TÍTULO: Avaliação de Flechas em Vigas de Concreto Armado Utilizando Teoremas de Mohr. AUTOR(ES): Thomaz, Eduardo C.S.; Carneiro, Luiz A.V.

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1 TÍTULO: valiação de Flechas em Vigas de Concreto rmado Utilizando Teoremas de Mohr UTOR(ES): Thomaz, Eduardo C.S.; Carneiro, Luiz.V. NO:011 PLVRS-CHVE: valiação, flechas, vigas e teoremas de Mohr. e-rtigo: v. Brigadeiro Faria Lima, 1993 cj. 61 São Paulo/SP fone: (11)

2 valiação de Flechas em Vigas de Concreto rmado Utilizando Teoremas de Mohr Evaluation of deflections in Reinforced Concrete Beams Using Mohr s Theorems Resumo Eduardo Christo Silveira Thomaz (1); Luiz ntonio Vieira Carneiro () (1) Professor Emérito da Seção de Ensino de Engenharia de Fortificação e Construção Instituto Militar de Engenharia () Professor D.Sc. da Seção de Ensino de Engenharia de Fortificação e Construção Instituto Militar de Engenharia Este trabalho tem por objetivo apresentar e avaliar formulações para estimativa de flechas em vigas de concreto armado com base nos teoremas de Mohr. Foram coletados dados relacionados a deformações e flechas de vigas de concreto armado para diferentes estágios de carregamento. Verificou-se que, dependendo do nível de carregamento, o esforço cortante influencia os valores da flecha de maneira significativa. Propõe-se a consideração da parcela de esforço cortante, absorvido por mecanismos de treliça, para o cálculo da flecha relacionada ao esforço cortante. Palavra-Chave: valiação, flechas, vigas e teoremas de Mohr. bstract This work aims to present and analyze equations for evaluation of deflections of reinforced concrete beams based on Mohr s theorems. Deformation and deflection data in different load levels of reinforced concrete beams were gathered. It was found that the shear force has significant effect in deflection values and, for estimation of deflection value due to shear force, it was proposed the use of the contribution of shear strength of plain web concrete. Keywords: Evaluation, deflections, beams and Mohr s theorems. NIS DO 50º CONGRESSO BRSILEIRO DO CONCRETO - CBC008 50CBC0587 1

3 1 Introdução avaliação de flechas em vigas de concreto sofre a influência de diversos parâmetros. Em geral para a avaliação destas, considera-se apenas o efeito da flexão. Mas para maiores carregamentos, principalmente os relacionados acima da carga de serviço, o efeito do esforço cortante passa a ser considerável. Em se conhecendo os valores de deformação dos bordos de um elemento estrutural fletido, pode-se prever os valores de flecha e de carregamento deste com vista a sua avaliação estrutural. Este trabalho tem por objetivo apresentar e avaliar formulações para estimativa de flechas em vigas de concreto armado com base nos teoremas de Mohr. Foram coletados dados relacionados a deformações e flechas de duas vigas de concreto armado de seção transversal T (LEONHRDT e WLTHER, 1963) para diferentes estágios de carregamento. Verificou-se que, dependendo do nível de carregamento, o esforço cortante influencia os valores da flecha de maneira significativa. Propõe-se a consideração da parcela de esforço cortante, absorvido por mecanismos de treliça, para o cálculo da flecha relacionada ao esforço cortante. Teoremas de Mohr Os teoremas de Mohr têm aplicação na determinação de deslocamentos, sejam flechas ou rotações, em estruturas e baseiam-se na equação diferencial da elástica, cuja expressão é: ( ) d y M x = (Equação 1) dx EI onde: M(x) é a função de distribuição de momentos fletores ao longo do elemento estrutural; e EI é a rigidez à flexão do elemento estrutural. Em função dos valores de deformação das fibras que compõem a seção transversal de um elemento estrutural fletido, a equação diferencial da elástica pode ser reescrita de acordo com a formulação a seguir: ( x) M 1 εs εi = = (Equação ) EI r h onde: 1 r é a curvatura na seção de abscissa x do elemento estrutural fletido; ε s e εi são os valores de deformação nos bordos superior e inferior da seção de abscissa x no elemento estrutural fletido; e h é a distância entre os bordos superior e inferior da seção transversal onde os valores de deformação foram medidos. NIS DO 50º CONGRESSO BRSILEIRO DO CONCRETO - CBC008 50CBC0587

