1. INTRODUÇÃO. Trajetórias Bohmianas para Estados Emaranhados. Paulo Henrique Silva

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2 1 Trajetórias Bohmianas para Estados Emaranhados Paulo Henrique Silva RESUMO Neste artigo, faremos um apanhado da teoria de variáveis ocultas seguindo os moldes da interpretação de Bohm para a Mecânica Quântica. Com o objetivo de estudarmos sistemas correlacionados, iremos aderir à extensão da teoria de Bohm para o formalismo da matriz densidade, incluindo para os estados bipartidos emaranhados. Investigaremos, ainda, como o comportamento das trajetórias bohmianas revelam as informações acerca das correlações quânticas e/ou clássicas intencionando esboçar critérios para a quantificação do emaranhamento. PALAVRAS-CHAVE: Mecânica Quântica, Mecânica Bohmiana, Variáveis Ocultas, Emaranhamento Quântico. 1. INTRODUÇÃO Apesar de seus grandes sucessos preditivos como teoria científica, a Mecânica Quântica (MQ) enfrenta certas dificuldades conceituais que ainda requerem explicações mais elaboradas para seu completo entendimento [1]. Essa teoria é fundamentalmente baseada em uma função de onda complexa o que a impede de ser medida ou observada diretamente deixando em aberto uma ampla discussão sobre sua associação com os fenômenos quânticos. Diante de várias possibilidades para interpretar o real significado da função de onda e o seu papel na representação de um sistema físico, a interpretação de Max Born oferece uma amplitude de probabilidade que torna estas soluções fisicamente aceitáveis para a representação dos estados quânticos. Dessa maneira, temos um panorama em que a interpretação probabilística para a função de onda torna-se a base da interpretação mais difundida da MQ: A Intepretação de Copenhague (IC) 1 [2]. Ainda que a IC seja a interpretação mais difundida da MQ, esta ainda apresenta vários pontos controversos e dificuldades conceituais como, por exemplo, o problema da 1 Interpretação de Copenhague ou Interpretação Ortodoxa da MQ foi desenvolvida por Niels Bohr e Werner Heisenberg e apresentada em 1927 durante o Congresso de Solvay. Nesta interpretação considera-se que uma partícula quântica não existe em um estado ou outro, mas sim em uma superposição coerente de estados, uma vez observada, a partícula é forçada a escolher um estado causando assim um colapso da medição.

3 2 medição [3]. Segundo a IC, não se pode atribuir realidade física às partículas quânticas independentemente da observação humana. Físicos como Einstein, de Broglie, Schrödinger, entre outros, acreditavam que essa é uma evidência clara de que a MQ é incompleta, pois não consegue tratar de maneira adequada o problema da complementaridade 2 e da causalidade 3 [4]. Para outros, como é o caso de Bohr, Heisenberg, Born, entre outros da Escola de Copenhague, esse problema nem mesmo existe, pois acreditam que esta é uma característica do processo de medição. No contexto da complementaridade de Bohr e, de maneira mais ampla, da IC, o mundo quântico reage à intervenção do mundo clássico por meio do aparelho de medida expressando ou evidenciando suas propriedades clássicas [5]. Com o intuito de mostrar que as quantidades físicas observáveis devem possuir realidade física independente de qualquer processo de observação (medição) 4, A. Einstein, B. Podolsky e N. Rosen, em 1935, anunciaram um experimento mental conhecido como paradoxo EPR [6] que evidenciava o fato de uma medição realizada sobre uma parte do sistema quântico afetar, instantaneamente, o resultado da medição realizada simultaneamente em outra parte do mesmo sistema. Pela conclusão do argumento EPR, ou assumimos que a descrição da realidade física dada por não descreve completamente o estado quântico e, dessa maneira, devemos suplementar a MQ com variáveis adicionais (Ocultas); ou admitimos que os operadores associados com grandezas canonicamente conjugadas não possuem realidade simultânea. Caso esta última hipótese venha a se confirmar, então somos forçados abandonar um de dois princípios fundamentais da natureza: o princípio da causalidade 5 e o princípio da localidade 6. Dessa maneira, concluem EPR, se abandonarmos o princípio da localidade, deve existir na natureza determinados tipos de correlação que produzem um efeito instantâneo entre dois objetos que haviam interagido previamente constatando-se, assim, a existência de uma inseparabilidade quântica fundamental [6]. Este efeito, denominado emaranhamento quântico, possibilita hoje inúmeras aplicações tecnológicas, tendo como pilar de desenvolvimento as teorias de informação e computação quântica [7]. Desse modo, tendo em vista as diversas possibilidades de 2 Conceito filosófico criado por Bohr segundo o qual os aspectos corpuscular e ondulatório de um objeto quântico não podem ser observados simultaneamente em um mesmo contexto sendo, assim, características complementares e mutuamente excludentes da realidade física. 3 Conceito discutido no paradoxo EPR em que a realidade objetiva é a forma que a natureza se apresenta e não pode, de maneira alguma, ser influenciada pela maneira como a enxergamos. 4 E, desse modo, mostrar que a função de onda não pode fornecer uma descrição completa do sistema físico. 5 O Princípio da causalidade é expresso pela ligação entre dois eventos A (a causa) e B (o efeito), salvo que o segundo evento seja consequência direta do primeiro. 6 O Princípio da localidade estabelece que processos físicos ocorrendo em determinado lugar não devem ter um efeito imediato em elementos da realidade em outro local.

