INFLUÊNCIA DA RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO CONCRETO NO COMPORTAMENTO DE PILARES ESBELTOS

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1 INFLUÊNCIA DA RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO CONCRETO NO COMPORTAMENTO DE PILARES ESBELTOS LUIZ GABRIEL SARMET MOREIRA SMIDERLE UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE - UENF CAMPOS DOS GOYTACAZES - RJ AGOSTO

2 INFLUÊNCIA DA RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO CONCRETO NO COMPORTAMENTO DE PILARES ESBELTOS LUIZ GABRIEL SARMET MOREIRA SMIDERLE Tese apresentada ao Centro de Ciência e Tecnologia, da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como parte das exigências para obtenção do título de Mestre em Ciências de Engenharia. Orientador: Prof. Giuseppe Barbosa Guimarães CAMPOS DOS GOYTACAZES - RJ AGOSTO

3 INFLUÊNCIA DA RELAÇÃO TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO CONCRETO NO COMPORTAMENTO DE PILARES ESBELTOS LUIZ GABRIEL SARMET MOREIRA SMIDERLE Tese apresentada ao Centro de Ciência e Tecnologia, da Universidade Estadual do Norte Fluminense, como parte das exigências para obtenção do título de Mestre em Ciências de Engenharia. Aprovada em 28 de agosto de Comissão Examinadora: Prof. Luiz Felippe Estrella Júnior (Doutor, Estruturas) - UENF Prof. Ney Augusto Dumont (Doutor, Estruturas) - PUC / RJ Prof. Raul Rosas e Silva (Doutor, Estruturas) - PUC / RJ Prof a Vânia José Karam (Doutora, Estruturas) - UENF Prof. Giuseppe Barbosa Guimarães (Doutor, Estruturas) - PUC / RJ Orientador

4 À minha família, em especial à minha esposa, Fátima, e à minha mãe, Jeanne.

5 AGRADECIMENTOS A Deus, a quem sempre devo dar graças em todos os momentos de minha vida; Ao meu orientador, Prof. Giuseppe Barbosa Guimarães, pelos conhecimentos transmitidos, pela dedicação, mesmo na dificuldade da orientação à distância, e pela amizade demonstrada ao longo destes anos; Aos professores e funcionários do LCENG, especialmente ao Prof. Luiz Felippe e à Prof a.vânia, sempre disponíveis e prontos a colaborar; Ao companheirismo dos colegas da primeira turma de Mestrado em Estruturas da UENF: Eduardo, Lucy, Wellington e Valdir, de cuja companhia nos privamos tão precocemente. Também à turma de Geomecânica, em especial ao colega e irmão Geraldo, talvez o meu maior incentivador; À minha esposa Fátima, pela seu apoio, compreensão e cumplicidade; À minha mãe, Jeanne, meus irmãos e toda a minha família, que, com todo apoio e incentivo, muito contribuíram para que este trabalho fosse concluído; Ao amigo Eng o Fernando Costa e Silva, pela participação decisiva na viabilização do meu curso de Mestrado; À FENORTE, pelo apoio financeiro.

6 SUMÁRIO Resumo... iii Abstract... iv Lista de Símbolos... v Capítulo I - Introdução... 1 Capítulo II - Descrição do modelo computacional Introdução Análise geométrica não linear Estado deformado de uma seção genérica Variação da energia potencial total Análise física não linear Leis constitutivas dos materiais Concreto Aço Obtenção dos esforços seccionais resistentes Determinação das derivadas parciais dos esforços resistentes em relação aos parâmetros de deformação Elemento finito utilizado Método de resolução Capítulo III - Curvas Momento Fletor - Força Normal - Curvatura Introdução Análise das curvas obtidas pelo modelo Influência da resistência do concreto Influência da forma do diagrama tensão-deformação Capítulo IV - Curvas Momento Fletor - Força Normal - Índice de Esbeltez Introdução Curvas µ ν λ com momento de primeira ordem constante ao longo do pilar Análise das curvas obtidas pelo modelo Influência da resistência do concreto Influência da forma do diagrama tensão-deformação Curvas µ ν λ com momento de primeira ordem variável ao longo do pilar... 61

7 Análise das curvas obtidas pelo modelo Influência da resistência do concreto Capítulo V - Conclusões e sugestões para trabalhos futuros Referências bibliográficas Anexo A - Gráficos µ ν φ Anexo B - Gráficos µ ν λ ii

8 RESUMO Este trabalho apresenta um estudo do comportamento de pilares esbeltos de concreto armado, realizado com o auxílio de um modelo computacional que considera a relação tensão-deformação no concreto proposta pelo MC90-CEB, válida também para concretos de alta resistência. O modelo leva em conta as não linearidades físicas do concreto e do aço, a não linearidade geométrica da estrutura e a fissuração do concreto. São construídas, a partir do modelo, curvas Momento Fletor - Força Normal - Curvatura (µ ν φ) e Momento Fletor - Força Normal - Índice de Esbeltez (µ ν λ) para concretos de resistências normal e alta. A seguir são feitas comparações entre estas curvas adimensionais obtidas a partir do modelo e as construídas considerando o diagrama parábola-retângulo. São observadas diferenças significativas, notadamente para valores altos da resistência do concreto. No final são apresentadas algumas conclusões e sugestões para futuros trabalhos relacionados ao tema. iii

9 ABSTRACT The behavior of reinforced concrete slender columns is analyzed with a computational model based on the finite element method. The model adopts the concrete stress-strain relationship proposed by the CEB-90 Model Code, and takes into account the material and geometrical non-linearities. Bending Moment - Axial Force - Curvature curves (µ-ν-φ) and Bending Moment - Axial Force - Slenderness ratio curves (µ-ν-λ) are constructed with the model for concretes with high and normal strengths. The results show that these dimensionless curves are affected by concrete strength. In addition, the comparison of these curves with those obtained based on the parabola-rectangle concrete stressstrain diagram, shows that the form of the stress-strain diagram also affects the column behavior. Some conclusions and suggestions for future researches about this subject are presented at the end. iv

10 LISTA DE SÍMBOLOS ROMANOS A c A s - área de concreto - área de armadura tracionada (ou menos comprimida) A s - área de armadura comprimida (ou mais comprimida) b [B] [C] d - largura da seção de concreto - matriz de relações entre deformações e deslocamentos ou matriz de incidência cinemática - matriz de relação secante entre tensões e deformações - altura útil da seção d - distância entre o centro de gravidade da armadura mais comprimida e bordo mais próximo da seção d/r <d> [D] E c E s tensão-deformação e 2 {f} f ck f cm f ctm f y f yc f ycd f yd h <H> - produto da curvatura pela altura útil da seção - vetor de deslocamentos nodais para o sistema local - matriz da relação tangente entre tensões e deformações - módulo de elasticidade tangente do concreto - módulo de elasticidade do aço na origem da curva - deslocamento transversal de segunda ordem do eixo do pilar - cargas nodais aplicadas - resistência característica do concreto à compressão - resistência média de compressão do concreto - resistência média de tração do concreto - tensão de escoamento da armadura tracionada - tensão de escoamento da armadura comprimida - tensão de escoamento de cálculo da armadura comprimida - tensão de escoamento de cálculo da armadura tracionada - altura da seção de concreto - vetor de transformação das deformações [K t ] - matriz de rigidez tangente do elemento K ll - termos constantes da matriz [K t ] v