4 .1 Primeiro Teorema O primeiro teorema apresenta formulação para cálculo de rotação relativa entre duas seções de um elemento estrutural fletido, conforme pode ser visto na Figura 1a. equação para a determinação dessa rotação relativa é a seguinte: onde: x e x ( ) B M x θ B = dx (Equação 3) EI xb x são as abscissas das seções e B no elemento estrutural; Essa equação expressa a área do diagrama da função ( x) ( EI) abscissas x e x.. Segundo Teorema B M compreendida entre as Por meio desse teorema, pode-se calcular a flecha relativa de uma seção em relação à tangente em outra seção da elástica do elemento estrutural sujeito à flexão (v. Figura 1b). flecha relativa acima mencionada é dada por: x B M(x) δ B = x dx = θb. d (Equação 4) EI x onde: d é a distância entre o centro de gravidade da área do diagrama da função M ( x) ( EI) e a abscissa da seção. Esse teorema expressa o momento da área do diagrama da função M ( x) ( EI) compreendida entre as abscissas x e x em relação à seção de abscissa x. 3 Flecha Devida ao Esforço Cortante O valor da flecha em vigas de concreto devido ao esforço cortante é dado por: V b 1..dx G B δ V = (Equação 5) wz onde: V é o valor do esforço cortante atuante na viga; b w é a largura da seção transversal da viga; z é o braço de alavanca da seção transversal da viga; G é o módulo de elasticidade transversal equivalente, aqui definido como sendo o coeficiente que depende da taxa de armadura transversal e dos módulos de elasticidade do concreto e da armadura transversal, igual a: B NIS DO 50º CONGRESSO BRSILEIRO DO CONCRETO - CBC008 50CBC0587 3

5 (a) Elástica da viga com carregamento distribuído. (b) Diagrama de momentos fletores relativos entre duas seções e B na viga conjugada. Figura 1 plicação dos teoremas de Mohr em viga fletida (BRNCO, 1998). ρsw.esw G = (Equação 6) + E 1 4.ρ sw sw Ec sendo: a taxa de armadura transversal, dada por: com ρ sw sw ρ = sw (Equação 7) b s sw Ec w a área total da armadura transversal e s o espaçamento entre os estribos; e Esw os módulos de elasticidade do concreto e da armadura transversal. NIS DO 50º CONGRESSO BRSILEIRO DO CONCRETO - CBC008 50CBC0587 4

6 Neste trabalho sugere-se a consideração da parcela resistida pelos mecanismos complementares ao da treliça, isto é, a parcela do concreto, no dimensionamento ao esforço cortante de vigas de concreto. Tal consideração implica em redução de tensão nos estribos. Figura apresenta um painel da treliça de Morsch para viga de concreto armado submetida a esforço cortante. Considerando os banzos inferior e superior desta treliça indeformáveis e o ponto P como centro de uma circunferência de raio a e aplicando a diagrama de Williot, pode-se escrever que: x + y = a (Equação 8) x a a y ntes da deformação a a P Circunferência de raio a com centro em B Biela comprimida a 1 ( ) ε biela y = ε biela. a Depois da deformação ε biela. a Figura Painel de concreto armado submetido a esforço cortante. pós a deformação por compressão da biela de concreto, a distância entre os pontos P e B é igual a: [ biela.a ( x 0) + ( a y) = ( 1 ε ) ] (Equação 9) Desenvolvendo as Equações (8) e (9) e admitindo ( ε ) biela desprezível, chega-se a: y =.ε biela.a (Equação 10) Desse modo, a distorção angular do painel da treliça de Mörsch é igual a: γ =.ε biela + ε sw (Equação 11) ssim o incremento da flecha da viga devida à parcela do esforço cortante é dado por: NIS DO 50º CONGRESSO BRSILEIRO DO CONCRETO - CBC008 50CBC0587 5