4 3 implementação tecnológica acerca deste novo recurso, conhecer a natureza do emaranhamento torna-se um processo fundamental [8]. Seguindo nesta proposta, ao investigar a teoria de David Bohm [1] verifica-se uma formulação matemática em termos de variáveis ocultas 7 que oferece uma estrutura conceitual mais abrangente do que a interpretação ortodoxa. Esta interpretação torna possível uma descrição realística e contínua, em nível quântico, de todos os processos físicos recuperando, na íntegra, todos os resultados previstos pela MQ [9]. Até aqui, buscamos mostrar um pouco da evolução do pensamento acerca dos fundamentos epistemológicos da MQ e descrever como surgiram os conceitos do emaranhamento quântico e suas implicações. No decorrer deste artigo, iremos revisar os princípios básicos da Mecânica Bohmiana, através da qual podemos descrever as trajetórias para sistemas físicos gerais, incluindo aqueles que apresentam características puramente quânticas para, então, investigarmos como tratar estados bipartidos puros dentro deste formalismo [10] e obter informações acerca do emaranhamento quântico. 2. A TEORIA DE DAVID BOHM Mesmo com os extraordinários resultados obtidos pela MQ, algumas dificuldades conceituais inerentes à sua interpretação mais difundida, a Interpretação de Copenhague, parece devotar mais atenção dos críticos do que sua própria coerência interna e concordância com os resultados experimentais. Uma das mais severas críticas à interpretação Ortodoxa reflete o panorama de que a realidade física de um sistema é criada após realizar uma medida no sistema o ato de observar provoca um colapso da função de onda tornando o resultado da medida do estado do sistema um evento aleatório. Em outras palavras, as diversas críticas sobre o comportamento probabilístico dos eventos na escala microscópica estão fundamentadas na proposição de que a realidade é criada pelo processo de observação e, deste fato, decorre que a Interpretação Ortodoxa da MQ não pode estruturar uma intepretação realista seguindo os moldes da Mecânica Clássica [6]. 7 Ao contrário da Mecânica Newtoniana cujas condições iniciais as posições e os momentos de cada partícula do sistema em determinado instante são perfeitamente definíveis, na Mecânica Quântica nada podemos afirmar sobre tais condições. Por esta razão, estas variáveis são denominadas Variáveis Ocultas.

5 4 Apesar de admitir a consistência interna da MQ, A. Einstein e seus colaboradores B. Podolsky e N. Rosen defendiam que mesmo no nível quântico devem existir elementos da realidade física perfeitamente definíveis e variáveis dinâmicas determináveis, como na Física Clássica. Desse modo, seguindo a condição de realidade física, somos forçados a adimitir que, devido ao caráter probabilístico dos eventos na escala microscópica, a descrição da realidade na MQ dada pela função de onda não é completa [6]. Em outras palavras, se os operadores correspondentes a duas grandezas canonicamente conjugadas não podem ter realidade simultânea, com precisão maior do que a permitida pelo princípio de incerteza de Heisenberg, segundo o argumento EPR, a MQ deve ser suplementada por variáveis adicionais ocultas [1]. Uma proposta para solucionar os problemas enfrentados pela interpretação ortodoxa da MQ é devida à redescoberta da teoria da onda-piloto de Louis de Broglie por David Bohm em Nessa nova proposta, Bohm admite que um sistema de partículas seja descrito em partes por sua função de onda solução da equação de Schrödinger que fornece uma descrição parcial do sistema, sendo complementada pela especificação do momento e das posições reais das partículas [1]. A interpretação de Bohm para a MQ é obtida ao substituirmos a função de onda em sua forma polar [11] (01) na equação de Schrödinger Eq. (A1). Vale a pena notar que na Eq. (01), temos e funções reais e não-negativas. Dessa maneira, seguindo o desenvolvimento constante no Apêndice A, obtemos as expressões (A3) e (A5) sendo conveniente escrever, em que é a densidade de probabilidade para estados puros.

