = +4pq 2q 2p + 1 e u 2 (p, q) = 4pq + 2q + 2p 1. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 71

72 Exemplo: equilíbrio de Nash Como calcular os equilíbrios de Nash em estratégias mistas? q futebol 1 q cinema p futebol (10, 5) (0, 0) 1 p cinema (0, 0) (5, 10) u 1 (p, q) = +15pq 5p 5q + 5 e u 2 (p, q) = +15pq 10p 10q H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 72

73 Exercícios Hora de praticar! H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 73

75 Média dos payoffs q U 1 q V p A (a, x) (b, y) 1 p B (c, z) (d, w) u 1 (p, q) = pqa + p(1 q)b + (1 p)qc + (1 p)(1 q)d = [(a + d b c) q + b d] p + (c d) q + d u 2 (p, q) = pqx + p(1 q)y + (1 p)qz + (1 p)(1 q)w = [(x + w y z) p + z w] q + (y w) p + w H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 75

76 Equilíbrio de Nash via otimização u 1 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = [ ] [ a b p 1 p 2 c d ] [ q1 q 2 ] 0 p 1, p 2 1, p 1 + p 2 = 1 0 q 1, q 2 1, q 1 + q 2 = 1 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 76

77 Equilíbrio de Nash via otimização z 11 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = u 1 (1, 0; q 1, q 2 ) u 1 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ), z 12 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = u 1 (0, 1; q 1, q 2 ) u 1 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ), z 21 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = u 2 (p 1, p 2 ; 1, 0) u 2 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ), z 22 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = u 2 (p 1, p 2 ; 0, 1) u 2 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ). H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 77

78 Equilíbrio de Nash via otimização z 11 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = u 1 (1, 0; q 1, q 2 ) u 1 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ), z 12 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = u 1 (0, 1; q 1, q 2 ) u 1 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ), z 21 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = u 2 (p 1, p 2 ; 1, 0) u 2 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ), z 22 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = u 2 (p 1, p 2 ; 0, 1) u 2 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ). (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) é equilíbrio de Nash z 11 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) 0, z 12 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) 0, z 21 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) 0, z 22 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) 0. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 78

79 Equilíbrio de Nash via otimização g 11 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = max{0, z 11 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )}, g 12 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = max{0, z 12 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )}, g 21 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = max{0, z 21 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )}, g 22 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = max{0, z 22 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )}. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 79

80 Equilíbrio de Nash via otimização g 11 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = max{0, z 11 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )}, g 12 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = max{0, z 12 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )}, g 21 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = max{0, z 21 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )}, g 22 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) = max{0, z 22 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )}. (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) é equilíbrio de Nash z 11 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) 0, z 12 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) 0, z 21 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) 0, z 22 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) 0. g 11 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) = 0, g 12 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) = 0, g 21 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) = 0, g 22 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) = 0. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 80

81 Equilíbrio de Nash via otimização (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) é equilíbrio de Nash g 11 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) = 0, g 12 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) = 0, g 21 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) = 0, g 22 (p1, p 2 ; q 1, q 2 ) = 0. (p 1, p 2 ; q 1, q 2 ) minimiza [g 11 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )] 2 + [g 12 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )] 2 + [g 21 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )] 2 + [g 22 (p 1, p 2 ; q 1, q 2 )] 2 sujeito a 0 p 1, p 2, q 1, q 2 1, p 1 + p 2 = 1, q 1 + q 2 = 1 H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 81

82 Exemplo: o dilema do prisioneiro minimizar G(p, q) = (max {0, ( 1 + p) (4 q + 1)}) 2 + (max {0, p (4 q + 1)}) 2 + (max {0, (4 p + 1) ( 1 + q)}) 2 + (max {0, q (4 p + 1)}) 2 sujeito a 0 p 1, 0 q 1. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 82

83 Exemplo: o dilema do prisioneiro p q p q H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 83

84 Exemplo: a batalha dos sexos minimizar G(p, q) = (max {0, 5 ( 1 + p) (3 q 1)}) 2 + (max {0, 5 p (3 q 1)}) 2 + (max {0, 5 (3 p 2) ( 1 + q))) 2 + (max {0, 5 q (3 p 2)}) 2 sujeito a 0 p 1, 0 q 1. H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 84

85 Exemplo: a batalha dos sexos p q q p H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 85

86 Le Her simplificado Vamos jogar! H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 86

87 Le Her simplificado Analysis of N-Card Le Her A. T. Benjamin e A. J. Goldman H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 87

88 Le Her simplificado A Q J K A Q J K H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 88

94 Le Her simplificado A Q J K A Q J K Equilíbrio de Nash: (6/7, 1/7; 4/7, 3/7) Payoff médio: (0.551, 0.449) H. J. Bortolossi, G. Garbugio, B. A. Sartini Uma Introdução à Teoria Econômica dos Jogos 94