Figura 1 Guia de ruas Fonte: Fundação Bradesco

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1 COORDENADAS CARTESIANAS CONTEÚDO Plano Cartesiano AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Você já consultou um guia de ruas? Se já realizou essa consulta, observou que para fornecer uma determinada localização, a referência é dada por meio de um número e uma letra. Observe o mapa a seguir: Figura 1 Guia de ruas Fonte: Fundação Bradesco No ponto em destaque no mapa de guia de ruas, temos o hospital Nova Délia, veja que, para localizá-lo, podemos seguir as coordenadas C e 4, ou seja, neste guia de ruas, o hospital está localizado em C4. Esse sistema utilizado para localizar-se em um mapa, é semelhante ao sistema de coordenadas cartesianas que usamos para representar pontos em um plano.

2 O sistema de coordenadas cartesianas consiste basicamente no seguinte: Em um plano, traçamos duas retas que são perpendiculares entre si. Na horizontal, temos o eixo que é chamado de eixo das abscissas. Esse eixo é identificado como eixo x. Na vertical, temos o eixo que é chamado de eixo das ordenadas. Esse eixo é identificado como eixo y. A intersecção entre esses dois eixos é chamada de origem do sistema de coordenadas cartesianas. Cada eixo é divido em n segmentos, que apresentam a mesma medida. Para determinar a posição de um ponto qualquer nesse plano, indicamos a sua orientação em relação ao eixo das abscissas e em relação ao eixo das ordenadas. Portanto, um ponto qualquer do plano é localizado por meio de duas orientações, a qual chamamos de par ordenado. Um par ordenado é representado da seguinte forma: (x, y) Onde x é a localização em relação ao eixo das abscissas e y é a localização em relação ao eixo das ordenadas.

3 Vamos identificar a localização de alguns pontos no plano. Analisando os pontos, observa-se: O ponto A está localizado na coordenada (3, 2). O ponto B está localizado na coordenada (3, - 2). O ponto C está localizado na coordenada (- 3, - 2). O ponto D está localizado na coordenada ( -3, 2). Veja que, fixado um referencial, cada ponto do plano está associado a um único par ordenado de números reais. Os eixos x e y dividem o plano em quatro regiões que são identificadas como quadrantes. Conforme visualizamos no plano ao lado.

4 ATIVIDADES 1. Construa um plano cartesiano e nele localize os pares ordenados (0,1) e (1,0). Após construí-lo, descreva o que você observa. 2. Determine o quadrante o qual pertence cada um dos pontos. a) ( - 1,1) b) ( 1,1) c) ( - 3,2) d) ( - 3, - 3) e) ( 5, - 3) 3. Os pontos de coordenadas (3,2) e (2,3) representam os mesmos pontos? 4. (ENEM 2013) Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de 100 g, três de 200 g e uma de 350 g. O gráfico mostra o custo para enviar um cartão não comercial pelo Correios: O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é de a) 8,35. b) 12,50. c) 14,40. d) 15,35. e) 18,05.

5 5. ( ENEM 2010) A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível, que são curvas fechadas representando a altitude da região, com relação ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada à direita está associada à altitude da região. Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto x = ( 20;60). O helicóptero segue o percurso: Ao final, desce verticlamente até pousar o solo. De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cuja altitude é: a) menor ou igual a 200 m. b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. e) maior que 800 m.

6 LEITURA COMPLEMENTAR René Descartes Descartes por vezes chamado de o fundador da filosofia moderna e o pai da matemática moderna, é considerado um dos pensadores mais influentes da história humana. Nasceu em La Haye, a cerca de 300 quilômetros de Paris. Seu pai, Joachim Descartes, advogado, possuía terras e o título de escudeiro, além de ser conselheiro do Parlamento de Rennes, na Bretanha. Figura 2 René Descartes Fonte: Wikimedia Commons Com um ano de idade, Descartes perdeu a mãe, Jeanne Brochard, no seu terceiro parto, e foi criado pela avó. Seu pai se casou novamente e chamava o filho de pequeno filósofo. Mais tarde, aborreceu-se com ele quando não quis exercer o direito, curso que concluiu na universidade de Poitiers em Em 1618, Descartes foi para a Holanda e se alistou no exército de Mauricio de Nassau. A escola militar era, para ele, uma complementação de sua educação. Nessa época fez amizade com o duque filósofo, doutor e físico Isaac Beeckman, e a ele decidiu o Compendium Musicae, um pequeno tratado sobre música. Em 1619, viajou para a Dinamarca, Polônia e Alemanha, onde, segundo a tradição, no dia 10 de novembro, teve uma visão em sonho de u, novo sistema matemático e científico. Três anos depois retornou a França passou os anos seguintes em Paris e em outras partes da Europa. Em 1928, Descartes, incentivado pelo cardeal De Bérulle, escreveu Regras para a Direção de Espírito. Buscando tranquilidade, partiu para os Países Baixos, onde viveu em Em 1629 começou a trabalhar em Tratado do Mundo, uma obra de física. Mas em 1633, quando Galileu foi condenado pela igreja católica, Descartes não quis publicá-lo. Em 1635 nasceu sua filha ilegítima, Francine, que morreria em 1640.