11 K ln K nn K p l l 0 l e M M 1 M 2 N NB NICNR NRζ, MRξ - termos da matriz [K t ] que variam linearmente - termos da matriz [K t ] que variam quadraticamente - termos da matriz [K t ] que dependem do esforço normal - comprimento final do elemento de concreto - comprimento inicial do elemento de concreto - comprimento de flambagem do pilar - momento fletor - momento fletor de primeira ordem - momento fletor de segunda ordem - força normal - número de barras de aço da seção transversal - número de iterações por passo na solução com Newton-Raphson - esforços seccionais resistentes nas direções ζ e ξ 1/r - curvatura da seção [RD] - matriz das relações incrementais entre tensão e deformação [T] - matriz de transformação entre os sistemas global e local de coordenadas u - deslocamento de um ponto genérico na direção do eixo x u 0 - deslocamento axial do eixo de referência u 0, u 0 - primeira e segunda derivadas do deslocamento axial v - deslocamento de um ponto genérico na direção do eixo y v 0 - deslocamento transversal do eixo de referência v 0, v 0 - primeira e segunda derivadas do deslocamento transversal X, Y, Z - sistema global de coordenadas x, y, z - sistema local de coordenadas GREGOS < > { d} { f} - deslocamento inicial - vetor de deslocamentos nodais axiais - vetor de incrementos dos deslocamentos nodais no sistema local - vetor das forças desequilibradas vi

12 1, 2 ε ε c ε cu ε ct1 - deslocamentos nodais axiais - deformação axial total - encurtamento unitário do concreto comprimido - deformação última do concreto - deformação de tração para o concreto correspondente a 0,9 f ctm ε ct2 - deformação de tração para o concreto correspondente a f ctm {ε g } - vetor dos termos da deformação em um ponto no centro de gravidade da seção transversal ε yd ε 0 ε 01, ε 02 ε s - deformação unitária de escoamento do aço - deformação do centro de gravidade da seção - componentes da deformação axial - deformação na armadura tracionada ε s - deformação na armadura comprimida δπ, δ 2 π - primeira e segunda variação da energia potencial total φ - curvatura da seção (produto da curvatura pela altura útil da seção) λ - índice de esbeltez µ - momento fletor reduzido µ 1 - momento fletor reduzido de primeira ordem µ 2 - momento fletor reduzido de segunda ordem ν - esforço normal reduzido <θ> - vetor de rotações nodais {σ} - vetor de tensões genéricas σ c χ 0 ω - tensão de compressão no concreto - curvatura para um ponto do eixo de referência do elemento - taxa mecânica de armadura ξ, ν, ζ - sistema local de coordenadas que passa pelo centro de gravidade da seção transversal do elemento vii

13 Capítulo I INTRODUÇÃO O concreto armado é um material em que não existe linearidade entre tensões e deformações, uma vez que o aço e o concreto apresentam comportamentos não-lineares. Este tipo de não-linearidade denomina-se nãolinearidade física. Em se tratando de pilares surge ainda a não-linearidade geométrica, ocasionada pelos deslocamentos transversais do seu eixo. Os deslocamentos aumentam os momentos fletores solicitantes e, com isso, a armadura necessária para garantir o equilíbrio (Figura 1.1). N N H A A y M 1 =H.y e 2 M 1 + M 2 =N.e 2 CONFIGURAÇÃO INDEFORMADA CONFIGURAÇÃO DEFORMADA Figura Solicitações de segunda ordem Assim, o dimensionamento de um pilar esbelto de concreto armado sujeito a flexo-compressão só pode ser realizado iterativamente, através de um processo de aproximações sucessivas, onde em cada iteração se procuram igualar os esforços solicitantes aos esforços resistentes. Para tal, estão disponíveis na literatura as curvas Momento Fletor - Força Normal - Curvatura (µ ν φ) e Momento Fletor - Força Normal - Índice de Esbeltez (µ ν λ), baseadas na relação tensão-deformação representada pelo diagrama parábola-retângulo. Entretanto, a curva tensãodeformação do concreto em compressão obtida experimentalmente depende, entre outros fatores, da sua resistência. O CEB (1990) apresenta uma função para representar a relação tensão-deformação do concreto que leva em conta a sua resistência e conduz a modelagem muito mais condizente com resultados experimentais. Por isto, foi dada ênfase neste trabalho à importância do tipo de

14 2 função escolhida para representar a relação tensão-deformação do concreto e suas conseqüências no comportamento de pilares esbeltos. Pela análise dos gráficos abaixo se podem observar as diferenças entre as relações tensão-deformação propostas pelo MC90-CEB e pela NBR-6118 (1978) para diferentes resistências do concreto. fcm NBR fcm NBR CEB CEB cu (a) - f cm = 20 MPa cu cu (b) - f cm = 60 MPa cu fcm NBR CEB cu (c) - f cm = 80 MPa Figura Relações Tensão-Deformação do MC90-CEB e da NBR-6118 (1978) para diferentes resistências do concreto cu Este trabalho consiste num estudo do comportamento de pilares esbeltos de concreto armado realizado com o auxílio do modelo computacional PCFRAME (Campos, 1993). O programa é baseado no método de elementos finitos e considera a relação tensão-deformação no concreto proposta pelo MC90-CEB. Além disso,

15 3 leva em conta as não linearidades físicas do concreto e do aço, a não linearidades geométrica da estrutura e a fissuração do concreto. A dissertação é composta de cinco capítulos e dois apêndices. O capítulo 2 apresenta uma descrição do modelo computacional empregado. No capítulo 3 são analisadas as curvas µ ν φ. São obtidas, pelo modelo, curvas com pilares de concreto de resistência normal e de alta resistência. Nesta oportunidade se pôde fazer a comparação entre estas curvas do modelo para diferentes resistências e também com as curvas existentes na literatura, as quais se baseiam no diagrama parábola-retângulo para representar a relação tensão-deformação do concreto. O capítulo 4 trata dos diagramas µ ν λ. Primeiro são analisadas as curvas para pilares submetidos a momentos de primeira ordem constantes ao longo de sua altura. São obtidas curvas para pilares curtos e esbeltos, para duas resistências características do concreto (f ck = 20 MPa e f ck = 80 MPa, como nas curvas µ ν φ). São feitas comparações entre as curvas obtidas pelo modelo, analisando-se a influência da resistência do concreto no traçado das mesmas. Também é analisada a influência do tipo de diagrama empregado na relação tensão-deformação do concreto através de comparações com aquelas curvas baseadas na relação parábola-retângulo. A seguir são obtidos os mesmos diagramas µ ν λ para os momentos de primeira ordem variando ao longo do pilar, quando são analisados os comportamentos nas diferentes resistências de concreto, em colunas com diversos valores de esbeltez. Por fim, são apresentadas no capítulo 5, conclusões e sugestões para trabalhos futuros. Nos apêndices A e B são apresentados, respectivamente, todos os ábacos µ ν φ e µ ν λ obtidos neste trabalho.