6 5 O ponto chave da formulação de Bohm consiste em reconhecer a Eq. (A3) como equação clássica de Hamilton-Jacobi [12,13] juntamente com o aparecimento do termo extra Eq. (A4) (A4) que é interpretado como um Potencial Quântico 8 e pode ser unificado ao potencial gerando, assim, um potencial total. O caráter quântico desse novo potencial fica evidenciado pela presença manifesta da constante de Planck em sua expressão Eq. (A4). Seguindo nossa dedução, verifica-se que a identificação da Eq. (A3) como a equação de Hamilton-Jacobi nos capacita a escrever velocidade da partícula como (A6) ou, ainda, (A8) conforme demonstramos, ainda, no Apêndice A. Outra analogia que podemos fazer é em relação à Eq. (A5), que possui a mesma forma da Equação da Continuidade. Esta equação remete diretamente à lei de conservação da probabilidade ao associarmos a grandeza com a densidade de probabilidade descrita na interpretação ortodoxa que, uma vez definida, pode ser usada para calcular valores médios de operadores na MQ. Conforme temos mostrado, a teoria de Variáveis Ocultas de Bohm reitera as características causais na MQ oferecendo uma vantagem conceitual na visualização dos processos cinemáticos e dinâmicos das partículas quânticas. No entanto, a Mecânica Bohmiana herda a não localidade que aparece comumente em todas as formulações e interpretações da MQ [14-17]. Podemos nitidamente visualizar este fenômeno em um sistema de dois (ou mais) corpos cujo Potencial Quântico para o mesmo parâmetro evolução t evidencia que, ao especificar o estado das n partículas, existe uma conexão não local entre as posições definidas e o valor de [18]. Outra forma de enxergarmos este evento não local seria a partir da equação de movimento Eq. A6, para n 8 Na interpretação de Bohm, o Potencial Quântico confere as propriedades quânticas ao movimento de uma partícula, conforme ficaram evidenciadas em diversos trabalhos nos quais foram reproduzidas trajetórias quânticas de partículas [9].

7 6 partículas, a partir da qual resulta que o movimento de qualquer partícula do ensemble depende das coordenadas de todas as outras partículas no mesmo tempo t. Uma escolha diferente da posição inicial de uma partícula implica que um movimento subsequente será diferente para todas as demais partículas [12]. Seguindo o propósito de obter trajetórias bohmianas para determinados estados quânticos, na próxima seção iremos obter tais trajetórias quânticas para os estados de e qubits 9, usando a analogia destes estados com os auto estados do oscilador harmônico Trajetórias para os auto estados do oscilador harmônico simples Estamos interessados em conhecer as trajetórias bohmianas para alguns estados quânticos, entre vários, os estados e que formam uma base bidimensional no espaço de Hilbert 10, chamada base computacional. Desse modo, podemos denominar os estados e como qubits em analogia à estrutura de comunicação clássica que remete aos bits de informação lógica 0 e 1, correspondentes a cada uma de duas possibilidades de um aparelho físico bi estável [7]. Neste contexto, seguindo o processo descrito no Apêndice B, nossas simulações numéricas 11 das Eqs. (B12) e (B21), nos capacita a obter as trajetórias bohmianas para os auto estados do oscilador harmônico e, representadas nas Figs. 1(a) e 1(b), respectivamente. Figura 1 Trajetórias Bohmianas para os auto estados do oscilador harmônico (a), com condições iniciais em torno da região de maior probabilidade dada pela MQ x(0) = 0 e (b) com condições iniciais em torno da região de maior probabilidade dada pela MQ e x(0) = ±1. 9 O qubit é a unidade fundamental da teoria da comunicação, sendo nada mais do que um sistema quântico de dois níveis. 10 O espaço de Hilbert é um espaço vetorial complexo, completo e provido de uma métrica obtida através de um produto escalar. Ainda, qualquer combinação linear entre dois elementos deste espaço é também um elemento pertencente a este espaço vetorial. 11 Neste trabalho, todas as simulações numéricas foram realizadas através da manipulação do software Maple 17, usando o método de Runge-Kutta de 4ª ordem.