7 Em 1637, publicou anonimamente Discurso sobre Método para Bem Conduzir a Razão a Buscar a Verdade Através da Ciência. Os três apêndices desta obra foram A Dióptrica ( um trabalho sobre ótica), Os Meteoros ( sobre meteorologia), e A Geometria ( onde introduz o sistema de coordenadas que ficaria conhecido como cartesianas, em sua homenagem. Seu nome e suas teorias se tornaram conhecidos nos círculos ilustrados e sua afirmação Penso logo existo, ( Cogito, ergo sum) tronouse popular. Em 1641, surgiu sua obra mais conhecida: as Meditações Sobre a Filosofia Primeira, com os primeiros seis conjuntos de Objeções e Respostas. Os autores das objeções foram Johan de Kater; Mersene; Thomas Hobbes; Arnauld e Gassendi. A segunda edição das Meditações incluía uma sétima objeção, feita pelo jesuíta Pierre Bourdin. Em 1643, a filosofia cartesiana foi condenada pela Universidade de Utrecht ( Holanda) e, acusado de ateísmo, Descartes obteve a proteção do Príncipe de Orange. No ano seguinte, lançou Princípios da Filosofia, um livro em grande parte dedicado à física, o qual ofereceu à princesa Elizabete da Boêmia, com quem mantinha correspondência. Uma cópia manuscrita do Tratado das Paixões foi enviada para a rainha Cristina da Suécia, através do embaixador francês. Frente a insistentes convites, Descartes foi para Estocolmo em 1649, com o objetivo de instruir a rainha de 23 anos em matemática e filosofia. O horário de aula era às cinco horas da manhã. No clima rigoroso, sua saúde deteriorou. Em fevereiro de 1650, ele contraiu pneumonia e, dez dias depois morreu. René e o plano cartesiano Criado por René Descartes, o plano cartesiano consiste em dois eixos perpendiculares, sendo um horizontal chamado de eixo das abscissas e outro vertical de eixo das ordenadas. O plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço. As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes, mostrados na figura a seguir:

8 O encontro dos eixos é chamado de origem. Cada ponto do plano cartesiano é formado por um par ordenado ( x,y), onde x: abscissa e y: ordenada. (...) O sistema de coordenadas cartesianas possui inúmeras aplicações, desde a construção de um simples gráfico até os trabalhos relacionados à cartografia, localizações geográficas, pontos estratégicos de bases militares, localizações no espaço aéreo, terrestre e marítimo. Disponível em:< Acesso em: 14 jun h45min. INDICAÇÕES Para você explorar um pouco mais sobre o plano cartesiano, consulte os links indicados a seguir. Sistema Cartesiano Ortogonal Disponível em: Representação gráfica no plano cartesiano Disponível em:

9 Coordenadas no plano Disponível em: ml REFERÊNCIAS INEP. ENEM 2010 Prova Azul. Disponível em:< B.pdf>. Acesso em: 14 jun h00. INEP. ENEM 2013 Prova Amarela. Disponível em:< dom_amarelo.pdf>. Acesso em: 14 jun h25min. SECRETARIA DE DESENVOLVIMENTO ECONÔMICO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA. (SDECT). Educação de Jovens e Adultos (EJA) Mundo do Trabalho: Ciências e Matemática: 9º ano/4 termo do Ensino Fundamental. Caderno do estudante. p SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio, v 1: livro do professor. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, p USP. Instituto de Física. Localização ou posicionamento. Disponível em:< Acesso em: 16 jun h. WIKIMEDIA COMMONS. René Descartes. Disponível em:< Acesso em:14 jun h. GABARITO 1.

10 Observa-se que sendo uma das coordenadas de valor igual a zero, o ponto irá coincidir sobre o eixo. No caso do ponto (1,0), o ponto está sobre o eixo x. Já para o ponto de coordenada (0,1), o ponto está sobre o eixo y. 2. a) O ponto pertence ao 2º quadrante. b) O ponto pertence ao 1º quadrante. c) O ponto pertence ao 2º quadrante. d) O ponto pertence ao 3º quadrante. e) O ponto pertence ao 4º quadrante. 3. Não, essas coordenadas indicam dois pontos distintos no plano cartesiano. 4. A alternativa correta é a letra D. Analisando o gráfico, observe que em uma carta de 100 g, o preço pago pela postagem é de R$ 1,70. Para uma carta de 200 g, o preço pago é de R$ 2,65 e para uma carta de 350 g o preço pago é de R$ 4,00. Assim, temos: 2.1, , ,00 = 15,35 Portanto, o valor gasto para postar essas cartas é de R$ 15,35.

11 5. A alternativa correta é a letra A. Acompanhe a imagem a seguir que apresenta o deslocamento do avião. Observe que a região onde o helicóptero parou é a região mais escura, algo entre 100 m e 200 m.