16 4 Capítulo II DESCRIÇÃO DO MODELO COMPUTACIONAL Introdução Trata-se do modelo computacional PCFRAME, desenvolvido por Krüger (1989), e modificado por Campos (1993), para análise não linear de estruturas aporticadas de concreto armado e protendido. O modelo considera a relação tensãodeformação do concreto na tração e na compressão segundo as recomendações do MC90-CEB, leva em conta as não linearidades físicas do concreto e do aço, a não linearidade geométrica da estrutura e a fissuração do concreto. A consideração da relação tensão-deformação no concreto proposta pelo CEB (1990) em substituição à parábola-retângulo da NBR-6118 (1978), feita por Campos (1993), leva a uma modelagem do concreto mais condizente com resultados experimentais, principalmente no que diz respeito à resistência do concreto à tração. Desta maneira, a distribuição das tensões nas seções transversais de uma peça será feita considerando na mesma a existência de trechos fissurados e não fissurados. O programa baseia-se no método dos elementos finitos, para grandes deslocamentos e pequenas deformações da estrutura. A resolução do problema da não linearidade física e geométrica é feita a partir de uma formulação em termos de relações tangentes para a aplicação incremental das solicitações, com iterações de equilíbrio controladas por diversos métodos (Krüger, 1989). A versão utilizada do programa PCFRAME leva em conta a possibilidade de formação de rótulas plásticas em qualquer lugar do pórtico, pelo reposicionamento dos pontos de Gauss considerados para as integrações numéricas. Nos itens seguintes é feita uma descrição do modelo de acordo com o apresentado na tese de Lima Jr (1996) Análise geométrica não linear

17 5 Independentemente do tipo de não-linearidade envolvida, física ou geométrica, a formulação do problema é feita em termos de deslocamentos e é válida para qualquer tipo de material, elástico ou não. Foram consideradas na análise as seguintes hipóteses: as seções perpendiculares ao eixo de referência do elemento de viga permanecem planas e perpendiculares ao eixo após as deformações (teoria de Bernoulli-Euler-Navier). Os efeitos das solicitações de cisalhamento não são considerados; a estrutura está sujeita a grandes deslocamentos, mas a pequenas deformações Estado deformado de uma seção genérica O deslocamento de um ponto genérico A (ver figura 2.1) é dado por: u = u 0 - y. v 0 v = v 0 (2.1) Figura Deformação genérica de um elemento de viga onde u 0 representa o deslocamento axial do eixo de referência na direção x, v 0 o deslocamento transversal ao eixo de referência, v 0 a primeira derivada deste

18 6 deslocamento em relação a x, e y a distância do ponto genérico ao eixo de referência. As deformações em uma seção transversal são dadas pela soma de uma parcela linear e outra não linear, conforme a equação: ε = u 0 - y.v + ½. (v 0 ) 2 (2.2) Variação da energia potencial total As forças de massa são consideradas nulas pelo modelo e as cargas {f} aplicadas à estrutura são nodais e estão relacionadas com os respectivos deslocamentos nodais {d} do elemento. Pode-se então escrever a primeira variação da energia total como: L T { } [ ] { } { } { } δπ = δεg. C. εg. dx δd. f = 0 (2.3) 0 onde {ε g } é o vetor que contém as componentes da deformação em um ponto no centro de gravidade da seção transversal e [C] é a matriz de relação secante entre tensões e deformações. A partir da expansão da equação (2.3) se obtém: L T P δπ = δ{ Θ}. [ B][. C][. B]. dx. δ{ Θ}. (2.4) Θ M 0 onde [B] é a matriz das relações entre tensões e deslocamentos nodais. A partir da equação (2.4) é obtida a expressão da segunda variação da energia total, que dá origem à expressão da matriz de rigidez tangente do elemento utilizado: δπ 2 = δ T. B. D. B. dx.. '. N. '. dx 0 + Θ 0 L T L { Θ} [ ][ ][ ] δ{ Θ} { Φ} x { Φ} P δ { Θ. } M (2.5)

19 7 onde [D] é definida de modo idêntico à matriz [C], porém contendo o módulo de elasticidade tangente E t do material em lugar do módulo secante E s. Para facilitar a implementação computacional e a visualização dos termos lineares e não lineares é feito um desdobramento do primeiro termo entre perênteses da equação (2.5) em várias parcelas: δ 2 P π = δ{ Θ}.([ K11] + [ K1n] + [ Knn] + [ Kp] ). δ{ Θ} (2.6) Θ M onde [K 11 ] é a matriz tangente do elemento que contém os termos constantes, [K 1n ] a matriz tangente que contém os termos que variam linearmente com os deslocamentos, [K nn ] a matriz tangente que contém os termos que variam quadraticamente com os deslocamentos e, finalmente, a matriz [K p ] é aquela que contém os termos que dependem do esforço normal N x. A equação do equilíbrio incremental é definida através da relação (2.7), pois a equação (2.6) é válida para qualquer variação de deslocamento δ[d]. [K T ]. { d} = { f} (2.7) onde { d} representa o vetor dos incrementos dos deslocamentos nodais, { f} representa o vetor das forças não equilibradas e [K T ] a matriz de rigidez tangente ou incremental do elemento, definida por: [K T ] = [K 11 ] +[K 1n ] + [K nn ] + [K p ] (2.8) Análise física não linear A não linearidade física ocorre pelo fato de a matriz [D], que aparece na equação (2.5), variar em função do nível de solicitação a que são submetidos os

20 8 materiais concreto e aço. Além disso, a matriz de rigidez tangente [K T ] depende da magnitude dos esforços normais através do termo [K p ]. A matriz de relações incrementais [RD] é definida por Krüger (1989) como: [RD] = D D D D NRζ εo = NRξ εo NRζ χo NRξ χ o (2.9) Leis constitutivas dos materiais Concreto O modelo utiliza a formulação do CEB (1990) para a representação do comportamento do concreto à compressão e à tração. As curvas correspondentes são apresentas nas figuras 2.2 e 2.3, onde: f cm - Valor genérico da resistência à compressão; E c - Módulo de elasticidade tangente; E c1 - Módulo de elasticidade secante; ε c1 - Deformação para tensão máxima de compressão, igual a 0,0022; ε cu - Deformação correspondente a 0,5f cm ; f ctm - Valor genérico da resistência à tração em MPa; σ ct - Tensão de tração em MPa; ε ct - Deformação de tração; ε ct1 - Deformação de tração correspondente à tensão de tração de 0,9f ctm, e ε ct2-0,00015.

