Tratamento em Jogos Evolucionários

Transcrição

1 : Um Tratamento em Jogos Evolucionários Alexandre Balduino Sollaci Orientador: Gil Riella Universidade de Brasília Março de 2011

2 Introdução Recursos naturais internacionais. Recursos que transcendem fronteiras de países. Exemplos: rios, lagos, florestas, etc. Necessidade de cooperação entre países para a garantia de proteção desses recursos. Problema: Proteção é um bem público, e, como tal, não gera incentivos à sua provisão voluntária em quantidades eficientes.

3 Como resolver esse problema? Idéia: introduzimos um ĺıder! Um ĺıder é uma pessoa que resolve, unilateralmente, prover a quantidade eficiente do bem público. Espera-se que o ĺıder incentive outros jogadores a proverem proteção em quantidades eficientes também. Podemos saber se essa idéia pode realmente dar certo? Em teoria, sim! Já que estamos lidando com comportamento estratégico de vários agentes, usamos a teoria dos jogos.

4 Teoria dos Jogos Agregadores de Utilidade Antes de prosseguirmos, precisamos discutir alguns conceitos que serão importantes na modelagem do noss problema. O primeiro desses conceitos é a teoria dos jogos, e, portanto, teoria dos jogos evolucionários. O segundo são os agregadores de utilidade, que assumirão uma forma particular no nosso caso.

5 Teoria dos Jogos Introdução Teoria dos Jogos Agregadores de Utilidade A teoria dos jogos é um arcabouço matemático criado para modelar situações onde o payoff de cada jogador depende das ações de outros jogadores, isto é, existe comportamento estratégico. O objetivo é tentar encontrar equiĺıbrios, ou seja, situações em que nenhum jogador tem incentivo para agir de forma diferente. Para tal, um dos conceitos mais importantes da teoria dos jogos é o de Equiĺıbrio de Nash.

6 Equiĺıbrio de Nash Introdução Teoria dos Jogos Agregadores de Utilidade Como resolver o jogo a seguir? 3,2 1,0 1,1 0,5

7 Equiĺıbrio de Nash Introdução Teoria dos Jogos Agregadores de Utilidade 3,2 1,0 1,1 0,5 A idéia é simples: um equiĺıbrio de Nash acontece se quando o jogador 1 joga X, o jogador 2 joga Y; e quando o jogador 2 joga Y, o jogador 1 joga X. matematicamente, u 1 (X, Y ) u 1 (X, Ȳ ) e u 2 (X, Y ) u 2 ( X, Y ).

8 Jogos Evolucionários Introdução Teoria dos Jogos Agregadores de Utilidade Um equiĺıbrio evolucionariamente estável (EEE) é um refinamento do equiĺıbrio de Nash (EN). Isso significa que todo EEE é um EN, mas nem todo EN é um EEE. Qual a propriedade que o EEE tem a mais, então?

9 Teoria dos Jogos Agregadores de Utilidade A idéia de um EEE é que as estratégias mutantes não são bem sucedidas. De outra forma: toda estratégia diferente daquela em voga, tem um payoff menor. Matematicamente: u(x, X ) u(x, Y ) e em caso de igualdade, u(x, Y ) > u(y, Y ), onde X é a estratégia incumbente e Y a estratégia mutante. Vê-se, portanto, que jogar Y nunca é proveitoso.

10 Teoria dos Jogos Agregadores de Utilidade Equiĺıbrio Neutramente Estável (ENE) A diferença entre o EEE e o ENE é simples, trocamos a desigualdade estrita da segunda condição por uma desigualdade. A razão disso é evitar que estratégias que tenham payoffs iguais se anulem mutuamente como candidatos a equiĺıbrios. Matematicamente, u(x, X ) u(x, Y ) e em caso de igualdade, u(x, Y ) u(y, Y ). Finalmente, por que jogos evolucionários? A resposta está na diferença entre jogos estáticos e jogos repetidos.

11 Agregadores de Utilidade Teoria dos Jogos Agregadores de Utilidade Um agregador de utilidade nada mais é do que uma função que agrega as contribuições de cada jogador em um payoff que será o mesmo para ambos. Como estamos lidando com bens públicos, um agregador se torna necessário. Existem três agregadores principais: best-shot, summation e weakest-link.

12 Teoria dos Jogos Agregadores de Utilidade Best-shot Trabalhos em grupo f (x, y) = max{x, y} Summation Não jogar lixo na rua f (x, y) = x + y Weakest-link Construção de diques f (x, y) = min{x, y}

13 Descrição do Jogadores são países. Jogadores provêem proteção a recursos naturais internacionas. Agregador de utilidade é do modelo weakest-link. Jogadores tem ganho com recursos protegidos, mas incorrem em custo para provê-la. Proteção é ofertada em níveis: 0,1 e 2. Jogador pode escolher ser um ĺıder. Utilidade marginal decrescente: f (p + 1) f (p) < f (p) f (p 1)

14 Jogo sem Liderança Jogador 1 Jogador f (0), f (0) f (0), f (0) c f (0), f (0) 2c 1 f (0) c, f (0) f (1) c, f (1) c f (1) c, f (1) 2c 2 f (0) 2c, f (0) f (1) 2c, f (1) c f (2) 2c, f (2) 2c

15 Jogo com Liderança Jogador 1 Jogador L 0 f (0), f (0) f (0), f (0) c f (0), f (0) 2c f (0), f (0) c 1 f (0) c, f (0) f (1) c, f (1) c f (1) c, f (1) 2c f (1) c, f (1) c 2 f (0) 2c, f (0) f (1) 2c, f (1) c f (2) 2c, f (2) 2c f (2) 2c, f (2) 2c L f (0) c, f (0) f (1) c, f (1) c f (2) 2c, f (1) 2c f (2) 2c, f (2) 2c

16 Proposição No jogo sem liderança, qualquer estratégia mista não é Neutramente Estátavel (ENE). A interpretação disso é que um jogador nunca será indiferente entre prover diferentes níveis de proteção.

17 Proposição O equiĺıbrio (2, 2) é Neutramente Estável no jogo sem liderança se e somente se f (2) f (1) c.

18 Proposição No jogo com liderança, (2, 2) e (L, L) são ENE se e somente se (2, 2) é ENE no jogo sem liderança.

19 Introdução Incapacidade do ĺıder em alterar o ganho da sociedade. A liderança só é neutramente estável quando todos os jogadores já agem como ĺıderes. Weakest-link elimina todo o ganho marginal social proporcionado pelas escolhas do ĺıder.

20 Importância Introdução Resultado negativo: observa-se que a provisão na maioria dos casos é sub-ótima Mostramos que a liderança não é uma estratégia adequada para combater esse problema Necessidade de intervenção exógena: governo, etc.

21 Extensões Introdução Jogo com populações assimétricas: custos e ganhos (?) diferentes. Inserir benefícios poĺıticos e morais para o ĺıder e vergonha para o menor provisor. Novos agregadores de utilidade para novos problemas teóricos.

22 Obrigado pela atenção.