Aula 04 Método de Monte Carlo aplicado a análise de incertezas. Aula 04 Prof. Valner Brusamarello

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1 Aula 04 Método de Monte Carlo aplicado a análise de incertezas Aula 04 Prof. Valner Brusamarello

2 Incerteza - GUM O Guia para a Expressão da Incerteza de Medição (GUM) estabelece regras gerais para avaliar e expressar a incerteza de medição. O método de avaliação de incertezas, proposto pelo GUM toma por base a propagação de incertezas através do modelo matemático da medição. O método apresenta alguns problemas práticos como por exemplo: Complexidade conceitual; Necessidade de construir um modelo matemático da medição; Requer condições de linearidade do modelo; Requer distribuição ib i normal da variável aleatória que representa os valores possíveis do mensurando.

3 MMC Método de Monte Carlo Antes de 1949 foram resolvidos vários problemas estatísticos de amostragem aleatória empregando-se essa técnica (John Von Neumann e Stanislaw Ulam). Primeiramente estabelece-se o modelo de medição; Em seguida avalia-se o modelo. As diferenças entre o método clássico e a SMC estão no tipo de informação descrevendo as grandezas de entrada e na forma em que essa informação é processada para se obter a incerteza. No método clássico, cada variável de entrada deve ser caracterizada pela função densidade de probabilidade (PDF), sua média e desvio padrão e os graus de liberdade. Na SMC, esse último parâmetro não é envolvido nos cálculos, tornando-se desnecessário.

4 MMC Método de Monte Carlo Na SMC, o formato da distribuição de saída será obtido a partir da avaliação do modelo matemático por meio da combinação de amostras aleatórias das variáveis de entrada, respeitando as respectivas distribuições. Assim, a SMC produz a propagação das PDFs das grandezas de entrada através do modelo matemático da medição, fornecendo como resultado uma PDF que descreve os valores do mensurando consistentes com a informação que se possui. É conhecido como método da propagação de distribuições.

5 Método de Monte Carlo Vantagens: produz uma aproximação da função de distribuição para o mensurando. Desta distribuição quaisquer parâmetros estatísticos, incluindo o resultado da medição, a incerteza de medição padrão associada e a respectiva probabilidade de abrangência intervalo de confiança, podem ser obtidos. Não depende da natureza do modelo, isto é, pode ser fortemente nãolinear ou ter um número grande de variáveis. Desvantagens (ou não!!?): Caráter numérico, particularmente a sua natureza computacional intensiva

6 Método de Monte Carlo Modelos matemáticos não-lineares; Distribuições assimétricas das grandezas de influência; Contribuições não-normais dominantes; Correlações entre grandezas e outras dificuldades para a aplicação do método clássico não precisam receber atenção especial. Considerações sobre a normalidade da estimativa de saída e a aplicabilidade d da fórmula para cálculo l do número de graus de liberdade tornam-se desnecessárias.

7 Método de Monte Carlo A qualidade dos resultados dependerá dos seguintes fatores: representatividade do modelo matemático; qualidade da caracterização das variáveis de entrada; características do gerador de números pseudo- aleatórios utilizado; número de simulações realizadas; procedimento de definição do intervalo de abrangência.

8 Efeito do número de amostras Variável aleatória gaussiana M=100 e M=100000

9 Método de Monte Carlo O aumento do tamanho de amostra M traz um aumento nos requisitos sobre o hardware usado na simulação e no tempo necessário para se dispor do resultado. Para definir o número de simulações, deve-se fazer um balanço entre a qualidade dos resultados desejada e as disponibilidades de hardware e de tempo. O erro amostral de simulação não é a única fonte de desvios potenciais na análise de incerteza por SMC. Modelos matemáticos pouco representativos e grandezas de influência mal caracterizadas podem gerar desvios bem maiores e mais difíceis de serem detectados. Aumentar o número de simulações M para reduzir o erro amostral pode não trazer o retorno esperado.

10 Método de Monte Carlo A flexibilidade do MMC permite que ele seja usado para estimar a incerteza expandida, em situações onde a distribuição que representa os valores possíveis do mensurando não é normal. Quando a distribuição ib i da variável que representa os valores possíveis do mensurando é simétrica, é possível usar o recurso de ordenar o vetor de saída do menor para o maior valor e identificar os limites do intervalo de abrangência por meio da contagem dos seus elementos.

11 MMC Propagação de PDFs Ex.: Duas distribuições retangulares iguais. Variáveis X e Z têm amplitudes iguais, dentro do intervalo [0; 1]. A convolução das duas distribuições pode ser calculada, resultando uma distribuição de probabilidade de saída triangular simulações.

12 Soma de duas distribuições retangulares com mesmo intervalo [0,1]

13 Soma entre duas distribuições retangulares com o método clássico da aplicação da Lei de propagação de incertezas com o MCM, com simulações. Método Média U 95% U 99% Clássico 1,0000 1,6004 2,1066 MCM 0,9994 1,5543 1,8002

14 Ex.2 : duas distribuições retangulares com amplitudes diferentes (X [0, 1] e Z [0, 2,5]) simulações

15 Soma de duas distribuições retangulares com o intervalo [0,1] e [0,2,5] simulações -distribuição trapezoidal

16 Comparação método clássico x MMC simulações Diferenças de 8% e 21% para os níveis de confiança de 95% e 99% Método Média U 95% U 99% Clássico 1,7500 3,0470 4,0108 MCM 1,7507 2,7941 3,1858

17 Ex. 3 - Três distribuições retangulares X [0, 1], Z [0, 2,5] e Y [0, 1]) simulações [0, 1]) simulações Resultado da soma de três distribuições retangulares,

18 Comparação método clássico x MMC simulações Método Média U 95% U 99% Clássico 2,2500 3,2502 4,2784 MCM 2,2496 3,0582 3,6551

19 O exemplo da calibração de um multímetro digital modelo matemático: E = V V + δ V δ V X ix S IX S MMC com simulações, a incerteza na indicação do MMD resultou no valor de 0,100 V, com um intervalo de confiança de 95%. A forma da distribuição é essencialmente trapezoidal. A distribuição retangular é uma aproximação possível S i i ã i i di ib i ã Seria uma aproximação grosseira assumir uma distribuição gaussiana.

20 Distribuição da variável de saída para o exemplo da calibração do multímetro digital simulações

21 Método de Monte Carlo O método de Monte Carlo é uma ferramenta que pode ser utilizada com vantagem em situações onde as condições do método convencional não são atendidas: o modelo matemático da medição apresenta uma acentuada não-linearidade; a distribuição de probabilidade da grandeza de saída afasta-se significativamente da normal. O método da SMC é particularmente útil,,quando modelos matemáticos complexos estão envolvidos, nos quais é difícil ou inconveniente determinar as derivadas parciais exigidas pelo método clássico, ou quando a grandeza medida não pode ser explicitamente expressa em razão das grandezas de influência. A utilização de ferramentas computacionais, na metrologia científica e industrial, tem sido cada vez mais aceito. As atividades metrológicas vêm sendo fortemente beneficiadas pela aquisição de dados e pelo processamento de resultados via computador, com a conseqüente redução do trabalho rotineiro e dos erros grosseiros, aspectos esses inevitáveis quando grandes quantidades de números precisam ser manipuladas.

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