21 9 Figura Curva tensão vs. deformação para compressão segundo CEB (1990) Figura Curva tensão vs. deformação para tração segundo CEB (1990) O CEB (1990) define f cm, para especificações de projeto, como: f cm = f ck +8 (em MPa) (2.10) A equação que determina a curva genérica da figura 2.2 é dada por:

22 10 σ c = E E E E f c c1 c c1 c c1 c c1 c c1 cm +... ε ε ε ε ε ε (2.11) para ε c < ε cu. Para valores maiores que ε cu a equação da curva é dada por: σ c = ε ε ξ ε ε ε ε ε ε ξ ε ε c c1 c c1 c c1 c c1 c c1 fcm (2.12) onde, ξ = ε ε ε ε ε ε cu c c c cu c c c cu c c c E E E E E E (2.13) e a deformação ε cu é dada por: ε ε cu c c c c c E E E E = (2.14) O módulo de elasticidade tangente para o concreto de peso normal pode ser estimado utilizando-se sua resistência característica, conforme a equação abaixo: E c = α e.(f cm / f cmo ) 1/3 (MPa) (2.15) onde, f cmo = 10 MPa α e = 2,5 x 10 4 MPa.

23 11 O módulo de elasticidade secante fica então definido como: fcm E c1= (2.16) 0,0022 O comportamento à tração do concreto, representado na figura 2.3, é definido pelo CEB (1990) como: σ ct = E ct. ε ct (2.17) para valores de σ 0,9f ctm, e: 0,1.fctm σ ct = fctm - 09,. 0, f Ec ctm. 0, ε ct (2.18) para 0,9f ctm < σ f ctm. Para as equações (2.17) e (2.18), o valor de f ctm é definido como: 2 3 fck f ctm = α fct, m. (2.19) fck 0 onde, αfct, m=140, MPa, e f = MPa. ck 0 10 Por fim, ε ct1 é definido como: 0,9. fctm ε ct1= (2.20) Ec

24 Aço São considerados dois tipos de armadura: classe A e classe B. Na armadura classe A, a curva tensão-deformação é caracterizada por um trecho linear até o limite de escoamento e pela existência de um patamar de escoamento. O aço classe B não apresenta um patamar de escoamento definido. O modelo utiliza os diagramas tensão-deformação propostos pela NBR-6118 (1978), que são apresentados nas figuras 2.4 e 2.5. Figura Diagrama tensão vs. deformação simplificado para o aço tipo A Figura Diagrama tensão vs. deformação simplificado para o aço tipo B

25 Obtenção dos esforços seccionais resistentes A partir da geometria da seção (coordenadas dos vértices da poligonal fechada, coordenadas das barras e suas respectivas áreas) e das relações constitutivas dos materiais, podem-se obter os esforços seccionais resistentes (momento fletor e esforço normal) para um sistema local de coordenadas (ξ, η, ζ) que passa pelo centro de gravidade da seção (considera-se perfeita a aderência entre o concreto e o aço). Faz-se então a integração das tensões tanto para o concreto como para o aço, sendo as mesmas definidas em função das curvas tensão-deformação. NB MRξ = - σc( ε) η ρi s σ ( εi.. da +.. A. s ). ηi (2.21) i= 1 Ac NB NRξ = - σc ( ε) da ρi As σs ( εi ) (2.22) i= 1 Ac onde ρ i é a percentagem da armadura total A s correspondente à i-ésima barra, NB é o número total de barras e A c é a área de concreto comprimida considerando que a seção seja homogênea Determinação das derivadas parciais dos esforços resistentes em relação ao parâmetro de deformação Derivando-se os termos das equações (2.21) e (2.22) em relação a cada um dos parâmetros (ε 0, χ 0 ), tem-se: MRξ σc ε NB σs ε = η da ρi As ηi i εo ε. εo.... = ε. εo. 1 Ac (2.23) NRζ εo σc ε NB σs ε = da ρi As i ε. εo... = ε. 1 εo Ac (2.24)

26 14 MRξ χo σc ε NB σs ε = η da ρi As ηi i ε. χ o.... = ε. χ o. 1 Ac (2.25) NRζ χo σc ε NB σs ε = da ρi As i ε. εo... = ε. 1 χ o Ac (2.26) Krüger (1989) mostra que estas integrais de área podem ser transformadas em integrais em todo o contorno da seção transversal de cada elemento. Logo, a matriz [RD] pode ser escrita genericamente: [RD] = { H} { } σ.. H T. da (2.27) ε onde {H} representa o vetor de transformação das deformações no centro de gravidade da seção transversal da peça, para um ponto qualquer da mesma Elemento finito utilizado O programa utiliza um elemento finito de viga inicialmente descrito em um sistema natural de coordenadas (figura 2.6a). Em seguida, este é transformado para um sistema auxiliar, onde as coordenadas de deslocamentos são dispostas segundo as coordenadas globais do pórtico e permitem a descrição de deslocamentos de corpo rígido (figura 2.6b). Depois é feita a transformação para o sistema global de coordenadas e então se segue o método da rigidez direta.

27 15 (a) - natural (b) - auxiliar Figura Sistemas de coordenadas Método de resolução Para cada etapa do processo incremental precisa-se resolver o sistema nãolinear de equações. Esta resolução é feita pelo método de Newton-Raphson por meio de várias estratégias à escolha do usuário: método do controle do trabalho das forças externas; método das normas dos deslocamentos; método de controle dos deslocamentos; e o controle de carga. Para a análise da estrutura numa determinada etapa do carregamento é processado o algoritmo apresentado na figura 2.7, independentemente da estratégia utilizada para a resolução do sistema não linear de equações.

28 16 Cálculo das cargas nodais aplicadas a cada incremento Cálculo das características geométricas iniciais para o estado indeslocado e indeformado para o elemento Os acréscimos de deslocamentos globais oriundos da resolução dos sistemas de equações não-lineares são transformados em acréscimos de deslocamentos de cada barra Atualização das características geométricas e da matriz [T] Cálculo da matriz de rigidez tangente e o vetor dos deslocamentos nodais equivalentes às tensões para o sistema global Não Modificação da matriz de rigidez global para as condições de contorno Não Verificação Sim da i-ésima iteração do critério de convergência Resolução do sistema de equações para um novo acréscimo de deslocamentos globais, com atualização dos mesmos O processo iterativo é encerrado para o incremento em questão Formação de uma nova Sim Verificação se o incremento de matriz e um novo carga atingiu o máximo vetor de forças nodais indicado nos dados de entrada O processo incremental é encerrado e os resultados da estrutura podem ser encontrados nos arquivos de saída Figura Algoritmo utilizado pelo modelo computacional para a análise da estrutura numa etapa do carregamento

29 17 Capítulo III CURVAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - CURVATURA Introdução Neste capítulo são apresentadas algumas curvas momento fletor - força normal - curvatura, obtidas pelo modelo computacional, para concretos com resistência característica normal e concretos de alta resistência. É feita uma comparação entre estas curvas, analisando-se aí a influência da resistência do concreto. É feita, também, uma comparação entre estas curvas e aquelas obtidas com base no diagrama parábola-retângulo. Para esta situação é analisada a influência da forma do diagrama tensão-deformação nas mesmas Análise das curvas obtidas pelo modelo As curvas foram obtidas para pilares bi-rotulados, discretizados em quatro elementos, com seção transversal indicada na figura 3.1, submetidos a uma força normal de compressão constante (correspondente a um determinado valor de ν) e a um par de momentos fletores aplicados nos extremos, que vão sendo incrementados pelo programa, e são responsáveis pelos momentos de primeira ordem, como se pode verificar na figura 3.1. Todos os diagramas foram feitos para um concreto de resistência normal (f ck = 20 MPa) e para um concreto de alta resistência (f ck = 80 MPa), sempre considerando o aço CA-50A. Nos dados de entrada do programa, os valores fornecidos para as resistências do concreto foram f c = 0,85f cd e para o aço f y = f yd. Portanto, um concreto com f ck = 20 MPa tem como dado de entrada no programa uma resistência f c = 0,85 x 20 / 1,4 = 12,14 MPa. Para f ck = 80 MPa se tem MPa como valor de entrada da resistência do concreto. A resistência do aço (sempre empregado o CA-50A) foi f y = f yd = 50 / 1,15 = 43,5 MPa.