7 onde: ε ε dγ =.ε.dx ε.dx (Equação 1) τ biela + sw c biela = (Equação 13) Ec sw τc τfissuração = (Equação 14) ρ.e sw sw c Sabendo que G = τ e admitindo que τ fissuração = 0,06. fc, chega-se a: γ V ρsw.esw G = (Equação 15a) 0,06.fc ( ) 4.ρsw. Esw Ec + 1 τc ou onde: f c τ c ρsw.esw G (Equação 15b) + E 0,5 4.ρ sw sw Ec é a resistência do concreto à compressão; é a tensão cisalhante do concreto, dada por: V τ c = (Equação 16) b.z w 4 plicações e nálise Para exemplificar numericamente as formulações citadas neste trabalho, analisaram-se os resultados de duas vigas de concreto armado (LEONHRDT e WLTHER, 1963), conforme dados agrupados na Tabela 1. s vigas tinham seção transversal T, possuindo 960 mm de largura da mesa b f, 160 mm de largura da nervura b w, 375 mm de altura útil d, 3000 mm de vão livre l e 0,73% de taxa de armadura longitudinal interna de tração ρ s. armadura transversal era composta por estribos de 10 mm ou 1 mm, espaçados de 11,3 cm. O valor médio de resistência do concreto à compressão das vigas era de 5,3 MPa. Na Figura 3 pode ser visualizado o perfil longitudinal das vigas T9 e T10, sendo a seção transversal destas mostrada na Figura 4. Tabela 1 Dados das Vigas de Concreto rmado. utor Viga f c (MPa) Α s f y (MPa) ρ s (%) LEONHRDT e WLTHER (1963) T9 5 6 φ 4mm 408 0,73 T φ 4mm 408 0,73 Α sw φ 1mm cada 11,3 cm φ 10mm cada 11,3 cm f yw (MPa) ρ sw (%) 435 1, ,86 NIS DO 50º CONGRESSO BRSILEIRO DO CONCRETO - CBC008 50CBC0587 6

8 Figura 3 Dados e características das vigas T9 e T10 (LEONHRDT e WLTHER, 1963). Figura 4 Seção transversal das vigas T9 e T10 (LEONHRDT e WLTHER, 1963). Valores de deformações nos bordos inferior e superior das vigas T9 e T10 ao longo do seu comprimento para diferentes carregamentos, ensaiadas por LEONHRDT e WLTHER (1963), podem ser vistos nas Figuras 5 e Viga T9 Com o uso da Equação () e com base nos primeiro e segundo teoremas de Mohr, o cálculo da flecha no meio do vão da viga T9 foi feito em separado, considerando o encurtamento do concreto na mesa de compressão e o alongamento da armadura no bordo inferior. Para o carregamento total de 00 kn (v. Figura 5a), os valores das áreas sob a curva de deformações no concreto comprimido são: - para triângulo: 0,34 o / oo. 0,45 m = 0, m; - para retângulo: 0,34 o / oo. 0,50 m = 0, m. Somando esses valores, chega-se à reação do apoio na viga igual a 0,0009 m. NIS DO 50º CONGRESSO BRSILEIRO DO CONCRETO - CBC008 50CBC0587 7

9 Usando a viga conjugada de Mohr, o valor da flecha no meio do vão da viga T9 é igual ao valor do momento no meio do vão da viga conjugada, dado por: - flecha no meio do vão da viga T9: δ m = (+ 0,0009 m. 1,50 m 0, m. (0,5 m + 1/3.0,85 m) - 0, m. 0,15 m) / 0,40 m = δ m = 0,58 mm.m / 0,40 m = δ m = 0,65 mm (parcela da flecha devida às deformações de compressão no concreto). Os valores das áreas sob a curva de deformações na armadura tracionada são: - para triângulo: 0,77 o / oo. 0,65 m = 0, m; - para retângulo: 0,77 o / oo. 0,50 m = 0, m. Somando esses valores, chega-se à reação do apoio na viga igual a 0, m. Usando a viga conjugada de Mohr, o valor da flecha no meio do vão da viga T9 é igual ao valor do momento no meio do vão da viga conjugada, dado por: - flecha no meio do vão da viga T9: δ m = (+ 0, m. 1,50 m 0, m. (0,5 m + 1/3.1,5 m) - 0, m. 0,15 m) / 0,40 m = δ m = 0,666 mm.m / 0,40 m = δ m = 1,67 mm (parcela da flecha devida às deformações de tração na armadura). Logo a flecha total no meio do vão da viga T9 é igual a: δ m = 0,65 mm + 1,67 mm =,31 mm (a) Carregamento de 00 kn (b) Carregamento de 300 kn Figura 5 Diagramas de deformação dos bordos inferior e superior ao longo do comprimento da viga T9 (LEONHRDT e WLTHER, 1963). NIS DO 50º CONGRESSO BRSILEIRO DO CONCRETO - CBC008 50CBC0587 8

10 (a) Carregamento de 00 kn (b) Carregamento de 300 kn (c) Carregamento de 400 kn (d) Carregamento de 500 kn Figura 6 Diagramas de deformação dos bordos inferior e superior ao longo do comprimento da viga T10 (LEONHRDT e WLTHER, 1963). NIS DO 50º CONGRESSO BRSILEIRO DO CONCRETO - CBC008 50CBC0587 9