8 7 As Figs. 1(a) e 1(b) revelam que as trajetórias dos auto estados do oscilador harmônico são constantes evidenciando um ponto peculiar no formalismo de Bohm, uma vez que atribui trajetórias constantes a qualquer estado estacionário [12,13]. Na próxima seção, iremos obter as trajetórias bohmianas para o estado de superposição de dois qubits a fim de identificar como este efeito se manifesta nas trajetórias quânticas quando em comparação com as trajetórias dos estados de e qubits Trajetórias para o Estados de Superposição O princípio da superposição é um conceito chave para o entendimento do mundo microscópico, sendo uma excepcional característica da MQ. Este princípio repousa sobre a possibilidade de combinar linearmente espaços vetoriais correspondentes aos sistemas físicos permitindo, no contexto da computação quântica, uma vantagem operacional quando da combinação dos qubits e, aumentando consideravelmente o ganho computacional [19-21]. Visando compreender a dinâmica dos estados de superposição dentro do formalismo de Bohm iremos, agora, obter as trajetórias quânticas para os estados de superposição de dois qubits, cujo estado quântico pode ser representado por (02) cuja álgebra descrita no Apêndice C nos leva a obter a equação de movimento (C4) com. As soluções numéricas da Eq. (C4), nos leva a obter o comportamento revelado na Fig.(2) o qual revela que as trajetórias para o estado de superposição apresentam um padrão não estacionário diferentemente das trajetórias para os estados e.

9 8 Figura 2 Trajetórias para o estado de superposição Eq. (02), para valores numéricos adimensionais de e. Note que as deformações no padrão oscilatório sugerem a presença de interferência quando as trajetórias evitam a região não permitida pela MQ, ou seja, cuja probabilidade de se encontrar a partícula é nula. Ao evitar esta região, as possíveis trajetórias se distorcem provocando um adensamento que se propaga durante a evolução temporal [22]. Como uma extensão da teoria de Bohm, na próxima seção iremos obter as trajetórias bohmianas para estados emaranhados puros e, assim, identificarmos os efeitos do emaranhamento através destas trajetórias. 2.3.Trajetórias para os Estados Emaranhados O emaranhamento, personagem de famosas discussões no inicio do século XX, foi apresentado nos primórdios do desenvolvimento da MQ e, após, satirizado no argumento EPR como uma correlação mística, existente entre sistemas físicos completamente separados [23]. Ainda no fim desse mesmo século, o emaranhamento ganhou status de recurso físico com a ascensão da teoria quântica da informação, já que o simples controle deste fenômeno retrata uma conquista ímpar, sem precedentes, assim como as aplicações práticas para seu uso cotidiano [15,23].

10 9 Diante da diversidade de aplicações, o emaranhamento passou a ser tratado como recurso para a realização de tarefas na computação, processamento e transmissão de informação de forma muito mais eficiente e segura do que as conhecidas até então [21]. Dessa maneira, saindo do plano das ideias e entrando no plano tecnológico este recurso tem se tornado um dos pilares da nova teoria da comunicação quântica que incorporam aplicações como o Teletransporte, a Computação e Criptografia Quântica [23-25]. Para entendermos a dinâmica do emaranhamento dentro do formalismo de Bohm, iremos considerar o estado quântico descrito pela equação (03) cujo desenvolvimento constante no Apêndice D, retorna a equação de movimento (D4) com. Uma equação análoga para também é obtida para a referida Eq. (D4) e sua análoga em, retorna um sistema de equações acopladas, cuja abordagem numérica, nos permite obter as trajetórias expressas na Fig. 3. Figura. 3. Trajetórias Bohmianas para o estado emaranhado Eq. (03) para valores numéricos adimensionais de e.