30 18 N = cte. Tipo de seção transversal: M 1 d d /h = 0,05 Valores incrementados C C l e A A M 1 h Figura Esquema do pilar utilizado na obtenção das curvas µ ν φ Assim, fixado o valor de ν (da força normal N) as curvas foram obtidas para as diversas taxas mecânicas de armadura (ω) sempre para a seção intermediária C-C. A figura 3.2 mostra as curvas correspondentes a ν = 0,2 para uma seção de um pilar de concreto com resistência f ck = 20 MPa. O eixo das ordenadas representa os momentos fletores reduzidos totais, correspondentes à soma dos momentos de primeira ordem (esforços M 1, aplicados nas extremidades do pilar) com as solicitações de segunda ordem (N.e 2 ). As abscissas representam os valores da curvatura da seção (1/r) multiplicados por 1000 e por sua altura útil (d). Assim, ν = N/b.h.f cd e µ = M/b.h 2.f cd, sendo M = M 1 + M 2 onde: M 1 - momento de primeira ordem (aplicado); M 2 - momento de segunda ordem (N.e 2 )

31 C B ω=0.8 ω=0.6 ω=0.4 A ω=0.2 ω= d/r (x1000) Figura Diagramas µ ν φ para f ck = 20 MPa - ν = 0,2 Observando as curvas para as diversas taxas mecânicas de armadura (ω), podem-se notar alguns pontos em que ocorrem mudanças nas suas trajetórias (pontos A, B e C assinalados na curva correspondente a ω = 1,0). No ponto A ocorre a fissuração no concreto. Há então uma perda de rigidez da coluna, ocorrendo uma mudança na inclinação da curva em um trecho também aproximadamente linear até o ponto B, onde ocorre o escoamento da armadura tracionada (atingida no ponto B a deformação ε s = ε yd = 2,07 ). O ponto C corresponde ao esgotamento da capacidade de carga da seção, com a curva tendendo a ficar na horizontal. Isto ocorre exatamente no instante em que a armadura comprimida começa a escoar. Analisando-se a figura 3.3 podem-se verificar os comentários acima. Nela se mostra a evolução das deformações do concreto e das armaduras na seção

32 20 intermediária do pilar com o acréscimo do momento aplicado M 1 para a curva correspondente a ω = 0,4. Assim, acompanhando as deformações, podem-se observar os pontos onde ocorrem a fissuração do concreto (ε = 0,15 ) e o início do escoamento das armaduras (ε = 2,07 ). A figura 3.3a mostra a relação entre os momentos totais (µ) e as deformações nas fibras externas do concreto e nas armaduras comprimida e tracionada. A figura 3.3b mostra o momento aplicado µ 1 (de primeira ordem) também com as mesmas deformações correspondentes. Acompanhando a figura 3.3b se observa inicialmente, com µ 1 próximo de zero, a seção toda comprimida, com as deformações nas duas faces do pilar muito próximas. À medida que se vai aumentando o valor de µ 1, começam a surgir tensões de tração na seção até que, atingida a deformação de 0,15 na fibra mais tracionada, ocorre a fissuração no concreto (ponto A da figura 3.2). O próximo ponto onde se tem uma inflexão na curva (ponto B) ocorre quando é atingida a deformação correspondente ao início do escoamento da armadura tracionada (no caso, ε s = ε yd = 2,07 ). Isto acontece para valores µ e µ 1 da ordem de 0,23 e 0,10 respectivamente. Pode-se confirmar na figura 3.2 que realmente o ponto B na curva para ω = 0,4 tem um valor para µ de aproximadamente 0,23. A partir daí, com a armadura tracionada já escoando, vai ocorrendo um acréscimo muito pequeno de µ 1, embora ainda com grandes aumentos do momento total (provenientes dos aumentos da excentricidade de segunda ordem). Ou seja, no trecho B-C da curva para ω = 0,4 se tem no gráfico µ vs. ε um segmento ascendente, embora com uma inclinação menor do que no trecho anterior ao início do escoamento da armadura. Já no gráfico µ 1 vs. ε, se tem neste trecho uma inclinação muito pequena, próximo à horizontal, com pequenos incrementos de µ 1.

33 21 d'/h= fck=20mpa - A O CA 50-A ν=0.2 ω=0.4 DEFORMA DEFORMA ES NO CONCRETO ES NAS ARMADURAS 0.30 Escoamento da Armadura Comprimida Escoamento da Armadura Tracionada 0.10 Fissuração no Concreto = = 0.15 = COMPRESS O (a) - µ vs. ε TRAÇÃO Escoamento da Armadura Comprimida Escoamento da Armadura Tracionada 0.08 Fissuração no Concreto 0.04 = = 0.15 = COMPRESS O TRAÇÃO (b) - µ 1 vs. ε Figura Gráficos dos Momentos Totais e Momentos Aplicados vs. Deformações

34 22 No ponto C ocorre o início do escoamento da armadura comprimida, para µ 0,27, como se pode observar no gráfico µ vs. ε (ε s = ε ycd = -2,07 ). Verifica-se também que a partir deste ponto ocorrem acréscimos muito pequenos de µ com os valores de µ 1 já decrescendo. A capacidade de carga da seção foi esgotada e a curva µ vs. φ passa a ficar praticamente na horizontal. Na tabela 3.1 são apresentados todos os casos de analisadas neste trabalho para a obtenção das curvas µ ν φ. As curvas obtidas com outros valores de ν apresentam comportamento semelhante aos casos aqui analisados (para ν = 0,2), diferindo, entretanto, principalmente na localização dos pontos de início de escoamento das armaduras tracionada e comprimida (pontos B e C da figura 3.2 ). Com o aumento da força normal, os pontos B e C tendem a trocar de posição, ou seja, a armadura comprimida passa a escoar antes da tracionada. Para ν = 0,4, por exemplo, pode-se observar na figura 3.4 que, para a mesma resistência do concreto, as posições dos pontos B e C se invertem para as taxas mecânicas ω = 1,0 e ω = 0,2, passando nesta última curva a ocorrer primeiro o escoamento da armadura comprimida. Para ν = 0,6 e 0,8 a armadura A s (comprimida) escoa sempre antes de As (tracionada). d'/h= fck=20mpa ν= Escoam. de A's Escoam. de As Fissura o Escoam. de A's Escoam. de As ω=0.2 Fissura o d/r (x1000) Figura Curvas µ ν φ para ν = 0,4 - Indicação dos pontos marcantes do desenvolvimento das curvas