11 Considerando a deformação da viga T9 para o carregamento total de 00 kn como se fosse uma senóide, a flecha total no meio do vão seria igual a: l ( ε s ε i ) δ m =. = ( ) 3000 ( 0,34 + 0,77 ) /1000. =,53 mm,31 mm π h π 400 Para o caso de uma curva parabólica, a flecha total no meio do vão seria igual a: l ( ε s ε ) ( i δ m =. = 3000) ( 0,34 0,77 ) / =,60 mm,31 mm 9,6 h 9,6 400 Levando-se em conta o efeito do esforço cortante no cálculo da flecha no meio do vão da viga T9 e, assim aplicando as Equações (5) a (16), tem-se que: τ c = = 1,87 MPa , G = = 4357,6 MPa 0,06.5,3 4.0,019.8, ,87 V δ V =..x =..150 = 0,54 mm b z G ,6 w ssim, a flecha total no meio do vão da viga T9 considerando os efeitos de flexão e de esforço cortante é igual a: δ = δ m + δ V =,31 mm + 0,54 mm =,85 mm Esse valor é próximo ao medido por LEONHRDT e WLTHER (1963), igual a,70 mm. Para o carregamento total de 300 kn na viga T9, o valor de cálculo para a flecha da viga no meio do vão passa a ser igual a 4,75 mm. Este valor também é bem próximo ao medido por LEONHRDT e WLTHER (1963), igual a 4,60 mm. 4. Viga T10 Na Tabela estão reunidos os valores de flecha no meio do vão da viga T10 calculados e medidos por LEONHRDT e WLTHER (1963) para diferentes carregamentos. Tabela Flechas no meio do vão da viga T10. utor Carga δ m δ V δ total (mm) (mm) (mm) (kn) LEONHRDT e WLTHER (1963) δ medida (mm) 00,6 0,61,87, ,60 1,45 5,05 4, ,45,30 7,75 7,00 Verifica-se da Tabela que os valores das flechas calculadas considerando efeito cortante δ V atingem entre 1% e 30% do valor total da flecha calculada δ. Pode-se notar NIS DO 50º CONGRESSO BRSILEIRO DO CONCRETO - CBC008 50CBC

12 também que os valores das flechas calculadas são maiores em média 7% que os medidos por LEONHRDT e WLTHER (1963). s Figuras 7 e 8 apresentam curvas carga x flechas das vigas T9 e T10. Nelas, constata-se que, a partir de determinado carregamento, há a influência do esforço cortante no cálculo da flecha. Figura 7 Curvas Carga x flecha da viga T9 (LEONHRDT e WLTHER, 1963). Figura 8 Curvas Carga x flecha da viga T10 (LEONHRDT e WLTHER, 1963). 5 Considerações Finais NIS DO 50º CONGRESSO BRSILEIRO DO CONCRETO - CBC008 50CBC

13 Neste trabalho, foi avaliado o efeito do esforço cortante em vigas de concreto armado. Foi notado que a parcela da flecha devida aos efeitos da flexão levando-se em conta o alongamento das barras de aço é bem maior (mais que 100%) que a parcela da flecha devida aos efeitos da flexão relacionada ao encurtamento do concreto. Isto é comum nas estruturas atuais, nas quais o aço tem tensões muito elevadas. Verificou-se que, dependendo do nível de carregamento, o esforço cortante influencia os valores da flecha total de maneira significativa (δ V variou de 1% até 30% de δ). Foi sugerida a consideração da parcela resistida pelos mecanismos complementares ao da treliça, isto é, a parcela do concreto, no dimensionamento ao esforço cortante de vigas de concreto. Tal consideração implica em redução de tensão nos estribos. Por fim, as normas deveriam considerar o efeito do cisalhamento no cálculo de flechas em vigas de concreto armado. 6 Referências LEONHRDT, F, WLTHER, R.. Schubversuche an Plattenbalken mit Unterschiedlicher Schubbewehrung (ensaios de cisalhamento em vigas T com diferentes armaduras transversais), Deutscher usschuss für Stahlbeton (caderno alemão de concreto armado), Heft 156, Vertrieb Durch Verlag Von Wilhelm Ernest & Sohn, Stuttgart, Berlin, BRNCO, C.. G. M.. Mecânica dos Materiais, 3 a. Calouste Gulbenkian, pp. 1080, Lisboa, Portugal, Edição, Edição da Fundação NIS DO 50º CONGRESSO BRSILEIRO DO CONCRETO - CBC008 50CBC0587 1

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