Todos conhecemos vários tipos de jogos, como xadrez, pôquer, jogo da velha, futebol, truco, jogos de computador a lista pode continuar a gosto.

Transcrição

1 Teoria dos Jogos 1 Estas notas são a tradução de parte do livro Game Theory de Thomas S. Ferguson, disponível na rede ( O objetivo será o de condensar num texto curto o que me parecer que cativará o interesse com facilidade. Pelo caráter preliminar deste texto em português, não coloquei as referências bibliográficas.

2 2 Thomas Ferguson

3 Capítulo 1 Introdução Todos conhecemos vários tipos de jogos, como xadrez, pôquer, jogo da velha, futebol, truco, jogos de computador a lista pode continuar a gosto. Há ainda uma área de jogos econômicos, e relacionados a estes os jogos políticos. A competição entre empresas, o conflito entre gerenciamento e trabalho, a luta para conseguir aprovar projetos no congresso, o poder do judiciário, negociações de guerra e paz entre países, e outros mais, são todos exemplos de jogos. Há também os jogos psicológicos que são jogados num nível mais pessoal, em que as armas são as palavras, e o retorno são os sentimentos. Há os jogos biológicos, em que a seleção natural pode ser modelada por um jogo entre gens. Há uma conexão entre teoria de jogos e as áreas de lógica e ciência da computação. Pode-se encarar a estatística teórica como um jogo em que a natureza é um dos jogadores. Os jogos são caracterizados por um número fixado de jogadores ou tomadores de decisão que interagem, possivelmente se ameaçam e formam coalizões, agem sob condições incertas, e por fim recebem algum benefício ou prejuízo, financeiro ou de outro tipo. Neste texto, estudamos vários modelos de jogos e criamos uma teoria ou uma estrutura dos fenômenos que aparecem. Em alguns casos, poderemos sugerir ações a serem tomadas por um jogador, em outros, a expectiva é entender o que se passa de modo a fazer predições. Vamos introduzir a terminologia básica da teoria de jogos. Antes de tudo, há o número de jogadores que denotaremos por n. Nomeamos os jogadores com os inteiros 1 até n, e denotamos o conjunto de jogadores por N = {1,, n}. Estudaremos com mais detalhe os jogos de duas pessoas, 3

4 4 Thomas Ferguson n = 2, no qual os conceitos são mais claros e as conclusões mais definitivas. Nos jogos de uma pessoa a teoria é chamada teoria da decisão. Jogos de solitária e quebra-cabeças são exemplos de jogos de uma pessoa, como também o são problemas de optimização sequencial que encontramos em pesquisa operacional, ou programação linear, ou em apostas. Há até mesmo jogos com zero pessoas, como o jogo da vida de Conway: um autômato começa a se mover, e segue sozinho sem interferência de ninguém. Vamos assumir neste texto que existem pelo menos dois jogadores, n 2. Em modelos de macroeconomia, o número de jogadores pode ser bem grande, chegando ao milhões. Em tais modelos é conveniente assumir que há um número infinito de jogadores, de fato é útil adotar um contínuo de jogadores, cada um com uma influência infinitesimal no resultado. Neste curso, n será finito. Há três modelos ou formas principais no estudo de jogos, a forma extensiva, a forma estratégica e a forma de coalizão. Elas diferem na quantidade de detalhe sobre as jogadas que entra no modelo. Na forma extensiva é mais detalhada, nela a estrutura segue de perto as regras do jogo. Na forma extensiva, podemos falar da posição da partida, e de um lance (ou jogada) do jogo como a mudança de uma posição para outra. O conjunto de lances possíveis a partir de uma posição dada pode depender do jogador que tem a vez. Na forma extensiva de um jogo, alguns lances podem ser aleatórios, como quando se distribuem cartas ou quando se lançam dados. As regras do jogo especificam as probabilidade dos resultados dos lances aleatórios. Pode-se também falar da informação que os jogadores têm quando eles fazem um lance. Eles sabem de todas as jogadas anteriores de todos os jogadores? E dos resultados dos lances aleatórios? Quando os jogadores sabem todas as jogadas anteriores de todos os jogadores e os resultdados de todos os lances aleatórios, o jogo é dito de informação perfeita. Jogos de duas pessoas de informação perfeita com um resultado final de vitória ou derrota e nenhum lance aleatório são conhecidos como jogos combinatórios. Há uma teoria bonita e profunda sobre tais jogos, veja Conway (1976) ou Berlekamp et al (1982). Tal jogo é chamado imparcial se os dois jogadores têm o mesmo conjunto de jogadas legais a partir de cada posição, e é chamado parcial (partizan) caso contrário. Na parte II descrevemos a forma estratégica ou normal de um jogo. Na forma estratégica, vários detalhes do jogo como a posição e os lances são perdidos; os principais conceitos são os de uma estratégia e do retorno. Na forma estratégica, cada jogador escolhe uma estratégia a partir de um conjunto de estratégias possíveis. Denotamos o conjunto de estratégias ou