35 23 Tabela Casos analisados na obtenção das curvas µ ν φ ν f ck (MPa) ω Aço d /h 0,0 0,2 20 0,4 0,6 0,8 0,2 1,0 0,0 0,2 80 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 20 0,4 0,6 0,8 0,4 1,0 0,0 0,2 80 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 20 0,4 0,6 0,8 0,6 1,0 CA-50A 0,05 0,0 0,2 80 0,4 0,6 0,8 1,0 0,0 0,2 20 0,4 0,6 0,8 0,8 1,0 0,0 0,2 80 0,4 0,6 0,8 1,0

36 Influência da resistência do concreto Na figura 3.5 se apresentam as curvas µ ν φ para concretos com f ck de 20 MPa e 80 MPa plotadas no mesmo gráfico a fim de se analisar a influência da resistência do concreto. Verifica-se que as diferenças entre as curvas tendem a diminuir com o aumento do momento atuante. Até a fissuração do concreto, as diferenças são substancialmente grandes. Para valores de µ próximos a 0,05, por exemplo, uma seção com ω = 0,0 e concreto com f ck = 20 MPa, tem uma curvatura menor do que uma com ω = 0,6 e concreto de 80 MPa. A partir da fissuração da seção até o início do escoamento da armadura tracionada, as curvas das duas resistências tendem a se aproximar um pouco, chegando a ficar coincidentes durante o escoamento da armadura tracionada até a armadura comprimida começar a escoar. Neste ponto, que corresponde exatamente ao esgotamento da capacidade resistente da seção (portanto, já no estado limite último), as curvas voltam a se separar, ficando as de concreto com menor resistência ligeiramente acima daquelas construídas com f ck = 80 MPa. Mais adiante, nas figuras 3.7, 3.8 e 3.9, serão apresentadas as curvas µ ν φ para ν = 0,4, ν = 0,6 e ν = 0,8 respectivamente. Há uma tendência de aumento das diferenças entre as curvas (no estado limite último) com o crescimento da força normal ν. Em termos de capacidade de carga (normalizada), as seções dos pilares com f ck = 20 MPa resistiram a um momento µ cerca de 1,5% superior ao daquelas com concreto de 80 MPa para ν = 0,2. No caso de ν = 0,8, esta diferença aumenta para aproximadamente 7,5%.

37 d'/h= A O CA 50-A ν=0.2 fck=20mpa _ fck=80mpa ω=0.8 ω=0.6 ω=0.4 ω=0.2 ω= d/r (x1000) Figura Curvas µ ν φ para ν = 0,2 - Influência da Resistência do Concreto Influência da forma do diagrama tensão-deformação A figura 3.6 mostra as curvas obtidas para concretos com resistências características de 20 e 80 MPa juntamente com aquelas construídas com o diagrama tensão-deformação parábola-retângulo da NBR-6118 (1978). Estas últimas foram retiradas graficamente de Fusco (1981) a fim de se fazer a comparação com as obtidas pelo modelo, analisando-se a influência da forma do diagrama σ.ε no traçado das mesmas.

38 26 d'/h= A O CA 50-A 0.60 ν=0.2 fck=20mpa fck=80mpa fck=qualquer - PAR B-RET NG. ω=0.8 ω=0.6 ω=0.4 ω=0.2 ω= d/r (x1000) Figura Curvas µ ν φ do modelo (CEB) vs. Parábola-retângulo (NBR-6118) para ν= 0,2 As curvas baseadas na relação tensão-deformação da NBR-6118 são válidas para qualquer valor de resistência do concreto, uma vez que o diagrama parábolaretângulo tem sua forma independente do valor da mesma. Como na figura 3.5, aqui também as diferenças são razoavelmente grandes para baixos valores do momento. À medida em que a seção vai sendo mais solicitada, com o aumento de M 1 (e, evidentemente, aumento também do momento total), as curvas apresentam a tendência de se aproximar. As curvas de Fusco, no entanto, não mostram nitidamente o trecho entre o escoamento da armadura tracionada e o início do escoamento da comprimida, apresentado pelas curvas do

39 27 modelo (trecho B-C da figura 3.2). No patamar tendendo à horizontal do final das curvas, já no estado limite último, elas apresentam uma significativa diferença (para quase todos os valores de ω, as maiores diferenças se apresentam neste trecho), aparecendo sempre as do modelo por cima (primeiro as de f ck = 20 MPa, logo abaixo as de f ck = 80 MPa) e por último, mais afastadas, as curvas do diagrama parábolaretângulo. Nas figuras 3.7, 3.8 e 3.9 são apresentadas as curvas µ ν φ obtidas pelo modelo para os demais casos estudados, ou seja, para ν = 0,4, ν = 0,6 e ν = 0,8 respectivamente. Da mesma forma como foi feito para ν = 0,2, são mostrados gráficos comparando as curvas para as duas resistências do concreto e, em seguida, a comparação destas últimas com as curvas baseadas no diagrama parábola-retângulo para a relação tensão-deformação do concreto. De um modo geral, o comportamento destas curvas é semelhante ao apresentado por aquelas mostradas na figura 3.6. As primeiras curvas µ ν φ (para ν = 0,2 e parte de ν = 0,4) foram obtidas com pilares esbeltos (λ 138). Acontece que, com o aumento da solicitação, o pilar muitas vezes passava a entrar em colapso por instabilidade, sem que a seção analisada tivesse sua capacidade de carga esgotada (o pilar flambava sem que as armaduras escoassem ou que o concreto esmagasse) inviabilizando a obtenção das curvas. Assim as demais curvas foram obtidas para as seções intermediárias de pilares curtos (λ 35).

40 28 d'/h= A O CA 50-A fck=20mpa 0.60 ν=0.4 _ fck=80mpa ω=0.8 ω=0.6 ω=0.4 ω=0.2 ω= d/r (x1000) (a) - Influência da Resistência do Concreto d'/h= A O CA 50-A 0.60 ν=0.4 fck=20mpa (CEB) fck=80mpa (CEB) fck=qualquer (PAR B-RET NG) ω=0.8 ω=0.6 ω=0.4 ω=0.2 ω= d/r (x1000) (b) - Curvas do Modelo (CEB) vs. Diagrama Parábola-Retângulo (NBR-6118) Figura Curvas µ ν φ para ν = 0,4

41 29 d'/h= A O CA 50-A 0.50 ν=0.6 fck=20mpa fck=80mpa ω= ω=0.6 ω=0.4 ω= ω= d/r (x1000) (a) - Influência da Resistência do Concreto d'/h= A O CA 50-A fck=20mpa (CEB) fck=80mpa (CEB) 0.50 ν= fck=qualquer (PAR B-RET NG.) ω= ω=0.6 ω=0.4 ω= ω= d/r (x1000) (b) - Curvas do Modelo (CEB) vs. Diagrama Parábola-Retângulo (NBR-6118) Figura Curvas µ ν φ para ν = 0,6