11 10 Podemos observar através da Fig. (3) um padrão de aumento na densidade de trajetórias para valores próximos de. Nessa região, percebemos a existência do emaranhamento evidente na forma como as trajetórias se distorcem ao tenderem para a posição referida, mas sem cruzar tal ponto. Ao contrário, à medida que nos afastamos da região de, percebemos que as trajetórias tornam-se contínuas e as partículas parecem se comportar como se seu movimento fosse independente. CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho, discutimos o formalismo de Bohm para descrever a dinâmica das partículas quânticas e como este formalismo reflete os resultados esperados da MQ, através do Potencial Quântico não local. Analisamos as trajetórias quânticas para os estados e, para estados de superposição e estados emaranhados. Verificamos diferentes padrões entre os estados de superposição, que não são estacionários, e os estados e que são estacionários. Para os estados de superposição, em particular, vemos que as deformações nas trajetórias sugerem a presença do efeito de interferência, assim como revela a MQ. Como segmento natural deste trabalho, pudemos estender a teoria de Bohm para estados bipartidos puros e analisar o efeito do emaranhamento sobre diferentes condições iniciais para o estado que apresenta esta estranha correlação. Apêndices Apêndice A Obtenção das Equações de Movimento do Formalismo de Bohm O formalismo de Bohm para a MQ é obtido a partir da Equação de Schrödinger, que representada na forma de uma equação ordinária de segunda ordem (A1)

12 11 sendo a constante de Planck dividida por, a massa da partícula e é um potencial independente do tempo 12. Após substituir a Eq. (01) em (A1) e realizar as derivações necessárias, obtemos (A2) Isolando a parte real da Eq. (A2), temos (A3) sendo (A4) o Potencial Quântico. A parte imaginária da Eq. (A2), retorna (A5) Claramente, as Eqs. (A3) e (A5) possuem a mesma forma das equações de Hamilton-Jacobi e da Continuidade, respectivamente, o que remete fielmente à equação de movimento de Newton e à conservação da probabilidade com. A partir da identificação da Eq. (A3) como uma equação do tipo Hamilton-Jacobi, pode-se escrever velocidade da partícula como (A6) Podemos, ainda, reescrever a Eq. (A6) em termos da função de onda. Para tanto, derivamos a Eq. (01) com respeito às coordenadas espaciais tal que (A7) Dividindo ambos os lados da Eq. (A7) por e tomando a parte imaginária, obtemos 12 Ainda que não exista nenhuma restrição formal, o fato do potencial depender do tempo tenderá a produzir funções de onda não separáveis de um estado inicial. No caso de e, por exemplo, não poderiam ser decompostos e os movimentos associados às direções ortogonais não seriam independentes.

13 12 (A8) Dessa forma, podemos obter trajetórias bem definidas, denominadas trajetórias bohmianas. Apêndice B Obtenção da Equação de Movimento para os Auto Estados do Oscilador Harmônico Iremos, agora, obter as equações de movimento para os auto estados do oscilador harmônico e. Desse modo, admitimos o estado inicial Consideraremos o hamiltoniano do oscilador harmônico quântico, que é um operador hermitiano 13, expresso por (B1) (B2) em que é o operador de número de fótons, é o operador de criação de fótons e o operador de aniquilação de fótons [26]. Aqui, podemos desprezar o termo de energia livre e escrever o hamiltoniano como Usando a Equação de Schrödinger dependente do tempo, (B3) (B4) obtemos a solução Ao Substituir a Eq. (B3) na Eq. Eq. (B5), obtemos (B5) (B6) 13 Operadores hermitianos são operadores lineares de suma importância na descrição da Mecânica Quântica, uma vez que possuem propriedades desejáveis tais como: possuem autovalores reais; suas autofunções são, ou podem ser escolhidas de tal forma que sejam ortogonais; e suas formam um conjunto completo e ortogonal de funções.