5 Teoria dos Jogos 5 espaço de ação do jogador i por A i para i = 1, 2,, n. Cada jogador considera todos os outros jogadores e suas possíveis estratégias, e então escolhe a estratégia específica de seu conjunto de estratégias. Todos os jogadores fazem tal escolha simultaneamente, as escolhas são reveladas e o jogo termina com cada jogador recebendo um retorno (payoff). A escolha de cada jogador pode influenciar o resultado final de todos os jogadores. Modelamos os retornos por valores numéricos. Mas em geral, os retornos podem ser bem mais complexos, como você recebe uma entrada para ver o jogo do Londrina de amanhã, quando há uma chance grande de o Londrina perder. Há uma justificação matemática e filosófica por trás da hipótese de que cada jogador pode substituir tais retornos por valores numéricos, chamada Teoria da Utilidade. Suponha que o jogador 1 escolhe a 1 A 1, o jogador 2 escolhe a 2 A 2 e assim por diante. Então denotamos o retorno do jogador j, para j = 1 = 1, 2,, n por f j (a 1, a 2,, a n ) e chamamos esta função f j de função de retorno para o jogador j. A forma estratégica de um jogo é definida pelos três objetos: 1. o conjunto N = {1,, n} de jogadores; 2. a seqüência A 1, A 2,, A n de conjuntos de estratégias dos jogadores; e 3. a seqüência f 1,, f j de funções de retorno a valores reais dos jogadores. Um jogo na forma estratégica é dito ter soma zero se a soma dos retornos dos jogadores é zero não importa quais ações são escolhidas pelos jogadores. Ou seja, o jogo é de soma zero se n f i (a 1, a 2,, a n ) = 0 i=1 para todo a 1 A 1, a 2 A 2,, a n A n. Nos primeiros quatro capítulos da Parte II, restringirmos nossa atenção à forma estratégica de jogos de soma zero com dois jogadores. A teoria fornece soluções bem claras para tais jogos, graças a um resultado matemático fundamental conhecido como teorema minimax. Cada jogo como este tem um valor, e ambos os jogadores têm estratégias ótimas que garantem este valor. Nos últimos três capítulos da Parte II, tratamos dos jogos de soma zero entre duas pessoas na forma extensiva.

6 6 Thomas Ferguson Na parte III, a teoria é estendida a jogos entre duas pessoas com soma não-nula. Aqui a situação é mais nebulosa. Em geral, tais jogos não têm valores ou estratégias ótimas para os jogadores. A teoria se divide naturalmente em duas partes. Há a teoria não-cooperativa em que os jogadores, se puderem se comunicar, podem não fazer acordos. Esta é a área de maior interesse para os economistas. Em 1994, John Nash, John Harsanyi e Reinhard Selten ganharam o Prêmio Nobel de Economia pelo trabalho nesta área. Tal teoria é natural em negociações entre nações quando não há uma corte que julgue disputas e force acordos, e também em transações comerciais em que as companhias são proibidas de entrar em acordos por leis (anti-cartelização, por exemplo). O principal conceito, que substitui o valor e a estratégia ótima é a noção de um equilíbrio estratégico, também chamado um equilíbrio de Nash. Isto deve bastar para nosso curso de 2004.

7 Capítulo 2 Jogos combinatórios imparciais 2.1 Jogos de tirar peças Os jogos combinatórios são jogos de duas pessoas com informação perfeita e nenhum lance aleatório, e com um resultado final de vitória ou derrota. Tais jogos são determinados por um conjunto de posições, incluindo uma posição inicial, e o jogador que tem a vez. Uma jogada (ou lance) muda a posição, com os jogadores fazendo lances alternados, até que se chegue a uma posição terminal. Uma posição terminal é tal que nenhum outro movimento a partir dela é possível. Na posição terminal um dos jogadores é declarado vencedor e o outro o perdedor. Há duas referências a jogos combinatórios: On Numbers and Games de J.H. Conway, 1976 e Winning Ways for your mathematical plays de Berlekamp, Conway e Guy, Há muitos jogos interessantes descritos nestes livros, que é na sua maior parte acessível a estudantes de graduação com afinidades com matemática. Há os jogos imparciais, em que o conjunto de lances a partir de uma dada posição é o mesmo para qualquer jogador, e há os jogos parciais (partizan) em que cada jogador tem um conjunto diferente de possibilidades de lances a partir de uma dada posição. O xadrez e as damas são exemplos de jogos parciais. 7