42 30 d'/h= A O CA 50-A 0.50 ν=0.8 fck=20mpa _ fck=80mpa ω= ω=0.6 ω= ω=0.2 ω= d/r (x1000) (a) - Influência da Resistência do Concreto d'/h= A O CA 50-A 0.50 ν=0.8 fck=20mpa (CEB) fck=80mpa (CEB) fck=qualquer ( PAR B-RET NG.) ω= ω=0.6 ω= ω=0.2 ω= d/r (x1000) (b) - Curvas do Modelo (CEB) vs. Diagrama Parábola-Retângulo (NBR-6118) Figura Curvas µ ν φ para ν = 0,8

43 31 Capítulo IV CURVAS MOMENTO FLETOR - FORÇA NORMAL - ÍNDICE DE ESBELTEZ Introdução São apresentados neste capítulo dois tipos de curvas µ ν λ. Primeiramente são analisadas as curvas obtidas com momentos de primeira ordem constantes ao longo do pilar (figura 4.1a), considerando concretos com f ck = 20 MPa e f ck = 80 MPa. Além da análise da influência da resistência do concreto, é feita também uma comparação entre as curvas obtidas pelo modelo e aquelas baseadas no diagrama parábola-retângulo. Em seguida se apresentam as curvas µ ν λ obtidas com os momentos de primeira ordem variando ao longo da altura do pilar (figura 4.1b), que é o caso mais respresentativo de solicitações existentes nos pilares de edifícios. M 1 M 1 M 1 M 1 M 1 M 1 M 1 M 1 (a) - M 1 constante ao longo do pilar (b) - M 1 variável ao longo do pilar Figura As duas formas do diagrama de momentos de primeira ordem empregadas na obtenção das curvas µ ν λ

44 32 Não se dispõe na literatura destes ábacos µ ν λ com M 1 variável, portanto não são apresentadas comparações com curvas baseadas na relação parábolaretângulo. São analisadas somente as comparações entre as curvas obtidas pelo modelo, para concretos de resistência normal e de alta resistência Curvas µ-ν-λ com momento de primeira ordem constante ao longo do pilar Análise das curvas obtidas pelo modelo De modo semelhante às curvas µ ν φ, apresentadas no Capítulo III, estes diagramas foram obtidos para um pilar bi-rotulado submetido a uma força normal e a um par de momentos aplicados nas suas extremidades, como mostra a figura 4.2: N Tipo de seção transversal: M 1 d d /h = 0,10 Valores A A incrementados C C l e M 1 h Figura Esquema do pilar utilizado na obtenção das curvas µ ν λ Neste caso, porém, tanto a força normal quanto o momento aplicado são incrementados na análise, de modo a se obterem pares de esforços (N e M 1 ) que levem ao colapso do pilar, seja por instabilidade ou pelo esgotamento da capacidade resistente da sua seção crítica (seção intermediária C-C indicada na figura 4.2, onde ocorre a excentricidade de segunda ordem máxima). Todos os diagramas foram construídos considerando o aço CA-50A com a distribuição das armaduras mostrada na figura 4.2 (a relação d /h = 0,10 foi

45 33 escolhida por ser ela a empregada nas curvas existentes que consideram o diagrama parábola-retângulo). Foram construídas curvas para um concreto de resistência normal (f ck = 20 MPa) e para um concreto de alta resistência (f ck = 80 MPa). Escolhida uma determinada esbeltez, a resistência do concreto e a taxa mecânica de armadura, cada par de esforços (ν e µ 1 ) que conduzia o pilar à ruína representava um ponto da curva µ ν λ. Do mesmo modo como para as curvas µ ν φ, os valores fornecidos para as resistências do concreto nos dados de entrada do programa foram f c = 0,85f cd e para o aço f y = f yd. Portanto, foi dado o valor f c = 12,14 MPa para a resistência de um concreto com f ck = 20 MPa e 48,57 MPa para f ck = 80 MPa. A resistência do aço foi f y = f yd = 50 / 1,15 = 43,5 MPa. Os casos analisados estão indicados na tabela 4.1. As curvas referentes à esbeltez l e /h = 40 (λ 138) e l e /h = 25 (λ 87) foram obtidas com pilares discretizados em quatro elementos iguais, tendo o primeiro ponto de Gauss do elemento 3 se deslocado para a sua extremidade esquerda a fim de se poderem obter as tensões e deformações exatamente na seção intermediária do pilar (figura 4.3). Elem.4 Elem.3 Ponto de Integração deslocado para a extremidade do elemento 3 Elem.2 Elem. 1 Figura Uma das discretizações dos pilares utilizados na obtenção das curvas µ ν λ

46 34 Tabela Casos analisados na obtenção das curvas µ ν λ para M 1 Constante (total de 540 casos) l e /h f ck ω ν Aço d /h (MPa) 0,0 0-0,09-0,18-0,26-0,35-0,39-0,44 0,2 0-0,09-0,13-0,18-0,22-0,26-0,35-0,44-0,46-0, ,4 0-0,09-0,13-0,18-0,22-0,26-0,31-0,35-0,44-0,53-0,58 0,6 0-0,13-0,18-0,26-0,31-0,35-0,44-0,53-0,60-0,64 0,8 0-0,18-0,35-0,44-0,53-0,61-0,68-0,71 1,0 0-0,18-0,35-0,53-0,61-0,70-0,76-0, ,0 0-0,04-0,09-0,13-0,18-0,22-0,26-0,29-0,31 0,2 0-0,07-0,09-0,11-0,13-0,15-0,18-0,20-0,22-0,24-0,26 0,28-0,31-0,33-0,35-0,38-0, ,4 0-0,04-0,13-0,22-0,31-0,35-0,39-0,44-0,47-0,48 0,6 0-0,04-0,13-0,22-0,31-0,39-0,48-0,56-0,57 0,8 0-0,04-0,13-0,22-0,35-0,44-0,53-0,57-0,65-0,66 1,0 0-0,02-0,09-0,13-0,18-0,22-0,26-0,39-0,46-0,53-0,66 0,74-0,75 0,0 0-0,09-0,18-0,26-0,35-0,44-0,53-0,57-0,62 0,2 0-0,09-0,13-0,18-0,35-0,53-0,61-0,70-0, ,4 0-0,09-0,18-0,26-0,35-0,53-0,70-0,85-0,88 CA-50A 0,10 0,6 0-0,09-0,18-0,26-0,35-0,53-0,70-0,88-1,02-1,04 0,8 0-0,09-0,18-0,26-0,35-0,53-0,70-0,88-1,05-1,19-1,22 1,0 0-0,09-0,18-0,26-0,35-0,44-0,53-0,70-0,88-1,05-1,23 1,37-1,43 0,0 0-0,02-0,04-0,07-0,09-0,11-0,13-0,15-0,18-0,20-0, ,24-0,26-0,28-0,31-0,35-0,44-0,48-0,53-0,55-0,57 0,2 0-0,0004-0,002-0,004-0,02-0,04-0,07-0,09-0,11-0,13 0,15-0,18-0,22-0,31-0,39-0,53-0,66-0,72-0,75 0,4 0-0,004-0,02-0,04-0,07-0,09-0,11-0,13-0,15-0,18-0,22 0,31-0,44-0,66-0,75-0,88-0,91-0, ,6 0-0,09-0,18-0,26-0,35-0,53-0,70-0,88-1,02-1,04 0,8 0-0,02-0,04-0,07-0,13-0,22-0,35-0,53-0,66-0,88-1,01 1,09-1,23-1,30-1,32 1,0 0-0,02-0,04-0,09-0,13-0,18-0,22-0,26-0,39-0,66-0,88 1,09-1,23-1,31-1,40-1,50-1,53