14 13 A expansão para a função exponencial na Eq. (B6), retorna, (B7) A aplicação dos sucessivos termos da expansão sobre o estado de vácuo resulta na evolução do estado no tempo, Como este estado é puro, sua matriz densidade pode ser escrita como (B8) (B9) Assim, substituindo a Eq. (B8) na Eq. (B9), encontramos (B10) Na representação de posições a Eq. (B10) é escrita projetando os estados não diagonais, tal que (B11) A função de onda na representação de posições correspondente ao primeiro auto estado do oscilador harmônico será [27] (B12) Logo, substituindo a Eq. (B12) em (B11), temos (B13) em unidades adimensionais, com (B14) Para obtermos as trajetórias bohmianas para o estado descrito na Eq. (B13), devemos obter soluções para a equação diferencial dada pela Eq. (A8). Assim, a derivada com respeito à da matriz densidade da Eq. (B13) será

15 14 (B15) Dividindo a Eq. (B15) por [Eq. (B13)] e fazendo, obtemos (B16) Tomando a parte imaginária da Eq. (B16) encontramos a equação diferencial (B17) cujas soluções são do tipo (B18) Agora, consideraremos o primeiro estado excitado do oscilador harmônico simples (B19) A evolução temporal deste estado num instante, é obtido seguindo os passos da Eq. (B5) à Eq. (B7), resultando em cuja a matriz densidade escrita na forma da Eq. (B9), retorna (B20) Na representação de posições, a Eq. (B21) é escrita como (B21) (B22) A função de onda para o primeiro estado excitado do oscilador harmônico, na representação de posições, será (B23) Dessa maneira, em unidades adimensionais [Eq. (B14)], temos

16 15 (B24) Derivando a Eq. (B24) com respeito a densidade [Eq. (B24)], obtemos, para, e dividindo o resultado pela própria matriz (B25) Tomando a parte imaginária da Eq. (B25) encontramos (B26) cujas soluções também são do tipo (B27) Apêndice C Obtenção da Equação de Movimento para os Estados de Superposição A seguir, analisaremos os estados de superposição do tipo (02) A matriz densidade [Eq. (B9)] na representação de posições será (C1) Explicitando as autofunções do oscilador harmônico Eqs. (B12) e (B23), obtemos a seguinte equação (C2) com as coordenadas escritas em escalas adimensionais de acordo com a Eq. (B14). Derivando a Eq. (C2) com respeito às coordenadas espaciais e, após, dividindo o resultado pela própria Eq. (C2), temos

17 16 (C3) em que levamos em consideração as relações de Euler. Tomando a parte imaginária da Eq. (C3) e usando (C4) e (C5) obtemos a equação de movimento (C6) em que. Apêndice D Obtenção da Equação de Movimento para Estados da Base de Bell Analisaremos, agora, o estado emaranhado (D1) cuja matriz densidade, na representação de posições, é (D2) Substituindo as autofunções do oscilador harmônico Eqs. (B12) e (B23), em coordenadas adimensionais [Eq. (B14)], obtemos a expressão (D3)

18 17 Derivando a Eq. (D3) com respeito a variável espacial x e, após, dividindo o resultado pela própria Eq. (D3), com e, encontramos (D4) Novamente, utilizando as relações de Euler Eqs. (C4) e (C5), e tomando a parte imaginária na Eq. (D4), obtemos a equação diferencial (D5) com. REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS [1] D. BOHM, Phys. Rev. 85, 166 (1952). [2] A. LEITE; S. SIMON. Werner Heisenberg e a Interpretação de Copenhague: a filosofia platônica e a consolidação da teoria quântica. Scientle Studia, São Paulo, v. 8, n. 2, p , (2010). [3] O. PESSOA Jr., Cadernos de História e Filosofia da Ciência, 177, (1992). [4] O. PESSOA Jr., Cadernos de História e Filosofia da Ciência, 183, (1992). [5] N. BOHR, Phys. Rev. 48, 696 (1935). [6] A. EINSTEIN; B. PODOLSKY and N. ROSEN, Phys. Rev. 47, 777 (1935). [7] C. H. BENNETT and S. J. WIESNER, Phys. Rev. Lett. 69, 2881 (1992). [8] C. H. BENNETT, H. J. BERNSTEIN, S. POPESCU, and B. SCHUMACHER, Phys. Rev. A 53, 2040 (1996). [9] D. BOHM, Phys. Rev. 85, 169 (1952). [10] W. K. WOOTTERS, Entanglement of Formation of an Arbitrary State of Two Qubits, Phys. Rev. Lett. 80, [11] BOHM, D. A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of Hidden Variables I. Phys Rev, v 85, p , 1952a. [12] BOHM, D. A Suggested Interpretation of the Quantum Theory in Terms of Hidden Variables I. Phys Rev, v 85, p , 1952b.

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