8 8 Thomas Ferguson Um jogo de tirar peças As regras de um jogo combinatório bem simples de remover placas de uma pilha de placas: 1. Há dois jogadores, que denominamos por I e II. 2. Há uma pilha de 21 placas no centro de uma mesa. 3. Uma jogada consiste em tirar uma, duas ou três placas da pilha. Pelo menos uma placa tem de ser retirada, mas não mais que três placas podem ser removidas. 4. O jogador que retirar a última placa ganha. (O último jogador que faz um lance ganha.) Como analisar este jogo? Algum dos jogadores pode forçar uma vitória neste jogo? Qual jogador você prefere ser: o primeiro a jogar ou o segundo? Qual é a boa estratégia? Analisamos este jogo partindo do final para o começo. Este método é às vezes chamado indução para trás. Se há apenas uma, duas ou três placas, o jogador que tem a vez ganha, simplesmente retirando todas as peças. Suponha que haja quatro placas na pilha. Então o jogador da vez terá de deixar uma, duas ou três placas na pilha e seu oponente poderá ganhar. Portanto quatro placas é uma posição que leva à derrota para o jogador que tem a vez. Com 5, 6 ou 7 placas, o jogador da vez pode ganhar retirando placas de modo a deixar 4. Com 8 placas na pilha, o jogador da vez deve deixar 5, 6 ou 7 placas, e portanto perde. Vemos que as posições com 0, 4, 8, 12, 16,... placas são posições que um jogador deve buscar para ganhar. Agora podemos analisar o jogo com 21 placas. Como 21 não é divisível por 4, o primeiro jogador pode ganhar, bastando para isto retirar 1 placa e deixar 20, que é uma posição ganhadora. Agora definimos um jogo combinatório mais precisamente. É um jogo que satisfaz as seguintes condições 1. Há dois jogadores. 2. Há um conjunto, normalmente finito, de posições possíveis do jogo.

9 Teoria dos Jogos 9 3. As regras do jogo especificam para ambos os jogadores e cada posição quais movimentos para outras posições são permitidos. Se as regras não fazem distinção entre os jogadores, isto é se ambos os jogadores têm as mesmas opções a partir de cada posição, o jogo é chamado imparcial, caso contrário, o jogo é chamado parcial. 4. Os jogadores se alternam suas jogadas. 5. O jogo termina quando não há mais jogadas possíveis para o jogador que tem a vez. Sob a regra normal, o último jogador a efetuar um lance ganha, sob a regra misère, o último a efetuar um lance perde. 6. O jogo termina num número finito de jogadas, não importa como tenha sido jogado. A última condição é chamada condição de término do jogo. Se a retiramos, o jogo é declarado empatado se ele nunca termina. É importante destacar o que foi omitido desta definição. Não há lances aleatórios como distribuição de cartas ou rolar de dados. Isto exclui jogos como o gamão, pôquer ou o truco. Um jogo combinatório é um jogo de informação perfeita: lances simultâneos ou escondidos não são permitidos. Não há empates em um número finito de jogadas, o que exclui o jogo da velha. Geralmente estudaremos os jogos sob a regra normal Posições P e posições N No jogo de tirar peças visto na seção vemos que as posições 0, 4, 8,... são posições ganhadoras para o jogador que acabou de mover (previous player) e que 1,2,3,5,6,7,... são posições ganhadoras para o próximo jogador (next player). As primeiras são chamadas P-posições e as últimas N-posições. Em jogos combinatórios imparciais, pode-se em princípio encontrar quais são as P-posições e quais são as N-posições por indução (possivelmente transfinita) usando o seguinte procedimento começando das posições finais. Dizemos que uma posição num jogo é uma posição terminal se não há jogadas possíveis a partir dela. Este algoritmo é o método que usamos para resolver o jogo da seção Passo 1: nomeie cada posição terminal como um P-posição. Passo 2: nomeie cada posição da qual se pode chegar a uma P-posição já nomeada em um lance como uma N-posição.

10 10 Thomas Ferguson Passo 3: encontre todas as posições cujos únicos movimentos são para N-posições já nomeadas; e nomeie-as como P-posições. Passo 4: se nenhuma P-posição foi encontrada no passo 3, pare; do contrário, volte ao passo 2. É fácil ver que a estratégia de mover para P-posições é vitoriosa. De uma P-posição, seu oponente pode mover apenas para uma N-posição (3). Então você joga de volta para uma P-posição (2). Em algum momento o jogo termina, e como esta é uma P-posição, você ganha (1). Damos agora uma caracterização das P-posições e N-posições que vale para jogos combinatórios imparciais satisfazendo a condição de término, sob a regra normal. Propriedade característica. P-posições e N-posições são definidas recursivamente pelas seguintes afirmações: 1. Todas as posições terminais são P-posições. 2. De cada N-posição, existe pelo menos um lance para uma P-posição. 3. De cada P-posição, todo lance é para uma N-posição. Para jogos que usam a regra misère, a condição (1) deve ser substituída pela condição de que todas as posições terminais são N-posições.