47 35 Tabela Continuação l e /h f ck ω ν Aço d /h (MPa) 0,0 0-0,01-0,03-0,04-0,06-0,09-0,12-0,15-0,22-0,28-0,33 0,42-0,48-0,60-0,63-0,65-0,67-0,70-0,72-0,77-0,82 0,2 0-0,04-0,09-0,15-0,23-0,31-0,35-0,38-0,40-0,43-0,50 0,60-0,69-0,77-0,82-0,87-0,91-0,95-0,97-1,00-1,05 0,4 0-0,07-0,16-0,28-0,33-0,38-0,45-0,50-0,55-0,60-0,64 0,75-0,84-0,43-0,99-1,05-1,10-1,13-1,18-1,21-1, ,6 0-0,11-0,24-0,32-0,38-0,43-0,47-0,55-0,61-0,67-0,80 0,94-1,03-1,16-1,23-1,29-1,36-1,40-1,43-1,45 0,8 0-0,14-0,23-0,32-0,36-0,39-0,46-0,55-0,64-0,80-0,93 1,13-1,29-1,41-1,51-1,58-1,62-1,65 1,0 0-0,08-0,18-0,28-0,33-0,38-0,42-0,46-0,58-0,73-0,91 1,05-1,32-1,50-1,63-1,75-1,82-1, ,0 0-0,007-0,02-0,05-0,06-0,11-0,15-0,17-0,26-0,32 0,35-0,38-0,41-0,45-0,52-0,55-0,64-0,68-0,75-0,80 CA-50A 0,10 0,83-0,85 0,2 0-0,04-0,06-0,09-0,15-0,23-0,27-0,29-0,31-0,32-0,34 0,38-0,42-0,48-0,54-0,60-0,67-0,70-0,76-0,81-0,85 0,91-0,98-1,00-1,02-1,03-1,05 0,4 0-0,03-0,07-0,17-0,22-0,28-0,30-0,33-0,35-0,36-0,42 0,48-0,57-0,65-0,72-0,78-0,86-0,93-1,01-1,07-1,18 1,20-1,22-1,24-1, ,6 0-0,05-0,11-0,17-0,24-0,28-0,31-0,34-0,37-0,45-0,52 0,67-0,78-0,92-1,04-1,15-1,22-1,36-1,40-1,42-1,44 1,45 0,8 0-0,07-0,14-0,23-0,27-0,32-0,35-0,38-0,48-0,61-0,78 0,90-1,06-1,16-1,28-1,40-1,51-1,59-1,61-1,64-1,65 1,0 0-0,08-0,18-0,28-0,31-0,33-0,37-0,44-0,56-0,70-0,89 1,02-1,20-1,31-1,44-1,58-1,70-1,78-1,81-1,84-1,85 Ainda com relação aos pilares esbeltos (l e /h = 40 e 25), os pontos foram obtidos da seguinte maneira: fixavam-se os valores da força normal N (escolhidos em ordem crescente, a partir de zero, de modo a varrer todo o eixo das abscissas) e se fazia incrementar somente M 1 até que ele atingisse o valor que conduzisse o pilar à ruína. Então, N e M 1 transformavam-se nos esforços reduzidos na forma adimensional ν e µ 1 gerando as curvas.

48 36 Na figura 4.4 é apresentado um gráfico contendo as curvas de interação µ ν λ para um concreto com resistência normal (f ck = 20 MPa) e esbeltez l e /h = 40 (λ 138) para as diversas taxas mecânicas de armadura le/h=40 - M1 Constante fck=20mpa - d'/h= A o CA-50A 0.30 ω=0.8 A ω=0.6 ω=0.4 B PONTOS DE MUDANÇA NA TRAJETÓRIA 0.10 ω=0.2 C D ω= Figura Curvas µ ν λ para M 1 constante - l e /h = 40; f ck = 20 MPa Foram tomados os pontos A, B, C e D indicados na curva correspondente à taxa de armadura ω = 1,0 para se poder analisar o comportamento das curvas ao longo de suas trajetórias. Para todas as curvas (excetuando-se a de ω = 0,0) há uma mudança mais brusca nos seus traçados exatamente na região assinalada na figura. O ponto C foi escolhido por acontecer justamente ali a mudança de trajetória da curva. Os demais pontos, A, B e D, correspondem respectivamente a ν = 0,2; 0,4 e 0,6.

49 37 Como já foi dito, cada ponto de qualquer uma das curvas representa um par de esforços (ν e µ 1 ) que leva o pilar à ruína, seja por esgotamento da capacidade de carga de sua seção crítica (por esmagamento do concreto ou escoamento das armaduras) ou por instabilidade da coluna. Assim, a análise dos pontos será feita por meio de gráficos momento aplicado vs. deformações na seção intermediária do pilar (seção crítica), onde se poderá acompanhar o comportamento das deformações no concreto e nas armaduras à medida em que M 1 vai sendo incrementado (já que N era sempre mantido com um valor constante). Na figura 4.5 é apresentado um gráfico mostrando a evolução das deformações no concreto e nas armaduras na seção intermediária C-C, com os acréscimos do momento aplicado M 1, para o ponto A (que representa o par de esforços ν = 0,20 e µ 1 = 0,347). São apresentadas duas curvas de deformações no concreto, uma para cada face do pilar. Também para as armaduras aparecem duas curvas, representando as deformações nas duas porções de armadura dispostas de cada lado da seção (figura 4.2). Acompanhando-se o gráfico tem-se inicialmente, para o momento aplicado µ 1 igual a zero, todas as curvas de deformações juntas, partindo do mesmo ponto. Trata-se, neste instante, de compressão uniforme, já que ν = 0,20 e µ 1 = 0. Com o aumento do momento, as deformações do concreto nas duas faces do pilar vão se distanciando até que se tenha tração em uma delas. A partir daí, as fibras tracionadas do concreto resistem às tensões até o instante em que, atingida a deformação ε c = 0,15, ocorre a fissuração. Passa a existir, a partir deste ponto, apenas uma curva de deformações no concreto (na face comprimida da seção) e as duas curvas que representam as deformações nas armaduras comprimida e tracionada. Com a fissuração do concreto há uma perda de rigidez da seção e se pode observar no gráfico a primeira mudança de inclinação das curvas. Apresentase, então, um trecho praticamente linear até µ 1 0,32, onde ocorre o escoamento da armadura tracionada. Nova perda de rigidez da seção, com mais uma mudança de inclinação das curvas. O momento continua aumentando até atingir seu valor máximo exatamente no ponto onde a armadura comprimida começa a escoar. A seção passa então a não resistir mais a acréscimos de carga e as curvas passam a assumir um trecho descendente.